圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个性质
高中数学圆锥曲线性质与公式总结
1 r22
1 a2
1 b2
(r1 | OP |, r2
| OQ |)
.
16．若椭圆
x2 a2
y2 b2
1（a＞b＞0）上中心张直角的弦
L
所在直线方程为
Ax By
1
( AB
0)
,则(1)
1 a2
1 b2
A2 B2 ;(2)
L
2 a4 A2 b4B2 a2 A2 b2B2
或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过 M 引一
条直线与椭圆相交于 P、Q 两点，则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2 为对称轴上的两顶点)的交点 N 在直线 l ：x a2 (或 m
y b2 )上. m
40．设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相
1
则直线
BC
有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
（常数）.
x2 20．椭圆 a2
y2 b2
1
(a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 F1PF2 ，则椭圆
的焦点三角形的面积为 SF1PF2
b2
tan 2
， P(
a c
c2 b2 tan 2 , b 2 tan ) 2c 2
应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MF⊥NF.
41．过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，
A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF⊥NF.
圆锥曲线中的四种经典模型
圆锥曲线中的定点定值问题的四种经典模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。
技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。
如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型例题、已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-⋅=+⋅+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++，整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220ba b a y b a b a x +-+-。
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型Last revision on 21 December 2020圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。
技巧在于：设哪一条直线如何转化题目条件圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。
如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型例题、已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7km k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +-+-。
圆锥曲线中弦对特殊点的张角为直角时的性质
圆锥曲线中弦对特殊点的张角为直角时的性质
郭建斌;汪琼
【期刊名称】《高中数理化（高三）》
【年(卷),期】2008(000)004
【摘要】圆锥曲线是高考的重点和热点，是考生学习中的一个难点，高考考题常考常新，笔者在做2007年高考解析几何题时，解答山东卷理科第21题和天津卷理科第21题后，受抛物线有关知识的启发，进而大胆猜想2类知识：第1类是圆锥曲线中弦张直角（直角顶点为曲线顶点）时的直线过定点问题；第2类是圆锥曲线中弦张直角（直角顶点为坐标原点）时，
【总页数】2页(P17-18)
【作者】郭建斌;汪琼
【作者单位】湖北省成宁高中;湖北省成宁高中
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.圆锥曲线的直角弦的一个性质的推广
2.圆锥曲线对定点张直角弦的几何性质研究
3.圆锥曲线的弦张轴上定点成直角的一个性质
4.圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个性质
5.圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个性质
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圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个定值性质
圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个定值性质刘才华(山东省泰安市宁阳第一中学ꎬ山东泰安２７１４００)摘㊀要:文章通过对一道模拟试题的探究ꎬ得到一个圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个定值性质.关键词:抛物线ꎻ椭圆ꎻ双曲线ꎻ直角ꎻ定值中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１９－００９５－０３收稿日期:２０２３－０４－０５作者简介:刘才华ꎬ山东省泰安人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀已知抛物线Ｃ的方程为ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)ꎬ焦点为Ｆ.已知点Ｐ在Ｃ上ꎬ且点Ｐ到点Ｆ的距离比它到ｙ轴的距离大１.(１)试求出抛物线Ｃ的方程ꎻ(２)若抛物线Ｃ上存在两动点ＭꎬＮ(ＭꎬＮ在对称轴两侧)ꎬ满足ＯＭʅＯＮ(Ｏ为坐标原点).过点Ｆ作直线交Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬ若ＡＢʊＭＮꎬ线段ＭＮ上是否存在定点Ｅꎬ使得｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜｜ＡＢ｜＝４恒成立?若存在ꎬ请求出点Ｅ的坐标ꎻ若不存在ꎬ请说明理由.这是一道高三年级模拟试题ꎬ我们通过探究ꎬ对试题作进一步的推广ꎬ得到圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个定值性质ꎬ性质的证明需用到如下引理:引理１㊀设直线ｌ与抛物线ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)相交于ＡꎬＢ两点ꎬ则ＯＭʅＯＮ(Ｏ为坐标原点)的充要条件是直线ｌ过定点(２ｐꎬ０)[１].引理２㊀设椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的右顶点为Ａꎬ直线ｌ与椭圆交于ＣꎬＤ两点ꎬ则ＡＣʅＡＤ的充要条件是直线ｌ过定点Ｅ(ａ(ａ２－ｂ２)ａ２＋ｂ２ꎬ０)[２].引理３㊀设双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａꎬｂ>０)的右顶点为Ａꎬ直线ｌ与双曲线交于ＣꎬＤ两点ꎬ双曲线离心率ｅʂ２ꎬ则ＡＣʅＡＤ的充要条件是直线ｌ过定点Ｅ(ａ(ａ２－ｂ２)ａ２＋ｂ２ꎬ０).对于抛物线ꎬ我们有如下命题:命题１㊀在抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)中ꎬ直线ｌ与抛物线Ｃ交于两点ＭꎬＮ(ＭꎬＮ在对称轴两侧)ꎬ交ｘ轴于点Ｅꎬ且ＯＭʅＯＮ(Ｏ为坐标原点).过焦点Ｆ作直线ｌ的平行线交抛物线Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬ则｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜｜ＡＢ｜＝２ｐ.证明㊀由题意及引理１知直线ＭＮ过定点Ｅ(２ｐꎬ０)ꎬ设过点Ｅ的直线方程为ｘ＝ｍｙ＋２ｐꎬ交抛物线于Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２).由ｘ＝ｍｙ＋２ｐꎬｙ２＝２ｐｘꎬ{得５９ｙ２－２ｐｍｙ－４ｐ２＝０.则ｙ１ｙ２＝－４ｐ２.从而｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜＝１＋ｍ２｜ｙ１｜ １＋ｍ２｜ｙ２｜＝(１＋ｍ２)｜ｙ１ｙ２｜＝４(１＋ｍ２)ｐ２.过Ｆ(ｐ２ꎬ０)的直线方程为ｘ＝ｍｙ＋ｐ２ꎬ交抛物线于Ａ(ｘ３ꎬｙ３)ꎬＢ(ｘ４ꎬｙ４).由ｘ＝ｍｙ＋ｐ２ꎬｙ２＝２ｐｘꎬìîíïïï得ｙ２－２ｐｍｙ－ｐ２＝０.则ｙ３＋ｙ４＝２ｐｍꎬｙ３ｙ４＝－ｐ２.进而｜ＡＢ｜＝１＋ｍ２｜ｙ４－ｙ３｜＝(１＋ｍ２)[(ｙ３＋ｙ４)２－４ｙ３ｙ４]＝２ｐ(１＋ｍ２).所以｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜｜ＡＢ｜＝４(１＋ｍ２)ｐ２２ｐ(１＋ｍ２)＝２ｐ.命题１得证.对于椭圆ꎬ我们有如下命题:命题２㊀在椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)中ꎬ直线ｌ交椭圆Ｃ于两点ＭꎬＮ(ＭꎬＮ在对称轴两侧)ꎬ交ｘ轴于点Ｅꎬ满足ＯＭʅＯＮ(Ｏ为坐标原点).过右焦点Ｆ作直线ｌ的平行线交Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬ椭圆的离心率为ｅꎬ椭圆的焦点到相应准线的距离为ｐꎬ则｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜｜ＡＢ｜＝２ｅｐ(２－ｅ２)２.证明㊀由题意及引理２知直线ＭＮ过定点Ｅ(ａ(ａ２－ｂ２)ａ２＋ｂ２ꎬ０)ꎬ设过点Ｅ的直线方程为ｘ＝ｍｙ＋ａ(ａ２－ｂ２)ａ２＋ｂ２ꎬ交椭圆于Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)[３].由ｘ＝ｍｙ＋ａ(ａ２－ｂ２)ａ２＋ｂ２ꎬｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ꎬìîíïïïï消去ｘꎬ得(ａ２＋ｂ２)２(ｂ２ｍ２＋ａ２)ｙ２＋２ｍａｂ２(ａ４－ｂ４)ｙ－４ａ４ｂ４＝０.则ｙ１ｙ２＝－４ａ４ｂ４(ｂ２ｍ２＋ａ２)(ａ２＋ｂ２)２ꎬ｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜＝１＋ｍ２｜ｙ１｜ １＋ｍ２｜ｙ２｜＝４ａ４ｂ４(１＋ｍ２)(ｂ２ｍ２＋ａ２)(ａ２＋ｂ２)２.过点Ｆ(ｃꎬ０)的直线方程为ｘ＝ｍｙ＋ｃꎬ交椭圆于Ａ(ｘ３ꎬｙ３)ꎬＢ(ｘ４ꎬｙ４).由ｘ＝ｍｙ＋ｃꎬｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ꎬìîíïïï消去ｘꎬ得(ｂ２ｍ２＋ａ２)ｙ２＋２ｃｍｂ２ｙ－ｂ４＝０.则ｙ３＋ｙ４＝－２ｃｍｂ２ｂ２ｍ２＋ａ２ꎬｙ３ｙ４＝－ｂ４ｂ２ｍ２＋ａ２.进而｜ＡＢ｜＝１＋ｍ２｜ｙ４－ｙ３｜＝(１＋ｍ２)[(ｙ３＋ｙ４)２－４ｙ３ｙ４]＝２ａｂ２(１＋ｍ２)ｂ２ｍ２＋ａ２.所以｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜｜ＡＢ｜＝４ａ４ｂ４(１＋ｍ２)(ｂ２ｍ２＋ａ２)(ａ２＋ｂ２)２ｂ２ｍ２＋ａ２２ａｂ２(１＋ｍ２)＝２ａ３ｂ２(ａ２＋ｂ２)２.由ｐ＝ｂ２ｃꎬｅ＝ｃａꎬìîíïïïï得ａ＝ｅｐ１－ｅ２ꎬｂ２＝ｅ２ｐ２１－ｅ２.ìîíïïïï６９于是｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜｜ＡＢ｜＝２ｅｐ(２－ｅ２)２ꎬ命题２得证.对于双曲线ꎬ我们有如下命题:命题３㊀在双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａꎬｂ>０)中ꎬ直线ｌ交双曲线Ｃ于两点ＭꎬＮ(ＭꎬＮ在对称轴两侧)ꎬ交ｘ轴于点Ｅꎬ满足ＯＭʅＯＮ(Ｏ为坐标原点).过右焦点Ｆ作直线ｌ的平行线交Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬ双曲线的离心率为ｅ且ｅʂ２ꎬ双曲线的焦点到相应准线的距离为ｐꎬ则｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜｜ＡＢ｜＝２ｅｐ(２－ｅ２)２.证明㊀由题意及引理３知直线ＭＮ过定点Ｅ(ａ(ａ２－ｂ２)ａ２＋ｂ２ꎬ０)ꎬ设过点Ｅ的直线方程为ｘ＝ｍｙ＋ａ(ａ２－ｂ２)ａ２＋ｂ２ꎬ交双曲线于Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)[４].由ｘ＝ｍｙ＋ａ(ａ２－ｂ２)ａ２＋ｂ２ꎬｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ꎬìîíïïïï消去ｘꎬ得(ａ２＋ｂ２)２(ｂ２ｍ２－ａ２)ｙ２＋２ｍａｂ２(ａ４－ｂ４)ｙ－４ａ４ｂ４＝０.则ｙ１ｙ２＝－４ａ４ｂ４(ｂ２ｍ２－ａ２)(ａ２＋ｂ２)２ꎬ｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜＝(１＋ｍ２｜ｙ１｜) (１＋ｍ２｜ｙ２｜)＝４ａ４ｂ４(１＋ｍ２)｜ｂ２ｍ２－ａ２｜(ａ２＋ｂ２)２.过点Ｆ(ｃꎬ０)的直线方程为ｘ＝ｍｙ＋ｃꎬ交双曲线于Ａ(ｘ３ꎬｙ３)ꎬＢ(ｘ４ꎬｙ４).由ｘ＝ｍｙ＋ｃꎬｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ꎬìîíïïï消去ｘꎬ得(ｂ２ｍ２－ａ２)ｙ２＋２ｃｍｂ２ｙ＋ｂ４＝０.则ｙ３＋ｙ４＝－２ｃｍｂ２ｂ２ｍ２－ａ２ꎬｙ３ｙ４＝ｂ４ｂ２ｍ２－ａ２.进而｜ＡＢ｜＝１＋ｍ２｜ｙ４－ｙ３｜＝(１＋ｍ２)[(ｙ３＋ｙ４)２－４ｙ３ｙ４]＝２ａｂ２(１＋ｍ２)｜ｂ２ｍ２－ａ２｜.所以｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜｜ＡＢ｜＝４ａ４ｂ４(１＋ｍ２)｜ｂ２ｍ２－ａ２｜(ａ２＋ｂ２)２.｜ｂ２ｍ２－ａ２｜２ａｂ２(１＋ｍ２)＝２ａ３ｂ２(ａ２＋ｂ２)２.由ｐ＝ｂ２ｃꎬｅ＝ｃａꎬìîíïïïï得ａ＝ｅｐｅ２－１ꎬｂ２＝ｅ２ｐ２ｅ２－１.ìîíïïïï于是｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜｜ＡＢ｜＝２ｅｐ(２－ｅ２)２ꎬ命题３得证.注㊀注意到抛物线的离心率ｅ＝１ꎬ对于命题１也具有｜ＥＭ｜ ｜ＥＮ｜｜ＡＢ｜＝２ｅｐ(２－ｅ２)２的形式ꎬ所以上述三个命题是圆锥曲线的一个统一的定值性质.参考文献:[１]张必平.弦对定点张直角的性质及其应用[Ｊ].中学数学月刊ꎬ２００５(０１):２４－２５.[２]解永良.圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个性质[Ｊ].中学数学月刊ꎬ２００５(１２):２８－２９.[３]潘神龙.圆锥曲线对定点张直角弦的几何性质再探[Ｊ].数学通报ꎬ２０１６ꎬ５５(１１):５９－６３.[４]张青山.用圆锥曲线的光学性质来探究圆曲线对定点张直角的弦问题[Ｊ].数学通报ꎬ２０１６ꎬ５５(０１):５７－５８.[责任编辑:李㊀璟]７９。
