§2.2 等差数列的性质 第二课时

§2.2 等差数列的性质 第二课时

学习目标：等差数列的性质及推导。(重点)

灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题．（难点）

（一）复习回顾：1、等差数列定义、通项公式及推广的通项公式：

例1、已知数列{a n }的通项公式a n =pn+q ，其中p 、q 为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？

分析：判定}{n a 是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看1--n n a a （n ＞1）是不是一个与n 无关的常数。

解：取数列}{n a 中的任意相邻两项1-n n a a 与（n ＞1），

求差得 p q p pn q pn q n p q pn a a n n =+--+=+--+=--](])1{[)(1

它是一个与n 无关的数.所以}{n a 是等差数列。即如果一个数列的通项公式是关于正整数n 的一次函数或常数函数，那么这个数列必定是等差数列。 课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？ 这个数列的首项p d q p a =+=公差,1。对于通项公式是形如q pn a n +=的数列，一定是等差数列，一次项系数p 就是这个等差数列的公差，首项是p+q. 探究（一）判断一个数列是否为等差数列的常用方法：

(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d(n ∈N *)或a n －a n －1＝d(n ≥2，n ∈N *)⇔数列{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列． (3)通项公式法：

数列{a n }的通项公式形如a n ＝pn ＋q(p ，q 为常数)⇔数列{a n }为等差数列． 说明：①通项公式法不能作为证明方法．

②要否定一个数列是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可．

③当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝d(d 为常数)，无法说明数列{a n }是等差数列，因为a 2－a 1不一定等于d.

探究（二）1、公差d 求法: ①d=n a －1-n a ② d=11--n a a n ③ d=m

n a a m

n --

2、公差d 的几何意义：

探究（三）：等差数列的图象:

⑴在直角坐标系中，画出通项公式为53-=n a n 的数列的图象。这个图象有什么特点？ ⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列q pn a n +=与一次函数y=px+q 的图象之间有什么关系。

探究（四）等差数列的下标和性质：

等差数列{a n }中，若m ，n ，p,q *N ∈且m+n=p+q ，则a m +a n =a p +a q （ 逆之不成立）

推论：若m ，n ，p *N ∈且m+n=2p 则a m +a n =2a p ， 证明：

作用：等差数列中下标和相等的两项的整体转化。

例2、在等差数列{a n }中，(1)已知 a 6+a 9+a 12+a 15=20，求a 1+a 20.

(2)已知a 3+a 11=10，求a 6+a 7+a 8.

(3)已知 a 4+a 5+a 6+a 7=56，a 4a 7 =187，求a 14及公差d.

变式训练：1、在等差数列{}n a 中，278136a a a a +++=，求69a a +．

2、在等差数列{}n a 中，14812152a a a a a ---+=，求313a a +的值。

3、若{a n }是公差为d 的等差数列,则{a 2n }和{a 2n-1}也是等差数列. 思考：在上述两个数列中，首项和公差各是多少？

例3．在等差数列{}n a 中，已知a 2+a 5+a 8=9，a 3a 5a 7 = —21，求数列的通项公式。

探究（五）等差数列的性质（2）:

探究思考:已知一个无穷等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d 。

(1)将数列中的前m 项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？

(2)取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？

(3)取出数列中的所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差各是多少？

(4)将数列{}n a 中的每一项都乘以常数a ，所得的新数列仍是等差数列吗？

如果是，公差是多少？

(5)若数列{a n }和{b n }均为等差数列，则{a n ±b n }{ka n +b n }（k ，b 为非零常数）也为等差数列吗？

结论：等差数列的性质：{a n }的首项为1a ，公差为d 。

（1）在等差数列{a n }中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{a n }中，相隔等距离的项组成的数列仍是等差数列 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；

（3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k+m ，a k+2m ……（k ，m *N ∈）组成公差为md

的等差数列。

（4）{a n }为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项

之和，即

=+==+=+=+-+--i n i n n n a a a a a a a a 123121

（5）若数列{a n }和{b n }均为等差数列，则{a n ±b n }{ka n +b n }（k ，b 为非零常数）也为等差数列。

课堂练习：1.等差数列{a n }的前三项依次为a-6，2a-5，-3a+2，则 a 等于（ )

A. -1

B. 1

C.-2

D. 2

2.等差数列{a n }中， a 1+a 5=10,a 4=7 ,则数列{a n }的公差为（ )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3.在数列{a n }中a 1=1，a n = a n+1+4，则a 10=________.

4. 在等差数列{a n }中,(1)若a 59=70，a 80=112，求a 101； (2)若a p =q ，a q =p ( p ≠q )，求a p+q .