椭圆双曲线知识点总结

椭圆知识点

【知识点1】椭圆的概念:

在平面内到两定点1、2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a += 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；

若)(2121

F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。

【知识点2】椭圆的标准方程

焦点在x 轴上椭圆的标准方程: ()22

2210x y a b a b += >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0)

焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：()22

2210x y a b b a

+= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )

【知识点3】椭圆的几何性质:

规律:

(1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.

(2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .

(3)在椭圆中，离心率

2

222

2a b a a c a c e -===(4)椭圆的离心

率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆； (5)离心率公式：在21PF F ∆中，α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，()β

αβαsin sin sin ++=e

二、椭圆其他结论

1、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y

a b

+=

若已知切线斜率K ，切线方程为222b k a kx y +±=

标准方程

()22

22

10x y a b a b += >> ()22

22

10x y a b b a += >> 图形

性质

范围 a x a -≤≤

b y b -≤≤

对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点

顶点

A 1(－a,0)，A 2(a,0)

B 1(0，－b )，B 2(0，b )

A 1(0，－a )，A 2(0，a )

B 1(－b,0)，B 2(b,0)

轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b

焦距 ∣F 1F 2 |=2c

离心率 e=

c

a

∈(0,1) a ，b ，c 的关系

c 2＝a 2－b 2

2、若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是

00221x x y y

a b

+= 3、椭圆22

221x y a b

+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点θ=∠21PF F ，则椭圆的焦点

角形的面积为2

tan

2

21θ

b S PF F =∆

4、以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5、过焦点的弦中，通径(过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦)最短a

b 2

2

6、过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF 。

7、AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2

2OM AB b k k a

⋅=-，

即0

20

2y a x b K AB

-=。

8、若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+

9、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b

+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y

x y a b a b +=+

10、若P 为短轴顶点，则θ=∠21PF F 最大

【知识点4】椭圆中的焦点三角形:

定 义:∣PF 1∣+∣PF 2∣＝2a ∣F 1F 2∣＝2c

余弦定理:∣F 1F 2∣2=∣PF 1∣2+∣PF 2∣2-2∣PF 1∣∣PF 2∣cosθ(∠F 1PF 2=θ)

面积公式:在椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，

θ=∠21PF F ，则2

tan

221θ

b S PF F =∆

(x 0,y 0)与椭圆22

221x y a b

+=(a >b >0)的位置关系:

点P 在椭圆上⇔22

00221x y a b

+=

点P 在椭圆内部⇔2200221x y a b +<点P 在椭圆外部⇔22

00221x y a b

+>

【知识点6】直线与椭圆位置关系的判断：

① 直线斜率存在时22

1

y kx b

mx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-= 直线与椭圆相交0>∆⇔ 直线与椭圆相切0=∆⇔ 直线与椭圆相离0<∆⇔

② 直线斜率不存在时22221

x m x y a

b =⎧⎪

⎨+=⎪⎩判断y 有几个解

例1.

已知：椭圆19

162

2=+y x 与直线l 交于A 、B 两点，A 、B 中点为()1,1M ，求直线l 的方程 (点差法：025169=-+y x )

例2.

求过点()

3,2且与椭圆13522=+y x 有相同焦点的椭圆方程 (16

82

2=+y x ) 设：所求椭圆方程为

13522=+++k

y k x 例3.

求过点()

22,2且与椭圆18422=+y x 有相同离心率的椭圆方程 (116822=+y x 、120

102

2=+x y ) 设：所求椭圆方程为

18422=+k

y k x 例4.

已知椭圆1522=+m y x 的离心率510=e ，求m 的值 (3

25

=m 、3=m )

例5.

若椭圆13

22

2=+y x 上存在A 、B 两点，关于直线 m x y +=4，对称。求m 的取值范围。 ⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛-∈522,522m

双曲线知识点

【知识点1】双曲线的概念:

在平面内到两定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫双曲线．这两定点叫做椭圆的

焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}

12|2M MF MF a -= 注意：若)(2121F F MF MF =-，则动点P 的轨迹为两条射线；