高等数学：第六节 极限存在准则与重要极限

n
n
设
xn
(1
1)n n
1 n 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n n 1) 1
1! n 2! n2
n!
nn
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2)(1 n 1).
2! n
n! n n
n
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11
11 2
xn
1
1
(1 2!
) n
(1 )(1 ) n! n n
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim n
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xn
a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
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准则Ⅰ′
如果当
x
U
0
(
x0
)
(或
x
M )时,
有
(1) g( x) f ( x) h( x),
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
C
重要极限之一
B
(1) lim sin x 1 x0 x
设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
2
作单位圆的切线，得ACO .
o
x
D
A
扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD,
于是有 sin x BD, x 弧 AB, tan x AC ,
SOAB
S扇形OAB
SOAC ,
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.
几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
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例2 证明数列 xn 3 3 3 (n重根 式)的极限存在.
证 显然 xn1 xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn是有界的;
x [x]
x [x]
x [x]
lim (1 1 )[ x] x [x] 1
lim (1 1 )[ x]1 lim (1 1 )1 e,
x [x] 1
x [x] 1
lim (1 1 )x e.
x
x
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令 t x,
lim (1 1 )x lim (1 1)t lim ( t )t lim (1 1 )t
lim n
xn
存在.
xn1
3 xn ,
x2 n1
3
xn ,
lim
n
x
2 n
1
lim(3
n
xn ),
A2 3 A, 解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)
2
2
1 13
lim n
xn
2
.
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重要极限之二
(2) lim(1 1 )x e
x
x
定义 lim(1 1)n e
cos x x3
=
lim
x0
sin
x(1 cos x3 cos x
x
)
=
lim
x0
sin x
x
1
cos x2
x
1 cos
x
1 .
2
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极限存在准则之二
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件 x1 x2 xn xn1 , 单调增加 单调数列 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
a,
lim
n
zn
a,
那末数列{ xn } 的极限存在,
且lim n
xn
a.
证 yn a, zn a,
0, N1 0, N2 0, 使得
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当n
N
时恒有
1
yn
a
,
当n
N
时恒有
2
zn
a
,
取 N max{N1 , N2 }, 上两式同时成立,
即 a yn a , a zn a ,
即 1 sin x
1
x
1 tan x,
2
22
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sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, x
上式对于 x 0也成立. 2
下证：limcos x 1. 当 0 x 时,
x0
2
0 cos x 1 1 cos x 2sin 2 x 2( x)2 x2 , 22 2
1
1
1 2
1 2n1
3
1 2n1
3,
xn是有界的;
lim n
xn
存在.
记为 lim(1 1)n e
n
n
(e 2.71828)
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当 x 1时, 有 [ x] x [ x] 1,
(1 1 )[ x] (1 1 ) x (1 1 )[ x]1 ,
[x] 1
x
[x]
而 lim (1 1 )[ x]1 lim (1 1 )[ x] lim (1 1 ) e,
lim x2 0, lim(1 cos x) 0,
x0 2
x0
lim cos x 1, 又lim1 1, lim sin x 1.
x0
x0
x0 x
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例3（1）
求
lim 1
x0
cos x2
x
.
解
2sin2 x
原式 lim x0
2 x2
1
lim
sin 2
x 2
2 x0 ( x)2
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、极限准则之一，重要极限之一 二、极限准则之二，重要极限之二 三、小节、思考题、作业
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极限存在准则之一
1.夹逼准则
准则 I 如果数列{ xn },{ yn } 及 {zn } 满足下列条件:
(1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
n
yn
类似地,
xn1
1
1
1 (1 2!
1) n1
(1 n 1). n
1 (1 1 )(1 2 )(1 n 1)
n! n 1 n 2
n1
1 (1 1 )(1 2 )(1 n ).
(n 1)! n 1 n 2
n1
显然 xn1 xn ,
x 是单调递增的; n
xn
1
1
1 2!
1 n!
2
1
sin lim(
x 2
)2
2 x0 x
1 12 2
1. 2
2
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（2）求 lim tan x . （自己完成！） x0 x
（3）求 lim arcsin x t arcsin x lim t
x0
x
t0 sin t
1.
（4）lim x0
tan
x x3
sin
x
sin x( 1 1)
= lim x0
1 n2 2
1 ). n2 n
n n2 n
1 1 1 1
n2 1
n2 n n2 1
n2 1
又 lim n 1, lim n 1,
n n2 n
n n2 1
n ,
n2 1
所以，由夹逼准则得
lim( 1 1 1 ) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
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x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于 A. x x0 ( x)
准则 I和准则 I'称为夹逼准则.
注意: 利用夹逼准则求极限关键是通过适当的放缩
构造出 yn与 zn ,并且 yn与 zn的极限易求且相等 .
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例1 求 lim( 1 n n2 1
解 因为