圆锥曲线的定义与性质及其应用
圆锥曲线的定义与性质及其应用圆锥曲线是数学中研究的一类平面曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们具有独特的性质和广泛的应用。
本文将对圆锥曲线的定义、性质以及一些实际应用进行介绍。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是在一个平面上，以一点为焦点，一条直线为准线，到该直线上各点的距离与到焦点的距离之比等于一个常数的点构成的曲线。
根据准线与焦点的位置关系，圆锥曲线可以分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。
2. 椭圆的性质与应用椭圆是一种闭合的曲线，其定义为到两个焦点距离之和等于常数的点的集合。
椭圆具有以下性质：- 椭圆的长轴和短轴：椭圆的两个焦点之间的距离等于椭圆的长轴，而通过椭圆中心且垂直于长轴的线段称为椭圆的短轴。
- 焦点定理：对于椭圆上的任意一点P，其到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度。
- 在物理学和天文学中，椭圆常用来描述行星、彗星和卫星的轨道。
3. 双曲线的性质与应用双曲线是一种开放的曲线，其定义为到两个焦点距离差的绝对值等于常数的点的集合。
双曲线具有以下性质：- 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，其与曲线的距离趋近于零，且曲线无限延伸。
- 双曲线的离心率：双曲线的离心率大于1。
离心率是描述焦点与准线距离关系的重要参数。
- 在物理学中，双曲线常用来描述电磁波的传播和光学系统中的折射现象等。
4. 抛物线的性质与应用抛物线是一种开放的曲线，其定义为到焦点距离等于到准线的距离的点的集合。
抛物线具有以下性质：- 抛物线的对称性：抛物线以焦点为中心，与焦点到准线垂直的线段称为对称轴。
抛物线上的任意一点到焦点和准线的距离相等。
- 抛物线的焦距：焦点到对称轴的距离称为抛物线的焦距，是抛物线性质研究和计算的重要参数。
- 在物理学中，抛物线常用来描述抛射物的运动轨迹，以及天文学中的天体运动等。
5. 圆锥曲线的应用举例圆锥曲线在科学和工程领域具有广泛的应用，以下举几个例子：- 天体运动：行星、彗星和卫星的轨道通常用椭圆来描述，能够帮助科学家研究它们的运动规律。
圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个性质
2
M 1 , D 三点共线 ,即直线 l 过定点 M 1 .
同理可以证明 2) ,具体证明从略 . 以圆锥曲线和直线的位置关系为背景的 一些试题在竞赛或高考中是经常出现的 “高 频题” ,利用上述结果可以很方便地解决一类 问题 ,下面看个例题 . 例 1 ( 2005 年 上海市 TI 杯高二年 级数学竞赛第 20 题) 如图 4, 已 知 椭 圆
4
4
3) B C ⊥B D 的充要条件是直线 l 过定
y1 + y2 = -
点 M 3 (0 , -
b( a - b ) ); 2 2 a + b
2 2
因为 ( x 1 - a) ( x 2 - a)
= ( m y1 2
4) B 1 C ⊥B 1 D 的充要条件是直线 l 过
定点 M 4 ( 0 ,
3
2
2
2
设 C ( x 1 , y 1 ) , D ( x 2 , y 2 ) ,则
y1 y2 =
4a b , ( m b - a2 ) ( a2 - b2 ) 2
2 2
4
4
M1 C =
(
3 2 2 2 a b (1 - k ) , ( a2 - b2 ) ( a2 k 2 - b2 )
y1 + y2 = -
1) A C ⊥A D 的充要条件是直线 l 过定
a( a - b ) ,0) ; 2 2 a + b
2 2 2 2
展开整理得
a( a - b ) 2 2 2 2 2 y ( m b + a ) + 2 b m y・ 2 2 a + b
点 M1 (
4a b =0, ( a2 + b2 ) 2
圆锥曲线对定点张直角弦问题再研究_李世臣_陆楷章
）
同理 ， 点 Ｄ 也 在 这 条 直 线 上， 即直线Ｃ Ｄ 的方 程为
２ ２ ２ ｔ ＋ ｅ ｅ ｔ ＋ ｅ ２ １ － １ － ｐ ｘ－ ｍ ＋ － ｎ ＝ ０ ． ｙ－ ２ ２－ ２ μ ｔ － ｅ ｔ－ ｅ ｔ － ｅ １ ＋ １ ＋ １ ＋
λ
（
） （
）
由λ、 μ 的任意性知
２ ２ ｔ ＋１－ ｅ ｅ ２ ｐ 烄 ｘ－ ２ ２ －ｍ＝０ ｔ －１＋ ｅ ｅ ｔ－１＋ ． 烅 ２ ｔ ＋１－ ｅ ｎ＝０ － ｙ－ ２ －１＋ ｅ 烆 ｔ ２ 当ｔ 解方程组 ， 得 ｅ －１ 时 ， ≠
设直线 Ａ ｘ＋ Ｂ 的方程为λ ｙ＝１， μ 将上式化为关于 ｘ、 ｙ 的齐次方程
２ ２ ２ ２ ２ ） ［ （ （ （ ｅ ｘ ＋ ｕ－ ｅ ｕ－ ｅ ｘ＋ ｖ ｘ＋ ＝ － ２ ０ ． １ λ ｙ］ ｙ＋ ｐ） ｙ） μ ２ ２ ２ ２ ） （ ］ 整理得 ［ ＋２ ｖ＋ ｅ ｕ－ ｅ ｕ － ｅ ｘ ＋２［ １－ λ（ λ ｐ） ２ ２ ２ ］ ｖ） ｕ－ ｅ ｕ － ｅ ｘ １＋２ ｐ） ｙ ＝０． ｙ＋ （ μ（ μ ２ ２ 得（ 令 ｙ＝ｋ ｖ） ｋ ＋２［ ｕ－ｅ ｕ － ｖ＋μ（ １＋２ ｘ， λ μ ２ ２ ２ ２ ） ］ （ ］ ｅ ｋ＋ ［ ｅ ｕ－ ｅ ｕ － ｅ ＋２ １－ ＝０． λ（ ｐ） ｐ） ２ ２ ２ ［ ］ 当 １＋２ ｖ≠０， ｕ－ ｅｕ－ ｅ － ｖ＋ Δ ＝４｛ λ ｐ） μ μ（ ２ ２ ２ （ ） ［ （ ］ ｝ ｖ） ｅ ｕ－ ｅ ｕ － ｅ １＋２ ＋２ １－ λ（ ≥０ 时 ， ｐ） μ 上式有两个实数根 ．
ｋ ｋ Ｄ Ｄ Ａ、 Ｂ．
（ ） ， 若ｋ 直 当ｔ １ ｋ ｋ ｋ ｔ ≠０ 时 ， Ｃ Ｃ Ｄ Ｄ Ａ· Ｂ＝ Ａ· Ｂ＝ ２ ｐ 线Ｃ ＋ｍ， ｎ ； － Ｄ 过定点 Ｑ ｔ
圆锥曲线的经典模型
圆锥曲线中的定点定值问题的四种经典模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。
技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。
如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一：“手电筒”模型例题、已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-，1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7km k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220ba b a y b a b a x +-+-。
圆锥曲线专题(定点、定值问题)
圆锥曲线专题——定点、定值问题定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。
技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。
如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型【例题】已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +-+-。
高中数学圆锥曲线135个性质结论汇总归纳
高中数学圆锥曲线135个性质结论汇总归纳目录一、几个统一定义1.椭圆、双曲线、抛物线的统一定义一2.椭圆、双曲线、抛物线的统一定义二二、与焦半径相关的问题3.椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质（准线作法）4.椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质5.椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质6.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直径圆性质7.椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质三、与焦点弦相关的问题8.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值 1）9.椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值 2）10.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3）11.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质 1（中点共线）12.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质 2（三点共线）13.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质 3（对焦点直张角）14.椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系15.椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）16.椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广17.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值18.椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值四、相交弦的蝴蝶特征19.椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一20.椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理二五、切点弦的相关问题21.椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 1（等比中项）22.椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 2（倒数和 2 倍）23.椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 3（外项积定值）24.椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 4（平行线族）25.椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质 5（切点弦过定点）六、等角问题26.椭圆、双曲线、抛物线的等角定理一27.椭圆、双曲线、抛物线的等角定理二28.椭圆、双曲线、抛物线的对称点共线29.椭圆、双曲线、抛物线的焦点对切线张角性质30.椭圆、双曲线、抛物线的共轭弦性质七、与动弦中点相关的问题31.圆、椭圆、双曲线中点弦与中心性质32.圆、椭圆、双曲线切线与半径的斜率积为定值（中点弦的极限状态）33.椭圆、双曲线、抛物线的动弦中垂线性质34.椭圆、双曲线、抛物线的定向弦中点轨迹35.椭圆、双曲线、抛物线的定点弦中点轨迹八、数量积定值问题36.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦张角向量点积为定值37.椭圆、双曲线、抛物线的定点弦张角向量点积为定值九、其他重要性质38.圆锥曲面光线反射路径的性质39.椭圆、双曲线、抛物线的切线与割线性质40.椭圆、双曲线、抛物线的直周角性质41.椭圆、双曲线的 90 度的中心角性质42.圆、椭圆、双曲线上动点对直径端点的斜率积为定值43.椭圆、双曲线、抛物线的顶点对垂直弦连线交点轨迹对偶44.椭圆、双曲线、抛物线准线上点对焦点弦端点及焦点斜率成等差45.椭圆、双曲线、抛物线的焦点与切线的距离性质46.椭圆、双曲线、抛物线的中心与共轭点距离等积问题探究 1动点P 在圆A：(x )2 y2 4 上运动，定点B(, 0) ，则（1）线段QB 的垂直平分线与直线QA 的交点P 的轨迹是什么？（2）若BM tMQ ，直线l 过点M ，与直线QA 的交于点P ，则点P 轨迹又是什么？PA PN 动点到一定点与到一定直线的距离之比为小于是椭圆备用课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为大于是双曲线备用课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为等于是抛物线备用课件问题探究 2已知定点A(1, 0) ，定直线l1 ：x 3 ，动点N 在直线l1 上，过点N 且与l1 垂直的直线l2 上有一动点P，满足，请讨论点P 的轨迹类型.3. 椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质（准线作法）问题探究 3 已知两定点A(1, 0), B (1, 0)，动点 P 满足条件PA8，另一动点 Q 满足，求动点 Q 的轨迹方程. Q B ? P =B 0 , ?Q P + ? P A P ?B P A ? = P ?B ?4. 椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质问题探究4 已知两定点 A (2, 0), B (2, 0) ，动点 P 满足条件 PA PB 2 ，动点 Q 满足 QB ( PAPB)0 ，QP ( PA PB) 0 ，求动点 Q 的轨迹方程.PA PBPA PB。
