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极限的定义PPT课件
1.无穷小量——在其变化过程中能以0为
极限的变量 2.关系定理
性质1．有限个无穷小的和或积为无穷小
性质2．有界变量与无穷小的积仍为无穷小
例: lim xsin 1
x0
x
第19页/共27页
3.无穷小的比较
定义 设 ( x), ( x)都是
同一变化过程中的无穷小 , 且 0
如果
则 : 是的
x x 1
x
π 2
x
第25页/共27页
高数作业 —— 第一章 习题一 P16
2、 4 — （3） 5 — （2）、 （4） 9 — （6）、 （10）、 （13）、 （14） 12 — （4） 15 、 18 — （3）
第26页/共27页
感谢您的观看。
第27页/共27页
1
推论 lim(1 x) x e
x0
第15页/共27页
1．求证 lim sin x 1 x0 x
证明:
SPOA
1 PA OA 2
1 tg x 2
S扇
1 2
OA AB
1 2
x
tg x x , 即 sin x x sin x cos x
cos x
x
故有
1 sin x 1 cos x x
第16页/共27页
(续) 1 sin x 1 cos x x
当x 0 , lim cos x 1 x0
即 1 cos x为无穷小 1 sin x 也是无穷小
x 即 lim sin x 1
x0 x
第 x
x 1
2
lim sin π x lim (1 x) lim sin π x lim (1 x)
其中 (x) 5x , (x) x2
极限的变量 2.关系定理
性质1．有限个无穷小的和或积为无穷小
性质2．有界变量与无穷小的积仍为无穷小
例: lim xsin 1
x0
x
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3.无穷小的比较
定义 设 ( x), ( x)都是
同一变化过程中的无穷小 , 且 0
如果
则 : 是的
x x 1
x
π 2
x
第25页/共27页
高数作业 —— 第一章 习题一 P16
2、 4 — （3） 5 — （2）、 （4） 9 — （6）、 （10）、 （13）、 （14） 12 — （4） 15 、 18 — （3）
第26页/共27页
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第27页/共27页
1
推论 lim(1 x) x e
x0
第15页/共27页
1．求证 lim sin x 1 x0 x
证明:
SPOA
1 PA OA 2
1 tg x 2
S扇
1 2
OA AB
1 2
x
tg x x , 即 sin x x sin x cos x
cos x
x
故有
1 sin x 1 cos x x
第16页/共27页
(续) 1 sin x 1 cos x x
当x 0 , lim cos x 1 x0
即 1 cos x为无穷小 1 sin x 也是无穷小
x 即 lim sin x 1
x0 x
第 x
x 1
2
lim sin π x lim (1 x) lim sin π x lim (1 x)
其中 (x) 5x , (x) x2
《高等数学极限》课件
THANK YOU
无穷级数与无穷积分的收敛性
总结词
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。收敛性的判 定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学 方法和技巧。
详细描述
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。如果一个无 穷级数或无穷积分是收敛的，那么它的和就是有限的 ，否则就是发散的。收敛性的判定是高等数学中的一 个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧，如比较 判别法、柯西判别法、阿贝尔判别法等。对于不同的 级数和积分，需要采用不同的方法和技巧进行收敛性 的判定。
03
导数与连续性
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的极限 ，表示函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链 式法则等性质，这些性质在研究函数 的单调性、极值和曲线的几何特性等 方面具有重要应用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函 数等基本初等函数，需要熟记其导数公式。
限的。
无穷积分的定义与性质
总结词
无穷积分是数学中另一个重要的概念，它是由无穷多个 定积分的和组成的积分。无穷积分具有一些重要的性质 ，如可加性、可乘性和可微性等。
详细描述
无穷积分是由无穷多个定积分的和组成的积分，这些定 积分可以是积分限不同的积分。无穷积分在数学中也有 着广泛的应用，如求解面积、体积和曲线长度等。无穷 积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性 等。其中，可加性表示无穷积分可以拆分成若干个部分 的和，可乘性和可微性则表示无穷积分可以与函数进行 运算和求导。
《极限的定义与性质》PPT课件
42
4、无穷小的比较
定义2.5. 设x 时，f ( x), g( x)为无穷小，
若lim g( x) 0 , 则称g( x)是比f ( x)高阶的无穷小 ,
x f ( x) 记作g( x) o( f ( x));
若lim g( x) , 则称g( x)是比f ( x)低阶的无穷小 ,
x f ( x)
lim f ( x) A 或
xa
即 时, 有
当
20
说明：
(1) 本定义称为函数的 定义，刻画f (x)与A
的接近程度， 刻画 x 与 a 的接近程度.
