统计预测与决策第五章时间序列平滑法

→ Ft+1= —1n xt + Ft - —1n xt-n → Ft+1= —1n xt +(1- —1n )Ft 用α代替 —1n ，即α在0和1之间，则公式变为
Ft+1=αxt+(1-α)Ft
可以看出，它是一种加权平均，权数为α,它不再需要保留很 多历史数据，只需本期的观察值xt和上期对本期的预测值Ft。
2001
253.1581 236.4302 220.5009 205.2212 253.009 31.88779
1.46143 285.6275
2002
281.5274 263.4885 246.2935 229.8646 281.4497 34.74336 1.723778 317.0549
2003
某组员月话费额：
Ft+1= αxt +(1- α) Ft α=0.1→F3=0.1×80.58+(1-0.1)×76.61=76.61 α=0.3→F3=0.3×80.58+(1-0.3)×76.61=77.80 α=0.9→F3=0.9×80.58+(1-0.9)×76.61=80.18
(1)平滑常数α=0.1 MSE=1/5∑et2 =28.9256
at
* 176.04 174.10 183.54 187.40 187.94 199.40 211.44 218.41
已知t=9，α=0.2，则：
a9=2×S9（1）–S9（2）=218.41 b9=α/(1-α)(S9（1）-S9（2）)=3.67
α =0.2
bt
* -0.19 -0.14 0.71 1.06 1.00 2.16 3.26 3.67
而是按指数规律递减，这也是指数平滑法的由来。
二、关于α值的影响
某商场销售额如表.预测11月份的销售额:
万
300
α = 0.9
α = 0.5
200
α = 0.1
100
t
0
可见：α取值较大时，预测值能较快反应时间序列的实际变 化情况，当α较小时，预测值对时间序列反应比较慢，但较 为平滑。
三、α值的确定
第四节
Part 4
线性二次指数平滑法
布朗单一参数线性指数平滑法
一、基本原理
布朗单一参数线性指数平滑法，其基本原理与线性 二次移动平均法相似 ，当趋势存在时，一次和二次平滑 值都滞后于实际值，将一次和二次平滑值之差加在一次平 滑值上，则可对趋势进行修正。
二、公式
平滑公式为： St(1) =αxt + (1－α) St-1(1) St(2） =αSt(1) + (1－α)St-1(2)
bt =γ(St–St-1)+(1–γ) bt-1 ←对趋势进行平滑 用来修正趋势值bt，趋势值用相邻两次平滑值之差表示。利 用y对相邻两次平滑值进行修正，并将修正值加上前期趋势 估计值乘以(1-γ)。
Ft+m= St +btm 最后进行预测，预测值为基础值加上趋势值乘以超前期数。
Part 1
第五节 二次曲线指数平滑法
使用移动平均法进行预测的局限性
1.计算移动平均必须具有N个过去观察值，必须存储大量数
据. 2.N个过去观察值中每一个权数都相等，早于（t-N+1）期的
观察值的权数等于0，而实际上往往是最新观察值含更多 信息，应具有更大权重。
Part 1
Part 2
第二节 一次指数平滑法
一、基本原理及公式
公式其实就是由一次移动平均法演变而来的： Ft+1= —1n (xt+xt-1+ … + xt-n+1) Ft = —1n(xt-1+xt-2 + …+ xt-n )
89.4779 88.98362 88.68705 90.16989 1.868378 0.444852 /
1994
94.3456 92.39852 91.03256 90.09436 94.19224 4.576124 0.962453 99.24959
1995
106.7187 100.9906 97.0074 94.24218 106.1919 13.19896 2.740522 120.7611
Part 3
第三节
线性二次移动平均法
一、基本原理
• 一次移动平均来预测一组具有趋势的数据时，预测值（估 计值）往往高于或低于实际值
线性增加的时间序列→偏低 线性减小的时间序列→偏高
• 为了避免这种滞后误差，发展了线性二次移动平均法。即 在对实际值进行一次移动平均的基础上，再进行一次移动 平均。
二、公式
1996
129.7831 118.2661 109.7626 103.5544 129.0649 26.66804
5.16444 158.3152
1997
162.2813 144.6752 130.7102 119.8479 161.743 40.49566 6.981175 205.7293
1998
Stxtxt1xt N 2...xtN1
StStSt 1StN 2...StN 1
at StStSt2StSt
bt N21StSt
Ftmat btm
这里需要注意一点：
线性二次移动平均法并不是用二 次移动平均值直接进行预测，而 是在二次移动平均的基础上建立 线性模型，然后用模型进行预测。
其中：m为预测超前期数
Ft+T(m=1)
* * 175.85 173.96 184.25 188.46 188.94 201.56 214.70 222.08
得到线性预测模型为： F9+m=a9 + b9×m =218.41+3.67m
求下一期销售量的预测值 t=10 m=10-9=1 F10=F9+1=a9 + b9×1 = 222.08（万件）
时间序列平滑预测法
小组成员
张良瑮 邢媛 宗建佳 李奕龙
时间序列平滑预测是指用平均的方 法，把时间序列中的随机波动剔除 掉，使序列变得比较平滑，以反映 出其基本轨迹，并结合一定的模型 进行预测。
本章目录
• 第一节：一次移动平均法 • 第二节：一次指数平滑法 • 第三节：线性二次移动平均法 • 第四节：线性二次指数平滑法 • 第五节：二次曲线指数平滑法 • 第六节：温特线性与季节性指数平滑法
霍尔特双参数线性指数平滑法
一、基本原理
霍尔特指数平滑法是一种线性指数平滑方法。最突出的 优点是对具有趋势变动的时间数列，不用二次指数平滑， 而是对趋势直接进行平滑并对时间数列进行预测。这种 方法因具有很大的灵活性而被广泛地使用。
二、公式