专题01 圆锥曲线中心弦与中点弦的性质(文)(解析版)
专题01 圆锥曲线中心弦与中点弦的性质溯本求源推广延伸推广1：如图，已知椭圆)0(>>b a ，为经过对称中心)0,0(O 的弦，为椭圆上异于，的点，直线，斜率存在，则．【证明】设，()11,y x A ，则， ，1222-=-=∴e ab k k PBPA ．推广2：如图，已知椭圆)0(>>b a ，为经过对称中心)0,0(O 的弦，为椭圆上异于，的点，直线，斜率存在，则．【证明】证明方法同推广1，此处不再赘述．归纳统一已知二次曲线，为经过对称中心)0,0(O 的弦，为该曲线上异于，的点，直线，斜率存在，则． 【证明】证明方法同推广1，此处不再赘述．类比联想中点弦性质：如图，设二次曲线：，，为该曲线上的两点，为弦中点，为坐标原点，则．【证明】方法1：（代数证明）设),(11y x A ，),(22y x B ， 则中点． ，，m nx x y y x x y y k k ABOM -=--⋅++=⋅∴2121212122． 方法2：（几何证明）如下图，由于OM AP ∥，易知， ∵为中心弦，∴， ∴．经典赏析类型1：直抒胸臆型【例1】（2014江西）过点作斜率为的直线与椭圆：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于______________． 【答案】【解析】由椭圆中点弦性质可得1222-=-=⋅e ab k k ABOM ，则，故．【例2】（2013新课标1）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1【答案】D 【解析】，得，∴=，又9==，解得=9，=18， ∴椭圆方程为， 故选D ． 类型2：共线转化型【例3】(2018浙江)已知点，椭圆()上两点，满足2AP PB =，则当=______________时，点横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】设),(11y x B ，由2AP PB =，，得，即， 故中点为，由，得， 所以．当时，最大值为4．故． 类型3：参数范围型【例4】（2018全国卷Ⅲ节选）已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为(1,)M m ．证明：．【答案】证明见解析． 【解析】设，，则，， 上述两式相减，则． 由题设知，，故，于是． 由得，故．【注意】解答题使用中点弦性质必须点差法证明． 类型4：几何转化型【例5】已知椭圆：的左右顶点分别为，，，点在上，在轴上的射影为的右焦点，且． （1）求椭圆的方程；（2）若，是上异于的不同两点，满足BN BM ⊥，直线，交于点，求证：在定直线上． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】（1），，，椭圆：．（2）如图，设),(11y x M ，直线，，的斜率，，．，．由BN BM ⊥，得． 所以，故设直线：，设直线：()241-=x k y ，则，则两直线的交点横坐标为． 故点在定直线上．【注意】解答题欲用中心弦性质，切记必须先证明．【例6】已知椭圆：内一点，过点的两条直线分别与椭圆交于，和，两点，且满足MC AM λ=，MD BM λ=（其中且），若变化时直线的斜率总是为，则椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】如图，分别取，的中点为，，连接，．，MQ MD MC MB MA PM λλ-=+-=+-=∴)(21)(21，故，，三点共线，由于MC AM λ=，MD BM λ=得CD MC MD BA AM BM λλ=-==-)(，平行于， 由中点弦性质知：1222-=-=⋅e ab k k AB OP ，得，所以．故选D ．【例7】已知椭圆：的焦距为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为． （1）求椭圆的方程；（2）设直线2:-=kx y l 与椭圆交于，两点，，且，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），，， 故椭圆的方程．（2）如图，设()11,y x A ，()22,y x B ，中点为),(00y x M ．则，，又2110000-=-=-⋅kx y x y k 且， ，直线的方程为：．【注意】解答题欲用中点弦性质，切记必须先用点差法证明．寄语特别感谢周立政老师、邹书生老师、西瓜老师、兰琦老师以及本门弟子u ，范慕杺贡献集体智慧，在此深表感谢，致以崇高敬意．推动读者对该性质的深刻理解，望后来者继往开来，不忘初心，砥砺前行．综上所述，送君千里，终须一别．掌握圆锥曲线中心弦与中点弦性质，挥洒自如，需不断总结．只有与传统方法计算前后对比，方能珍惜其优越．若有不妥之处，敬请谅解，请批评指正．以下为研修经典巩固练习，望同学们且学且珍惜．往事如梦1．（2020年湖北高二期末）如图，已知椭圆，斜率为﹣1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为，则椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】方法1：设直线方程为，设1122(,),(,)A x y B x y ，由得：22222222()20a b x a nx a n a b +-+-=，∴，，设，∴OAMB 是平行四边形，∴OM OA OB =+，∴1212,x x x y y y =+=+， ∴， ∴，∴． 故选B ．方法2：（秒杀解）⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-⇒-=-=⋅1031112222e e e a b k k OMAB ，得．故选B ．【评析】方法1与方法2对比，繁简立分．2．（2019年重庆云阳江口中学高二月考）已知椭圆 ，点M ，N 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H ，使 ，则离心率e 的取值范围为 A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意00M a N a -（，），（，）． 设 ，则222202()b y a x a=-．，可得：222211(0)(1)22c a e e a -=-∈-∴∈，，故选A ．3．（2014浙江）设直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点，，若点(,0)P m 满足，则该双曲线的离心率是______________． 【答案】【解析】方法1：联立直线方程与双曲线渐近线方程， 可解得交点为，，而，由||||PA PB =， 可得的中点与点连线的斜率为-3， 可得，所以．方法2：如图，由题意设中点为),(00y x Q ，),(11y x A ，),(22y x B ．则，且， 得， 所以，故．4．（2019全国II21节选）已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−．记M 的轨迹为曲线C ．求C 的方程，并说明C 是什么曲线． 【答案】见解析．【解析】（1）由题设得，化简得，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点． 【注意】逆用中心弦性质求轨迹，切记恒等变形．5．（2017北京）已知椭圆的两个顶点分别为(2,0)A -，，焦点在轴上，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过作的垂线交于点．求证：BDE ∆与BDN ∆的面积之比为4:5．)0,(m P【答案】（1）；（2）见解析．【解析】方法1：（1）设椭圆的方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>．由题意得解得，所以2221b a c =-=． 所以椭圆的方程为．（2）设(,)M m n ，且，则(,0),(,)D m N m n -．直线的斜率，由AM DE ⊥，则1AM DE k k ⋅=-， 故直线的斜率，所以直线的方程为． 直线的方程为．联立，解得点的纵坐标222(4)4E n m y m n-=--+． 由点在椭圆上，得2244m n -=，所以． 又12||||||||25BDE E S BD y BD n =⋅=⋅△，1||||2BDN S BD n =⋅△， 所以BDE △与BDN △的面积之比为．方法2：（1）设椭圆的方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>．由题意得解得，所以2221b a c =-=． 所以椭圆的方程为．（2）设(,)M m n ，且，则(,0),(,)D m N m n -．，得，由AM DE ⊥，则1AM DE k k ⋅=-，且， 故直线的斜率为，则，，，所以直线的方程为，直线的方程为)2(--=x k y ． 联立，解得点的纵坐标，，． ，所以BDE △与BDN △的面积之比为．【注意】解答题欲用中心弦性质，切记必须先证明． 6．(2016上海高三）已知椭圆上两个不同的点、关于直线()102y mx m =+≠对称． （1）若已知，为椭圆上动点，证明：； （2）求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）设，则，得，于是MC ====， 因，所以当时，，即．（2）方法1：由题意知，可设直线的方程为．由消去，得222222102m bx x b m m+-+-=． 因为直线与椭圆有两个不同的交点， 所以，，即，∴ 由韦达定理得，()22122212b m x x m -=+，，所以，线段的中点将中点 代入直线方程，解得∴， 将∴代入∴得，化简得．解得或，因此，实数的取值范围是．方法2：设),(11y x A ，),(22y x B ，线段中点为． 得，则． 又，故，直线为． 得，由于在椭圆内． ．实数的取值范围是．7．(2015新课标2）已知椭圆C ：()，直线不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】(1)设直线:l y kx b =+，，，． 将代入得， 故，299M M by kx b k =+=+． 于是直线的斜率，即．所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值． （2）四边形OAPB 能为平行四边形． 因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，． 由(1)得的方程为． 设点的横坐标为． 由得，即．将点的坐标代入直线的方程得，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即． 于是．解得，． 因为0,3i i k k >≠，，，所以当的斜率为或时，四边形OAPB 为平行四边形．。
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。
技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。
如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型例题、已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340km +->212122284(3),3434mkm x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+Q以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BDk k ⋅=-， 1212122y y x x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++，整理得：2271640mmk k ++=，解得：1222,7k m k m=-=-，且满足22340k m +->当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((22222222ba b a y b a b a x +-+-。
圆锥曲线中弦对特殊点的张角为直角时的性质
的 中心 在 坐 标原 点
又 M (
M B
，
n
，
0 )
，
，
点在
3
，
z
轴 上
，
椭 圆 c
．
上 的 点 到 焦 点 距 离 的 最 大 值 为
所 以丽者
商
一
o
，
所 以
最 小 值 为
1
( 1 )求 椭 圆 C 的标 准 方 程 (2 )
2
；
若直线
B
Z
：
y
一
是z +
，
m
与椭 圆
C
相 交 于 A
，
B
这
盟
b
2
q
0
J
．
所 以
z
：
m
一
一
口
志
或
一
m
猜想
定 理
当 圆 锥 曲线 中 弦 的 张 角 为 直 角 (直 角 顶
； y
一
点 为 曲线 顶 点 )时 的 直 线 过 定 点
1
．
是(
X
-
a
)
或
，
y
是
所 以 直 线 等 鼎 ] 即直线 过 『譬
一
一
型
是，
z
一
，
z
1
：
如 图
。
一
1
所 示
x
，
定点
直线 与抛 物线
0 )
—
1
【
i 万F
芸芸众 生 孰 不 爱生?
