积分变换的应用

浅谈积分变换的应用
学院：机械与汽车工程学院
专业：机械工程及自动化
年级：12级
姓名：***
学号：************
成绩：
2014年1月
目录
1.积分变换的简介 (3)
1.1积分变换的分类 (3)
1.2傅立叶变换 (3)
1.2拉普拉斯变换 (4)
1.3梅林变换和哈尔克变换 (5)
1.3.1梅林变换 (5)
1.3.2汉克尔变换 (6)
2.各类积分变换的应用 (6)
2.1总述 (6)
2.2傅立叶变换的应用 (6)
2.2.1傅立叶变换在图像处理中的应用 (6)
2.2.2傅立叶变换在信号处理中的应用 (7)
2.3拉普拉斯变换的应用 (8)
2.3.1总述 (8)
2.3.2 运用拉普拉斯变换分析高阶动态电路 (8)
参考文献 (9)
1.积分变换的简介
1.1积分变换的分类
通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。

已知ƒ(x)，如果
存在（α、b可为无穷）,则称F(s)为ƒ(x)以K(s,x)为核的积分变换。

积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。

最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。

由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。

1.2傅立叶变换
傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。

许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。

其定义如下
f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。

则有下图①式成立。

称为积分运算f(t）的傅里叶变换，
②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。

F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做
F（ω）的像原函数。

F（ω）是f(t）的像。

f(t）是F（ω）原像。

①傅里叶变换
②傅里叶逆变换
1.2拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏转换。

拉氏变换是一个线性变换，可将一个有引数实数t（t≥0）的函数转换为一个引数为复数s的函数。

如果定义：
•f(t)是一个关于的函数，使得当t<0时候，f(t)=0；
•s是一个复变量；
•是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分；F(s)是f(t)的拉普拉斯变换结果。

则f(t)的拉普拉斯变换由下列式子给出：
拉普拉斯逆变换，是已知F(s)，求解f(t)的过程。

用符号表示。

拉普拉斯逆变换的公式是：
对于所有的t>0；
c是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且直线Re(s)=c处在F(s)的收敛域内。

1.3梅林变换和哈尔克变换
1.3.1梅林变换
当K(s,x)=x s_1，x>0，而ƒ(x)定义于【0,+∞)，函数
(1)
称为ƒ(x)的梅林变换，式中s=σ+iτ为复数。

M(s)的梅林反变换则定义为
(2)
这里积分是沿直线Re s=σ进行的。

(1)式与(2)式在一定条件下互为反演公式。

例如，设(1)绝对收敛，在任何有限区间上ƒ(x)是有界变差的，且已规范，则由(1)可推得(2)，在l2(0,∞)空间中也有类似结果。

若以M(s,ƒ′)表示ƒ′(x)的梅林变换, 则在一定条件下，有
在一定条件下,还有下列梅林交换的卷积公式：
式中с>Re s。

1.3.2汉克尔变换
设Jγ(x)为у阶贝塞尔函数（见特殊函数），ƒ(x)定义于【0,+∞)，则称
（3）为ƒ(x)的у阶汉克尔变换；而称
(4)
为h(t)的汉克尔反变换。

有的作者代替(3)与(4)改用与
效果是一样的。

在一定条件下，(3)与(4)成为一对互逆公式，此外，还有
2.各类积分变换的应用
2.1总述
积分变换是数学史上一颗璀璨的明珠，且不说它在数理计算等方面的运算，单说它在我们实际生活中的应用也是数不胜数，下面我们一起来探究这些奥秘。

2.2傅立叶变换的应用
2.2.1傅立叶变换在图像处理中的应用
数字图像处理中，图像的傅氏变换可由二维离散傅氏变换(DFT)完成，根据傅氏变换的可分离性，可得
这样，二维傅氏变换就可以由两次一维变换实现.但采用上式完成傅氏变换时，所需复数加法和复数乘法操作次数为N2，计算量很大。

为此，可用一维快速傅立叶变换(FFT) 实现二维变换，其计算效率可提高近100倍。

傅氏变换在图像处理中有很多用途，如滤波、图像恢复等.物函数的一次傅立叶变换，反映了该图象在系统频谱面上的频率分布。

如在频谱面上做某些处理，然后在做傅立叶逆变换，就能改变物函数的某些特征，以达到人们要求的结果。

2.2.2傅立叶变换在信号处理中的应用
Fourier变换的基本思想是将信号分解成一系列不同频率的连续正弦波的叠加,它在处理信号时具有重要的物理意义,即信号f(x)的Fourier变换
(1)
表示了信号的频谱,是把信号从时域转化到频域。

然而,信号在时域上是没有任何局部化的,即从-∞延伸到∞,没有任何时间分辨特性,而在频域上是完全局部化的,能够看到时域上的每个正弦波的单一频域。

令L2(0,2π)为2π周期的平方可积函数空间,则对任意f∈L2(0,2π),Fourier 分析有3个基本公式。

Fourier级数表示式:
(2)
Fourier系数:
(3)
两者由Parseval恒等式联系:
(4)
傅立叶分析将平稳信号分解成谐波的线性组合，是一种传统的信号处理方法，
它对信号的处理，尤其是对平稳信号的处理具有成熟的理论基础和广泛的应用前景。

2.3拉普拉斯变换的应用
2.3.1总述
拉普拉斯变换也是跟傅立叶变换一样在积分变换中占很大的份额，但是跟傅立叶变换不同的是，它的作用更多是在帮助工程数学的解题上。

有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往在计算上容易得多。

拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。

在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。

引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。

这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。

2.3.2 运用拉普拉斯变换分析高阶动态电路
应用拉普拉斯变换的复频域分析法是分析动态电路的一种主要的变换域分析法时域分析法易于一阶电路和简单二阶电路的分析，这是因为对于高阶电路采用时域经典法分析计算时，确定初始条件和积分常数计算很麻烦，然而，这时应用拉普拉斯变换的复频域分析法，可以简化分析的计算。

拉普拉斯变换将用时域分析法描述电路动态过程的常系数线形微分方程转换为复频域的线性多项式方程，在复频域内求解代数方程，得出复频域函数，再利用拉氏反变换，变为时域原函数，最后求得时域响应这种变换分析方法，其本质就是把时域问题转化为复频域来分析求解，大大简化了分析和计算应用拉普拉斯变换分析动态电路，有两种方法一是列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换;二是直接按电路的S域模型建立代数方程。

参考文献
（1）杨毅明.数字信号处理(A).北京：机械工业出版社2012.89
（2）网友.积分变换百度百科(Z).
（3）网友.傅立叶变换百度百科(Z).
（4）网友.拉普拉斯变换百度百科(Z).
（5）王晓东王荣芝.傅立叶变换在图像处理中的应用.（N）牡丹江师范学院学报.2003.22-24
（6）王计生喻俊馨. 基于傅立叶变换和小波变换的信号处理.(N)四川工业学院学报.2003.47-49
（7）张守平吴波英. 浅谈拉普拉斯变换的应用.（J）科技资讯.2010 26 .133。