黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三数学上学期期末考试试题理(含解析)

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哈尔滨市第三中学2020届高三数学综合题三理含解析

∴cos〈 , 〉＝＝。
即OE与FD1所成的角的余弦值为。
10. 若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（）
A. B。 C。 D.
【答案】D
【解析】
因，故由题设在区间内有零点，即，所以且，即，应选答案D．
11。已知两正数，，满足，则的最小值为（）
【详解】解：∵ ，
复数的虚部是．
故选:C
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题。
2. 已知，函数 ,若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是
A. B。
C. D。
【答案】C
【解析】
试题分析:因为, 满足关于的方程，所以，，使取得最小值，因此，是假命题，选C．
15。中, ，，，为边上一动点，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据三边长得出直角三角形,以作为基底,表示出，即可求得模长，利用函数单调性求出最值。
【详解】中，， , ，，
根据勾股定理
为边上一动点，设 ,
，
，
则
，根据二次函数性质，当时，取得最小值，
最小值为。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案填在答题卡相应的位置上.）
13。展开式中的系数是______。（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】
利用二项式定理得到展开式通项,进而得到展开式通项，令幂指数等于可求得，代入求得结果。
【详解】展开式通项公式为 ,
展开式通项公式为 ,
考点:方程的根，二次函数的图象和性质，全称命题、存在性命题．

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高三(上)期末数学试卷(理科)

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{|1}P x x =„，集合1|1Q x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭„，则(P Q =I )A ．ϕB ．{1}C ．{|0}x x <D ．{|0x x <或1}x =2．（5分）设复数1z i =，21z i =+，则复数12z z z =g 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）设函数2,0()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩„，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是( )A ．(-∞，1]-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞4．（5分）已知椭圆22143x y +=，则与椭圆相交且以点(1,1)A 为弦中点的直线所在方程为()A ．3470x y ++=B ．2570x y +-=C ．3410x y -+=D ．3470x y +-=5．（5分）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅⋯⋯癸酉、甲戌、乙亥、丙子⋯⋯癸未、甲申、乙酉、丙戌⋯⋯癸巳⋯⋯癸亥，60为一个周期，周而复始，循环记录．按照“干支纪年法”，中华人民共和国成立的那年为己丑年，则2013年为()A ．甲巳年B ．壬辰年C ．辛卯年D ．癸巳年6．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面 ①m α⊂，//n α，则//m n ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③n αβ=I ，//m n ，//m α，则//m β； ④若//m α，//n β，//m n ，则//αβ．上述四个命题中，正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）在ABC ∆中，1CA =，3CB =，2ACB π∠=，点M 满足3CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r，则(MA MB =u u u r u u u r g) A ．3B ．6C ．9D ．08．（5分）由直线1y x =-上的点向圆22(2)(3)1x y -+-=引切线，则切线长的最小值为() A ．1B ．2C ．2D ．39．（5分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)(21)n n a n =--，则2019(S = ) A ．2019B ．2019-C ．4037-D ．403710．（5分）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．174π B 1717C ．172πD 171711．（5分）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是221y x -=，[1y ∈，10]，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．2.512．（5分）已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()2()xf x f x '+=，12()22f e=，若对任意正数a ，b 都有2221311(())224644x abf b e a -<++，则x 的取值范围是( ) A ．(2,1)-- B ．(,1)-∞-C ．1(1,)2-D ．1(0,)2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若双曲线的渐近线方程为2y x =±，且焦点在y 轴上，则双曲线的离心率为． 14．（5分）将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人三本，其余两人每人一本，则有种不同分法．（结果用数字作答）15．（5分）如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[ϕπ∈-，]π，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．则y （米)关于t （分钟）的解析式为．16．（5分）已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 均在抛物线2y x =上，给出下列命题： ①若直线BC 过点3(,0)8M ，则存在ABC ∆使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的重心；②若直线BC 过点(1,0)N ，则存在点A 使ABC ∆为直角三角形； ③存在ABC ∆，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的外心； ④若边AC 的中线//BM x 轴，||2BM =，则ABC ∆的面积为23．其中正确的序号为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，26b =，2B A =．（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求c 的值．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知直线1B C 与1AA 所成的角为45︒，求二面角1D BC C --的大小．19．（12分）已知在正项数列{}n a 中，首项12a =，点1(,n n A a a +在双曲线221y x -=上，数列{}n b 中，点(n b ，)n T 在直线112y x =-+上，其中n T 是数列{}n b 的前n 项和．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求使得1|1|2020n T -<成立n 的最小值；（3）若n n n c a b =g ，求证：数列{}n c 为递减数列．20．（12分）已知抛物线2:4C y x =上一点(2,1)A ，D 与A 关于抛物线的对称轴对称，斜率为1的直线交抛物线于M 、N 两点，且M 、N 在直线AD 两侧．（1）求证：DA 平分MDN ∠；（2）点E 为抛物线在M 、N 处切线的交点，若EMN DMN S S ∆∆=，求直线MN 的方程． 21．（12分）已知函数()f x lnx ax =-，0a >．（1）若()f x a -„对0x ∀>恒成立，求实数a 的取值集合；（2）在函数()f x 的图象上取定点1(A x ，1())f x ，2(B x ，212())()f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在01(x x ∈，2)x ，使0()k f x '=成立；（3）当*n N ∈时，证明：22231(2)()()224n n ln ln ln n n +++⋯+>+．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上任意一点(,)P x y经过伸缩变换2x y y ⎧'⎪⎨'=⎪⎩后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(cos sin )8l ρθθ-=．（1）求曲线2C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知0a >，0b >，0c >设函数()||||f x x b x c a =-+++，x R ∈．（1）若2a b c ===，求不等式()7f x >的解集；（2）若函数()f x 的最小值为2，证明：4199()2a b c a b b c c a +++++++…．2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{|1}P x x =„，集合1|1Q x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭„，则(P Q =I )A ．ϕB ．{1}C ．{|0}x x <D ．{|0x x <或1}x =【解答】解：Q 111{|1}{|0}{|0}{|1x x Q x x x x x x x x--====剟厖或0}x <又{|1}P x x =Q „， {|0P Q x x ∴=<I 或1}x =故选：D ．2．（5分）设复数1z i =，21z i =+，则复数12z z z =g 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：复数1z i =，21z i =+，则复数12(1)1z z z i i i ==+=-+g ．复数对应的点的坐标(1,1)-，复数12z z z =g 在复平面内对应的点位于第二象限．故选：B ．3．（5分）设函数2,0()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩„，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是( )A ．(-∞，1]-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞【解答】解：函数2,0()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩„，的图象如图：满足(1)(2)f x f x +<，可得：201x x <<+或210x x <+„，解得(,0)x ∈-∞．故选：D ．4．（5分）已知椭圆22143x y +=，则与椭圆相交且以点(1,1)A 为弦中点的直线所在方程为()A ．3470x y ++=B ．2570x y +-=C ．3410x y -+=D ．3470x y +-=【解答】解：设(,)A x y ，(,)B x y ''，由题意知22x x y y '+=⎧⎨'+=⎩，则2222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨''⎪+=⎪⎩，两式相减得：2222043x x y y ''--+=，整理得：3()34()4y y x x x x y y ''-+=-=-''-+，所以34k =-，直线方程为：31(1)4y x -=--，即3470x y +-=，故选：D ．5．（5分）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅⋯⋯癸酉、甲戌、乙亥、丙子⋯⋯癸未、甲申、乙酉、丙戌⋯⋯癸巳⋯⋯癸亥，60为一个周期，周而复始，循环记录．按照“干支纪年法”，中华人民共和国成立的那年为己丑年，则2013年为()A ．甲巳年B ．壬辰年C ．辛卯年D ．癸巳年【解答】解：从1949年到2009年，总共经过了60年；从2009年到2013年，总共经过了5年；所以天干中的己变为癸，地支中的丑变为巳，即2020年是“干支纪年法”中的癸巳年．故选：D ．6．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面 ①m α⊂，//n α，则//m n ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③n αβ=I ，//m n ，//m α，则//m β； ④若//m α，//n β，//m n ，则//αβ．上述四个命题中，正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：若m α⊂，//n α，则m 与n 平行或异面，①错误；若//αβ，//βγ，则由平行公理得//αγ，又因为m α⊥，所以m γ⊥，故②正确；若n αβ=I ，//m n ，//m α，则//m β或m β⊂，故③错误；若//m α，//n β，//m n ，则α与β平行或相交；故④错误，故选：A ．7．（5分）在ABC ∆中，1CA =，3CB =，2ACB π∠=，点M 满足3CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r，则(MA MB =u u u r u u u r g) A ．3B ．6C ．9D ．0【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，由题意知，(0,0)C ，(3,0)B ，(0,1)A ； ∴(3,0)CB =u u u r ，(0,1)CA =u u u r， ∴3(3,3)CM CB CA =+=u u u u r u u u r u u u r，∴(3,2)MA CA CM =-=--u u u r u u u r u u u u r， (0,3)MB CB CM =-=-u u u r u u u r u u u u r，则30(2)(3)6MA MB =-⨯+-⨯-=u u u r u u u rg ．故选：B ．8．（5分）由直线1y x =-上的点向圆22(2)(3)1x y -+-=引切线，则切线长的最小值为()A ．1B ．2C D 【解答】解：根据题意，设P 为直线1y x =-上一点，过点P 向圆22(2)(3)1x y -+-=引切线，T 为切线，圆22(2)(3)1x y -+-=的圆心为C ，其坐标为(2,3)，半径1r =，则切线长||PT ==，要使切线长最小，必须是||PC 的值最小，又由||PC 的最小值d ==则切线长||PT 1=；故选：A ．9．（5分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)(21)n n a n =--，则2019(S = ) A ．2019B ．2019-C ．4037-D ．4037【解答】解：(1)(21)n n a n =--，可得20191357911(40341)(40361)(40381)S =-+-+-+-⋯--+--- 22240372100940372019=++⋯+-=⨯-=-．故选：B ．10．（5分）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为( )A．174πB．1717πC．172πD．1717π【解答】解：由题意可知几何体是三棱锥，是正方体的一部分如图：底面BCD是等腰三角形，边长为：2，5，5，外接圆的半径为r，可得222(2)1r r=-+，解得54r=，三棱锥的外接球的半径为R，2225934(2)1616R r r=+-=+=，外接球的表面积为：34174162ππ⨯=．故选：C．11．（5分）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是221y x-=，[1y∈，10]，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为()A ．1B ．2C ．3D ．2.5【解答】解：由题意画出曲线的图象，设小球的截面圆心为：0(0,)y ，设双曲线上的点(,)x y ，点到圆心的距离的平方22222220000()1()221r x y y y y y y y y y =+-=-+-=-+-，对称轴02y y =若2r 最小值在(0,1)时取得，则小球触及最底部，故二次函数的对称轴在1y =的左边，所以012y „，02y „，所以0211r <-=„，故选：A ．