，
爱生之 极 进
，
而
爱群
—
圆锥曲线的性质
简介两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
圆锥曲线具有许多优良的性质，并能直接联系实际应用，因此在高中数学中占据重要地位。
在高考中所占分值一般为20分左右，且多与其他知识点相结合、以压轴题的形式出现，综合性强，难度较大。
掌握它的一些重要性质，至关重要。
定义几何观点用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。
具体而言：1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
代数观点在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。
根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。
焦点-准线观点（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。
但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质）。
专题18 圆锥曲线中的张角问题 微点2 椭圆的直张角模型
专题18 圆锥曲线中的张角问题 微点2 椭圆的直张角模型专题18 圆锥曲线中的张角问题 微点2 圆锥曲线的直张角模型 【微点综述】圆锥曲线的弦对一些特征点（顶点、中心、焦点等）张角为直角的问题，是圆锥曲线中非常典型的问题，蕴涵着解析几何丰富的思维方法和思想精髓．近年来全国各地的高考对这方面内容的考查也方兴未艾、精彩不断．本文试图对历年的高考数学试卷中的这类问题罗列、归纳与思考，以便于我们的高考复习作些参考． 一、中心直张角模型【定理1】直线:1l Ax By +=与椭圆()2222:10,0,x y C a b a b a b+=>>≠交于,P Q 两点，O为椭圆中心，设O 到PQ 的距离为d ，则OP OQ ⊥的充要条件是22222111A B a b d+=+=，即d =证明：设()()1122,,,P x y Q x y ，直线l 设为y kx m =+，联立得2222,1,y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()()2222222220a kb x mka x a m b +++-=，判别式()()()()222222222222222440mka a k b a m b a b a k b m ∆=-+⋅-=+->，由韦达定理()22221212222222,a m b mka x x x x a k b a k b-+=-=++． 必要性：()()2212121212,10OP OQ OP OQ x x y y k x x mk x x m ⊥∴⋅=+=++++=，()()22222222222210a m b mka k mk m a k b a k b -⎛⎫∴+⋅+-+= ⎪++⎝⎭，化简得()()2222221a b m k a b +=+． 从而原点O 到直线l的距离22222111d A B a b d =∴+=+=． 充分性：因为原点O 到直线l的距离d =2222221m a b k a b =++， ()()()()()()22121212122222222222222222222221110,OP OQ x x y y k x x mk x x m a m b a b m k a b mka k mk m a k b a k b a k b ∴⋅=+=++++-+-+⎛⎫=+⋅+-+== ⎪+++⎝⎭OP OQ ∴⊥．拓展：在OP OQ ⊥前提下，能否解决Rt POQ ∆面积或弦长PQ 的最值问题． 【定理1推广】直线:1l Ax By +=与椭圆()2222:10,0,x y C a b a b a b+=>>≠交于,P Q 两点，O 为椭圆中心，设O 到PQ 的距离为d ，若OP OQ ⊥，则（1）d =（2）2222,2POQ a b ab S a b ∆⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦；（3）,PQ ⎡∈． 证明：（1）设()()1122,,,P x y Q x y ，121111,,cos ,sin OP r OQ r x r y r θθ====，则()()2222cos 90,sin 90x r y r θθ=+︒=+︒．,P Q 在椭圆()2222:10,0,x y C a b a b a b +=>>≠上， ()()()()222222112222cos 90sin 90cos sin 1,1r r r r a b a bθθθθ+︒+︒⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴+=+=， 即222222222212cos sin 1sin cos 1,a b r a b r θθθθ+=+=，两式相加得2222122222222212121111,r r a b a b r r a b r r +++=+∴=， 又OP OQ ⊥，OP OQd PQ⋅∴====．（2）由于()2222224422224422121cos sin sin cos 111sin cos sin cos r r a b a b a b a bθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()222222442222442211211sin cos sin 24a b a b a b a b a b a b θθθ-⎛⎫=+-+=+⎪⎝⎭， 且()2222440,0sin 214a b a bθ->≤≤，()2222222122244222212112,,,,42POQ a b a b a b ab r r ab S r r a b a b a b a b ∆⎡⎤+⎡⎤⎢⎥∴∈∴≤≤∴∈⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦． （3）22121222112,,22POQa b S rr PQ d rr PQ d PQ d PQ ab a b ∆==⋅∴=⋅∴≤⋅=≤+，PQ ≤≤PQ ∈． 同定理1的方法可得如下的定理2～定理6（证明过程省略）．【定理2】直线:1l Ax By +=与双曲线()2222:10x y C b a a b-=>>交于,P Q 两点，O 为双曲线中心，设O 到PQ 的距离为d ，则OP OQ ⊥的充要条件是22222111A B a b d+=-=，d =即【定理3】直线:1l Ax By +=与抛物线()2:20C y px p =>交于,P Q 两点，O 为抛物线的顶点，则OP OQ ⊥的充要条件是21Ap =，此时直线l 过定点()2,0p ． 对于双曲线、抛物线，仿椭圆情形证明有如下推广： 【定理2推广】直线:1l Ax By +=与双曲线()2222:10x y C b a a b -=>>交于,P Q 两点，O 为双曲线中心，设O 到PQ 的距离为d ，若OP OQ ⊥，则（1）d =（2）2222,POQ a b S b a ∆⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭；（3）PQ ⎡⎫∈+∞⎪⎭． 【定理3推广】直线:1l Ax By +=与抛物线()2:20C y px p =>交于,P Q 两点，O 为抛物线的顶点，若OP OQ ⊥，则（1）直线l 过定点()2,0p ；（2）)24,POQ S p ∆⎡∈+∞⎣． 二、非中心直张角模型【定理4】直线l 与椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>交于,A B 两点，00(,)M x y 为椭圆上不同于,A B 两点的一个定点，则MA MB ⊥的充要条件是直线l 恒过定点()()2222002222,x a b y b a N a b a b ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭． 【定理5】直线l 与()2222:1,0,x y C a b a b a b-=>≠交于,A B 两点，00(,)M x y 为双曲线上不同于,A B 两点的一个定点，则MA MB ⊥的充要条件是直线l 过定点2222002222,a b b a N x y b a a b ⎛⎫+- ⎪-+⎝⎭． 【定理6】直线l 与()2:20C y px p =>交于,A B 两点，00(,)M x y 为抛物线上不同于,A B两点的一个定点，则MA MB ⊥的充要条件是直线l 过定点202,2y N p y p ⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 三、应用举例例1．（2022山东山东·高二月考）1．已知直线220x y 经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求线段MN 的长度的最小值；(3)当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB △的面积为15，若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由． 例2．（2022重庆一中高三月考） 2．已知椭圆C ：22142x y +=.(1)若直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为()1,1E ，求直线l 的斜率；(2)如图，已知椭圆Γ：()222210,2x y a b a a b +=>>>与椭圆C 有相同的离心率，过椭圆Γ上的任意一动点()()000,2P x y x ≠±作椭圆C 的两条不与坐标轴垂直的切线1l ，2l ，且1l ，2l 的斜率1k ，2k 的积恒为定值，试求椭圆Γ的方程及12k k ⋅的的值. 例3．（2022·浙江绍兴·高二期末）3．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =过椭圆C 的焦点且垂直于x 轴的直线截椭圆所得到的线段的长度为1．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线:l x y t λ=+交椭圆C 于A 、B 两点，若y 轴上存在点P ，使得PAB 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，求PAB 的面积的取值范围． 例4．（2022·上海市七宝中学附属鑫都实验中学高二期末）4．设点()00,P x y 是抛物线2:4y x Γ=上异于原点O 的一点，过点P 作斜率为1k 、2k 的两条直线分别交Γ于()11,A x y 、()22,B x y 两点（P 、A 、B 三点互不相同）． (1)已知点()3,0Q ，求PQ 的最小值； (2)若06y =，直线AB 的斜率是3k ，求123111k k k +-的值； (3)若02y =，当0PA AB ⋅=时，B 点的纵坐标的取值范围． 例5．（2022·四川达州·高二期末）5．如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦点是圆22:1O x y +=与x 轴的交点，椭圆C 的长半轴长等于圆O 的直径．(1)求椭圆C 的方程；(2)F 为椭圆C 的右焦点，A 为椭圆C 的右顶点，点B 在线段F A 上，直线BD ，BE 与椭圆C 的一个交点分别是D ，E ，直线BD 与直线BE 的倾斜角互补，直线BD 与圆O 相切，设直线BD 的斜率为()0k k <．当BD =时，求k ． 例6．（2022·福建漳州·二模）6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为)P(1)求C 的方程：(2)设直线()0y kx m m =+>交y 轴于点M ，交C 于不同两点A ，B ，点N 与M 关于原点对称，BQ AN ⊥，Q 为垂足.问：是否存在定点M ，使得·NQ NA 为定值？ 【强化训练】 （2022河北·二模）7．已知圆x 2+y 2=17与抛物线C :y 2=2px (p >0)在x 轴下方的交点为A ，与抛物线C 的准线在x 轴上方的交点为B ，且点A ，B 关于直线y =x 对称. (1)求抛物线C 的方程；(2)若点M ，N 是抛物线C 上与点A 不重合的两个动点，且AM ⊥AN ，求点A 到直线MN 的距离最大时，直线MN 的方程.（2022河南·中牟县第一高级中学模拟预测）8．已知圆2217x y +=与抛物线C ：()220y px p =>在x 轴下方的交点为A ，与抛物线C的准线在x 轴上方的交点为B ，且A ，B 两点关于直线y x =对称． （1）求抛物线C 的方程；（2）若点M ，N 是抛物线C 上与点A 不重合的两个动点，且AM AN ⊥，求点A 到直线MN 的距离最大时，直线MN 的方程．（2022北京八中高二期末）9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，焦点到准线的距离为2，直线过x 轴正半轴上定点(,0)M a 且交抛线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求抛物线方程；(2)若12OA OB ⋅≤，求a 的取值范围． （2022·江西·临川一中高二期末）10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率e =过点)2．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过1F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试探究在平面内是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅是一个确定的常数？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由． （2022·广东珠海·高三期末）11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为4，左顶点A 到上顶点B F 为右焦点．(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N （不同于A ，B 两点），且直线BM BN ⊥时，求F 在l 上的射影H 的轨迹方程．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 过椭圆C 的焦点，且与x 轴垂直时，23AB =.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在与x 轴不垂直的直线l ，使弦AB 的垂直平分线过椭圆C 的右焦点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. （2022·山西运城·高三月考）13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左，右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，点Q 在椭圆C 上，且满足124QF QF +=. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)P 为椭圆C 的右顶点，设直线l 与椭圆C 交于异于点P 的,M N 两点，且PM PN ⊥，求||||PM PN ⋅的最大值. （2022全国·高三月考）14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为(2,1)P ．