(2) f (x) 当 定义无关.
的极限与 f (x)在点 a 是否有
(3)几何解释:
y
A
A
A
y f (x)
这表明:
极限存在 函数局部有界
lim f ( x) A
xa
lim f ( x) lim f ( x) A
xa
xa
说明： 当两个单侧极限有一个不存在，或者虽然两 个单侧极限都存在但不相等时，极限不存在.
27
例9. 设函数
y
x1 , x 0
y x 1
f
(
x)
0, x0
x 1 , x 0
1
o 1
x
y x 1
讨论 x 0 时 f (x) 的极限是否存在 .
7
定义2.2 给定数列 { xn }, 如果存在常数a，使得
0 （无论它多么小），N Z+ , 使得当 n N 时，
绝对值不等式| xn a | 恒成立，则称数列 { xn } 以 a
为极限
，记为
lim
n
xn
函数极限的定义
x0的某个空心邻域内，使得在该邻域中有：f x 0.
证 设 lim f (x) A ，由定义，对 A , 存在 0,
xx0
2
当x U (x0, ) 时，有
y
y f x
f (x) A A
3A 2
2
A
f x A A 0.
2
A 2
O x0 x0 x0
x
定理2’
x
例7 证明 lim 1 0.
x x
证 因 f (x) A 1 0 1
x
x
所以, 0 , 取 X 1 ，当 x X时 ，使得
f (x) A 1 ,
x
所以
lim 1 0. x x
例8 证明 lim arctan x .
x
2
证 因 f (x) A arctan x arctan x
2
2,
x2 1 x2 1 x
所以, 0 , 取 X 2 ，当 x X时 ，使得
f (x) A x2 1 x2 1 ,
所以
lim x2 1 x2 1 0.
x
例10 证明 lim x 1 1 . x 2x 1 2
证 因 f x A x 1 1 1 ,
2x 1 2 2 2x 1
x 1 2 2 x 1 2(x 1)
取 x 1 1, 即 0 x 2, 所以
2x 1 1 3 1,
2x 2
2x 2
所以, 0 , 取 min{1, } ，当 0 x 1 时 ，
f (x) A
x2 2 3
x 1 ,
x 1 2
所以
lim x2 2 3 . x1 x 1 2
lim x 0.
x0
定理3(函数极限与数列极限的关系)
证 设 lim f (x) A ，由定义，对 A , 存在 0,
xx0
2
当x U (x0, ) 时，有
y
y f x
f (x) A A
3A 2
2
A
f x A A 0.
2
A 2
O x0 x0 x0
x
定理2’
x
例7 证明 lim 1 0.
x x
证 因 f (x) A 1 0 1
x
x
所以, 0 , 取 X 1 ，当 x X时 ，使得
f (x) A 1 ,
x
所以
lim 1 0. x x
例8 证明 lim arctan x .
x
2
证 因 f (x) A arctan x arctan x
2
2,
x2 1 x2 1 x
所以, 0 , 取 X 2 ，当 x X时 ，使得
f (x) A x2 1 x2 1 ,
所以
lim x2 1 x2 1 0.
x
例10 证明 lim x 1 1 . x 2x 1 2
证 因 f x A x 1 1 1 ,
2x 1 2 2 2x 1
x 1 2 2 x 1 2(x 1)
取 x 1 1, 即 0 x 2, 所以
2x 1 1 3 1,
2x 2
2x 2
所以, 0 , 取 min{1, } ，当 0 x 1 时 ，
f (x) A
x2 2 3
x 1 ,
x 1 2
所以
lim x2 2 3 . x1 x 1 2
lim x 0.
x0
定理3(函数极限与数列极限的关系)
函数的极限【高等数学PPT课件】
A(或f
( x0
0)
A)
右极限: 定理1
lim
xx0
f (x)
A(或f (x0
0)
A)
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0
xx0
x sin x, x 0
例1
试问函数f ( x)
10, x 0
(c) Sketch the graph of F.
