江苏省 专转本高等数学试卷及解答

绝密★启用前

江苏省2017年普通高校专转本选拔考试

高等数学 试题卷

注意事项：

1．本试卷分为试题卷和答题卡两部分．试题卷共3页，全卷满分150分，考试时间120分钟．

2．必须在答题卡上作答，作答在试题卷上无效，作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填写在试题卷和答题卡上的指定位置． 3．考试结束时，须将试题卷和答题卷一并交回．

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑）

1．设()f x 为连续函数，则0()0f x '=是()f x 在点0x 处取得极值的（ D ）．

A ．充分条件

B ．必要条件

C ．充分必要条件

D ．非充分非必要条件

2．当0x →时，下列无穷小中与x 等价的是（ B ）

． A ．tan sin x x - B

C

1- D ．1cos x -

3．0x =为函数e 10

2

0()1sin 0

x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪==⎨

⎪>⎪⎩

的（ A ）．

A ．可去间断点

B ．跳跃间断点

C ．无穷间断点

D ．连续点

4．曲线22

68

4x x y x x

-+=+的渐近线共有 ( C )． A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条

5．设函数()f x 在点0x =处可导，则有（ D ）．

A ．0()()

lim (0)x f x f x f x

→--'=

B ．0(2)(3)

lim

(0)x f x f x f x

→-'=

C ．0()(0)

lim

(0)x f x f f x

→--'=

D ．0(2)()

lim

(0)x f x f x f x

→-'= 6．若级数1(1)n

p n n

∞

=-∑条件收敛，则常数p 的取值范围为（ C ）

． A ．[1)+∞， B ．(1)+∞， C ．(01]， D ．(01)，

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 7．设1lim(

)e d a x

x x x x x

-∞→∞-=⎰，则常数a = ▲ ．1a =-

111

lim()lim(1)e x x x x x x x

-→∞→∞-=-=，e d e e a a x x a x -∞-∞==⎰，所以1a =-．

8．设函数()y f x =的微分为2d e d x y x =，则()f x ''= ▲ ．2()2e x f x ''=

2()e x f x '=，2()2e x f x ''=．

9．设()y y x =是由参数方程3311sin x t t y t

⎧=++⎨=+⎩ 确定的函数，则(1,1)d d y x = ▲ ．13

由1x =，1y =得0t =，

(1,1)d d y x =200d cos 1

d 333

t t y t x t ====+．

10．设()cos F x x =是函数()f x 的一个原函数，则()d xf x x =⎰ ▲ ．cos sin x x x c -+

()d dcos cos cos d cos sin xf x x x x x x x x x x x c ==-=-+⎰⎰⎰．

11．设a 与b 均为单位向量，a 与b 的夹角为3

π

，则a b += ▲

．

1||||cos(,)2

a b a b a b ⋅==

，a b +====

12．幂级数14n n n n

∞

=∑的收敛半径为 ▲ ． 4

111114lim lim 44

4

n n n n n n n n +→∞→∞++==，所以，收敛半径4R =． 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）

13． 求极限2

(e 1)d lim

tan x

t x t

x x

→--⎰

．

解 2

2

20

22000(e 1)d e 1lim

lim lim 1tan sec 1tan x

t x x x x t

x x x

x x →→→--===--⎰． 14． 设(,)z z x y =是由方程ln 0z z xy +-=确定的二元函数，求22z x

∂∂．

解 10z z y x z x ∂∂+-=∂∂，1z yz

x z ∂=∂+，22222211[(0z z z x z x z x ∂∂∂+-+=∂∂∂，

22223

1((1)(1)z z y z

x z z x z ∂∂==

∂+∂+．

15

．求不定积分2

x ． 解

2x

23

x t =-2242

(3)2d 2(69)d t t t t t t t -⋅=-+⎰⎰

531

5322

2122(29)(3)4(3)9(3)55

t t t c x x x c =-++=+-++++．

16．计算定积分1

20

arcsin d x x x ⎰． 解

1111

222222200

0011arcsin d arcsin d (arcsin d arcsin )22

x x x x x x x x x ==-⎰

⎰⎰

111

2222200011(arcsin d arcsin )()2224x x x x x π=-=-⎰⎰ sin x t

=令26

600111cos 2(sin d )(d )2242242

t t t t ππ

ππ--=-⎰⎰

60

11111((sin 2))((2242222426448t t π

ππππ

-=--=--=．

17．设2

()z yf y xy =，，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y

∂∂∂．

解 设2u y =，v xy =，则()z yf u v =，，于是有

22z f f v y y y f x x v x

∂∂∂∂'===∂∂∂∂， 2222222222()f f f z

u v yf y yf y x y y u y v y '''∂∂∂∂∂∂''=+=++∂∂∂∂∂∂∂ 232221

22221222(2)22yf y yf xf yf y f xy f ''''''''''=++=++． 18． 求通过点(1,1,1)且与直线

111

121x y z +-+==

--及直线4321050

x y z x y z +++=⎧⎨-+-=⎩都垂直的直线方程． 解 依题意直线

111121x y z +-+==

--的方向向量1(1,2,1)s =--

，直线4321050x y z x y z +++=⎧⎨-+-=⎩

的方向向量 243

2(5,2,7)111i j k

s ==---

，则所求直线的方向向量121(16,12,8)4(4,3,2)527

i j k

s =--=---=---

，