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且0PA PB ⋅=，则直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． （2022·安徽六安·一模）15．已知椭圆()222:11x C y a a+=>的左右焦点分别是1F ，2F ，右顶点和上顶点分别为A ，B ，2BF A △的面积为32(1)求椭圆C 的标准方程；(2)以此椭圆的上顶点B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角BMN ，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.16．已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，斜率为k 的直线l 过1F 且与椭圆E 相交于A ，B 两点，2ABF △的周长为 （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设线段AB 的中垂线m 交x 轴于N ，在以NA ，NB 为邻边的平行四边形NAMB 中，顶点M恰好在椭圆E上，求直线l的方程.17．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的一个焦点是()1,0F，O为坐标原点．(1)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；(2)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若直线l绕点F任意转动，总有222||||||OA OB AB+<，求a的取值范围．18．在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，，(0的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点．（⊥）写出C的方程；（⊥）若OA⊥OB，求k的值；（⊥）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有|OA|>|OB|．参考答案：1．(1)2214x y +=(2)83(3)存在；点T 的个数为2【分析】（1）根据直线方程，求出椭圆方程的上顶点和左顶点坐标，进而求出椭圆方程；（2）设出直线AS 的方程，表达出点M ，N 的坐标，利用基本不等式求出线段MN 的长度的最小值；（3）先求出BS 的长度，得到T 到直线BS的距离等于2S SB =，利用点到直线距离得到T 所在的直线方程，结合根的判别式得到点T 的个数.【详解】（1）220x y ，令0x =得：1y =，令0y =得：2x =-，所以椭圆C 的左顶点为()2,0A -，上顶点为()0,1D ，所以2,1a b ==，故椭圆方程为2214x y +=.（2）直线AS 的斜率k 显然存在，且k >0，故可设直线AS 的方程为()2y k x =+，从而1016,33k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，联立得：()222214161640k x k x k +++-=，设()11,S x y ，则212164214k x k --=+，解得：2122814k x k -=+，从而12414k y k =+，即222284,1414k k S k k⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又()2,0B ，由()124103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：13103y kx ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以101,33N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故16133k MN k =+，又0k >，所以1618333k MN k =+≥=，当且仅当16133k k =即14k =时等号成立，故线段MN的长度的最小值为83.（3）由第二问得：14k =，此时64,55S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故SB == 要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB △的面积等于15，只须T 到直线BS的距离等于24S SB =．其中直线SB ：456225y x -=--，即20x y +-=，设平行于AB 的直线为0x y t ++=，则由=解得：32t=-或52t=-，当32t=-时，32x y+-=，联立椭圆方程2214xy+=得：275304y y--=，由9350∆=+>得：32x y+-=与椭圆方程有两个交点；当52t=-时，52x y+-=，联立椭圆方程2214xy+=得：295504y y-+=，由25450∆=-<，此时直线与椭圆方程无交点，综上：点T的个数为2．2．(1)12-(2)22184x y+=，1212k k=-【分析】（1）设()11,M x y，()22,N x y，利用点差法计算即可得出结果；（2）由题意设椭圆Γ：22222x y b+=，设椭圆C过点()00,P x y的切线方程为l：y kx m=+，联立，由()222200Δ04242m k y kx k=⇒=+⇒-=+，化简整理得2220000(4)220x k x y k y--+-=，则212224yk kx-=-，而2220022x y b=-+，化简可得()212222224yk ky b-=---,要使之恒为定值，只需212224b=-，计算可得结果.（1）设()11,M x y，()22,N x y，则221124x y+=，222224x y+=两式相减并整理得：()()121212121202MNy yx x y y kx x--+-=⇒==--；（2）由题得椭圆Γ的离心率e=222a b=，因此椭圆Γ：22222x y b+=，设椭圆C过点()()000,2P x y x≠±的切线方程为l：y kx m=+，其中00y kx m=+，即00m y kx=-，且2220022x y b+=，即2220022x y b=-+联立：()22222,214240142y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 因为l 与椭圆C 相切，所以()222200Δ04242m k y kx k =⇒=+⇒-=+整理得2220000(4)220x k x y k y --+-=，视为k 的一元二次方程，则其两根即为1k ，2k由韦达定理，得20122024y k k x -=-，而2220022x y b =-+，故()22001222220022224224y y k k y b y b --==--+--- 上式要恒为定值，即与0y 无关，则212224b =-，得24b =， 此时()201220212842y k k y -=-=---， 综上，椭圆Γ：22184x y +=，1212k k =-.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 3．(1)2214x y +=(2)416,55⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由条件可得222221c a b a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解出即可； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，取AB 的中点()00,M x y ，联立直线与椭圆的方程消元，算出AB ，00,x y ，然后可算出MP ，然后由AB PM 21=可得22544t λ=+≥，然后表示出PAB 的面积可得答案. （1）令x c =，得2by a =±，所以222221c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩， 解得24a =，21b =，所以椭圆C 的方程：2214x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，取AB 的中点()00,M x y ，因为PAB 为以AB 为斜边的等腰直角三角形，所以PM AB ⊥且AB PM 21=， 联立2244x y t x y λ=+⎧⎨+=⎩得()2224240y ty t λλ+++-=，则12221222444t y y t y y λλλ-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩．⊥12AB y =-=又⊥120224y y t y λλ+-==+，⊥00244tx y t λλ=+=+，且MP k λ=-，0p x =，⊥0244tMP λ==+，由AB PM 21=得22544t λ=+≥，⊥245t ≥． ⊥()()()2222222116161532254PABt S AB PM PM t t λλ=⋅==+=-⋅+△2163525t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭416,55⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．4．(1) (2)3；(3)()(),610,-∞-⋃+∞；【分析】（1）根据两点之间的距离公式，结合点P 坐标满足抛物线，构造PQ 关于0x 的函数关系，求其最值即可；（2）根据题意，求得点P 的坐标，设出AP 的直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求得A 点坐标，同理求得B 点坐标，再利用斜率计算公式求得123111k k k +-即可；（3）根据题意，求得点P 的坐标，利用坐标转化0PA AB ⋅=，求得关于1y 的一元二次方程，利用其有两个不相等的实数根，即可求得2y 的取值范围. （1）因为点P 在抛物线上，故可得2004y x =，又PQ ==≥01x =时，取得最小值故PQ 的最小值为 （2）当06y =时，故可得09x =，即P 点的坐标为()9,6；则PA 的直线方程为：()169y k x -=-，联立抛物线方程：24y x =，可得：211424360k y y k -+-=，故可得1146y k +=， 解得：11146k y k -=，又21114x y ==2121(46)4k k - 故可得211211(46)46(,)4k k A k k --同理可得：222222(46)46(,)4k k B k k --， 又AB 的斜率3k =2121212121222221212122222121464646464(46)(46)(46)(46)44k k k k y y k k k k k k k k x x k k k k -------==⨯------- 22122121121222221221121212(46)(46)4()44(46)(46)(4412)(44)k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⋅--⋅--=⨯=⨯---+--1212121214114(3)3k k k k k k k k =⨯=+-+-，即1231113k k k +-=.故123111k k k +-为定值3. （3）当02y =时，可得200114x y ==，此时()1,2P ， 因为,A B 两点在抛物线上，故可得221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222121121(1,2),(,)444y y y PA y AB y y =--=--，因为0PA AB ⋅=，故可得222121121(1,2)(,)0444y y y y y y --⋅--=，整理得：222121121(1)()(2)()044y y y y y y --⋅+-⋅-=，212121121(4)()()(2)()044y y y y y y y y --+⋅+--=， 因为,,P A B 三点不同，故可得1212,y y y ≠≠， 则121(2)()1016y y y +++=，即21212122160y y y y y ++++=，21212(2)2160y y y y ++++=，此方程可以理解为关于1y 的一元二次方程，因为1121,?2,y R y y y ∈≠≠，故该方程有两个不相等的实数根， 222(2)4(216)0y y ∆=+-+>，即2222448640y y y ++-->， 故2224600y y -->，则22(10)(6)0y y -+>，解得210y >或26y <-.故点B 纵坐标的取值范围为()(),610,-∞-⋃+∞.【点睛】本题考察直线与抛物线相交时的范围问题，定值问题，解决问题的关键是合理且充分的利用韦达定理，本题计算量较大，属综合困难题. 5．(1)22143x y +=；(2)-1.【分析】（1）由题设可得2,1a c ==，求出参数b ，即可写出椭圆C 的方程；（2）延长线段DB 交椭圆C 于点E '，根据对称性设B ()(),012m m <<，DE '为x ty m =+，0t <，联立椭圆方程，应用韦达定理并结合已知条件可得()()22227434t m m t -=-+，直线DE '与圆O 相切可得221m t =+，进而求参数t ，即可求直线BD 的斜率.（1）因为圆22:1O x y +=与x 轴的交点分别为1,0，()1,0，所以椭圆C 的焦点分别为1,0，()1,0，⊥221a b -=，根据条件得2a =，⊥23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）延长线段DB 交椭圆C 于点E '，因直线BD 与直线BE 的倾斜角互补，根据对称性得BE BE ='． 由条件可设B 的坐标为()(),012m m <<，设D ，E '的纵坐标分别为1y ，()2120y y y >>，直线DE '的方程为x ty m =+，0t <．由于BD =，即BD '=，所以12y y =． 由223412x ty m x y =+⎧⎨+=⎩得：()2223463120t y tmy m +++-=． ⊥122634tm y y t +=-+，212231234m y y t -=+．⊥222634tm y y t =-+⊥，222231234m y t -=+⊥，由⊥得：22634tm y t =+，代入⊥得()()2222222364931234346t m m t t -⨯=++，⊥()()22227434t m m t -=-+．⊥直线:DE x ty m '=+与圆22:1O x y +=相切，1=，即221m t =+．⊥()()()222271334t t t t -+=-+，解得21t =，又0t <，⊥1t =-，故11k t==-，即直线BD 的斜率1k =-．【点睛】关键点点睛：将已知线段的长度关系转化为D ，E '的纵坐标的数量关系，设直线DE '的含参方程，联立椭圆方程及其与圆的相切求参数关系，进而求参数即可. 6．