12．（5分）已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()2()xf x f x '+12()22f e=，若对任意正数a ，b 都有2221311(())224644x abf b e a -<++，则x 的取值范围是( ) A ．(2,1)-- B ．(,1)-∞- C ．1(1,)2-D ．1(0,)2【解答】解：令2()()x g x e f x =，则2()()xg x f x e =，且222()2()()[2()()]x x x g x e f x e f x e f x f x e x '=+'=+'=则22222()()2()2()2()()()x x x x x g x e g x e g x g x e x g x f x e e '-'--'===g g ，令()2()h x ex g x =，则()2()22x xh x ex g x xx'=-'=，令()0h x '>，解得102x <<；令()0h x '<，解得12x >， ∴121112122()()2()2()02222e e eh x h e g ef ==-==„，()0f x ∴'„在(0,)+∞上恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上递减；又222222111114()4644464882ab ab ab f b e a b e a ++=+++==…， ∴131(())()222x f f -<，∴13()022131()222x x ⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，解得1x <-．故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若双曲线的渐近线方程为2y x =±，且焦点在y 轴上，则双曲线的离心率为．【解答】解：Q 双曲线的焦点在y 轴上，∴设双曲线的方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>可得双曲线的渐近线方程是ay x b =±，结合题意双曲线的渐近线方程是2y x =±，得2ab=， 2b a ∴=，可得：2224()c a a -=，即2245c a =，此双曲线的离心率e =．． 14．（5分）将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人三本，其余两人每人一本，则有 60 种不同分法．（结果用数字作答）【解答】解：第一步：一人三本的方法：13235554333021C C C ⨯==⨯=⨯g g ，第二步，剩余的分给另外两人：222A =，所以共有：30260⨯=种方法；故答案为：60．15．（5分）如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[ϕπ∈-，]π，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．则y （米)关于t （分钟）的解析式为250sin()6032y t ππ=-+ ．【解答】解：（1）由题意， 50A =，60b =，3T =；故23πω=，故250sin()603y t πϕ=++；则由50sin 6010ϕ+=及[ϕπ∈-，]π得，2πϕ=-；故250sin()6032y t ππ=-+．故答案为：250sin()6032y t ππ=-+． 16．（5分）已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 均在抛物线2y x =上，给出下列命题： ①若直线BC 过点3(,0)8M ，则存在ABC ∆使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的重心；②若直线BC 过点(1,0)N ，则存在点A 使ABC ∆为直角三角形； ③存在ABC ∆，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的外心； ④若边AC 的中线//BM x 轴，||2BM =，则ABC ∆的面积为23．其中正确的序号为 ①② ．【解答】解：①若直线BC 过点3(,0)8M ，则当A 为坐标原点时，(0,0)A ，设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，则由重心坐标公式可得，ABC ∆的重心的横坐标为121131(0)3344x x ++=⨯=，纵坐标为0，∴抛物线2y x =的焦点1(4，0)为ABC ∆的重心，故①正确；②若直线BC 过点(1,0)N ，取(4,2)B ，则202413BC k -==-，过B 且与BC 垂直的直线方程为32(4)2y x -=--，联立2382y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩或64983x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． ∴若直线BC 过点(1,0)N ，则存在点A 使ABC ∆为直角三角形，故②正确；设以1(4，0)为圆心的圆的方程为2221()4x y r -+=，联立22221()4x y r y x⎧-+=⎪⎨⎪=⎩，得221681160x x r ++-=． Q 12102x x +=-<，∴方程221681160x x r ++-=至多有一个正根，即圆为2221()4x y r -+=与抛物线2y x =至多有两个交点，∴不存在ABC ∆，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的外心，故③错误；④如图，根据题意设2(A a ，)a ，2(B b ，)b ，2(C c ，)c ，不妨设0a <，M Q 为边AC 的中点，22(2a c M +∴，)2a c +，又//BM x 轴，则2a cb +=，故2222222()()||||||22244a c a c a c a c BM b +++-=-=-==，2()8a c ∴-=，即22a c -=-设A 到BM 的距离为h ，故122||2||2||||2222ABC ABM a cS S BM h a b a a c ∆∆+==⨯=-=-=-=g D 错误．∴正确的序号为①②．故答案为：①②．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，b =，2B A =．（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求c 的值．【解答】解：（Ⅰ）ABC ∆Q 中，3a =，b =2B A =，∴由正弦定理得：3sin sin 2A A =，即2sin cos sin 3A A A =，cos A ∴=；（Ⅱ）由（1）知cos A =(0,)A π∈，sin A ∴，又2B A =， 21cos cos22cos 13B A A ∴==-=，(0,)B π∈，sin 3B ∴=，在ABC ∆中，1sin sin()sin cos cos sin 3C A B A B A B =+=+=，3sin 5sin a Cc A∴===． 18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知直线1B C 与1AA 所成的角为45︒，求二面角1D BC C --的大小．【解答】解：（1）证明：直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点．以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AB AC ==，1AA t =，则(2B ，0，0)，(0C ，2，0)，1(2B ，0，)t ，(0D ，0，)2t ，(1E ，1，)2t，(2BC =-u u u r，2，0)，1(0BB =u u u r ，0，)t ，(1DE =u u u r ，1，0)， Q 0BC DE =u u u r u u u rg ，10BB DE =u u u r u u u r g ，BC DE ∴⊥，1BB DE ⊥， 1BC BB B =Q I ，DE ∴⊥平面11BCC B ．（2）解：1(0A ，0，)t ，1(2B C =-u u u u r ，2，)t -，1(0AA =u u u r，0，)t ， Q 直线1B C 与1AA 所成的角为45︒，21111211||2|cos ,|||||8B C AA B C AA B C AA t t∴<>===+u u u u r u u u ru u u u r u u u r g u u u u r u u u r g g ，解得22t =(0D ∴，02)，1(0C ，2，22)，(2BC =-u u u r，2，0)，(2BD =-u u u r ，02)，1(2BC =-u u u u r ，2，22)，设平面BDC 的法向量(n x =r，y ，)z ，则220220n BD x z n BC x y ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1x =，得(1n =r ，12)，设平面1BCC 的法向量(m x =r，y ，)z ，则1220 2222m BC x ym BC x y z⎧=-+=⎪⎨=-++=⎪⎩u u u rrgu u u u rrg，取1x=，得(1m=r，1，0)，设二面角1D BC C--的大小为θ．则||2cos||||42m nm nθ===r rgr rg g，4πθ∴=．∴二面角1D BC C--的大小为4π．19．（12分）已知在正项数列{}na中，首项12a=，点1(,n nA a a+在双曲线221y x-=上，数列{}nb中，点(nb，)nT在直线112y x=-+上，其中nT是数列{}nb的前n项和．（1）求数列{}na、{}nb的通项公式；（2）求使得1|1|2020nT-<成立n的最小值；（3）若n n nc a b=g，求证：数列{}nc为递减数列．【解答】（1）解：由题意，点1(,)n nA a a+在双曲线221y x-=上，则11n na a+-=．∴数列{}na是以2为首项，1为公差的等差数列，2(1)11na n n∴=+-=+g，*n N∈．又Q点(nb，)nT在直线112y x=-+上，则112n nT b=-+．当1n=时，111112b T b==-+，解得123b=；当2n …时，11111122n n n n n b T T b b --=-=-++-，整理，得113n n b b -=．∴数列{}n b 是以23为首项，13为公比的等比数列，1212()333n n n b -∴==g ，*n N ∈．（2）解：由（1），得11211112233n n n n T b =-+=-+=-g ．则111|1||11|332020n nn T -=--=<，即32020n >．63729=Q ，732187=， n ∴的最小值为7．（3）证明：由（1），得22(1)(1)33n n n n n n c a b n +==+=g g ． 1112(2)2(1)420333n n n n n n n n c c ++++++∴-=-=-<，*n N ∈． 1n n c c +∴<对任意*n N ∈恒成立．∴数列{}n c 为递减数列．20．（12分）已知抛物线2:4C y x =上一点(2,1)A ，D 与A 关于抛物线的对称轴对称，斜率为1的直线交抛物线于M 、N 两点，且M 、N 在直线AD 两侧．（1）求证：DA 平分MDN ∠；（2）点E 为抛物线在M 、N 处切线的交点，若EMN DMN S S ∆∆=，求直线MN 的方程．【解答】解：（1）由题意如图，由题意抛物线的对称轴为y 轴，可知(2,1)D -，设直线MN 的方程为y x b =+，(,)M x y ''''，(,)N x y ''，联立直线与抛物线的方程整理得：2440x x b --=，4x x '+=，4xx b '=-，所以11(1)(2)(1)(2)2(1)()4(1)2(4)4(1)4(1)022(2)(2)(2)(2)(2)(2)DN DM y y x b x x b x x x b x x b b b b k k x x x x x x x x '''''-''-+-''++''+-+''+++''+--+++-+=+====''''+''++''++''++''+，所以DN DM k k =-，所以DA 平分MDN ∠；（2）由24y x =，24x y =，所以2xy '=，所以在M 处的切线方程为：22()2424x x x x y x x x ''''''''=-''+=-①，同理在N 处的切线方程为：224x x y x ''=-②，①②联立和（1）解得：22x x x '+''==，4x x y b '''==-，所以E 的坐标为：(2,)b -，由（1）直线:0MN x y b -+=及题意得：22=，整理得：231450b b +-=，解得：13b =或5-，又因为且M 、N 在直线AD 两侧，经检验13b =符合题意，所以直线MN 的方程为13y x =+．21．（12分）已知函数()f x lnx ax =-，0a >．（1）若()f x a -„对0x ∀>恒成立，求实数a 的取值集合；（2）在函数()f x 的图象上取定点1(A x ，1())f x ，2(B x ，212())()f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在01(x x ∈，2)x ，使0()k f x '=成立；（3）当*n N ∈时，证明：22231(2)()()224n n ln ln ln n n +++⋯+>+．【解答】解：（1）()f x a -„对0x ∀>恒成立，即0lnx ax a -+„对任意0x >都成立，构造函数()(0)g x lnx ax a x =-+>，则()0max g x „，11()axg x a x x-'=-=，令()0g x '=，解得1x a=，当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1(,)x a∈+∞，()0g x '<；故11()()10max g x g ln a a a==-+„，即10(0)lna a a -+>…，设h （a ）1(0)lna a a =-+>，则11()1ah a a a-'=-=，令h '（a ）0=，解得1a =，当(0,1)a ∈时，h '（a ）0>；当(1,)a ∈+∞时，h '（a ）0<；故h （a ）max h =（1）0=，即h （a ）10lna a =-+„，而又需10lna a -+…，故1a =；（2）证明：作辅助函数211121()()()()()()f x f x F x f x f x x x x x -=----，则2121()()()()f x f x F x f x x x -'='--，显然12()()F x F x =，由导数的几何意义可知，存在01(x x ∈，2)x ，使得210021()()()()0f x f x F x f x x x -'='-=-，即21021()()()f x f x f x x x -'=-，即0()f x k '=，即得证．（3）证明：由（1）知，1lnx x -„，则11ln x x-…，取11()n n N x n +=∈g ，则111n ln n n +>+，则2211111()(1)(1)(2)12n ln n n n n n n +>>=-+++++， ∴2223111111111(2)()()2233412222(2)n nln ln lnn n n n n +++⋯⋯+>-+-+⋯⋯+-=-=++++，即得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上任意一点(,)P x y经过伸缩变换2x y y⎧'⎪⎨'=⎪⎩后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(cos sin )8l ρθθ-=．（1）求曲线2C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．第21页（共21页）【解答】解：（1）将曲线1cos :(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上任意一点(,)P x y经过伸缩变换2x y y⎧'=⎪⎨'=⎪⎩后得到曲线22sin x C y θθ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩的图形．整理得22134x y +=．（2）设点,2sin )P θθ，直线:(cos sin )8l ρθθ-=转换为直角坐标方程为：80x y --=．所以点,2sin )P θθ到直线80x y --=，的距离d ==，当sin()1θα+=-时，max d =+，此时点(P ．[选修4-5：不等式选讲]23．已知0a >，0b >，0c >设函数()||||f x x b x c a =-+++，x R ∈．（1）若2a b c ===，求不等式()7f x >的解集；（2）若函数()f x 的最小值为2，证明：4199()2a b c a b b c c a +++++++…．【解答】解：（1）当2a b c ===时，22,2()|2||2|26,2222,2x x f x x x x x x +>⎧⎪=-+++=-⎨⎪-+<-⎩剟．()7f x >Q ，∴2272x x +>⎧⎨>⎩或2272x x -+>⎧⎨<-⎩， ∴52x <-或52x >，∴不等式的解集为55(,)(,)22-∞-+∞U ．（2）()|||||()()|||f x x b x c a x b x c a b c a b c a =-+++--++=++=++Q …， ()2min f x b c a ∴=++=， ∴4191419()(222)2a b c a b b c c a a b b c c a ++=++++++++++21922=…， ∴4199()2a b c a b b c c a +++++++…。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析

