中考数学中有关二次函数题型

中考数学中有关二次函数题型 —浅谈数学思想方法的教学

合肥市第二十中学 朱小龙

摘要：有关二次函数的数学试题在历年中考考题中频繁出现，受到学生和老师的普遍关注．二次函数相关问题渗透了函数方程、转化与化归、数形结合和分类讨论等众多数学思想．这篇文章先就2010年中考题的两道试题做探讨，在此基础上，讨论运用数学思想方法解决二次函数相关问题.同时，就教学中怎样开展数学思想方法的教学提出一些实施意见．

关键词：数学思想方法 二次函数 中考考题

引言：数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果.数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的.通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高.掌握数学思想，就是掌握数学的精髓，从而提升解题能力，切实提高学习成绩.

1、 2010年安徽中考两道二次函数试题

1.1 （2010年安徽中考试题第7题）若二次函数52++=bx x y 配方后为k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为 ………………（ ）（4分）

A ）0，5

B ）0，1

C ）—4，5

D ）—4，1

本题主要考察二次函数的解析式类型的相互转化，答案选D 解法有以下两种： 解法一：

根据二次函数2y ax bx c =++对称轴为2b

x a

=-

，这里1a =， 又顶点式对称轴为2x =，244ac b k a

-=

所以 22

b

-

= 即4b =-， 则22

420(4)144

ac b k a ---=

== 解法二：

顶点式中完全平方式展开后，244y x x k =-++ 即为一般式 52++=bx x y

所以 445b k =-⎧⎨+=⎩ 解得

4

1b k =-⎧⎨=⎩

1.2 （2010年安徽中考试题第22题）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的方法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售.

九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x 天（120x ≤≤且x 为整数）的捕捞与销售的相关信息如下：

（1） 在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天捕捞量相比是如何变化的？

（2） 假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x 天的收入y （元）与x （天）

之间的函数关系式；（当天收入=日销售额-日捕捞成本）

（3） 是说明（2）中的函数y 随x 的变化情况，并指出第几天y 取得最大值，最大值是多少？

分析：这道题结合了一次函数，二次函数一起来考的，从简单的一次函数的性质因变量随自变量的变化而变化的情况，到根据题意列出二次函数，考察二次函数相关性质，解题难度是循序渐进（这里运用了函数方程、整体思想和分类讨论思想等）.

（1）解：该养殖场每天的捕捞量与前天捕捞量相比每天减少了10kg ……(2分) （2）解：由题意，得

220(95010)(5)(95010)24014250.5

x

y x x x x =----=-++ ………(7分)

（3）解：20-<，22240142502(10)14450x x x -++=--+， …………(9分) 又1020x ≤≤且x 为整数，

∴当110x ≤≤时，y 随x 的的增大而增大；

当1020x ≤≤时，y 随x 的的增大而减小；

当10x =时即在第10天，y 取得最大值，最大值为14450元. …………(12分)

第23题图（1）

2 运用相关数学思想方法解决二次函数相关问题

2.1（2009年安徽中考试题第23题）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示． （1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．

（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的 函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什 么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．

（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函 数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果， 且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案， 使得当日获得的利润最大．

分析：数形结合思想、分类讨论思想解决一次函数二次函数综合应用题 （1）解：图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果， 可按5元/kg 批发；……3分

图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发． …………………………………………………………3分

（2）解：由题意得：

2060 6054m m w m m ⎧=⎨

⎩≤≤（））

＞（，

函数图象如图所示． ……………………………7分 由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果．……………………………8分 （3）解法一：

设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量32040w m =-

）

当m ＞60时，x ＜6.5 由题意，销售利润为

2(4)(32040)40[(6)4]y x m x =--=--+………………………12分

当x ＝6时，

160

y =最大值，此时m ＝80

即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，

当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分 解法二：

设日最高销售量为xkg （x ＞60）

则由图②日零售价p 满足：32040x p =-，于是

32040x p -=

销售利润

23201

(

4)(80)1604040x y x x -=-=--+………………………12分

当x ＝80时，

160

y =最大值，此时p ＝6

即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，

当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分

2.2（2009年安徽中考试题第21题）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其

身体（看成一点）的路线是抛物线23

31

5y x x =-++的一部分，如图． （1）求演员弹跳离地面的最大高度；

（2）已知人梯高 3.4BC =米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．

分析：这一题函数性质的简单应用， 主要考察函数解析式的变换和数形结 和思想 解答略

x （米）

y （米）

B

C O

第21题图