(1)221102x y +=(2)存在【分析】（1）利用待定系数法求方程；（2）联立方程组，结合韦达定理可得直线恒过定点，进而求解. （1）依题意知2a =a =所以C 的方程可化为222110x y b +=，将点)P代入C 得251110b +=， 解得22b =，所以椭圆方程为221102x y +=；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立221102x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()22215105100k x kmx m +++-=，()()()222104155100km k m ∆=-+->，解得22210m k <+， 1221015km x x k -+=+，212251015m x x k -=+，注意到Q ，N ，A 三点共线，NQ NA NQ NA ⋅=⋅， 又()NQ NA NB BQ NA NB NA ⋅=+⋅=⋅()()()()1212121222x x y m y m x x kx m kx m =+++=+++()()()()222222212122215102012441515k mk mkx xmk x x mm k k +-=++++=-+++()222221510510415k m m m k--+-=++当()2215105510m m --=-，解得1m =±，因为0m >，所以1m =，此时1NQ NA ⋅=-，满足0∆>，故存在定点()0,1M ，使得NQ NA ⋅等于定值1. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 7．(1)y 2=16x (2)2x +y -38=0【分析】（1）通过所给的作图分析，尤其是关于y =x 对称点的条件，可以求出抛物线方程； （2）联立直线与抛物线方程，利用向量表达垂直的方法，可以得出结论. （1）依题意，作图如下：由于点B 在准线上，设,2p B m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于关于y =x 对称，所以,2p A m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，由22172p m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ，以及222p pm ⎛⎫-= ⎪⎝⎭解得p =8，m =1， 所以抛物线的方程为：216y x = ，()1,4A - ； （2）设M (2116y ，y 1)，N (2216y ，y 2)，直线MN 的方程为x =my +n ，将直线MN 的方程代入y 2=16x 得y 2-16my -16n =0， 所以y 1+y 2=16m ，y 1y 2=-16n . 因为AM ⊥AN ，所以AM ·AN =(2116y -1，y 1+4)·(2216y -1，y 2+4)=2212(-16)(-16)256y y +(y 1+4)(y 2+4)=0，由题意可知y 1≠-4，y 2≠-4，所以(y 1+4)(y 2+4)≠0. 所以12(-4)(-4)256y y +1=0，即y 1y 2-4(y 1+y 2)+272=0，所以-16n -64m +272=0，即n =-4m +17，所以直线MN 的方程为x =m (y -4)+17，所以直线MN 过定点P (17，4)， 当MN ⊥AP 时，点A 到直线MN 的距离最大， 此时直线MN 的方程为2x +y -38=0. 故答案为：216y x =，2x +y -38=0. 8．（1）216y x =；（2）2380x y +-=．【分析】（1）先求点B 根据对称性得点A ，再将点A 代入抛物线方程即可求得p 值； （2）设直线MN 的方程为x my n =+，代入抛物线方程，得1216y y m +=，1216y y n =-，结合AM AN ⊥即可得417n m =-+，所以直线MN 过定点()17,4P ，当MN AP ⊥时，点A 到直线MN 的距离最大，则方程可解．【详解】解：（1）将2p x =-代入2217x y +=，得y =所以2p B ⎛- ⎝，由点A ，B 关于直线y x =对称，可得2p A ⎫-⎪⎪⎭，将A 的坐标代入抛物线C 的方程得224p =8p =， 所以抛物线C 的方程为216y x =． （2）由（1）得()1,4A -，设211,16y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,16y N y ⎛⎫⎪⎝⎭，直线MN 的方程为x my n =+，将直线MN 的方程代入216y x =，得216160y my n --=，()26440m n ∆=+>，所以1216y y m +=，1216y y n =-． 因为AM AN ⊥，所以()()()()22221212121216161,41,44401616256y y y y AM AN y y y y --⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 由题意可知14y ≠-，24y ≠-，所以()()12440y y ++≠， 所以()()124410256y y --+=，即()121242720y y y y -++=，所以16642720n m --+=，即417n m =-+，满足0∆>，所以直线MN 的方程为()417x m y =-+，所以直线MN 过定点()17,4P ，当MN AP ⊥时，点A 到直线MN 的距离最大当MN AP ⊥时，点A 到直线MN 的距离最大，此时直线MN 的方程为2380x y +-=．【点睛】解决直线与圆锥曲线的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、曲线的条件；(2)强化有关直线与曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 9．(1)24y x = (2)06a <≤【分析】（1）由焦点到准线的距离为焦参数p 可得抛物线方程；（2）设直线方程为x ty a =+，1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得1212,y y y y +，代入12OA OB ⋅≤可得a 范围． （1）焦点到准线的距离为2，则2p =，抛物线方程为24y x =； （2）直线斜率不为0，设直线方程为x ty a =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由24x ty ay x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty a --=，所以124y y t +=，124y y a =-， 12221212()()OA OB x x y y ty a ty a y y ⋅=+=+++221212(1)()t y y at y y a =++++，因为12OA OB ⋅≤，所以2224(1)412a t at a -+++≤，又0a >，解得06a <≤．10．(1)221128x y +=(2)存在，定点8,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据已知条件求得22,a b ，由此求得椭圆C 的方程.（2）对直线AB 的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线AB 的方程并与椭圆方程联立，结合QA QB ⋅是常数列方程，从而求得定点Q 的坐标. （1）222222221c a b b e a a a-===-，2223b a =， 由题可得：222222222123:11286481b a x y a C b a b ⎧=⎪⎧=⎪⇒⇒+=⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩. （2）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()2y k x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组22(2)1128y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()222223121220k x k x k +++-=，可得21221223k x x k -+=+，()212212223k x x k -=+ 所以()()()()()()11221212,,22QA QB x a y b x a y b x a x a kx k b kx k b ⋅=--⋅--=--++-⋅+- ()()()2222212121244k x x k bk a x x k kb b a =++--++-++()()()2222222221221212442323k k k k bk a k kb b ak k --=+⋅+--⋅+-++++ ()()22222233124821223ab a k kb a b kλ++--++-=+则()()2222233124382120a b a k kb a b λλ++---++--=恒成立，则2222331243080120a b a b a b λλ⎧++--=⎪=⎨⎪+--=⎩，解得83a =-，0b =，449λ=-，此时8,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即存在定点8,03⎛⎫- ⎪⎝⎭满足条件449QA QB ⋅=-当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝－2，可得A ⎛- ⎝，2,B ⎛⎝-， 设(),Q a b 要使得QA QB ⋅是一个常数，即()221622,23a b a b a b ⎛⎫⎛⎫--⋅--=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 显然8,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，也使得449QA QB ⋅=-成立；综上所述：存在定点8,03Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足条件449QA QB ⋅=-.11．(1)2214x y +=(2)223211025x y ⎛⎛⎫++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭【分析】（1）由题意可得24a =，225a b +=，可求出,a b ，再由222a b c =+可求得c ，从而可求出椭圆C 的方程和离心率；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线斜率存在时，可设:l y kx m =+代入椭圆方程消去y ，整理后利用根与系数的关系，结合1BM BN k k ⋅=-，可求出m 的值，从而可得直线l 经过定点30,5E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当直线斜率不存在时，可设:l x t =，求出,M N 的坐标，结合1BM BN k k ⋅=-可求出t 的值，得F 在l 上的射影H 的轨迹为以EF 为直径的圆，从而可求出射影H 的轨迹方程 【详解】（1）由题意可得：24a =，225a b +=，222a b c =+， 可得2a =，c =1b =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率为c e a ==（2）当直线斜率存在时，可设:l y kx m =+代入椭圆方程2214x y +=，得：()()222418410k x kmx m +++-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则()12221228414141km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩． 因为直线BM ，BN 垂直，斜率之积为1-，所以1BM BN k k ⋅=-，所以()()()22121212111BM BNk x x k m x x m k k x x +-++-⋅==-．将()12221228414141km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩代入，整理化简得：()()1530m m -+=， 所以1m =或35m =-．由直线:l y kx m =+，当1m =时，直线l 经过()0,1，与B 点重合，舍去， 当35m =-时，直线l 经过定点30,5E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当直线斜率不存在时，可设:l x t =，则M t ⎛ ⎝，,N t ⎛ ⎝， 因为1BM BNk k ⋅=-1⎛ =- ⎪⎝⎭，解得0=t ，舍去． 综上所述，直线l 经过定点30,5E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而F 在l 上的射影H 的轨迹为以EF 为直径的圆， 其30,5E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，)F，所以圆心310⎫-⎪⎪⎝⎭，半径5r =所以圆的方程为223211025x y ⎛⎛⎫++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即为点H 的轨迹方程． 12．（1）2219x y +=；（2）不存在.【分析】（1）列a,b,c 的方程组即可求解；（2）设直线l 的斜率为k(k 0)<，直线FP 的斜率为k'，由点差法得kk'1==-，得0x 推出矛盾即可【详解】（1）由题意:点（c,13±）在椭圆上，故222222c a c 11a 9bc a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，⊥2a 9=，2b 1=，⊥椭圆C 的标准方程为：22x y 19+=；（2）（点差法）：设()11A x ,y ，()22B x ,y ，AB 的中点为()00P x ,y ，椭圆C的右焦点为()F ，直线l 的斜率为k(k 0)<，直线FP 的斜率为k'，则：22112222x 9y 9x 9y 9⎧+=⎨+=⎩，⊥()()()()12121212x x x x 9y y y y 0-++-+=，⊥()0121212120x y y x x k x x 9y y 9y -+==-=--+，k'=⊥kk'1==-，即：()0x 3,34=-，故不存在. 【点睛】本题考查椭圆方程，点差法应用，遇到“弦中点”问题，注意点差法的应用，是中档题13．(1)22143x y +=；(2)28849.【分析】(1)根据题意求出a 、b 、c 即可；(2)根据题意设l ：x my t =+(t ≠2)，联立l 与椭圆C 的方程，由0PM PN ⋅=求出t 为定值，再求出弦长MN ，求出点P 到直线l 的距离d ，即可求出PMN S △，根据m 的范围求出PMN S △的最大值，又根据12PMN S PM PN =⋅△即可求出||||PM PN ⋅的最大值. （1）22222122241431c a a x y a b C a b c c ⎧==⎪⎧⎪⎪=⇒=+=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩：； （2）()2,0P ，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()()11222,,2,PM x y PN x y =-=-， ⊥PM ⊥PN ，⊥0PM PN ⋅=，且12PMN S PM PN =⋅△. 