2020年哈三中高三学年第一次模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅰ卷一、选择题1.已知全集U =R ，集合2{|340}A x x x =-->，{|0}5xB x x =<-，那么集合()UC A B ⋂=（）A. {}14x x -≤≤B. {}04x x <≤C. {}05x x <<D.{}15x x -≤<【答案】B 【解析】【分析】先分别解不等式2340x x -->和05xx <-,再求得UA ,进而根据交集的定义求解即可.【详解】由题,2340x x -->,解得4x >或1x <-,则{}U|14A x x =-≤≤,05xx <-,解得05x <<,即{}|05B x x =<<, 所以(){}U|04A B x x ⋂=<≤,故选:B【点睛】本题考查集合的交集、补集运算,考查解一元二次不等式和分式不等式,考查运算能力.2.i 为虚数单位，满足2i z i ⋅=+的复数z 的虚部是（） A. 1 B. iC. 2-D. 2i -【答案】C 【解析】【分析】整理z 为a bi +的形式,即可得到结果. 【详解】由题,因为2i z i ⋅=+,所以()22212i ii z i i i ++===-,故选:C【点睛】本题考查复数的虚部,考查复数的除法运算,属于基础题.3.34x ⎫⎪⎪⎝⎭-的展开式中的常数项为（）A. -B.C. 9-D. 9【答案】C 【解析】【分析】利用通项公式)()()33246241331rrrrr r r r r T C xCx ----+++=-=-,令6240r r -++=,进行求解.【详解】由题,因为)()()33246241331rrrrr r r r r T C x Cx ----+++=-=-,所以令6240r r -++=,解得1r =,所以常数项为()3111319C --=-,故选:C【点睛】本题考查二项式展开式中的常数项,属于基础题.4.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件，若棱锥的体积为3π，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为（）B. 1D. 【答案】D 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ,则母线长为2r ,,由同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件,可知棱锥与圆锥的体积相等,进而求解. 【详解】由题,设圆锥的底面半径为r ,因为圆锥的侧面展开图是半圆,则母线长为2r ,,因为现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件,所以棱锥与圆锥的体积相等,所以()2133V r ππ=⨯=,解得r =,所以母线长为故选:D【点睛】本题考查圆锥的体积公式的应用,考查理解分析能力.5.某商场每天的食品销售额x （万元）与该商场的总销售额y （万元）具有相关关系，且回归方程为ˆ9.7 2.4yx =+.已知该商场平均每天的食品销售额为8万元，估计该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为（）. A.110B.19C.18D.17【答案】A 【解析】【分析】将8x =代入ˆ9.7 2.4yx =+中即可得到该商场平均每天的总销售额,进而求比即可. 【详解】由题,当8x =,9.78 2.480y =⨯+=, 所以比值为818010=, 故选:A【点睛】本题考查线性回归方程的应用,属于基础题.6.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且3S 是4S 与5S 的等差中项，则数列{}n a 的公比为（） A. 2- B. 12-C. 12-D. 2-或1【答案】A 【解析】【分析】由等差中项可得3452S S S =+,整理可得4520a a +=,进而根据等比数列的定义求解即可. 【详解】由题,因为3S 是4S 与5S 的等差中项,所以3452S S S =+,即()()()1231234123452a a a a a a a a a a a a ++=++++++++,所以4520a a +=, 所以542a q a ==-, 故选:A【点睛】本题考查求等比数列的公比,考查等差中项的应用.7.某地区有10000名高三上模拟考试，其中数学分数服从正态分布()120,9N ，成绩在(117,126]之外的人数估计有（）（附：若X 服从2(,)N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<≤+=）A. 1814人B. 3173人C. 5228人D. 5907人【答案】A 【解析】【分析】由120μ=,3σ=可得()()11712612031206P X P X <≤=-<≤+,进而由数据及对称性求得概率,即可求解.【详解】由题,120μ=,3σ=,()()()1117126*********.95450.95450.68270.81862P X P X <≤=-<≤+=-⨯-=,所以()11171260.1814P X -<≤=, 所以100000.18141814⨯=人, 故选:A【点睛】本题考查正态分布的应用,考查由正态分布的3σ区间及对称性求概率.8.以()1F ，)2F 为焦点的椭圆与直线0x y -+=有公共点，则满足条件的椭圆中长轴最短的为（）A. 22164x y +=B. 2213x y +=C. 22153x y +=D.22142x y += 【答案】C 【解析】【分析】设222212x y a a +=-()22a >,与直线方程联立可得()2222422100a x x a a -++-=,由有公共点,则满足0∆≥,进而求解即可.【详解】由题,设椭圆方程为222212x y a a +=-()22a >,与直线0x y -+=联立可得()2222422100a x x a a -++-=,令()()()22224422100a a a ∆=---≥,解得25a ≥或22a ≤（舍去）,故2a 的最小值为5, 故选:C【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力.9.已知某同学每次射箭射中的概率为p ，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多于1次的概率为0.784，则p =（） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8【答案】C 【解析】【分析】若该同学射箭3次射中多于1次,即射中2次或3次,有()22333310.784C p p C p -+=,进而求解即可.【详解】由题,()22333310.784P C p p C p =-+=,解得0.7p =, 故选:C【点睛】本题考查独立重复事件的概率,考查二项分布的应用.10.已知函数2log y x =和函数2log (2)y x =-的图象分别为曲线1C ，2C ，直线y k =与1C ，2C 分别交于M ，N 两点，P 为曲线1C 上的点.如果PMN 为正三角形，则实数k 的值为（）A. ()2log 1-B. ()2log 1--C. ()121-D.()121--【答案】B 【解析】【分析】由y k =可求得M x ,由两曲线可知2MN =,即可求得点P 坐标,再由正三角形PMN 的性质可得P y k =,进而求解.【详解】由题可知,当y k =时,2log k x =,则2k x =,即2kM x =,由曲线1C ,2C 可得2MN =,所以P()()221,log 21kk ++,又PMN 为正三角形,所以P y k =,所以()2log 21=+kk ,解得()2log 1k =--,故选:B【点睛】本题考查指数式与对数式的应用,考查对数函数图象的应用,考查运算能力. 11.将一枚骰子抛掷3次，则最大点数与最小点数之差为3的概率是（） A.13B.14C.15D.16【答案】B 【解析】【分析】由最大点数与最小点数之差为3可得最大点数与最小点可能为()1,4,()2,5,()3,6,由每次骰子的点数可能的情况为6种,当两点数组合为()1,4时,第三个数可取1,2,3,4,则对选出的3个数全排列,再减去重复的情况,其他两组同理,进而求解. 【详解】由题可知,因为最大点数与最小点数之差为3,则最大点数与最小点可能为()1,4,()2,5,()3,6,则()3346316664A P ⨯-⨯==⨯⨯,故选:B【点睛】本题考查古典概型的概率公式的应用,考查排列的应用,考查分析能力.12.已知函数()11,0ln()1,0x x f x ex x x⎧-++≤⎪=⎨+>⎪⎩，若方程()()()200f x mf x n n -+=≠⎡⎤⎣⎦有7个不同的实数解,则23m n +的取值范围（） A. (2,6) B. (6,9)C. (2,12)D. (4,13)【答案】C 【解析】【分析】先画出()f x 的图象,设()t f x =,由图象可转化问题为()1f x t =有3个解,()2f x t =有4个解,则分别讨论①10t =,()20,1∈t ；②()11,2t ∈,()20,1∈t ；③11t =,()20,1∈t ,再利用线性规划求解.【详解】由题,当0x ≤时,(),102,212,2x x f x x x x x --<≤⎧⎪=+-<≤-⎨⎪--≤-⎩；当0x >时,()()()22ln 1ln ex ex exex f x x x ⋅--'==, 当()0,1x ∈时,()0f x '>；当()1,x ∈+∞,()0f x '<, 所以()f x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减, 所以()()max 12f x f ==,当0x →时,()ln ex →-∞,则()f x →-∞；当x →+∞时,()ln 0ex x→,则()1f x →, 画出()f x 的图象,如图所示,因为()()()200f x mf x n n-+=≠⎡⎤⎣⎦有7个不同的实数解,设()t f x=,则()200t mt n n-+=≠,设12,t t为方程()200t mt n n-+=≠的解,则由图象可知()1f x t=有3个解,()2f x t=有4个解,①10t=,()20,1∈t,将1t=代入方程中可得0n=,与条件矛盾,舍去；②()11,2t∈,()20,1∈t,设()2g t t mt n=-+,则()()()001020ggg⎧>⎪<⎨⎪>⎩,即10420nm nm n>⎧⎪-+<⎨⎪-+>⎩,则可行域如图所示,设23z m n=+,即2133n m z=-+,平移直线2133n m z=-+,与点B相交时截距最小,与点A相交时截距最大, 因为点()10B,,点()3,2A,所以()232,12m n+∈；③11t=,()20,1∈t,则()()0010012ggm⎧⎪>⎪=⎨⎪⎪<<⎩,即1002nm nm>⎧⎪-+=⎨⎪<<⎩,则可行域如图所示,即为线段CB,平移直线2133n m z=-+,与点B相交时截距最小,与点C相交时截距最大,因为点()10B,,点()2,1C,所以()232,7m n+∈,综上,()232,12m n+∈,故选:C【点睛】本题考查由零点个数求参数范围,考查利用线性规划求范围,考查利用导函数判断函数图象,考查转化思想、分类讨论思想和数形结合思想.第Ⅱ卷二、填空题13.已知函数()54cos cos6f x x x mπ⎛⎫=--⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数m的取值范围是______.【答案】0,23⎡⎣【解析】【分析】转化问题为函数()54cos cos6g x x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭与y m=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点,进而求解即可.【详解】由题,因为函数()54cos cos 6f x x x m π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点, 所以设()54cos cos 6g x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,则函数()54cos cos 6g x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与y m =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点, 因为()514cos cos 4sin cos 22sin 22sin 2623g x x x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则设23t x π=-,2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以2sin y t =则当,32t ππ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时,函数单调递增；当2,23t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数单调递减,当23t π=时,0y =；当2t π=时,2y =3t π=-时,y =-所以0,2m ⎡∈⎣,故答案为: 0,2⎡⎣【点睛】本题考查由零点的个数求参数范围,考查利用三角恒等变换化简,考查转化思想和运算能力.14.已知点P 为圆()()22681x y -+-=上任一点，1F ，2F 分别为椭圆22143x y +=的两个焦点，求12PF PF ⋅的取值范围______. 【答案】[80,120] 【解析】【分析】由椭圆的标准方程可得焦点()11,0F -,()21,0F ,由点P 在圆上可设()6cos ,8sin P θθ++,求得1PF ,2PF ,进而利用三角函数的性质求解即可.【详解】由题,椭圆的焦点为()11,0F -,()21,0F , 设点()6cos ,8sin P θθ++,则()17cos ,8sin PF θθ=----,()25cos ,8sin PF θθ=----, 所以()()()()127cos 5cos 8sin 8sin 10012cos 16sin PF PF θθθθθθ⋅=----+----=++()10020sin θϕ=++,3tan 4ϕ=, 因为()[]sin 1,1θϕ+∈-, 所以[]1280,120PF PF ⋅∈, 故答案为:[]80,120【点睛】本题考查平面向量的数量积,考查椭圆的几何性质的应用,考查三角函数的应用. 15.若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则k =________.【答案】1或1e【解析】【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得斜率和截距相等，从而求得切线方程的答案．【详解】设y kx b =+与ln y x =和2x y e-=的切点分别为12122(,),(,ln )x x e x x -，由导数的几何意义可得1221x k ex -==，曲线在2x y e -=在点121(,)x x e -处的切线方程为11221()x x y e e x x ---=-，即11221(1)x x y e x x e --=+-，曲线ln y x =在点22(,ln )x x 处的切线方程为2221ln ()y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-，则11222121(1)ln 1x x e x x e x --⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，解得21x =，或2x e =，所以1k =或1e．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．16.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，1A ，2A 是实轴顶点，以12A A 为直径的圆与直线0bx cy bc +-=在第一象限有两个不同公共点，则双曲线离心率e 的取值范围是______.【答案】12+⎭【解析】【分析】根据题意坐标原点到直线0bx cy bc +-=的小于a ，得到,,a b c 不等量关系，结合,,a b c 关系，得出e 的范围，再由直线0bx cy bc +-=与y 轴交点()0,b 在以12A A 为直径的圆外，得到b a >，进而求出结论.【详解】直线0bx cy bc +-=化为1x yc b+=，与坐标轴交于()0,b 和(),0c ,以12A A 为直径的圆是以原点为圆心,半径为a 的圆, 该圆与直线0bx cy bc +-=在第一象限有两个不同公共点，所以()0,b 在圆外，得,1,b b a e a >∴>=>，坐标原点到直线0bx cy bc +-=距离小于半径a ，即d a =<,因为222b c a =-,则整理可得422430c a c a -+<， 42310e e -+<，解得23322e -+<<，又12e e +><<，故答案为:⎭【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,考查直线与圆的位置关系的应用,考查运算能力. 三､解答题17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos b A c +=. （1）若2sin sin cos2AB C =，求C 的大小；（2）若AC 边上的中线BM 的长为1ABC 面积的最大值. 