高考数学-不等式专题复习

不等式

【基础知识回顾】 一、不等式性质

(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>（同加c ）；

d b c a d c b a +>+⇒>>,（大+大>小+小）

(4)乘法法则（变不变号）：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,

bd ac d c b a >⇒>>>>0,0

(5)倒数法则：b

a a

b b a

110,<⇒

>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n

n

且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒

>>n N n b a b a n n

且

二、解不等式

(1)一元一次不等式 (2)一元二次不等式：

(3)解分式不等式：

⎪⎪⎨

⎧<<>>

≠>)0a (b

x )0a (a b

x )0a (b ax ⎧>⋅⇔>0)x (g )x (f 0)

x (f

高次不等式：

(4)解含参数的不等式：（1） (x – 2)(ax – 2)>0

（2）x 2 – (a +a 2)x +a 3>0；

（3）2x 2 +ax +2 > 0；

注:解形如ax 2

+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有：

1、讨论a 与0的大小；

2、讨论⊿与0的大小；

3、讨论两根的大小；

三、解线性规划问题的一般步骤

1、解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在y 轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下： （1）设出未知数，确定目标函数。

（2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。 （3）由目标函数z ＝ax ＋by 变形为y ＝－

b a x ＋b z ，所以，求z 的最值可看成是求直线y ＝－b a x ＋b

z

在y 轴上截距的最值（其中a 、b 是常数，z 随x ，y 的变化而变化）。

（4）作平行线：将直线ax ＋by ＝0平移（即作ax ＋by ＝0的平行线），使直线与可行域有交点，且观察在可行域中

使b z

最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。

（5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z 的最大（或最小）值。

)())((21>---n a x a x a x Λ

2、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点

()00,x y P

．

①若 0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若

0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方．

3、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=．

①若

0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线

0x y C A +B +=下方的区域．

②若

0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线

0x y C A +B +=上方的区域．

四、基本不等式

1 基 本 不 等 式 定 理

⎪

⎪⎪

⎪

⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-≤+⇒<≥+⇒>≥+

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+≤+≥+⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎧+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0a b ,a (2b a

a b )b a (2b a ab 2

b a 2b a ab 2b a ab )b a (2

1b a ab 2b a 2

22222

2

222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形式

2、利用基本不等式求最值问题

已知x＞0，y＞0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小)

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p2

4

.(简记：和定积最大)

注：

(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．

(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．

3、平均不等式

平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数

2

11

2

a b

a b

+

≥≥≥

+

（当a = b时取等）

4、含有绝对值的不等式

绝对值的几何意义：||x是指数轴上点x到原点的距离；12

||

x x

-是指数轴上

12

,x x两点间的距离，例如|4

|

|2

|-

+

-x

x的最小值为___________

5、三角不等式：|b|

|a||b

a|

|b|-|a|+

≤

+

≤

【考点例题解析】

考点1、求最值

例1：求下列函数的值域

（1）

2

2

2

1

3

x

x

y+

=（2）

x

x

y

1

+

=