一次函数解决实际问题—行程问题 教案(PDF版)

6.4一次函数解决实际问题（行程问题）

预习目标

1．能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的表达式．

2．能将简单的实际问题通过建立一次函数模型转化为数学问题，从而解决实际问题．3．在解决实际问题的过程中，初步体会方程与函数的关系．

教材导读

阅读教材P155～P156内容，回答下列问题：

1．一次函数是刻画现实世界中物质之间关系的重要模型，其应用比比皆是．要将实际问题转化为与一次函数有关的数学问题，首先要分清哪些是变量，哪些是常量，哪个是自变量，哪个是因变量；其次是建立_______和_______之间的关系，这与列方程一样，不同的是建立一次函数关系时要关注_______的取值范围．

2．利用一次函数的知识解应用题的一般步骤：

(1)设定实际问题中的变量．(2)建立一次函数表达式．(3)确定自变量的取值范围，保证函数具有实际意义．(4)解答一次函数问题，如最大（小）值．(5)写出答案．

例题精讲

例周六上午8：00小明从家出发，乘车1小时到郊外某基地参

加社会实践活动，在基地活动2.2小时后，因家里有急事，他立即按

原路以4千米／时的速度步行返回．同时爸爸开车从家出发沿同一路

线接他．在离家28千米处与小明相遇．接到小明后保持车速不变，立

即按原路返回，设小明离开家的时间为x（小时），小明离家的路程

y(千米)与时间x（小时）之间的函数图像如图所示．

(1)小明去基地乘车的速度是_______千米／时，爸爸开车的平

均速度应是_______千米／时．

(2)求线段CD所表示的函数表达式．

(3)小明能否在12：00前回到家？若能，请说明理由；若不能，请算出12：00时他与家的距离．

提示：(1)仔细观察图像，结合题意即可得出答案．(2)根据实际意义写出点C、D的坐标，利用待定系数法求出一次函数的表达式．(3)根据图像和函数表达式可知小明从出发到回到家一共需要4.2小时，故12：00前不能回到家．

解答：(1)3056.(2)通过观察可以发现点C的坐标为(3.7，28)，点D的坐标为(4.2，0)．设线段CD所表示的函数表达式为y＝kx＋b(3.7≤x≤4.2)，将两点坐标代入表达式即可得y＝－56x＋235.2(3.7≤x≤4.2)．(3)不能．小明从家出发到回到家一共需要1＋2.2＋2÷4×2＝4.2（小时），从8：00经过4.2小时已经过了12：00，因此不能在12：00前回到家，12：00时离家的距离为56×0.2＝11.2（千米）．

点评：本题主要考查了一次函数的实际应用，解答一次函数的应用题时，要注意自变量的取值范围，必须使实际问题有意义．

例2甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达B地停留半小时后返回A地．如果是他们离A地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系图象．

（1）求甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）若乙出发后2小时和甲相遇，求乙从A地到B地用了多长时间？

热身练习

1．甲、乙两队进行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图像如图所示，则下列说法正确的是()

A．甲队率先到达终点

B．甲队比乙队多走200米路程

C．乙队比甲队少用0.2分钟

D．比赛中两队从出发到2.2分钟的时间段内，乙队的速度比甲队的速度快

2．如图，OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图像，图中s、t分别表示行驶路程和时间，则这两人骑自行车的速度相差_______km/h．

3．小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合，已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍．小颖在小亮出发50min后才乘上缆车，缆车的平均速度为180m/min．设小亮出发x mm后行走的路程为ym，小亮在整个行走过程中y与x的函数关系的图像如图所示．

(1)小亮行走的总路程是_______m，他途中休息了、_______min．

(2)①当50≤x≤80时，求y与x之间的函数表达式；

②当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？

4．一辆警车在高速公路的A 处加满油，以60千米／时的速度匀速行驶．已知警车一次加满油后，油箱内的余油量y(升)与行驶时间x(小时)的函数关系的图像是如图所示的直线l 的一部分．

(1)求直线l 的函数表达式．

(2)如果警车要回到A 处，且要求油箱内的余油量不能少于10升，那么警车可以行驶到离A 处最远的距离是多少？

5．甲，乙两辆汽车分别从A ，B 两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发2h 后休息，与

甲车相遇后，继

续行驶．设甲，乙两车与B 地的路程分别为y 甲(km )，y 乙(km )，甲车行驶的时间为x (h )，y 甲，y 乙与

x 之间的函数图

象如图所示，结合图象解答下列问题：

（1）乙车休息了h ；

（2）求乙车与甲车相遇后y 乙与x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）当两车相距40km 时，直接写出x 的值．

6．甲、乙两车从A 地前往B 地．甲车行至AB 的中点C 处后，以原来速度的1.5倍继续行驶，在整个行程中，汽车离开A 地的距离y 与时刻t 的对应关系如图所示．求：

（1）甲车何时到达C 地；

（2）甲车离开A 地的距离y 与时刻t 的函数解析式；

（3）乙车出发后何时与甲车相距20km ．

7．A、B两城间的公路长为450千米，甲、乙两车同时从A城出发沿这一公路驶向B城，甲车到达B城1小时后沿原路返回．如图是它们离A城的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．

（1）求甲车返回过程中y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；

（2）乙车行驶6小时与返回的甲车相遇，求乙车的行驶速度．

8．“五•一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票．经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y（人）与检票时间x（分钟）的关系如图所示．（1）求a的值．

（2）求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数．

（3）若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？