【答案】（1）6C π=（2）2【解析】【分析】（1）由余弦定理表示cos A,代入cos b A c =中,整理可得6B π=，利用降幂公式整理可得11cos sin 22A C +=,然后得sin 13C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即可求得角；（2）延长线段BM 至D ,满足BM MD =,联结AD,在ABD △中,设AD a =,AB c =,由余弦定理可得(222412a c ac ⎛+=+- ⎝⎭,再利用均值不等式可得ac 的最大值,进而求解.【详解】由cos b A c =,根据余弦定理222cos 2b c a A bc+-=, 所以22222b c a b a c bc +-⋅+=,即222b a c=+,所以222cos 2a c b Bac +-==, 由0B π<<,则6B π=,（1）因为2sin sin cos2AB C =, 所以11cos sin 22AC +=,即51cos 16sin 22C C π⎛⎫+- ⎪⎝⎭=,则1sin 1sin 2C C C =+,即1sin 12C C +=,则sin 13C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,由0C π<<,即32C ππ+=,则6C π=（2）如图延长线段BM 至D ,满足BM MD =,联结AD ,在ABD △中,()2213BD BM ==+,AD a =,AB c =,56BAD B ππ∠=-=, 由余弦定理可得2222cos BD AD AC AD AC BAD =+-⋅⋅∠, 即()22234132a c ac ⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎝⎭,因为222a c ac +≥, 所以()()2223413223a c ac ac ⎛⎫+=+--≥+ ⎪ ⎪⎝⎭,则()()241323ac +≥+,即8ac ≤,当且仅当a c =时等号成立,那么11111sin 8222222ABC S ac B ac ==≤⨯⨯=△,当且仅当4a c ==时等号成立, 则ABC 面积的最大值为2.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,考查三角形面积公式的应用,考查利用均值定理求最值.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，1AD CD ==，120ADC =∠︒，3PA AB BC ===，点M 是AC 与BD 的交点.（1）求二面角A PC B --的余弦值；（2）若点N 在线段PB 上且//MN 平面PDC ，求直线MN 与平面PAC 所成角的正弦值. 【答案】（17（2）14【解析】【分析】（1）在ACD 中,由AD CD =可得6DAC DCA π∠=∠=,由余弦定理可得3AC =,则3BAC π∠=,可得AB AD ⊥,以直线,,AB AD AP 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,分别求得平面PAC 和平面BCP 的法向量,进而利用向量的数量积求解即可；（2）先求得平面PCD 的法向量,由点N 在线段PB 上得BN BP λ=()01λ≤≤,解得点N 的坐标,即可得到MN ,再由0MN a ⋅=求得λ,代回MN ,进而利用向量的数量积求解即可. 【详解】（1）在ACD 中,222cos1201113AC AD CD AD CD =+-⋅⋅︒=++=,因为AD CD =,所以6DAC DCA π∠=∠=,在ABC 中,3AB BC AC ===,所以ABC 是等边三角形,则3BAC π∠=,所以2BAD π∠=,即AB AD ⊥,因为PA ⊥平面ABCD ,所以分别以直线,,AB AD AP 为x 轴,y 轴,z 轴如图建立空间直角坐标系,则()0,0,0A ,()3,0,0B,33,022C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,()0,1,0D ,(3P ,33,,044M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭, 则33,02AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,(3AP =,33,022BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,(3,0,3BP =-,设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z =,则00m AC m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即111330230x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,令1x =则11y =-,10z =,则()3,1,0m =-设平面BCP 的法向量为()222,,n x y z =,则00n BC n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即2222302x y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩, 令2x =,则21y =,2z =则()31,3n =,则cos ,7m n ==, 所以二面角A PC B--的余弦值为7（2）设平面PCD 的法向量为(),,a x y z =,因为33,22PC ⎛=⎝且(0,1,PD =, 则00a PC aPD ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即302x y y +-=⎨⎪-=⎩, 令3y =,则1x =-,1z =,则()1,3,1a =-,设()000,,N x y z 且BN BP λ=()01λ≤≤,则()(00,λ=xy z ,即0000x yz ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,则)N,所以3,4MN ⎫=-⎪⎭,因为0MN a ⋅=,=,则34λ=, 所以30,4MN ⎛=-⎝, 因为平面PAC 的法向量()3,1,0m =-,则314cos ,3422m MN ==⨯,所以直线MN 与平面PAC 所成角的正弦值为14【点睛】本题考查空间向量法求二面角、线面角,考查运算能力.19.哈三中总务处的老师要购买学校教学用的粉笔，并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”和“非优质产品”的方法.某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有20盒，根据以往的经验，其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品.并且每箱含有0，1，2盒非优质产品粉笔的概率为0.7，0.2和0.1.为了购买该品牌的粉笔，校总务主任设计了一种购买的方案：欲买一箱粉笔,随机查看该箱的4盒粉笔，如果没有非优质产品，则购买，否则不购买.设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A ，“箱中有i 件非优质产品”为事件()0,1,2i B i =. （1）求()0P A B ，()1P A B ，()2P A B ；（2）随机查看该品牌粉笔某一箱中的四盒，设X 为非优质产品的盒数，求X 的分布列及期望；（3）若购买100箱该品牌粉笔，如果按照主任所设计方案购买的粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望比随机购买的箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望大10，则所设计的方案有效.讨论该方案是否有效. 【答案】（1）()01P A B =，()145P A B =，()21219P A B =（2）见解析，38475（3）该方案无效. 【解析】【分析】（1）()i P A B 表示在“箱中有i 件非优质产品”的前提下“买下所查看的一箱粉笔”的概率,分别求得结果数,再由古典概型的概率公式求解即可；（2）由每箱含有0,1,2盒非优质产品粉笔的概率为0.7,0.2和0.1可得X 可能的取值为0,1,2,由全概率公式求得概率,列得分布列,进而求得期望；（3）由()()()()()0000665877P A B P B P AB P B A P A P A ===,即为方案中箱中每盒粉笔都是优质产品概率；随机购买的箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为0.7,进而使得期望差与10比较即可判断.【详解】解:（1）由已知()01P A B =,()419142045C P A B C ==,()41824201219C P A B C ==（2）X 可能的取值为0,1,2, 所以()4419184420208770.100.57.2900P X C C C C ==+⨯+⨯=,()31319218442020700.10.12950P X C C C C C +⨯===⨯,()2221842030.1925C C C P X ===⨯,所以随机变量X的分布列为:所以87770338012950950950475EX =⨯+⨯+⨯=. （3）由（1）知,()()8770950P A P X ===,按照设计方案购买的一箱粉笔中,箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为()()()()()()0000665877P A B P B P AB P B A P A P A ===, 因为6651001000.710877⨯-⨯<,所以该方案无效. 【点睛】本题考查条件概率的应用,考查离散型随机变量的分布列和期望,考查利用期望判断方案的有效性,考查数据分析能力.20.已知函数()22ln f x x mx x =++.（1）讨论()f x 在定义域内的极值点的个数；（2）若对0x ∀>，()2230xf x e x --≤恒成立，求实数m 的取值范围；（3）证明：若()0,x ∈+∞，不等式()21110xe x e x x+-++-≥成立. 【答案】（1）当4m <-时，函数()f x 有两个极值点；当4m ≥-时，函数()f x 没有极值点（2）22m e ≤+（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导可得()()22222,0,x mx f x x m x x x++'=++=∈+∞,转化问题为()222x x mx ϕ=++的变号零点个数,分别讨论44m -≤≤,4m <-,4m >的情况即可；（2）转化问题为2222ln x x e x m x +-≤在()0,∞+上恒成立,设()2222ln x x e xg x x+-=,利用导函数求得()g x 的最小值,进而求解；（3）由（2）可得()21ln 0xe x x e x ++--≤恒成立,即()21ln xe x e x x +-+≥,则欲证()2111x e x e x x +-+≥-,只需证1ln 1x x ≥-,设()1ln 1h x x x=-+,进而利用导函数求得()h x 的最小值大于等于0即可.【详解】（1）解:由题,()()22222,0,x mx f x x m x x x++'=++=∈+∞设()222x x mx ϕ=++,令()0x ϕ=,即方程2220x mx ++=,216m ∆=-,当44m -≤≤时,2160m ∆=-≤,则()0f x '≥,此时()f x 没有极值点；当4m <-时,>0∆,设方程2220x mx ++=两根为1x ,2x ,不妨设12x x <, 则1202mx x +=->,121x x ⋅=,则120x x <<, 当10x x <<或2x x >时,0f x ；当12x x x <<时,0fx ,此时1x ,2x 是函数()f x 的两个极值点,当4m >时,>0∆,设方程2220x mx ++=两根为3x ,4x , 则3402mx x +=-<,341x x ⋅=,所以30x <,40x <, 所以当()0,x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 没有极值点,综上,当4m <-时,函数()f x 有两个极值点；当4m ≥-时,函数()f x 没有极值点. （2）解:由题,()222232ln 230xxf x e x x mx x e x --=++--≤在()0,∞+上恒成立,则22ln 220x mx x e x +--≤在()0,∞+上恒成立,即2222ln x x e x m x +-≤在()0,∞+上恒成立,设()2222ln x x e xg x x+-=,则()()()()222211ln 211ln x xx x e x x x e x g x xx⎡⎤-+++⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦'==,因为10x x e ++>,当()0,1x ∈时,()0g x '<,则()g x 单调递减；当()1,x ∈+∞,()0g x '>,则()g x 单调递增；所以()()min 122g x g e ==+, 所以22m e ≤+（3）证明:由（2）知22m e =+,所以()21ln 0xe x x e x ++--≤恒成立,即()21ln xe x e x x +-+≥,欲证()2111xe x e x x+-+≥-, 只需证1ln 1x x≥-, 设()1ln 1h x x x =-+,则()21x h x x-'=, 当()0,1x ∈时,()0h x '<,则()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时,()0h x '>,则()h x 单调递增, 所以()()10h x h ≥=,即1ln 1x x≥-, 所以当()0,x ∈+∞时,不等式()21110xe x e x x+-++-≥成立. 【点睛】本题考查利用导函数讨论极值点的个数,考查利用导函数处理函数恒成立问题,考查利用导函数证明不等式,考查分类讨论思想、转化思想和运算能力.21.过x 轴正半轴上一点(),0M m 做直线与抛物线2:E y x =交于()11,A x y ，()22,B x y ，()120y y >>两点，且满足02OA OB <⋅<，过定点()4,0N 与点A 做直线AC 与抛物线交于另一点C ，过点()4,0N 与点B 做直线BD 与抛物线交于另一点D .设三角形AMN 的面积为1S ，三角形DMN 的面积为2S . （1）求正实数m 的取值范围；（2）连接C ，D 两点，设直线CD 的斜率为0k ；（ⅰ）当43m =时，直线AB 在y 轴的纵截距范围为84[,]33--，则求0k 的取值范围；（ⅱ）当实数m 在（1）取到的范围内取值时，求21S S 的取值范围. 【答案】（1）()1,2m ∈（2）（ⅰ）12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦（ⅱ）()2,4 【解析】【分析】（1）设过点(),0M m ()0m >的直线为x ty m =+,与抛物线联立可得20y ty m --=,利用韦达定理可得12y y m =-,则可得212x x m =,代入OA OB ⋅中,进而由()0,2OA OB ⋅∈求解即可；（2）（ⅰ）设过点()4,0N 的直线为14x t y =+,过点4,03M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线243x t y =+,分别与抛物线联立,利用韦达定理和直线的斜率公式可得3ABCDk k =,根据直线AB 在y 轴的纵截距范围为84,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,即可求得AB k 的范围,进而得到0k ,即CD k 的范围；（ⅱ）由24241121S y y y S y y y ==,根据（1）和（ⅰ）求解即可. 【详解】（1）设过点(),0M m ()0m >的直线为x ty m =+,联立2x ty m y x=+⎧⎨=⎩可得20y ty m --=,且240t m ∆=+>,设()11,A x y ,()22,B x y ,所以12y y m =-,则2221212x x y y m ==,因为()0,2OA OB ⋅∈,所以()212120,2x x y y m m OA OB +-⋅∈==,解得()1,2m ∈（2）由题,设()211,A y y ,()222,B y y ,()233,C y y ,()244,D y y , （ⅰ）设过点()4,0N 的直线为14x t y =+,过点4,03M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线243x t y =+,联立124x t y y x=+⎧⎨=⎩可得2140y t y --=,联立2243x t y y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩可得22403y t y --=,所以1324124443y y y y y y ⎧⎪=-⎪=-⎨⎪⎪=-⎩,所以122212341222341212123411443AB CDy y y y y y k y y y y k y y y y y y y y ⎛⎫--+ ⎪+--⎝⎭=====-++-, 因为直线AB 在y 轴的纵截距范围为84,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,设截距为t ,因为43m =,则AB t k m =-,所以[]1,2AB k ∈,则0112,333CD AB k k k ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（ⅱ）112AMN S MN y =⋅⋅△,412DMN S MN y =⋅⋅△, 由（1）可知12y y m =-,由（ⅰ）可知424y y =-, 因为()1,2m ∈,所以()2411442,4S y S y m m-===∈- 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查抛物线中的三角形问题,考查韦达定理的应用,考查运算能力.