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x x0
4.x x0的方式任意的 5.x x0时的极限值与x0无关 6.常数C的极限值是自身.
三．极限的四则运算
four kinds calculations of limit
1.～定理 2.～推论 3.～例题 □定理 若两个函数的极限存在，
则它们的和、差、积、商的极限等于 极限的和、差、积、商（分母≠0）
1
0( )
0( ) ~
高阶无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 等价无穷小
无穷小比较例题
(1)当 x→0 时，x2 与 5x 哪一个是高阶无穷小? (2)当 x→0 时，x 与 tg x 哪一个是高阶无穷小?
解 : (1) 列式 lim x2 x0 5x
其中 (x) 5x , (x) x2
或
f ( x) A(当x x0 )
f (x) x2
当 x 左右侧侧 2, 都有 f ( x) 4
注：左、右极限都存在并相等
求极限 lim x 2
x2
x (左侧) →x0
x
y
1.9
3.61
1.99 3.96
1.999 ···
3.996 ···
2
4
x (右侧) →x0
x
y
2.1
4.41
2.01
x1
sin(
π
π x)
2
22
lim sin π x lim
π (1 x) 2
2 2
x1
2
x1
sin
π (1 x)
π
π
2
ln(1 x)
1
lim
lim ln(1 x) x lim ln e 1
x0
x
x0
x0
1.3.1 无穷小量及其性质
Infinitesimal quantity and its properties
当x 0 , lim cos x 1 x0
即 1 cos x为无穷小
1 sin x 也是无穷小 x
即 lim sin x 1 x0 x
π
lim(1 x) tg x
x1
2
π
(1 x)
π
(1 x)
lim sin x lim
lim sin x lim
x1
2
x1
cos
π
x1
2
an
1 2 n1
数列——定义在自然数集合的函数
an f (n) 整标函数
y x2 ( x [0,1])
Sn
0
1 n
( 1 )2 n
1 n
( 2 )2 n
1 n
...(
n 1)2 n
1 n
12 22 32 ... (n 1)2 (n 1)n(2n 1)
n3
6n3
1 3
1 ( 6n2
lim C f ( x) C lim f ( x)
推论
2．lim x x0
xn
x0n
3 极限四则运算例题
x 1 (1) lim
x2 x 2 1 (2) lim x 1
x1 x 2 1 x2 1
(3) lim x 2x2 x 1
(4) lim( x2 1 x 2 1) x
四.两个重要极限 two important limits
1) 2n
1 3
n
二．函数的极限
limit of function
1．x →∞时函数的极限 2．x →x0时函数的极限 3．函数极限的一般定义
1．x→∞时函数的极限
定义 当自变量的绝对值 x 无限 增大时,如果函数 f ( x) a(常数),则 称 a 为f ( x)在x 时的极限,记作
[例]
1．求证 lim sin x 1 x0 x
证明:
SPOA
1 2
PA OA
1 tg 2
x
S扇
1 2
OA AB
1 2
x
tg x x , 即 sin x x sin x cos x
cos x
x
故有 1 sin x 1 cos x x
(续) 1 sin x 1 cos x x
1.无穷小量——在其变化过程中能以0为
极限的变量 2.关系定理
性质1．有限个无穷小的和或积为无穷小
性质2．有界变量与无穷小的积仍为无穷小
例: lim xsin 1
x0
x
3.无穷小的比较
定义 设 ( x), ( x)都是
同一变化过程中的无穷小 , 且 0
如果
则 : 是的
0
lim
K
1 极限的四则运算定理
若 lim f ( x) A , lim g( x) B则
(1) lim[ f ( x) g( x)] A B 和差
(2) lim[ f ( x) g( x)] A B 积
(3) 当B 0时 , lim f ( x) A 商
2 推论
g(x) B
推论 1．若 lim f ( x)存在 , 则
lim f (x) a
x
(1) f
(x)
1
1 x2
lim f ( x) 1
x
2. x x0时函数的极限
定义 设函数f ( x)在 x0点附近有定义(在x0点
可以无定义)当x x0(以任意方式趋近),
若f ( x) a,则称a为f ( x) 在x x0时的极限,
记作 实例
lim
x x0
f (x) A
(2) 列式 lim x x0 tg x
其中 (x) tg x , (x) x
答：(1) x2 比 5x 高阶，(2) x 与 tgx 等阶
1.3.3．无穷大量及其与无穷小的关系 the relation between infinity and infinitesimal 1．无穷大量
4.04
2.001 ···
4.004 ···
2
4
函数极限的一般定义
• 当自变量x无限增大或减小,或者充分(即 无限地）接近某个数值,函数值也会随 之足够接近某个数值,那么该数值就是 一个极限(数值).
极限补充
1.极限是一个具体数值 2.并不是具体的数, 而是和变量 结合起来,表示其变化趋势的一个符号. 3.若 lim f ( x)存在, 其必唯一
§1-2 极限的概念 Concept of limit
一．极限引入
二．函数的极限
•
lim
x
f
(x)
•
lim
x x0
f
(x)
三．极限的四则运算
四．两个重要极限
五．无穷小及其性质
六．无穷大量及与无穷小关系
1. 极限的引入（举例）
【表述】一尺之棰，日取其半，万世不绝。
【数列Fra Baidu bibliotek 【通项】
1, 1 , 1 , 1 , 248
1．lim sin x 1 x0 x
2．lim(1 1 )x e
x
x
附：求极限的基本方法
（1）直接代入法
（2）恒等变换法(含倒数、根式变换)
*（3）公式法——两个重要极限
2.重要极限 lim(1 1 )x e
x
x
□幂指函数
□定义域
（－∞,－1） （0,+∞）
y (1 1 )x x
1
推论 lim(1 x) x e x0
4.x x0的方式任意的 5.x x0时的极限值与x0无关 6.常数C的极限值是自身.