例2 lim sin x不存在 x
lim sin 1 不存在.
x0
x
y sin 1 x
思考与练习
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有
x x0
lim f ( x) f ( x0 ) ？
x x0
2. 设函数 f ( x) a x2, x 1 且 2x 1, x 1
lim f ( x)
x1
存在, 则 a 3 .
3.Let F (x) x 2 1 .
x 1
(a) Find (i) lim F (x) x 2 1 .
x1
x 1
(ii) lim x1
F(x)
x2 1 .
x 1
(b) Does lim F(x). exist?
x1
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 不存在.
x0
x0
x0
二、函数极限的性质
1.惟一性
定理1 (极限的惟一性) 如果函数极限
存在，则极限值惟一.
2.有界性
定理2 (局部有界性)
如果极限 lim f (x) xx0
考研高数总复习函数的极限(讲义)PPT课件
无穷小是函数极限的必要条件，即如果函数在某点的极限存在，那么函数在该点的值必定是无穷小。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
极限的ppt
高等数学 1.2.２ 函数的极限
１.当 x 时，函数 f (x)的极限
例1
x1
y
1 2
x、y的变化趋势
2 3 4 ……
1 4
1 8
1 16
……
x: x趋向正无穷大（x→+∞）
y: y无限接近于常数0 (y→0)
1.2 极限的概念
高等数学
1.2.２ 函数的极限
１.当 x 时，函数 f (x)的极限
x
x
x
1.2 极限的概念
高等数学 1.2.２ 函数的极限
１.当 x 时，函数 f (x)的极限
例4 已知函数y=arctanx,试讨论当x→∞时，y=arctanx 是否有极限，为什么？
解：作图
x→+∞时，arctan x→
2
x→-∞时，arctan x→ -
2
因为 lim arct anx limarct anx
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函数的极限函数的连续性PPT教学课件
一暴（ pu） 十寒：
比喻做事不坚持，无 恒心
拒人千里:
形容对人态度傲慢
鲁国打算让乐正子治理国政。 孟子说：“听到这消息，我喜欢得睡不着觉。” 孟子的学生公孙丑问：“乐正子很有能力吗？有智慧 有远见吗？见闻广博吗？” 孟子说：“不是。” 公孙丑问：“那您为什么喜欢得睡不着呢？” 孟子回答说：“因为他能听取别人的意见。能听取别 人的意见就足以治理天下，四面八方的人会不远千里 赶来提意见；听不進别人的意见，说：‘喔喔，你说 的我早就知道了！’‘喔喔’的声音和脸色就会把别 人拒绝在千里之外。有志之士在千里之外停滞不前， 而那些阿谀奉承的人就会到来，想治理好国家，能办 得到吗？”
xx0
lim C C
x x0
lim
x x0
x
x0
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
xx0
xx0
xx0
其趋中近于xlxim0x时0 f的(x左) 极 a限表，示当x从左侧
于xxl0im时x0 的f (右x)极 a限表示当x从右侧趋近
对于函数极限有如下的运算法则：
C.自己不喜欢做的事更 不应强加于人 D.准备充分才能做事完美 E.对人要守诚信 F.为人要光明磊落
G.要管好别人首先要 管好自己
H.兴趣是学习最好 的推动力
孟子名言
1.恻隐之心， 人皆有之 2.生于忧患，死于安乐 3.尽 信 书 不 如 无 书 4.不以规矩，不成方圆 5.仁者无敌 6.君子不怨天，不尤人 7.爱人者，人恒爱之； 敬人者，人恒敬之
室.他为何要在我家弹瑟啊? "
登堂入室:
表示学业已达一定程度 或是已得到老师专授指点
有人指责孟子不尽力帮助齐王。孟子便解 释说：“比如说，天下有些易活的植物， 假如把它放在太阳下晒一天，然后再把它 放在阴冷的地方冻十天，即使是生命力再 强的植物也会死。我见到齐王的机会少之 又少，即使给了他些良好的影响与帮助， 我一离开，一些和我主张不同的人，又带 给他许多不好影响。我怎么能使齐王的思 想、品质好起来呢？”