霍尔特指数平滑方法有两个基本平滑公式和一个预测公式
St =αxt + (1–α)(St-1 + bt-1 )Βιβλιοθήκη Baidu←对数据进行平滑 给St-1加上趋势增量bt-1来修正St，消除了滞后性。
由两个结果可以计算线性平滑模型的两个参数： at = 2×St(1) － St(2) bt = [α/(1－α)][ St(1) － St(2)]
得到线性平滑模型： Fm+t = at +btm
ｍ为预测的超前期数
布朗单一参数线性指数平滑法应用实例 —— 商场销售量预测
某商场商品销售量：（万件）
期数
式中：xt 为最新观察值 Ft+1 为下一期预测值
二、优缺点
• 优点：计算简单
• 缺点：1.要保留的历史数据较多 2.只能用于平稳时间序列 3.N的大小不容易确定
三、注意项
1.一次移动平均法只能用于平稳时间序列，即经济变量在某一 值上下波动或缓慢升降是预测效果比较好，因为，时间序列 的的基本特性发生变化时，一次移动平均法不能很快的适应 这种变化。因此，移动平均法只能用于短期预测，因为在短 期情况下，时间序列通常具有平稳特征。
186.1138 169.5384 154.0071 140.3434 186.9372 37.20087 4.202081 226.2391
1999
200.606 188.1789 174.5102 160.8435 201.8497 24.61375 0.004553 226.4657
2000
226.7779 211.3383 196.6071 182.3016 226.4954 28.62401 0.958075 255.5984
2.N的选择问题： 当数据的随机因素较小时→选用小的N→有利于跟踪数据的 变化，减少预测值的滞后期数，反应灵敏。 当数据的随机因素较大时→选用大的N→有利于较大限度的 平滑由随机性所带来的严重偏差。
即：N越小反应越灵敏，N越大平滑效果越好
一次移动平均法应用举例—— 股市中的移动平均线
Part 1
把基本公式展开：
Ft+1= αxt+(1-α)Ft = αxt+(1-α)[αxt-1+(1-α)Ft-1 ] = αxt+α(1-α)xt-1+(1-α)2 Ft-1 =… = αxt +α(1-α)xt-1+ α(1-α)2 xt-2 + … + α(1-α)n xt-n
可见：随着时间向前的推移，各期的的权重不是相同的，
2006
520.17 470.8879 428.392 391.4173 518.9051 103.8229 12.42282 628.9394
2007
632.3888 567.7885 512.0299 463.7848 631.0606 137.5576 16.90551 777.0709
第一节 一次移动平均法
一、基本原理及步骤
所谓“移动平均”是指每当得到一个最近时期的数据， 就立即把它当做有效数据，而把最老的那个时间的数 据剔除掉，重新计算出新的平均值用它来进行下一期 的预测。
二、公式
设时间序列为x1，x2，....一次移动平均法可以表示为：
F t 1xtxt 1...xtN 1/NN 1tN t 1xi
销售量
st(1)
1
180
180.00
2
164
176.80
3
171
175.64
4
206
180.71
5
193
183.17
6
207
183.94
7
218
190.75
8
229
198.40
9
225
203.72
10
st(2)
180.00 177.56 177.18 177.88 178.94 179.94 182.10 185.36 189.03
一、基本原理
当采用二次曲线指数平滑法时，不仅考虑了线性增长因素， 而且还用二次抛物线的增长因素同时“修匀”历史数据，从 而可使预测结果更为准确、有效。
二、计算公式及步骤
二次曲线指数平滑法的计算过程可分为以下七个步骤
二次曲线指数平滑法应用实例 ——厦门市第三产业增加值预测
例题：下表为厦门市第三产业增加值的数据，请根据以下数 据预测厦门市2010年第三产业增加值。
319.593 297.1512 276.8081 258.0307
319.06 44.36764 3.522764 365.189
2004
372.593 342.4163 316.173 292.9161 371.6459 62.02026 6.719266 437.0258
2005
433.3305 396.9648 364.6481 335.9553 432.9054 76.10848 8.153814 513.0908
Part 5
销售额
60
50
40
30
20
10
0 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010
年度 有的时间序列虽然有增加或减少趋势，但不 一定
有的时间是序线列性的虽，然可有能按增二加次或曲线减的少形的状增趋加势而，减 但不一定是线 性的，有少可。能按二次曲线的形式增加或减少，这时我们 就需要用二次曲线指数平滑法进行预测。
根据数据我们可以得到如下散点图
根据计算机求解，可得平滑常数的最佳值为0.6，此时它所 对应的均方差最小，逐年预测，m=1，计算结果如下表
年度
观察增加值
St(1)
St(2)
St(3)
At
Bt
Ct
Ft+m
1992
88.2422
88.2422
88.2422
88.2422 /
/
/
/
1993
90.3017
一次指数平滑法比较简单，但也有问题。问题之一便是力
图找到最佳的α值，以使均方差MSE最小，从而得到最精
准的预测值。 均方差MSE的公式推导：
1.et= xt - Ft 2.MSE=1/n-k+1 ∑(xt- Ft)2 3.MSE=1/n-k+1 ∑et2
一次指数平滑法应用实例—— 在消费预测中的应用
(2)平滑常数α=0.3 MSE=1/5 ∑et2 =28.9863
(3)平滑常数α=0.9 MSE=1/5 ∑et2 =34.4553
显然α=0.1所对应的均方差最小，所以选定0.1为平滑常数 则
F7 =α×x6 +(1-α)×F6 =0.1×88.07+0.9×76.87 =76.99 (元)
Part 1