由题可知直线l 斜率不为0，设l 方程为x my t =+(t ≠2)，()222224363120143x my t m y mty t x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 22Δ043t m >⇒<+(*)，则122643mt y y m -+=+，212231243t y y m -=+，则122843t x x m +=+，2212241243t m x x m -=+，()()()12121212122224PM PN x x y y x x x x y y ⋅=--+=-++++222222841231224434343t t m t m m m --=-⋅++++++2222216412312161243t t m t m m -+-+-++=+ 22716443t t m -+=+， ⊥227164043t t m-+=+，即22716407t t t -+=⇒=或t ＝2(舍). 27t =时，l 过定点(27，0)，则(*)恒成立.P (2，0)到直线l ：x －my －t ＝0的距离d =12127M y y N =-=1112227PMNSd MN =⋅=⨯=8s =≥，则226449s m -=，则()2236443449s m -+=+，则()22727272·449433643449PMNs s Ss s s s ===+-++， ⊥43s s+在s ≥8时单调递增，⊥当s ＝8时，PMN S △取最大值72144449388=+⨯，⊥1144249PMNSPM PN =⋅≤，⊥28849PM PN ⋅≤. 即PM PN ⋅的最大值是28849. 【点睛】本题关键是利用⊥PMN 的面积的最大值来求PM PN ⋅的最大值，将问题转化为常规的椭圆内部三角形面积的问题. 14．(1)22182x y +=(2)直线l 过定点63,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】(1)由题意列出相应的方程组,解得答案;（2）考虑直线斜率是否存在的情况，然后斜率存在时，设直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，结合0PA PB ⋅=，化简整理,从而可得直线过定点，直线斜率不存在时同理可求直线过该定点，由此可得答案. （1）由题意得222222411,,c a ba b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得a b c = 所以椭圆C 的方程是22182x y +=． （2）设()()1122,,,A x y B x y ，由0PA PB ⋅=可知，A ,B 异于点P , 若直线l 的斜率存在，设直线方程为y kx t =+，联立22182y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得()222148480k x ktx t +++-=， 由Δ0>得22280k t +->，则有2121222848,1414kt t x x x x k k -+=+-=+, 又0PA PB ⋅=，所以()()()()121222110x x y y --+--=，又1122,y kx t y kx t =+=+，所以()()()()12122211PA PB x x kx t kx t ⋅=--++-⋅+-()()()()2212121214k x x kt k x x t =++--++-+，故()()()()222221488(2)2541014kt kt kt k t t k PA PB k+----+-++⋅==+，即2212165230k kt t t ++--=，又22212165231216(53)(1)(653)(21)0k kt t t k kt t t k t k t ++--=+++-=+++-=． 故6530k t ++=或210k t +-=，若210k t +-=，则直线l 为21y kx k =-+，过定点(2,1)P ，与题意矛盾， 所以210k t +-≠，故6530k t ++=，所以直线l 为6355y kx k =--，过点63,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为1x x =，则2121,x x y y ==-，又2211182x y +=，所以221124x y =-，所以()()()()()()()22121211111522112114304x x y y x y y x x --+--=-+---=-+=， 解得165x =或12x =（舍去），故直线l 的斜率不存在时，l 也过点63,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上，直线l 过定点63,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及直线和椭圆相交时过定点的问题，综合性较强，解答的关键是要理清解题的思路，条理要清晰，难点是运算量大而且繁杂，要十分细心.15．(1)2219x y +=(2)存在，有三个【分析】（1）由()()2113222BF ASa cb ac =-=-=3a c -=-然后可解出答案； （2）设BM 边所在直线的方程为1y kx =+，联立直线与椭圆的方程，解出点M 的坐标，然后可得BM ，用1k-代替BM 中的k 可得BN ，然后由BM = BN 求解即可.（1）由题意得 2221,b a c =-= ⊥ 因为()()2113222BF ASa cb ac =-=-=，所以3a c -=-⊥ 由⊥⊥得3a c +=+，由⊥⊥得3,a c ==所以椭圆C 方程为2219x y +=；（2）假设能构成等腰直角BMN ，其中B (0， 1)，由题意可知，直角边,BM BN 不可能垂直或平行于x 轴，故可设BM 边所在直线的方程为1y kx =+(不妨设0k >)联立直线方程和椭圆方程得：22119y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2291180k x kx ++= 2222181818,,1919191M k k k x M k k k ⎛⎫∴=-∴--+ ⎪+++⎝⎭BM ∴=，用1k -代替上式中的k，得21BN k ==+ 由BM BN ==， 即329910k k k -+-=，()()2181014k k k k k ∴--+=∴==或，故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形. 16．（1）22184x y +=；（2）)2y x =+.【分析】（1）根据椭圆定义和离心率定义即可求出椭圆标准方程；（2）先设出直线方程及A ，B 点坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理得到A ，B 点坐标之间的关系.再利用中垂线性质及平行四边形中的向量等式得到M 点坐标，最后把M 点坐标代入椭圆方程求出斜率得到直线方程.【详解】解：（1）由2ABF △的周长为4a =，所以a = 又椭圆E的离心率e =则2c =，2b =，故椭圆E 的标准方程为：22184x y +=.（2）由题意可知，直线l 的斜率0k ≠，设直线l ：()2y k x =+，()11,A x y ，()22,B x y 由()222{28y k x x y =++=可得()2222128880kxk x k +++-=显然0∆>，2122812k x x k +=-+，21228812k x x k -=+ 则AB 中点22242,1212k k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，AB 中垂线m 方程为：2222141212k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭. 所以222,012k N k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，由四边形NAMB 为平行四边形，则NM NA NB =+， 即2221122222222,,,121212M M k k k x y x y x y k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以221222261212M k k x x x k k =++=-++，122412M k y y y k =+=+由22264,1212k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭在椭圆E 上，则()()42222236161812412k k k k +=++，解得42k =，即k =故直线l 的方程为)2y x =+.【点睛】本题考查椭圆的定义、标准方程、性质及直线与椭圆的位置关系，关键是利用向量工具表示点的坐标，采用设而不求，属于中档题. 17．(1)22143x y +=(2)⎫⎪⎝+⎭∞⎪【分析】（1）根据1c =，结合短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，得出a ，b ，求出椭圆的方程即可；（2）首先利用222OA OB AB +<的几何条件，将其转化为0OA OB ⋅<.然后设AB 的方程，联立方程组，代入整理，利用设而不求思想，借助韦达定理，将结果代入向量的坐标关系中即可求出参数a 的取值范围. （1）设M ，N 为短轴的两个三等分点，MNF 为正三角形，所以OF =，213b =，解得b =2214a b =+=， 所以椭圆方程为22143x y +=． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ， （⊥）当直线AB 与x 轴重合时，2222OA OB a +=，()22241AB a a =>，因此，恒有222OA OB AB +<.（⊥）当直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB 的方程为：1x my =+，代入22221x y a b+=，整理得()2222222220a b m y b my b a b +++-=，2122222b m y y a b m +=-+，22212222b a b y y a b m-=+因恒有222OA OB AB +<，所以AOB ∠恒为钝角， 即()()11221212,,0OA OB x y x y x x y y ⋅=⋅=+<恒成立．()()()()21212121212121111x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++()()22222222222222222222221210mb a b b m m a b b a b a a b m a b m a b m +--+-+=-+=<+++， 又2220a b m +>，所以22222220m a b b a b a -+-+<对R m ∈恒成立， 即2222222m a b a b a b >+-对R m ∈恒成立，当R m ∈时，222m a b 最小值为0，所以22220a b a b +-<，()22241a b a b <-=，0a >，0b >，221a b a ∴<=-，即210a a -->，解得a >a <（舍去），即a >i ）（ii ），a 的取值范围为⎫⎪⎝+⎭∞⎪．18．（⊥）2214y x +=，（⊥）略.【详解】(I)根据椭圆定义可知a=2,c =所以b=1,再注意焦点在y 轴上，曲线C 的方程为2214y x +=.(II) 直线与椭圆方程联立，消y 得关于x 的一元二次方程，再根据OA ⊥OB 坐标化为，借助直线方程和韦达定理建立关于k 的方程，求出k 值.(III)要证：|OA |>|OB |,2222221122()OA OB x y x y -=+-+12123()()x x x x =--+1226()4k x x k -=+，再根据A 在第一象限，故10x >,120x x ->,从而证出结论.解：（⊥）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0(0，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b ==， 故曲线C 的方程为2214y x +=． 3分（⊥）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足 221{4 1.y x y kx +==+， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=， 故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． 5分 若OA OB ⊥，即．而2121212()1y y k x x k x x =+++，于是22121222233210444k k x x y y k k k +=---+=+++，化简得2410k -+=，所以12k =±． 8分（⊥）2222221122()OA OB x y x y -=+-+22221212()4(11)x x x x =-+--+12123()()x x x x =--+ 1226()4k x x k -=+．因为A 在第一象限，故10x >．由12234x x k =-+知20x <，从而120x x ->．又0k >， 故220OA OB ->，即在题设条件下，恒有OA OB >． 12分。
圆锥曲线内接顶点直角三角形的一个性质
436200 湖北省浠水师范学校 魏爱卿 1999 年全国高中数学联赛加试 第一题 : 在四边形 ABCD 中 , 对角线 AC 平分 ∠ BAD , 在 CD 上取一点 E ,BE 与 AC 交于 F ,延长 DF 交 BC 于 G. 求证 : ∠G AC = ∠EAC. 证明 如图 1 , 连接 BD 交 AC 于 O 点 , 在 △ BCD 中运用塞瓦定理 B G CE DO = 1, GC ED OB OB = B G CE . ∴ DO GC ED 又 ∵ AO 是 △ ABD 中 ∠ A 的平分线 ,
39
下面就椭圆
情形给出证明 . 证明 如图 1 , 设直线 AB : y = k (x + a) , 则直线 AC = 图1
1 ( x + a) , k y = k (x + a) ,
2
图 1 图 2
两方程联立求解 x2
y2 = 1, a b2 得 ( x + a ) [ b2 ( x - a) + a2 k2 ( x + a ) ] = 0 , + ab - k a 2ab k ) , , a2 k2 + b2 a2 k2 + b2 2 2 3 2 ab k - a - 2ab k 同理 点 C ( 2 , ). a + k2 b2 a2 + k2 b2 由对称性知若存在这样的点 , 则必为 BC 与 x 轴的交点 ,设为 M , 令 k = 1 得 a ( b2 - a 2) x M = xB = xC = . a 2 + b2 故只需证明 B 、 C、 M 三点共线 , 而这是不
AD = DC1 a b
2
01圆锥曲线对定点张直角弦的几何性质再探——潘神龙 (广东省广州市番禺区实验中学)
点 P 在 MN 为 直 径 的 圆 E 上 ， 当
2 x0
2 2 x0 y0 0 时， 半径 a 2 b2
r O E
O ；当 P 0
a2
2 y0
b2
1 时，半径 r OE OP .
图5
图6
推论 7
b b a 2 b2 点 E 的轨迹有渐近线 y x . a 2 a 2 b2
证明：由 [2], P 1 ( 可得；当 kMN 不存在时，点 E ( x1 , 推论 1 椭圆 C1 除去点 (
x2 1 b 1 1 ) 也在轨迹上. 1 a
y0 a 2 k (kx1 y1 ) b 2 (kx1 y1 ) , 2 2 )，k . 2 2 2 2 a k b a k b (1 e2 ) x0
x2 y 2 a 2 b2 x2 y 2 a 2 b2
.