请考生在第22、23、二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为xyαα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l的参数方程为12xy⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）写出曲线C的极坐标方程以及直线l的普通方程；（2）若点(A，直线l与曲线C交于P，Q两点，弦PQ的中点为M，求AP AQAM⋅的值.【答案】（1）2222:cos2cos12Cρθρθ+=；:1l x y-=.（2）(511【解析】【分析】（1）由消参可得曲线C的普通方程,再利用cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩转化为极坐标方程；消参即可得到直线l的普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程中可得232100t t+-=,利用韦达定理可得12t t+,12t t⋅,由12122AP AQ t tt tAM⋅=+,代入求解即可.【详解】（1）由题,因为xyαα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）,则cossinαα==（α为参数），所以221126x y+=,即22212x y+=,因为cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩,所以2222:cos2cos12Cρθρθ+=；因为122xy⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）,所以122x ty t⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）,则:10l x y--+=.（2）将122x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）代入22212x y+=中可得232100t t+-=,设方程的两根为12,t t，所以1223t t-+=，12103t t-⋅=，因为M为PQ的中点，所以(12125112AP AQ t tt tAM⋅==+【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查直线的参数方程中参数的几何意义的应用,考查运算能力.23.设函数()13f x x x=++-.（1）求()5f x≥的解集；（2）若x R∀∈，使()f x m≥恒成立的m的最大值为n.正数a，b满足1123na b a b+=++，求34a b+的最小值.【答案】（1）3|2x x⎧≤-⎨⎩或72x⎫≥⎬⎭（2）1【解析】【分析】（1）分别求得当1x≤-,13x-<≤,3x>时不等式的解集,并求并集即可；（2）由13134x x x x ++-≥++-=可得4n =,即11423a b a b+=++,进而利用均值不等式求解即可.【详解】解:（1）因为()135f x x x =++-≥当1x ≤-时,不等式135x x --+-≥,即23x ≤-,解得32x ≤-；当13x -<≤时,不等式135x x ++-≥,即45≥,解集为∅；当3x >时,不等式135x x ++-≥,即27x ≥,解得72x ≥, 综上,3|2x x ⎧≤-⎨⎩或72x ⎫≥⎬⎭（2）因为13134x x x x ++-≥++-=,所以m 的最大值为4,即4n =, 则11423a b a b+=++,所以()()11112334232423432a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭()12214≥+= 当且仅当2332a b a b a b a b ++=++,即15a =,110b =取等号成立,所以34a b +的最小值为1.【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式,考查绝对值三角不等式的应用,考查利用均值不等式求最值.。

2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期第三次调研数学(理)试题(解析版)

故选：C
【点睛】
本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.
11．已知点是椭圆椭上非顶点的动点，分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若为的平分线上一点，且，则的取值范围（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】延长交于点 ,由题可得 ,又有 ,可得为的中点,即 ,根据的范围求范围即可
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先求出有两个不同零点时的范围,再求出有两个不同零点时的范围,再画出与的图象,可得一交点为 ,进而由图象得到的范围,使之满足再与之前所求得交集即可
【详解】
由题, ,当时, 恒成立,即在上单调递增,无法满足题意,故舍去；当时,令 ,可得 ,则在上单调递增, 上单调递减,且时, ,故由题需满足 ,即；
【详解】
（1）由题, ( 为参数), ,
即曲线的普通方程为；
又 , , ,
即曲线的直角坐标方程
（2）由（1）可得曲线为 ,则其极坐标方程为
射线与曲线分别相交于异于极点的点 ,
,
,
,
【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标方程的转化,考查参数方程与普通方程的转化,考查极坐标系下的弦长的最值问题,考查运算能力
,
由（1）,则 ,
,
,
【点睛】
本题考查等比数列的证明,考查累加法求通项公式,考查错位相减法求前项和,考查运算能力
20．已知椭圆的离心率为，点在上.
（1）求椭圆的方程;
（2）设分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的内切圆的半径的最大值.

黑龙江省哈尔滨市第三中学2024届高三上学期期末数学试题(解析版)

哈三中2023-2024学年度上学期高三学年期末考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知{}21log 1,12xA x xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = （）A. ()1,2- B. ()1,0- C. ()0,2 D. ()1,2【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性、指数函数的单调性，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由()22log 1log 2020,2x x A <=⇒<<⇒=，由()011100,22x x B ⎛⎫⎛⎫<=⇒>⇒=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A B = ()0,2，故选：C 2. 复数12iiz +=的虚部为（）A. 1- B. 2C. i- D. i【答案】A 【解析】【分析】利用复数除法的运算法则化简为复数的代数形式，即可得到复数虚部.【详解】由()()2212i i 12i 2i i 2i i iz +-+===--=--，所以虚部为-1.故选：A3. 函数()232f x x x =+的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先求出定义域，再确定为偶函数，最后由特殊值法确定即可.【详解】定义域为0x ≠，()()()223322f x x x f x xx -=-+=+=-为偶函数，采用特殊值法代入，当x 趋近于零时，2x 趋近于零，23x 趋于正无穷；此时()232f x x x =+取值趋于正无穷；当x 趋近于正无穷时，2x 趋近于正无穷，23x 趋于零，此时()232f x x x=+取值趋于正无穷；所以只有B 图像符合；故选：B4. 若()(),1,2,,3a b a b a b m +=-==，则实数m =（）A. 6B. 6- C. 3D. 3-【答案】B 【解析】【分析】将a b a b +=- 两边平方，结合数量积的运算律求出a b ⋅ ，再根据数量积的坐标公式即可得解.【详解】因为a b a b +=-，所以()()22a ba b +=- ，即222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，所以0a b ⋅=，即60+=m ，解得6m =-.故选：B.5. 已知命题：2000R,210x ax ax ∃∈+-≥为假命题，则实数a 的取值范围是（）A. ()(),10,-∞-⋃+∞B. ()1,0-C. []1,0-D. (]1,0-【答案】D 【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可知命题：2R,210x ax ax ∀∈+-<为真命题，讨论a 是否为0，结合0a ≠时，解不等式，即可求得答案.【详解】由题意知命题：2000R,210x ax ax ∃∈+-≥为假命题，则命题：2R,210x ax ax ∀∈+-<为真命题，故当0a =时，2210ax ax +-<，即为10-<，符合题意；当0a ≠时，需满足2Δ440a a a <⎧⎨=+<⎩，解得10a -<<，综合可得实数a 的取值范围是(]1,0-，故选：D6. 若椭圆221259x y +=和双曲线22197x y -=的共同焦点为12,,F F P 是两曲线的一个交点，则12PF F △的面积值为（）A.B.C. D. 8【答案】A 【解析】【分析】设点(),P m n ，根据方程组求点P 的坐标和焦距，进而可得面积.【详解】对于椭圆221259x y +=可知：半长轴长为5，半短轴长为3，半焦距为4，则128F F =，设点(),P m n ，则22221259197m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得=n 所以12PF F △的面积值为182⨯=.故选：A.7. 等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则1015SS =（）A.37B.73C.12D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据51051510,,S S S S S --构成等比数列求解即可.【详解】因为{}n a 为等比数列，51013S S =，设510,3,0S k S k k ==>，所以51051510,,S S S S S --构成等比数列.所以15,2,3k k S k -构成等比数列，所以157S k =，所以10153377S k S k ==.故选：A8. 哈三中第38届教改汇报课在2023年12月15日举行，组委会派甲乙等6名志愿者到,A B 两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若甲和乙不能去同一路口，则不同的安排方案总数为（）A. 14 B. 20 C. 28 D. 40【答案】C 【解析】【分析】先安排甲乙两人，再根据分组分配的方法安排其余4名志愿者.【详解】先安排甲乙两人，有22A 2=种方法；再安排其余4名志愿者有两类方法，共有122424C A C 14+=种方法，根据分步计数原理可得共有21428⨯=种方法.故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，9. 下列说法正确的是（）A. 已知111,,,202420232023α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在()0,∞+上递减，则α只能为1-B. 函数()212log 20242023y x x =-+-的单调递减区间为()1,1012C.函数y =与函数3y x =-是同一个函数D. 已知函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则函数()22f x +的定义域为[]1,1-【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，直接由幂函数的奇偶性、单调性即可验证；对于B ，由复合函数单调性以及复合对数函数的定义域即可验证；对于C ，定义域都是全体实数，且对应法则也一样，由此即可判断；对于D ，由抽象函数定义域的求法即可验证.【详解】对于A ，当1α=-时，幂函数()1f x x xα==奇函数，且在()0,∞+上递减，满足题意，当12023α=时，幂函数()1f x x x α==在()0,∞+上递增，不满足题意，当12023α=-时，幂函数()f x x α==()0,∞+上递减，满足题意，当2024α=-时，幂函数()20241f x x xα==为偶函数，在()0,∞+上递减，不满足题意，故A 错误；对于B ，12log y t =关于t 在定义域内单调递减，若函数()212log 20242023y x x =-+-关于x 在定义域内单调递减，则由复合函数单调性可知220242023x x t -+-=关于x 单调递增，而二次函数220242023x x t -+-=开口向下，对称轴为2012x =，所以22024202302012x x x ⎧-+->⎨<⎩，解得12012x <<，所以函数()212log 20242023y x x =-+-的单调递减区间为()1,1012，故B 正确；对于C ，()13333y x x ⎡⎤==-=-⎣⎦，故C 选项正确，对于D ，若函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则[][]1,1,211,3x x ∈-+∈-，所以函数()22f x +的定义域满足[]221,3x +∈-，解得[]1,1x ∈-，故D 正确.故选：BCD.10. 已知正数,a b ，2a b +=，且a b >，则下列说法正确的是（）为A.1b a> B. e e a b a b+>+ C.114a b+> D.1<【答案】AB 【解析】【分析】选项A ，将不等式1b a>等价转化为1ab <，由于和式为定值，判断积的取值范围即可；对于选项B ，需要研究函数e x y =的单调性，即可判断不等式；对于选项C ，1111()2a b a b a b ++=+⨯，应用基本不等式即可；对于选项D 平方，2a b =++，判断积的取值范围即可；【详解】对于选项A ，1b a>等价1ab <，2a b =+≥1≤，其中a b >1<，1ab <，不等式成立，选项A 正确；对于选项B ，因为e 1>，指数函数e x y =是增函数，且a b >，所以e e a b >所以e e a b a b +>+，选项B 正确；对于选项C ，1111()112222a b b a a b a b a b ++=+⨯=++≥+=，由于a b >，22b a a b ≠，等号取不到，112a b+>，选项C 不正确；对于选项D ，22()4a b a b +=++≤+=，由于a b >，等号取不到，所以24<2<，选项D 不正确；故选：AB.11. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的有（）A. 11//AC 平面1B CDB. 点1C 到平面1B CDC. 当P 在线段11C D 上运动时，三棱锥11A B PC -的体积不变D. 若Q 为正方体侧面11BCC B 上的一个动点，,E F 为线段1AC 的两个三等分点，则QE QF +的最小值【答案】BCD【解析】【分析】对于A 通过观察可得直线11A C 与平面有公共点1A 所以A 不正确；对于B 利用等体积法计算点到平面距离；对于C 观察到点P 到平面11A B C 的距离为定值，确定三棱锥11A B PC -的体积不变；对于D 利用线段1AC 关于平面11BCC B 的对称直线，将QE QF +转化，利用两点间线段距离最短求解.【详解】对于A ，因为平面1B CD 也就是平面11A B CD 与直线11A C 有公共点1A ，所以A 选项不正确. 对于B ，设点1C 到平面1B CD 的距离为h ，由1111C B CD D CC B V V --=得11111133B CD CC B S h S ⨯=⨯ ，由已知易得11,CD B C D ===则1B CD △是直角三角形，所以1B CD S =112C CD S =，解得h =.故B 选项正确对于C ，设点P 到平面11A B C 的距离为h ，易知点P 所在的直线11C D 与平面11A B C 平行，则点P 到平面11A B C 的距离为定值，因为11111113A B PC P A B C A B C V V S h --==⨯ ，其中11A B C S 也为定值，故C 选项正确.对于D ，如图1QE QF QE QF +=+，当1E Q F 、、共线的时候1QE QF EF +=最小，在1AC M 中222111111cos 23C A C M AMAC M C A C M+-∠==，由余弦定理得22211111111112cos 9EF C E C F C E C F AC M =+-∠=，所以1EF =，所以QE QF +有最小值，故D 正确.故选：BCD12. 