比喻做事不坚持，无 恒心
拒人千里:
形容对人态度傲慢
鲁国打算让乐正子治理国政。 孟子说：“听到这消息，我喜欢得睡不着觉。” 孟子的学生公孙丑问：“乐正子很有能力吗？有智慧 有远见吗？见闻广博吗？” 孟子说：“不是。” 公孙丑问：“那您为什么喜欢得睡不着呢？” 孟子回答说：“因为他能听取别人的意见。能听取别 人的意见就足以治理天下，四面八方的人会不远千里 赶来提意见；听不進别人的意见，说：‘喔喔，你说 的我早就知道了！’‘喔喔’的声音和脸色就会把别 人拒绝在千里之外。有志之士在千里之外停滞不前， 而那些阿谀奉承的人就会到来，想治理好国家，能办 得到吗？”
xx0
lim C C
x x0
lim
x x0
x
x0
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
xx0
xx0
xx0
其趋中近于xlxim0x时0 f的(x左) 极 a限表，示当x从左侧
于xxl0im时x0 的f (右x)极 a限表示当x从右侧趋近
对于函数极限有如下的运算法则：
C.自己不喜欢做的事更 不应强加于人 D.准备充分才能做事完美 E.对人要守诚信 F.为人要光明磊落
G.要管好别人首先要 管好自己
H.兴趣是学习最好 的推动力
孟子名言
1.恻隐之心， 人皆有之 2.生于忧患，死于安乐 3.尽 信 书 不 如 无 书 4.不以规矩，不成方圆 5.仁者无敌 6.君子不怨天，不尤人 7.爱人者，人恒爱之； 敬人者，人恒敬之
室.他为何要在我家弹瑟啊? "
登堂入室:
表示学业已达一定程度 或是已得到老师专授指点
有人指责孟子不尽力帮助齐王。孟子便解 释说：“比如说，天下有些易活的植物， 假如把它放在太阳下晒一天，然后再把它 放在阴冷的地方冻十天，即使是生命力再 强的植物也会死。我见到齐王的机会少之 又少，即使给了他些良好的影响与帮助， 我一离开，一些和我主张不同的人，又带 给他许多不好影响。我怎么能使齐王的思 想、品质好起来呢？”
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lim f (x) a
x
(1) f
(x)
1
1 x2
lim f ( x) 1
x
2. x x0时函数的极限
定义 设函数f ( x)在 x0点附近有定义(在x0点
可以无定义)当x x0(以任意方式趋近),
若f ( x) a,则称a为f ( x) 在x x0时的极限,
记作 实例
lim
x x0
f (x) A
1．求证 lim sin x 1 x0 x
证明:
SPOA
1 2
PA OA
1 tg 2
x
S扇
1 2
OA AB
1 2
x
tg x x , 即 sin x x sin x cos x
cos x
x
故有 1 sin x 1 cos x x
(续) 1 sin x 1 cos x x
1．lim sin x 1 x0 x
2．lim(1 1 )x e
x
x
附：求极限的基本方法
（1）直接代入法
（2）恒等变换法(含倒数、根式变换)
*（3）公式法——两个重要极限
2.重要极限 lim(1 1 )x e
x
x
□幂指函数
□定义域
（－∞,－1） （0,+∞）
y (1 1 )x x
1
推论 lim(1 x) x e x0
4.04
2.001 ···
4.004 ···
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
函数极限的一般定义
• 当自变量x无限增大或减小,或者充分(即 无限地）接近某个数值,函数值也会随 之足够接近某个数值,那么该数值就是 一个极限(数值).
极限补充
1.极限是一个具体数值 2.并不是具体的数, 而是和变量 结合起来,表示其变化趋势的一个符号. 3.若 lim f ( x)存在, 其必唯一
1
0( )
0( ) ~
高阶无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 等价无穷小
无穷小比较例题
(1)当 x→0 时，x2 与 5x 哪一个是高阶无穷小? (2)当 x→0 时，x 与 tg x 哪一个是高阶无穷小?