图2 过动点 P 引双曲线 C 的两条切线互相垂直，则点 P 的轨迹是准圆 b x 2 y 2 R 2 ,除去直线 y x 上的四个点，其中 R2 a 2 b2 . a 推论 1
推论 2
椭圆
x2 y 2 x2 y 2 的焦点在双曲线 1( a b 0) 1 的准圆上. a 2 b2 a 2 b2
x2 y 2 定理 1 过准圆 x y R 上一点 P( x0 , y0 ) 引椭圆 C : 2 2 1 (a b 0) a b 2 2 2 的 两 条 切 线 互 相 垂 直 ， 其 中 R a b ； 切 点 弦 MN 的 中 点 E 在 OP 上 ， 2 OE x y x 2 yE 1 2 ；当点 P 变动时，点 xE 2 0 2 ， y E 2 0 2 ， E 2 2 2 OP x0 y0 a b x0 y0 x0 y0 a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2
高考数学解析几何专题讲义第16讲--定点问题
3 3
x2
ty2
1
②
由①②知 AB 的方程为 3 x ty 1 ，即 x 3(1 ty)
③
3
易知右焦点 F ( 3, 0) 满足③ 故直线 AB 恒过定点 F ( 3, 0)
（2）略
【例 2-2】（2019 全国Ⅲ文 21）已知曲线 C ： y x2 ，D 为直线 y = - 1 上的动点，过 D 作 C 的两条切线， 切
【解法一】 F (1, 0), k (a2 , 0) ，先探索，当 m 0 时，直线 l ox 轴，则 ABED 为矩形，由对称性知，AE 与
BD 交于定点 N ( a2 1, 0) ， 2
证明：设 A(x1, y1)B(x2 , y2 )E(a2 , y1) ，当 m 变化时首先 AE 过定点 N
2 2
+ +
(y + y2 =
1)2 3 1
=
(4)2 3Þ
ìïx = 0 ïî y = 1
即两圆的公共点为(0，1)
因此所求点 T 如果存在，只能是(0，1)，事实上.点(0，1)就是所求点，证明如下 当 l 与 x 轴垂直时，以 AB 为直径的圆过 T(0，1)
当 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l ： y = kx - 1 3
且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证：直线 l 过定点，并求出该定点坐标．
y kx m
【解析】设
A(x1,
y1), B(x2 ,
y2 ) ，由 3x2
4y2
得 12
(3 4k 2 )x2 8mkx 4(m2 3) 0
64m2k 2 16(3 4k 2 )(m2 3) 0
2
2
点分别为 A，B.
2021版新高考数学：圆锥曲线中的定点、定值问题含答案
第八节圆锥曲线中的定点、定值问题
[考点要求]会证明与曲线上动点有关的定值问题、会处理动曲线(含直线)过定点的问题．
(对应学生用书第164页)
考点1定点问题
直线过定点
在平面直角坐标系xOy 中、动点
E 到定点(1、0)的距离与它到直线x ＝－1的距离相等．
(1)求动点E 的轨迹C 的方程；
(2)设动直线l ：y ＝kx ＋b 与曲线C 相切于点P 、与直线x ＝－1相交于点Q 、证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点．
[解] (1)设动点E 的坐标为(x 、y )、由抛物线的定义知、动点E 的轨迹是以(1、0)为焦点、x ＝－1为准线的抛物线、所以动点E 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .
(2)证明：易知k ≠0.由⎩⎨⎧y ＝kx ＋b y2＝4x
、消去x 、得ky 2－4y ＋4b ＝0.因为直线l 与抛物线相切、所以Δ＝16－16kb ＝0、即b ＝1k 、所以直线l 的方程为y ＝kx ＋1k 、令
x ＝－1、得y ＝－k ＋1k 、所以Q (－1、－k ＋1k ).设切点P (x 0、y 0)、则ky 20－4y 0＋4k ＝
0、解得P (1k2、2k )、设M (m 、0)、则MQ →·MP →＝(1k2－m )·(－1－m )＋2k (－k ＋1k )＝m 2
＋m －2－m －1k2、所以当⎩⎨⎧m2＋m －2＝0，m －1＝0，
即m ＝1时、MQ →·MP →＝0、即MQ ⊥MP . 所以、以PQ 为直径的圆恒过x 轴上的定点M (1、0).
考点2 定值问题。
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图4 椭圆
=
4a b m 2 ab m ( m 2 b2 - a2 ) ( a2 - b2 ) 2 ( a2 - b2 ) 2
2 2 2 2 4 2 ab m ( a + b ) 4a b ・ + 2 2 2 ( a2 - b2 ) 2 m b - a
2 ab m ( a + b ) . ( m 2 b2 - a2 ) ( a2 - b2 )
2
2
2
2
2 3 2 2 2 ab k 2 a b (1 - k ) , 2 2 ) , M1 D = ( 2 2 2 2 ( a - b ) ( b k - a2 ) a k - b
因为 ( x 1 - a) ( x 2 - a)
4
4
所以 k A C ・ kA D =
A C ⊥A D .
y1
x1 - a x2 - a
・
y2
= - 1 ,即
定理 2 设双曲线
> 0) 的左 、 右顶点为 A 1 , A , 设离心率 e ≠ 2
再证必要性 : 显然直线 A C 的斜率存在 且不等于 0 ,故设直线 A C 的方程为 y = k ( x
y = k ( x - a) . b a
点 M(
4 ,0 ) 的直线 l 交椭圆于点 A , B , 求 5
由
y = k ( x - a) , b x - a y = a b ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
∠A OB 的大小范围 . 解 因为椭圆中心为 N ( 2 ,0 ) , 在此椭 圆中 a = 2 , b = 1 ,所以点 O 就是左顶点 , 而 | MN| = 2 2
由
2) A 1 C ⊥A 1 D 的充要条件是直线 l 过
得 b x + a k ( x - a) = a b . 展开整理得
( x - a) [ ( b2 + a2 k 2 ) x - a3 k 2 + ab2 ] = 0.
定点 M 2 ( -
a( a + b ) ,0 ) . 2 2 a - b
2 2 2
由
b x + a y = a b , x = my + a( a - b ) , 2 2 a + b
2 2 2 2 2
图1 椭圆
得
b [ my +
2
a( a - b ) 2 2 2 2 2 ] + a y = a b . 2 2 a + b
2 2
的左 、 右顶点为 A 1 , A , 上 、 下顶点为 B , B 1 , 直线 l 与椭圆交于 C , D 两点 ,则
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b( a - b ) ). 2 2 a + b
2 ab 2 ab 2 2 ) ( m y2 2 2) a + b a + b 2 ab m 4a b 2 2 ( y1 + y2 ) + 2 2 2 ( a + b a + b )
4 4 2 2 2 2 4
2
2
= m y1 y2 = 2 2
证 1 ) 先 证 充 分 性 : 如 图 1 , 设 过 点
4 2 2
2
M 1 , D 三点共线 ,即直线 l 过定点 M 1 .
同理可以证明 2) ,具体证明从略 . 以圆锥曲线和直线的位置关系为背景的 一些试题在竞赛或高考中是经常出现的 “高 频题” ,利用上述结果可以很方便地解决一类 问题 ,下面看个例题 . 例 1 ( 2005 年 上海市 TI 杯高二年 级数学竞赛第 20 题) 如图 4, 已 知 椭 圆
3 2 2
半轴上 , M 2 在 x 轴的正半轴上 .
因为 A C ⊥A D ,所以 A D 的方程为
y= -
1
k
( x - a) .
设 D ( x D , yD ) , 由
y= 2 2
1
k
3
( x - a) ,
2 2 2 2 2
b x + a y = a b , a - ab k 2 ab k 得 xD = 2 2 2 , yD = 2 2 2 , a + b k a + b k
a , b
2 2 2
3 2 2 2 a b ( k - 1) M1 D = ( , 2 2 ( a + b ) ( a2 + b2 k 2 )
b x - a y = a b ,
由 得
2 ab k 2 2 2) , a + b k
a + b k 所以 M 1 C = - 2 M1 D ,故 C , 2 2 b + a k M 1 , D 三点共线 ,即直线 l 过定点 M 1 .
2
2
直线为
x = my +
要条件是直线 l 过定点 ( 2 p ,0) . 文 [ 1 ] 还对有心圆锥曲线的弦对对称中 心张直角进行了研究并获得了一组结论. 本 文给出关于有心圆锥曲线的弦对顶点张直角 的充要条件 . 定理 1 设椭圆
x y 2 + 2 = 1 ( a > b > 0) a b
2 2
图2 双曲线 图3 双曲线
证 1) 先证充分性 : 如图 2 或图 3 ,设过点 M 1 的直线为
x = my + a( a + b ) ,由题意知 2 2 a - b m ≠±
2 2 2 2 2 2
则 M1 C = (
2 ab k 2 2) , b + a k
2 2
3 2 2 2 a b ( k - 1) , 2 2 2 ( a + b ) ( b + a2 k 2 )
得 b x - a k ( x - a) = a b . 展开整理得
( x - a) [ ( b - a k ) x + a k + ab ] = 0.
2 2 2 3 2 2
4 6 = , 5 5
2
设 C ( x C , yC ) , 得
xC = a k + ab 2 ab k 2 2 2 , yC = 2 2 2 . a k - b a k - b
38
数 学 通 讯 2006 年第 11 期
2 2 4 4
・
a( a + b ) 4a b + 2 = 0. 2 2 ( a - b2 ) 2 a - b
得 xD = 则
2
a + ab k 2 ab k 2 2 2 , yD = 2 2 2 . a - b k a - b k
设 C ( x 1 , y 1 ) , D ( x 2 , y 2 ) ,则
y1 y2 = -
定点 M 2 ( -
a( a - b ) ,0) ; 2 2 a + b
2 2
4a b , ( m b + a2 ) ( a2 + b2 ) 2
2 2 2 2 2 2 ab m ( a - b ) . 2 2 2 2 ( m b + a ) ( a + b2 )
3
2
2
2
设 C ( x 1 , y 1 ) , D ( x 2 , y 2 ) ,则
y1 y2 =
4a b , ( m b - a2 ) ( a2 - b2 ) 2
2 2
4
4
M1 C =
(
3 2 2 2 a b (1 - k ) , ( a2 - b2 ) ( a2 k 2 - b2 )
y1 + y2 = -
1) A C ⊥A D 的充要条件是直线 l 过定
a( a - b ) ,0) ; 2 2 a + b
2 2 2 2
展开整理得
a( a - b ) 2 2 2 2 2 y ( m b + a ) + 2 b m y・ 2 2 a + b
点 M1 (
4a b =0, ( a2 + b2 ) 2
4
4
2) A 1 C ⊥A 1 D 的充要条件是直线 l 过
4a b m 2 ab m + ( m b + a2 ) ( a2 + b2 ) 2 ( a2 + b2 ) 2
收稿日期 :2005 - 09 - 05 ) ,男 ,江苏常熟人 ,江苏常熟市教育局教研室高级教师 ,学士 . 作者简介 : 解永良 ( 1963 —
2006 年第 11 期 数学通讯
3 2 2 2
又因为
a( a - b ) 6 = , 根据平移不变 2 2 5 a + b
性知 : 点 M 就是定理 1 ( 2 ) 中的定点 M 2 , 故 ∠A OB = 90° . 参考文献 :
[1 ] 张必平 . 弦对定点张直角的性质及其应用 . 中
因为 A C ⊥A D ,所以 A D 的方程为
2 ab 2 ab = ( m y1 + 2 2 ) ( m y2 + 2 2) a - b a - b = m y1 y2 +
4 2 2
2 ab k 2 2 2) , b k - a
2
所以 M1 C =
2 4
b k - a 2 2 2 M1 D. 故 C , a k - b
2
2
2
2 ab m 4a b 2 2 ( y1 + y2 ) + ( a2 - b2 ) 2 a - b
文 [ 1 ] 给出了关于抛物线的弦对顶点张 直角的一个充要条件 : 设直线 l 与抛物线 y = 2 px 相交于 A ,