三．极限的四则运算
four kinds calculations of limit
1.～定理 2.～推论 3.～例题 □定理 若两个函数的极限存在，
则它们的和、差、积、商的极限等于 极限的和、差、积、商（分母≠0）
1
0( )
0( ) ~
高阶无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 等价无穷小
无穷小比较例题
(1)当 x→0 时，x2 与 5x 哪一个是高阶无穷小? (2)当 x→0 时，x 与 tg x 哪一个是高阶无穷小?
解 : (1) 列式 lim x2 x0 5x
其中 (x) 5x , (x) x2
或
f ( x) A(当x x0 )
f (x) x2
当 x 左右侧侧 2, 都有 f ( x) 4
注：左、右极限都存在并相等
求极限 lim x 2
x2
x (左侧) →x0
x
y
1.9
3.61
1.99 3.96
1.999 ···
3.996 ···
2
4
x (右侧) →x0
x
y
2.1
4.41
2.01
x1
sin(
π
π x)
2
22
lim sin π x lim
π (1 x) 2
2 2
x1
2
x1
sin
π (1 x)
π
π
2
ln(1 x)
1
lim
lim ln(1 x) x lim ln e 1
x0
x
x0
x0
1.3.1 无穷小量及其性质
Infinitesimal quantity and its properties
当x 0 , lim cos x 1 x0
即 1 cos x为无穷小
1 sin x 也是无穷小 x
即 lim sin x 1 x0 x
π
lim(1 x) tg x
x1
2
π
(1 x)
π
(1 x)
lim sin x lim
lim sin x lim
x1
2
x1
cos
π
x1
2
an
1 2 n1
数列——定义在自然数集合的函数
an f (n) 整标函数
y x2 ( x [0,1])
Sn
0
1 n
( 1 )2 n
1 n
( 2 )2 n
1 n
...(
n 1)2 n
1 n
12 22 32 ... (n 1)2 (n 1)n(2n 1)
n3
6n3
1 3
1 ( 6n2
lim C f ( x) C lim f ( x)
推论
2．lim x x0
xn
x0n
3 极限四则运算例题
x 1 (1) lim
x2 x 2 1 (2) lim x 1
x1 x 2 1 x2 1
(3) lim x 2x2 x 1
(4) lim( x2 1 x 2 1) x
四.两个重要极限 two important limits
1) 2n
1 3
n
二．函数的极限
limit of function
1．x →∞时函数的极限 2．x →x0时函数的极限 3．函数极限的一般定义
1．x→∞时函数的极限
定义 当自变量的绝对值 x 无限 增大时,如果函数 f ( x) a(常数),则 称 a 为f ( x)在x 时的极限,记作
[例]
1．求证 lim sin x 1 x0 x
证明:
SPOA
1 2
PA OA
1 tg 2
x
S扇
1 2
OA AB
1 2
x
tg x x , 即 sin x x sin x cos x
cos x
x
故有 1 sin x 1 cos x x
(续) 1 sin x 1 cos x x
1.无穷小量——在其变化过程中能以0为
极限的变量 2.关系定理
性质1．有限个无穷小的和或积为无穷小
性质2．有界变量与无穷小的积仍为无穷小
例: lim xsin 1
x0
x
3.无穷小的比较
定义 设 ( x), ( x)都是
同一变化过程中的无穷小 , 且 0
如果
则 : 是的
0
lim
K
1 极限的四则运算定理
若 lim f ( x) A , lim g( x) B则
(1) lim[ f ( x) g( x)] A B 和差
(2) lim[ f ( x) g( x)] A B 积
(3) 当B 0时 , lim f ( x) A 商
2 推论
g(x) B
推论 1．若 lim f ( x)存在 , 则
lim f (x) a
x
(1) f
(x)
1
1 x2
lim f ( x) 1
x
2. x x0时函数的极限
定义 设函数f ( x)在 x0点附近有定义(在x0点
可以无定义)当x x0(以任意方式趋近),
若f ( x) a,则称a为f ( x) 在x x0时的极限,
记作 实例
lim
x x0
f (x) A
(2) 列式 lim x x0 tg x
其中 (x) tg x , (x) x
答：(1) x2 比 5x 高阶，(2) x 与 tgx 等阶
1.3.3．无穷大量及其与无穷小的关系 the relation between infinity and infinitesimal 1．无穷大量
4.04
2.001 ···
4.004 ···
2
4
函数极限的一般定义
• 当自变量x无限增大或减小,或者充分(即 无限地）接近某个数值,函数值也会随 之足够接近某个数值,那么该数值就是 一个极限(数值).
极限补充
1.极限是一个具体数值 2.并不是具体的数, 而是和变量 结合起来,表示其变化趋势的一个符号. 3.若 lim f ( x)存在, 其必唯一
§1-2 极限的概念 Concept of limit
一．极限引入
二．函数的极限
•
lim
x
f
(x)
•
lim
x x0
f
(x)
三．极限的四则运算
四．两个重要极限
五．无穷小及其性质
六．无穷大量及与无穷小关系
1. 极限的引入（举例）
【表述】一尺之棰，日取其半，万世不绝。
【数列Fra Baidu bibliotek 【通项】
1, 1 , 1 , 1 , 248
1．lim sin x 1 x0 x
2．lim(1 1 )x e
x
x
附：求极限的基本方法
（1）直接代入法
（2）恒等变换法(含倒数、根式变换)
*（3）公式法——两个重要极限
2.重要极限 lim(1 1 )x e
x
x
□幂指函数
□定义域
（－∞,－1） （0,+∞）
y (1 1 )x x
1
推论 lim(1 x) x e x0