已知函数()cos sin (0)f x a x b x ωωω=+>在π6x =处取得最大值2，()f x 的最小正周期为π，将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到()g x 的图象，则下列结论正确的是（）A. π6x =是()f x 图象的一条对称轴 B. ()π2cos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. π2g x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 D. 方程()2lg 0g x x -=有3个实数解【答案】ACD 【解析】【分析】由()f x 最小正周期为π，求出ω，由最值点和最值，求出,a b ，得()f x 的解析式，判断AB 选项；由函数图象的变换，求()g x 的解析式，验证C 选项，数形结合验证D 选项．【详解】()()cos sin f x a x b x x ωωωϕ=+=-，其中tan b aϕ=，()f x 的最小正周期为πT =，则有2π2π2πT ω===，故()()2f x x ϕ=-，函数()f x 在π6x =处取得最大值2，则πππcos sin 26332f a b ⎧⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭=，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩()πcos22cos 23f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，B 选项错误；函数()π2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π6x =处取得最大值2，则π6x =是()f x 图象的一条对称轴，A 选项正确；将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得函数π2cos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到()2cos g x x =的图象，ππ2cos 2sin 22g x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数为奇函数，C 选项正确；在同一直角坐标系下作出函数()2cos g x x =和函数2lg y x =的图象，如图所示，的两个函数图象有3个交点，可知方程()2lg 0g x x -=有3个实数解，D 选项正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知α为第二象限角，2sin 3α=，则tan2α=_______．【答案】-【解析】【分析】根据同角三角函数的关系式，结合正切的二倍角公式即可求得.【详解】因为2sin 3α=，α为第二象限角，所以cos ===α则sin tan cos ===ααα22tan tan21tan ααα=-2⎛⨯==-故答案为：-14. 已知边长为2的等边三角形ABC 所在平面外一点,S D 是AB 边的中点，满足SD 垂直平面ABC，且SD =S ABC -外接球的体积为_______．【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出球心坐标，根据外接球的性质，列出方程组，即可求出外接球的半径，从而求得三棱锥S ABC -外接球的体积.【详解】因为SD 垂直平面ABC ，ABC 为等边三角形，且D 是AB 边的中点，以D 为坐标原点，分别以,,DB DC DS 所在的直线为x 轴，y 轴，z轴，建系如图，设三棱锥S ABC -外接球的球心(),,O x y z ，半径为R ，因为2AB BC AC ===，则DC ===，又因为SD =(S ，()1,0,0B ，()1,0,0A -，()C ，则====OS OA OB OC R ，即RRR R ====，解得0x y z R =⎧⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=⎪⎩所以三棱锥S ABC -外接球的体积3344R 33V ππ===.15. 直线l 与抛物线24x y =交于,A B 两点且3AB =，则AB 的中点到x 轴的最短距离为_______．【答案】916【解析】【分析】设出直线方程，利用弦长得到两个变量间的关系式，结合函数单调性可得答案.【详解】设直线l 的方程为y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ；联立24y kx m x y=+⎧⎨=⎩，2440x kx m --=，216160k m ∆=+>，12124,4x x k x x m +==-.AB ==因为3AB =3=，整理可得()229161m k k =-+.由()21212242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点到x 轴的距离为()2212292112161y y k m k k +=+=++-+设21t k =+，则1t ≥，1291216y y t t +=+-，由对勾函数的单调性可得129216y y +≥，当且仅当0k =时，取到最小值916.故答案为：91616. 设()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，对任意的()12,0,x x ∈+∞满足()()1221120x f x x f x x x ->-且()315f =，则不等式()5f x x >的解集为_______．【答案】(,3)(0,3)-∞-⋃【解析】【分析】根据题意可设()(),0f x g x x x=≠，结合()f x 的奇偶性判断()g x 的奇偶性，再结合题设判断()g x 的单调情况，进而结合不等式()5f x x >，讨论x 的正负，结合()g x 的单调情况，分类求解，即可得答案.【详解】设()(),0f x g x x x=≠，而()f x 是定义在()(),00,∞∞-⋃+上的奇函数，即()()f x f x -=-，故()()()()f x f x g x g x xx---===--，即()(),0f x g x x x=≠为偶函数；对任意的()12,0,x x ∞∈+，不妨设12x x <，则()()()()121212f x f xg x g x x x -=-()()211212x f x x f x x x -=，又对任意的()12,0,x x ∞∈+满足()()1221120x f x x f x x x ->-，当12x x <时，120x x -<，则()()12210x f x x f x -<，即()()21120x f x x f x ->，而120x x >，故()()()()1212120,f x f x g x g x x x ->∴>，则()g x 在()0,∞+上单调递减，又()g x 为偶函数，故()g x 在(),0∞-上单调递增，()315f =，故()3(3)53f g ==，则(3)5g -=-，而不等式()5f x x >，即为不等式()50f x x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩或()50f x x x ⎧<⎪⎨⎪<⎩，即()5(3)0g x g x >=⎧⎨>⎩或()5(3)g x g x <=-⎧⎨<⎩，故03x <<或3x <-，即不等式()5f x x >的解集为(,3)(0,3)-∞-⋃，故答案为：(,3)(0,3)-∞-⋃【点睛】方法点睛：诸如此类抽象函数的问题，解答时要结合题设构造出函数，由此判断出其奇偶性和单.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c)sin b C C =-．（1）求角B ；（2）D 为AC 边上一点，DB BA ⊥，且4AD DC =，求cos C 的值．【答案】（1）2π3；（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后由三角形内角和定理与和差公式化简整理即可求解；（2）BCD △和Rt ABD 分别根据正弦定理和三角函数定义列式，联立整理得2c a =，再由余弦定理求得b =，然后可解.在【小问1详解】)sinb C C=-，)sin sinA B C C=-，又()()sin sinπsin sin cos cos sinA B C B C B C B C⎡⎤=-+=+=+⎣⎦，)cos sin sin sinB C B C B C C+=-，整理得)πsin sin2sin sin03C B B C B⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，因为()0,π,sin0C C∈>，所以πsin03B⎛⎫+=⎪⎝⎭，又()ππ4π0,π,,333B B⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3B+=，即2π3B=.【小问2详解】由（1）知B，因为DB BA⊥，所以π6CBD∠=，记BDCθ∠=，则πBDAθ∠=-，在BCD△中，由正弦定理得πsinsin6CD aθ=，得2sinaCDθ=，在Rt ABD中，有()sinπsinc cADθθ==-，因为4AD DC=，所以2sin sinc aθθ=，得2c a=，在ABC中，由余弦定理可得22222π422cos73b a a a a a=+-⨯=，即b=，所以cos C==18. 已知{}n a是公差不为零的等差数列，11a=，且125,,a a a成等比数列．（1）求数列{}n a的通项公式；.（2）若114(1)n n n n nb a a ++=-⋅，求{}n b 的前1012项和1012T ．【答案】（1）21n a n =- （2）101220242025T =【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解；（2）由裂项相消法可求出前1012项和.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，又11a =，则211a a d d =+=+，51414a a d d =+=+，因为125,,a a a 成等比数列，所以2215a a a =⋅，即()()21114d d +=⨯+，得220d d -=，又因为{}n a 是公差不为零的等差数列，所以2d =，即()()1111221n a a n d n n =+-=+-=-.【小问2详解】由（1）知()()11114411(1)(1)(1)21212121n n n n n n n n b a a n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，1012123410111012T b b b b b b =++++++ 11111111111133557792021202320232025⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12024120252025=-=.19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点为12,A A ，点G 是椭圆C 的上顶点，直线2A G 与圆2283x y +=相切，且椭圆C．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 交于A B 、两点，若点()0,M m ，且MA MB =，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22184x y +=（2）[【解析】【分析】（1）先由离心率得出a =，再由直线2A G 与圆2283x y +=相切得到圆心(0,0)O 到直线2A G 的距离等于半径得出2222883a b a b +=，联立即得椭圆方程；（2）依题设出直线AB 方程，与椭圆方程联立，得出韦达定理，求出AB 的中点H 坐标，利用条件MA MB =判断MH 是直线AB 的中垂线，求出方程，将求m 的取值范围转化成求关于t 的函数的值域问题即得.【小问1详解】由c a =可得：a =①因2(,0),(0,)A a G b ，则2:1A Gx y l a b +=即：0bx ay ab +-=，又因直线2A G 与圆2283x y +==2222883a b a b +=②，联立①②，可解得：2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为：22184x y +=.【小问2详解】如图，因直线l 与x 轴不重合，椭圆焦点为(2,0)F ，故可设:2l x ty =+，由222184x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x整理得：22(2)440t y ty ++-=，易得：0∆>，不妨设1122(,),(,)A x y B x y ，则有12212242,42t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩设AB 中点为00(,)H x y ，则：1202222y y t y t +==-+,1212022()442()222222x x t y y t t x t t ++==+=⋅-+=++，即：2242(,)22t H t t -++，因MA MB =，则MH 为直线AB 的中垂线.又因直线AB 的斜率为1t，故直线AB 的中垂线MH 的斜率为t -，于是2224:()22MH t l y t x t t +=--++，因()0,M m ，则有：222422222t t tm t t t =-=+++，①当0=t 时，0m =，此时直线:2l x =，点(0,0)M ，符合题意；②当0t ≠时，22m t t=+，若0t >，则2t t +≥可得m ∈，当且仅当t =时取等号；若0t <，则2t t +≤-,可得[m ∈，当且仅当t =.综上，实数m的取值范围为[.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，//,4,2,60AB CD AB BC CD BP DP BCD ︒=====∠=，AD PD ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若线段PC 上存在点F ，满足CF FP λ= ，且平面BDF 与平面ADP实数λ的值．【答案】（1）证明见解析（2）2λ=【解析】【分析】（1）要证面面垂直，需证线面垂直，就是要证AD ⊥平面PBD ，再进一步判断面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，用向量的方法求解.【小问1详解】如图：因为2CB CD ==，60BCD ∠=︒，所以BCD △为等边三角形，2BD =又//AB CD ，所以60ABD BDC ∠=∠=︒，又4AB =，所以22212··cos 60164242122AD AB BD AB BD =+-︒=+-⨯⨯⨯=.因为222AD BD AB +=，所以ABD △为直角三角形，AD BD ⊥.又AD PD ⊥，BD ，PD 为平面PBD 内的两条相交直线，所以AD ⊥平面PBD ，AD ⊂ABCD ，所以：平面PBD ⊥平面ABCD .【小问2详解】取BD 中点O ，AB 中点E ，因为PB PD =⇒PO BD ⊥，又平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面ABCD BD =，PO ⊂平面PBD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又OE BD ⊥，故以O 为原点，建立如图空间直角坐标系，所以()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,3P ，)E，()1,0A -，()C .设(),,F x y z ，因为CF FPλ=⇒()(),,,3x y z x y z λ+=---⇒()3x xy y z z λλλ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩解得031x y z λλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，所以31F λλ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭.设平面ADP 的法向量为()111,,m x y z =，则m AD m DP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒·0·0m AD m DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒()()()()111111,,0,,0,1,30x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒111030x y z =⎧⎨+=⎩，取()0,3,1m =- ；设平面BDF 的法向量为()222,,n x y z = ，则n BD n BF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒·0·0n BD n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒()()()222222,,0,2,003,,1,01x y z x y z λλ⎧⋅-=⎪⎛⎫⎨⋅-= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎩⇒222030y z λ=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取),0,1n =.