解 : (1) 列式 lim x2 x0 5x
其中 (x) 5x , (x) x2
x1
sin(
π
π x)
2
22
lim sin π x lim
π (1 x) 2
2 2
x1
2
x1
sin
π (1 x)
π
π
2
ln(1 x)
1
lim
lim ln(1 x) x lim ln e 1
x0
x
x0
x0
1.3.1 无穷小量及其性质
Infinitesimal quantity and its properties
或
f ( x) A(当x x0 )
f (x) x2
当 x 左右侧侧 2, 都有 f ( x) 4
注：左、右极限都存在并相等
求极限 lim x 2
x2
x (左侧) →x0
x
y
1.9
3.61
1.99 3.96
1.999 ···
3.996 ···
2
4
x (右侧) →x0
x
y
2.1
4.41
2.01
当x 0 , lim cos x 1 x0
即 1 cos x为无穷小
1 sin x 也是无穷小 x
即 lim sin x 1 x0 x
π
lim(1 x) tg x
x1
2
π
(1 x)
π
(1 x)
lim sin x lim
lim sin x lim
x1
2
x1
cos
π
x1
2
lim C f ( x) C lim f ( x)
推论
2．lim x x0
xn
x0n
3 极限四则运算例题
x 1 (1) lim
x2 x 2 1 (2) lim x 1
x1 x 2 1 x2 1
(3) lim x 2x2 x 1
(4) lim( x2 1 x 2 1) x
四.两个重要极限 two important limits
§1-2 极限的概念 Concept of limit
一．极限引入
二．函数的极限
•
lim
x
f
(x)
•
lim
x x0
f
(x)
三．极限的四则运算
四．两个重要极限
五．无穷小及其性质
六．无穷大量及与无穷小关系
1. 极限的引入（举例）
【表述】一尺之棰，日取其半，万世不绝。
【数列】 【通项】
1, 1 , 1 , 1 , 248
1 极限的四则运算定理
若 lim f ( x) A , lim g( x) B则
(1) lim[ f ( x) g( x)] A B 和差
(2) lim[ f ( x) g( x)] A B 积
(3) 当B 0时 , lim f ( x) A 商
2 推论
g(x) B
推论 1．若 lim f ( x)存在 , 则
(2) 列式 lim x x0 tg x
其中 (x) tg x , (x) x
答：(1) x2 比 5x 高阶，(2) x 与 tgx 等阶
1.3.3．无穷大量及其与无穷小的关系 the relation between infinity and infinitesimal 1．无穷大量
x x0
4.x x0的方式任意的 5.x x0时的极限值与x0无关 6.常数C的极限值是自身.
三．极限的四则运算
four kinds calculations of limit
1.～定理 2.～推论 3.～例题 □定理 若两个函数的极限存在，
则它们的和、差、积、商的极限等于 极限的和、差、积、商（分母≠0）
1.无穷小量——在其变化过程中能以0为
极限的变量 2.关系定理
性质1．有限个无穷小的和或积为无穷小
性质2．有界变量与无穷小的积仍为无穷小
例: lim xsin 1
x0
x
3.无穷小的比较
定义 设 ( x), ( x)都是
同一变化过程中的无穷小 , 且 0
如果
则 : 是的
0
lim
K
1) 2n
1 3
n
二．函数的极限
limit of function
1．x →∞时函数的极限 2．x →x0时函数的极限 3．函数极限的一般定义
1．x→∞时函数的极限
定义 当自变量的绝对值 x 无限 增大时,如果函数 f ( x) a(常数),则 称 a 为f ( x)在x 时的极限,记作
[例]
an
1 2 n1
数列——定义在自然数集合的函数
an f (n) 整标函数
y x2 ( x [0,1])
Sn
0
1 n
( 1 )2 n
1 n
( 2 )2 n
1 n
...(
n 1)2 n
1 n
12 22 32 ... (n 1)2 (n 1)n(2n 1)
n3
6n3
1 3
1 ( 6n2