旋转型全等[1]

教师： ________ 学生： __________ 时间： ______ 年—月—日 ____________ 段

、授课目的与考点分析：旋转型全等

二、授课内容：基本图形:

变式题2.已知A 、C 、B 共线，△ ACD^ A BCE 为等边三角形，直线 BD AE 交与F , AE 、CD 相较于点

M BD 、AE 相较于点N 。

求证：AE=BD 求证：MN/ AB ⑤CF 平分 AFB

BD 上，△ ABD WA ACE 都为等边三角形，求/ BDE 的度数.

变式题1.如图，等边三角形 ABC 与等边 求/ AFB 的度数 求证：CM=CN

E

AE BD .

变式题3.已知：如图①所示，在△ ABC 和△ ADE 中，AB AC , AD AE , BAC DAE ，且点B, A D 在一条直线上，连接 BE, CD , M , N 分别为BE , CD 的中点. (1 )求证：①BE CD :②厶AMN 是等腰三角形.

(2)在图①的基础上，将 △ ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180：，其他条件不变，得到图②所示的图形.请直

接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;

第3题图

旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件集中。

【例2】如图，四边形 ABCD 、DEFG 都是正方形，连接 AE 、CG .求证：AE CG .

D

图①

A

图②

变式1以厶ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG，求证: CE=BG , 且CE 丄BG.

变式2.已知四边形ABCD以此四边形的四条边为边向外分别作正方形, 顺次连结这四个正方形的对角线交点E, F, G, H,得到一个新四边形EFGH

(1)如图1,若四边形ABCDI正方形，则四边形EFGH ___________ (填“是”或“不是”)正方形;

(2)如图2,若四边形ABCDI矩形，则(1 )中的结论__________________ (填“能”或“不能”)成立;

(3)如图3,若四边形ABCDI平行四边形，其他条件不变,

若成立，证明你的结论，若不成立，请说明你的理由

判断(1)中的结论是否还成立?

A H

*

D

E G

B

*

C

F

A

H .

D

E'

V

G

B

F'

C

G

F

图1图2图3

【例3】如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA AF .求证:

DE BF .

变式3（通州区一模）请阅读下列材料：已知：如图1在Rt ABC中，BAC 90 , AB AC ,点D、E分别为线段BC上两动点，若DAE 45 .探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系. 小明的思路是：把AEC 绕点A顺时针旋转90，得

到ABE，连结ED，使问题得到解决•请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

⑴ 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

⑵ 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.

【例4】如图所示，在四边形ABCD中，ADC ABC 90 , AD CD , DP AB于P，若四边形ABCD的面积是16,求DP的长.

1•正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分

2. E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且Z EAF

BAF交BC边于点E .求证：AF

45 , AH EF , H为垂足，求证:

DF BE .

AH AB.变式4.等腰直角三角形ABC中，Z B 90 , AB a , O为AC中点, EO

变式

变式

F

图

1

OF .求证:BE BF为定值.

D

1

变式1如图，在四边形 ABCD 中，AB =AD , Z B = Z D = 90 ,E 、F 分别是边 BC 、CD 上的点，且Z EAF= - Z BAD .求

2

证：EF = BE FD;

证：EF = BE FD;

变式4如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点（点B 除外），作 DMN 60，射线MN 与 Z DBA 外角的平分线交于点 N , DM 与MN 有怎样的数量关系？

变式5四边形ABCD 中 CAD 45 BAD BDA 15 CDA 30求证三角形ABC 为等边三角形

变式2如图，在四边形 ABCD 中，AB = AD ，/ B+ Z D = 180

1

,E 、F 分别是边 BC 、CD 上的点，且Z EAF= J Z BAD ,

2

变式3如图所示，在五边形 ABCDE 中， B E 90 ,

AB CD AE BC DE 1，求此五边形的面积

.

【例1】（希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题

ABC AED 180，连接 AD .求证: ）在五边形 ABCDE 中，已知 AB AE , BC DE CD , AD 平分

CDE .

【解析】 连接AC •由于AB AE , ABC AED 180 .

我们以A 为中心，将 ABC 逆时针旋转到 AEF 的位置•因AB AE ，所以B 点与E 点重合，而

AEF AED ABC AED 180 ,

所以D 、 E 、 F 在一条直线上， C 点旋转后落在点 F 的位置，且AF AC , EF BC 所以DF DE EF DE BC CD •

在 ACD 与AFD 中，

因为 AC AF , CD FD , AD AD , 故 ACD 也 AFD ,

因止匕 ADC ADF ，即AD 平分 CDE •

【解析】 如图所示，延长 AC 到E 使CE BM •

所以 BDM 也 CDE ，故MD ED •

因为 BDC 120 , MDN 60，所以 BDM NDC 60 . 又因为 BDM CDE ，所以 MDN EDN 60 .

在 MND 与 END 中，DN DN , MDN EDN 60 , DM DE , 所以 MND 也 END ，贝U NE MN ，所以 AMN 的周长为2 •

【备选1】 在等腰直角 ABC 中， ACB 90 , AC BC , M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，MQ MP 交AC 于点

Q ，试说明 MPQ 的形状和面积将如何变化.

【例2】（北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题

角为120的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 的周长.

）如图所示， ABC 是边长为1的正三角形，

BDC 是顶

60的 MDN ，点M 、N 分别在 AB 、AC 上，求 AMN

在 BDM 与CDE 中，因为BD CD , MBD ECD 90 , BM CE ,

B

E

C

D

C E