那么⋅=m n ()0,3,1-⋅),0,11=-，m =，n = .由m n m n ⋅=⋅⇒231λ+=⇒24λ=，又0λ>，所以2λ=.【点睛】关键点睛：根据CF FP λ=，和点C 、F 的坐标，求F 点坐标是本题的一个关键.21. 圆G经过点(()2,,4,0-，圆心在直线y x =上．（1）求圆G 的标准方程；（2）若圆G 与x 轴分别交于,M N 两点，A 为直线:16l x =上的动点，直线,AM AN 与曲线圆G 的另一个交点分别为,E F ，求证直线EF 经过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）2216x y +=（2）证明见详解，直线EF 过定点()1,0【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，利用圆心到圆上各点的距离等于半径求解即可；（2）设出直线AM 的方程和直线AN 的方程，分别与圆的方程联立写出E F 、的坐标，进而写出直线EF的方程，化简即可证明直线EF 经过定点，并求出定点的坐标.【小问1详解】因为圆心在直线y x =上，设圆心为(),,a a 又因为圆G经过点(()2,,4,0-则()(()222224a a a a -+-=++，解得0a =，所以圆心()0,0,4=，所以圆G 的标准方程为2216x y +=【小问2详解】由圆G 与x 轴分别交于,M N 两点，不妨设()()4,0,4,0M N -，又A 为直线:16l x =上的动点，设()()16,0A t t ≠，则,,2012==AM AN t t k k 则AM 方程为()420t y x =+，AN 方程为()412ty x =-，设()()1122,,,E x y F x y ，联立方程()2242016t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，解得()()22224008164000t x t x t +++-=，所以()212164004400t x t --=+，即()211224400160,400400t t xy t t --==++，即()2224400160,400400t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭.联立方程()2241216t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得()()22221448161440t x t x t +-+-=，所以()222161444144t x t -=+，即()22222414496,144144t t x y t t --==++，即()222414496,144144t t F t t ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭.所以()()2222221609640014444004144400144EFt tt t k t t t t --++=----++232240=-t t，所以直线EF 的方程为()222241449632,144240144t t t y x t t t ⎛⎫-- ⎪-=- ⎪+-+⎝⎭化简得()2321,240ty x t =--所以直线EF 过定点()1,0.22. 已知函数()()()22e e e ,,e 12x x x xf xg xh x x -+===+．（1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）当0x >时，试比较()()(),,f x g x h x 的大小关系，并说明理由；（3）设n *∈N ，求证：1111111111ln2123421223421n n n -+-+⋅⋅⋅+-<<-+-+⋅⋅⋅+--．【答案】（1）e e 44y x =+ （2）()()()f x g x h x <<；理由见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1（2）构造函数，利用导数确定函数的单调性，求出最值，即可判定结论；（3）构造函数，结合数列知识求和即可证明结论.【小问1详解】由()e1xf x x =+得，()()2e 1xx f x x '=+，所以()f x 在1x =处的切线的斜率()e 14k f ='=，切点e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以所求切线方程：()e e124y x -=-，即e e 44y x =+；【小问2详解】结论：()()()f x g x h x <<；理由如下：要证()()f x g x <，即证e e e 12x x x x -+<+，只需证()()2e 1e e x x xx -<++，为令()()()2e 1e e x x x x x ϕ-=-++，则()()()()()2e e e 1e -e ee x x x x x x x x x x ϕ---=-+-+=-'，当0x >时，1x e -<，e 1x >，故()0x ϕ'<，所以()()()2e 1e e xx x x x ϕ-=-++在0x >时单调递减，所以()()00x ϕϕ<=，即()()2e 1e e 0x x x x --++<，所以e e e 12x x xx -+<+，故()()f x g x <；要证()()g x h x <，即证22e ee 2x x x -+<，只需证22e e ln ln e 2x x x -+<，令()222e e e e 1ln ln e ln 222x x x x x v x x --++=-=-，则()e e e e x x x x v x x ---=-+'，令()e e e ex xx x w x x ---=-+，则()()241e e x x w x -=-+'，当0x >时，e e 2x x -+>，从而()2e 4x ->，故()()2410e e x x w x -=-'<+，所以()e e e ex xx x v x x ---=-+'在0x >时单调递减，所以()()00v x v ''<=，从而()2e e 1ln 22x x v x x -+=-在0x >时单调递减，所以()()00v x v <=，即22e e ln ln e 20x x x -+-<，即22e e ln ln e 2x x x -+<所以22e ee 2x x x -+<，故()()g x h x <，又因为()()f xg x <，所以()()()f x g xh x <<.【小问3详解】令()()()ln 101x u x x x x =-+>+，则()()()22110111x u x x x x -=-=<+++'所以()()ln 11x u x x x =-++在当0x >时单调递减，所以()()00u x u <=，所以()ln 11x x x <++，即()1ln 111x x <++，令1x n =，则有()11ln 1ln 1ln 1n n n n ⎛⎫<+=+- ⎪+⎝⎭，即()1ln 1ln 1n n n <+-+，所以()()1ln 2ln 12n n n <+-++，()()1ln 3ln 23n n n <+-++，⋯()1ln 2ln 212n n n<--，所以111ln 2ln ln 2112n n n n n++<-=++ ，所以111111234212n n-+-+⋅⋅⋅+--11111111223421242n n ⎛⎛⎫=++++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+ ⎪-⎝⎝⎭1111111112342122n n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以11111111112342121112n n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=+++-+++ ，因为1111ln 21112n n n n+++<+++ ，所以111111ln 2234212n n -+-+⋅⋅⋅+-<-；下面先证当0x >时，ln 1≤-x x ，令()()1ln 0p x x x x =-->，()111x p x x x'-=-=，令()0p x '>，则1x >，所以()1ln p x x x =--在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()10p x p ≥=，从而()1ln 0p x x x =--≥，即ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时，ln 1x x =-，所以当0x >时，()ln 1x x +<，令1x n =，则有11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()1ln 1ln n n n+-<，所以()()1ln 2ln 11n n n +-+<+，()()1ln 3ln 22n n n +-+<+，⋯()()1ln 2ln 2121n n n --<-，所以()1111ln 2ln 1221n n n n n n -<++++++- ，即111ln 2121n n n ++++>+- ，因为1111123421n -+-+⋅⋅⋅+-111111112234212422n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭111111112342121n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以111111111234211221n n n n n -+-+⋅⋅⋅+=++++-++- ，因为1111ln 21221n n n n ++++>++- ，所以11111ln 223421n -+-+⋅⋅⋅+>-，综上所述，1111111111ln2123421223421n n n -+-+⋅⋅⋅+-<<-+-+⋅⋅⋅+--.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。

2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三综合(一)数学(理)试题(解析版)

2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三综合题（一）数学（理）试题一、单选题1．设i 是虚数单位，则复数12ii-+在复平面内对应的点所在象限为（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】利用复数的除法运算化简复数的形式，写出复数再复平面中对应的点坐标，进而写出所在象限. 【详解】1(1)(2)13132(2)(2)555i i i i z i i i i ----====-++- 对应的点坐标为13(,)55-，在第四象限. 故选:D 【点睛】本题考查了复数的除法运算和几何意义，考查了学生数学运算和数形结合的能力，属于基础题.2．已知集合{}2|4M x x =≤，{},N a a =-，若M N N =I ，则a 的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．(][),22,-∞-+∞UC ．[)(]2,00,2-UD ．[]22-,【答案】C【解析】解二次不等式得到集合M 的具体范围，转化M N N =I 为N M ⊆，比较a 与集合M 两个端点可得到结论. 【详解】集合{}|22M x x =-≤≤，又M N N =I 等价于N M ⊆，因此：当0a >时，20<22a a a ≤⎧∴≤⎨-≥-⎩；当0a <时，2202a a a -≤⎧∴-≤<⎨≥-⎩；综上：[)(]2,00,2a ∈-U 故选：C 【点睛】本题考查了集合的交集运算的性质以及集合的包含关系，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.3．某几何体是圆锥的一部分，它的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（）A ．32π B ．332π+C ．3π+D ．532π+【答案】B【解析】三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积. 【详解】由题目所给的三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与截面面积的和.又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为112=2ππ⨯⨯⨯，底面积为12π. 观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为1322=322⨯⨯⨯ 则该几何体的表面积为：332π+故选：B 【点睛】本题考查了几何体的三视图，表面积，考查了学生的空间想象力，数学运算能力，属于基础题.4．下列说法正确的是（）A ．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；B ．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行編号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样；C ．“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件；D ．命题p ：“0x R ∃∈，使得200320x x -+<”的否定为：“x R ∀∈，均有2320x x -+≥”.【答案】D【解析】A .根据众数和中位数的性质进行判断； B .根据系统抽样的定义进行判断；C .根据充分条件和必要条件的定义进行判断；D .根据含有量词的命题的否定进行判断. 【详解】对于A ，在频率分步直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，故A 错误；对于B ，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为系统抽样，故B 错误；对于C ，由2320x x -+=得1x =或2x =，故“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，故C 错误；对于D ，正确. 故选：D 【点睛】本题考查了众数和中位数、系统抽样、充分条件和必要条件、含有量词的命题的否定等知识点，考查了学生综合分析得能力，属于基础题.5．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.6．工作需要，现从4名女教师，5名男教师中选3名教师组成一个援川团队，要求男、女教师都有，则不同的组队方案种数为 A ．140 B ．100 C ．80 D ．70【答案】D【解析】先分类确定男女人数，再利用两个原理计数. 【详解】2男1女：1245C C ;1男2女：2145C C ; 所以共有12214545+=40+30=70C C C C ，选D. 【点睛】本题考查排列组合简单应用，考查基本分析求解能力，属基础题.7．阅读下面的程序框图，如果输出的函数值()1,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么输入的实数x 的取值范围是（）A ．[]1,2-B ．[]2,1-C ．(][),12,-∞+∞UD ．(](),12,-∞+∞U【答案】D【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数()2,[2,2]=2,(,2)(2,)x x f x x ⎧∈-⎨∈-∞-⋃+∞⎩的函数值，根据函数解析式，结合输出的函数值在区间1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦即可.【详解】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数()2,[2,2]=2,(,2)(2,)x x f x x ⎧∈-⎨∈-∞-⋃+∞⎩的函数值又因为()1,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故12,24x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦或(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞(](),12,x ∴∈-∞+∞U故选：D 【点睛】本题考查了分支结构的程序框图，解答本题的关键是读懂给出的程序框图，属于基础题. 8．若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（）A ．3B ．3-C ．39D ．69-【答案】C【解析】利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭与sin 42πβ⎛⎫-⎪⎝⎭，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦值．【详解】02πα<<Q ，3444πππα∴<+<，则222sin 1cos 443ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 02πβ-<<Q ，则4422ππβπ<-<，所以，26sin 1cos 42423πβπβ⎛⎫⎛⎫-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1322653cos cos sin sin 44244233339ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=⋅+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点： ①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负； ②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解．