第3章 极限定理与条件期望-2条件期望10-23

n 1

E ( X1 )
nP( N n)
n 1

E ( X 1 ) E ( N ).
=E(N)
例3.3 某矿工身陷在有三个门的矿井中。经过第一个门 的通道行进2小时后，他将达到安全地。经过第二个门 的通道行进3小时后，他将回到原地。经过第三个门的 通道行进5小时后，他还是回到原地。假定该矿工每次 都等可能地选取任一门，求直到他达到安全地所需时间 的期望是多少？ 解： 令X表示到达安全地所需时间， E ( X ) 10 以Y表示他最初选取的门， 则
全概率公式
E[ E ( X | Y )] E ( X ).
证明: Y为任意随机向量，分两种情况： (1) Y离散情形下：存在一个事件序列
全期望公式
E ( X ) E ( X | Y y j ) P(Y y j ).
j 1

(2) Y连续情形下
E( X )


E ( X | Y y) pY ( y)dy
第3章 极限定理与条件期望
3.2 条件期望
解：X与Y的边缘分布如表：
X Y Y=0
Y=3/2 Y=2 pi .
X1=-1 1/12 2/12 3/12 6/12
X2=1 0 1/12 1/12 2/12
X3=2 3/12 1/12 0 4/12
p.j 4/12 4/12 4/12
P{X=-1|Y=2}=p13/p.3=3/4； P{X=2|Y=2}=p33/p.3=0；

1, 第1个人取到自己的帽子 X1 0, 第1个人没有取到自己的帽子
2013-8-10
10
i
(2) 当(X,Y)为连续随机向量时,
E ( X | Y y ) xp X |Y ( x | y )dx ,


同样地可定义 Y 在 X=x 的条件下的条件期望.
可以看出, X 在 Y=y 的条件下的条件期望是 y 的函数,它
是一个变量。这不同于无条件期望E(X).
E( X | Y y) E( X | Y )

j 1
P( A) P( A | Y y) pY ( y)dy
随机个随机变量和的数学期望
设 X 1 , X 2 ,, X n , 为一列独立同分布的随机变量, N是只取 正整数的随机变量, 且N与{Xn,n=1,2,…}相互独立. 则有
E ( X i ) E ( X 1 ) E ( N ).
Y取确定值y的条件下
Y取值随机的条件下
若记 g( y ) E ( X | Y y ), 则 g(Y ) E ( X | Y ) 作为随机变量Y
的函数, 我们可称之为在给定Y的条件下X的条件期望, 它是随机变量.
2.重要公式
E[ E ( X | Y )] E ( X ).
全期望公式
E[ P( A | Y )] P( A).
P{X=1|Y=2}=p23/p.3=1/4；
又如：P{X=1|Y=0}=p21/p.1=0等；
二、条件数学期望
1 定义:
X 在 Y=y 的条件下的条件分布的数学期望(若 存在)称为 X 在 Y=y 的条件下的条件期望. 具体定义式: (1) 当(X,Y)为离散随机向量时,
E ( X | Y y ) xi P ( X xi | Y y ),
EX
E[ E ( X | Y )]
E ( X | Y 1) P{Y 1} E ( X | Y 2) P{Y 2} E ( X | Y 3) P{Y 3} 1 E ( X | Y 1) E ( X | Y 2) E ( X | Y 3) 3 E ( X | Y 1) 2, E ( X | Y 2) 3 E ( X ), E ( X | Y 3) 5 E ( X )
E[ P( A | Y )] P( A).
证明: Y为任意随机向量，分两种情况： (1) Y离散情形下：
P( A) P( A | Y y j ) P(Y y j ).
j 1
全概率公式
P( A) P( A | B j ) P( B j ).
(2) Y连续情形下
证明：
N
N
i 1Leabharlann N E ( X i ) E E X i | N i 1 i 1
n
E ( X i | N n)P( N n)
n 1 i 1

N
E ( X i )P( N n)
n 1 i 1
nE ( X1 )P( N n)