9．设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，若7210S S =+，且1a ，3a ，6a 成等比数列，则前n 项和n S 等于（） A ．2788n n+B ．2744n n+C ．2324n n+D ．2n n +【答案】A【解析】将给出的条件：7210S S =+，1a ，3a ，6a 成等比数列用基本量1,a d 表示，求解1,a d ，进而得到前n 项和n S . 【详解】设等差数列的首项、公差分别为：1,a d ，且7210S S =+，1a ，3a ，6a 成等比数列211111721210(2)(5)a d a d a d a a d ∴+=+++=+，111,4a d ∴==前n 项和28(1)1=2847n n n n n nS -++⨯= 故选：A 【点睛】本题考查了等比数列的定义及性质，等差数列的通项公式、前n 项和公式，属于中档题.10．若函数()()()2log 20,1af x x x a a =+>≠在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间是（）A ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．()0,+∞【答案】C【解析】试题分析：由题意得，因为，，函数()()()2log 20,1a f x x x a a =+>≠在区间内恒有()0f x >，所以，由复合函数的单调性可知的单调递减区间，对复合函数的形式进行判断，可得到函数的单调递增区间为，故选C ．考点:1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性；3.函数恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查的是用复合函数的单调性求单调区间，函数恒成立问题，对数函数的图象与性质，属于中档题，本题要根据题设中所给的条件解出的底数的值，由，可得到内层函数的值域，再由()0f x >恒成立，可得到底数的取值范围，再利用复合函数的单调性求出其单调区间即可，因此本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，是解决本题的关键.11．已知三棱锥O ABC -中，A ，B ，C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，120ABC ∠=︒，且三棱锥O ABC -3O 的表面积为（）A ．323πB ．16πC ．52πD ．64π【答案】C【解析】由题意2AB BC ==，120ABC ∠=︒，可求得ABC ∆的面积，进而通过O ABC -的体积得到三棱锥的高，即球心到平面ABC 的距离.通过外接圆的半径公式，求得截面圆的半径，得到球O 的半径，即得解. 【详解】由题意2AB BC ==，ABC 1120=||||sin 32ABC S AB BC ABC ∆∠=︒∠=，1333O ABC ABC V S h h -∆==∴=.又ABC ∆的外接圆的半径222sin 2sin 30oAB r C ===因此球O 的半径222313R =+球的表面积：2452S R ππ==. 故选：C 【点睛】本题考查了球和三棱锥以及球的截面圆的综合问题，考查了学生的综合分析，空间想象，数学运算能力，属于中档题.12．定义方程()()'f x f x =的实根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()21x g x e =+，()()ln 1h x x =+，()31x x ϕ=-的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】可先求出'(),'(),'()g x h x x ϕ，由新驻点的定义可知对应的方程为：2232112,ln(1),131x x e e x x x x +=+=-=+，从而构造函数2321111()1,()ln(1),()131x g x e h x x x x x x ϕ=-=+-=--+ 由零点存在性定理判断,,a b c 的范围即可. 【详解】由题意：221'()2,'(),'()31xg x e h x x x x ϕ===+，所以,,a b c 分别为2232112,ln(1),131xx ee x x x x +=+=-=+的根，即为函数 2321111()1,()ln(1),()131x g x e h x x x x x x ϕ=-=+-=--+的零点，可解得：0a =；又因为：111(0)10,(1)ln 20,(0,1)2h h b =-<=->∈；又因为：11(2)0,(4)150,(2,4)c ϕϕ<=>∈；所以：c b a >> 故选：B 【点睛】本题是函数与导数综合的创新新定义题型，考查了导数、零点存在性定理等知识点，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于难题.二、填空题13．已知向量a r ，b r 满足3a =r ，2b =r ，且a r 与b r的夹角为60︒，则2a b -=r r ______.【答案】7【解析】先计算a r 与b r的数量积，由向量模的计算公式，代入数据即可的答案.【详解】根据题意||||cos 603oa b a b ⋅=⋅=r r r r ，222|2|4||4||28a b a a b b -=-⋅+=r r r r r r ，|2|7a b ∴-=r r故答案为：27【点睛】本题考查了数量积的计算预计向量模的计算方法，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14．实数x ，y 满足条件402200,0x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则41log 12x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最大值为______.【答案】1【解析】利用不等式性质，同向不等式的可加性，由已知条件中的不等式得到1+12x y +的取值范围，进而得解. 【详解】由题意：4x y +≤---------(1)22x y -+≤---------(2)0,0x y ≥≥---------(3)14(1)(2):361832x y x y ⨯++≤∴+≤由（3）：102x y ≤+ 4111+140log (+1)122x y x y ∴≤+≤∴≤+≤ 故答案为：1 【点睛】本题考查了不等式的性质，同向不等式的可加性，考查了学生转化与化归，数学运算的能力，属于基础题.15．双曲线1C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，且抛物线2C ：()220y px p =>的焦点与双曲线1C 的焦点重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率e =______. 【答案】12【解析】根据题意可得p 与a ,c 的关系，把抛物线的方程与双曲线的方程联立可得答案. 【详解】由题意可知：22pc p c =∴= 在由双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，知交点P 的横坐标为c , 把抛物线与双曲线联立得：22241x cxa b-=，把x c =代入整理得：42610e e -+= 解得：12e =+ 故答案为：12+ 【点睛】本题考查了双曲线与抛物线综合问题，考查了学生综合分析，数学运算得能力，属于中档题.16．已知南北回归线的纬度为2326'︒，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是90θϕδ=︒--.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值，如果在北半球某地（纬度为0ϕ）的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于______（结果用含有0h 和0ϕ的式子表示）. 【答案】()00tan 2326'h ϕ︒+【解析】根据题意，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射纬度为2326'-︒，依题意两楼的间距不小于MC ，根据太阳高度角的定义，以及题设条件，解三角形，即得解. 【详解】如图：设点A ，B ，C 分别为太阳直射北回归线，赤道，南回归线时楼顶在地面上得投射点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射纬度为2326'-︒，依题意两楼的间距不小于MC ，根据太阳高度角的定义得：90|(2326')|90(2326')o o o o o o C ϕϕ∠=---=-+0|MC|=tan(2326')tan tan(90(2326'))o o oo o oo h h h C ϕϕ∴==+-+ 故答案为：()00tan 2326'h ϕ︒+ 【点睛】本题考查了解三角形在实际问题中的应用，考查了学生综合分析，数学建模，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，274sin cos 222A B C +-=. （1）求角C ；（2）若332ABC S ∆=，7c =a ，b 的值. 【答案】（1）3C π=；（2）23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩【解析】（1）使用三角形的内角和公式和二倍角公式化简式子，得出cosC 的方程；（2）根据面积公式和余弦定理构造关于a ,b 的等量关系，即得解. 【详解】（1）由已知得，()()()2721cos 2cos 12A B C -+--=，所以()22cos 10C -=，所以1cos 2C =，3C π=. （2）133sin 22ABC S ab C ∆==6ab =.（1）又由()()2221cos c a b ab C =+-+得，5a b +=.（2）（1）与（2）联立得：23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查了解三角形的综合问题，涉及正弦定理、余弦定理、面积公式等知识点，考查了学生的综合分析能力，数学运算能力，属于中档题.18．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=︒，11AB AC AA ===，E 、F 分别是棱1C C 、BC 的中点.（1）求证：1B F⊥平面AEF；（2）求直线1B F与平面1AB E所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）6【解析】（1）根据题设中的长度关系，得到1B F EF⊥，再结合1AF B F⊥即得证；（2）如图建立平面直角坐标系，根据线面角的向量公式，即得解.【详解】（1）因为AF BC⊥，1AF BB⊥.所以AF⊥平面11BCC B，所以1AF B F⊥.11AB AC AA===，则2132B F=，234EF=，2194B E=，所以22211B EFF B E+=，所以1B F EF⊥，所以1B F⊥平面AEF；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A，()11,0,1B，10,1,2⎛⎫⎪⎝⎭E，11,,022F⎛⎫⎪⎝⎭，111,,122B F⎛⎫=--⎪⎝⎭u u u u r，平面1AB E的法向量为()2,1,2u=-r，设直线1B F与平面1AB E所成的角为α，则1116sin cos,6||||B F uB F uB F uα⋅===⋅u u u u r ru u u u r ru u u u r r.【点睛】本题考查了空间中直线与平面的垂直判定，线面角的计算，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.19．某班有甲乙两个物理科代表，从若干次物理考试中，随机抽取八次成绩的茎叶图（其中茎为成绩十位数字，叶为成绩的个位数字）如下：（1）分别求甲、乙两个科代表成绩的中位数；（2）分别求甲、乙两个科代表成绩的平均数，并说明哪个科代表的成绩更稳定；（3）将频率视为概率，对乙科代表今后三次考试的成绩进行预测，记这三次成绩中不低于90分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值.【答案】（1）甲的中位数是83.5，乙的中位数是83；（2）甲乙的平均数都是85，甲科代表的成绩更稳定；（3）分布列见解析，98Eξ=【解析】（1）根据茎叶图中的数据以及中位数的定义，可得解；（2）根据茎叶图中的数据，平均数、方差的定义，得解；（3）根据题意ξ服从二项分布，分别求出随机变量的概率然后求概率的分布列和均值. 【详解】（1）甲的中位数是83.5，乙的中位数是83；（2）甲乙的平均数都是85，227S=甲，231839.758S==乙，因为22S S<甲乙，所以甲科代表的成绩更稳定；（3）3~3,8Bξ⎛⎫⎪⎝⎭，ξ的分布列是：ξ0 1 2 3P125512 225512 135512 2751298E ξ=. 【点睛】本题为统计和概率的综合题，考查了茎叶图、中位数、平均数、方差，二项分布，随机变量的分布列和期望等概念，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.20．已知过圆1C ：221x y +=上一点13,22E ⎛ ⎝⎭的切线，交坐标轴于A 、B 两点，且A 、B 恰好分别为椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点和右顶点.（1）求椭圆2C 的方程；（2）已知P 为椭圆的左顶点，过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点，若直线MN 过定点()1,0Q -，求证：PM PN ⊥.【答案】（1）221443x y +=；（2）见解析【解析】（1）根据题设条件，可得上顶点和右顶点的坐标，进而可得椭圆方程；（2）根据题意设出直线MN 的方程与椭圆联立，得到221212226341313k k x x x x k k-+=-=++，，转化PM PN ⊥为证明0PM PN ⋅=u u u u r u u u r ，利用韦达定理即得证. 【详解】（1）直线OE l 的方程为3y x =，则直线AB l 的斜率33AB k =-. 所以AB l ：3333y x =-+，即23A ⎛ ⎝⎭，()2,0B ，椭圆方程为：221443x y +=；（2）①当MN k 不存在时，()1,1M -，()1,1N --，因为()()1,11,10PM PN ⋅=-⋅--=u u u u r u u u r ，所以PM PN ⊥u u u u r u u u r .②当MN k 存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN l ：()1y k x =+，联立()2211443y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩得：()2222136340k x k x k +++-=. 所以2122613k x x k +=-+，21223413k x x k-=+，又已知左顶点P 为()2,0-，()()()11221212122,2,24x y x y x x x x y y PM PN +⋅+=+++⋅=+u u u u r u u u r，又()()()212121212111y y k x k x k x x x x =++=+++22313k k-=+，所以222222341234131313k k k PM PN k k k --⋅=-+++++u u u u r u u u r 2222234124123013k k k k k--++-==+，所以PM PN ⊥u u u u r u u u r.综上PM PN ⊥得证. 【点睛】本题考查了直线和椭圆综合问题，考查了学生综合分析，转化、数学运算的能力，属于较难题. 21．已知111123S n =++⋅⋅⋅+，211121S n =++⋅⋅⋅+-，直线1x =，x n =，0y =与曲线1y x=所围成的曲边梯形的面积为S .其中n N ∈，且2n ≥. （1）当0x >时，()ln 11axx ax x <+<+恒成立，求实数a 的值；（2）请指出1S ，S ，2S 的大小，并且证明；（3）求证：131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑. 【答案】（1）1；（2）12S S S <<，证明见解析；（3）见解析【解析】（1）构造函数()()()1ln 1m x x x ax =++-，()()ln 1n x ax x x =-+借助导数分析函数单调性，研究a 的范围，即得解. （2）借助第（1）问的结论进行放缩，即得证；（3）借助第（1）问的结论进行放缩和叠加，即得证；【详解】（1）由已知得0a ≤时，不合题意，所以0a >.()ln 11axx x <++恒成立，即()()()1ln 10ax x x x <++>恒成立. 令()()()1ln 1m x x x ax =++-，()()'ln 11m x x a =++-. 当1a ≤时，()m x 在()0,∞+上为增函数，此时()0m x >成立. 当1a >时，()m x 在()10,1a e--上为减函数，不合题意，所以1a ≤.令()()ln 1n x ax x x =-+，()1'1n x a x =-+，当1a ≥时，()n x 在()0,∞+上为增函数，此时()0n x >，()ln 1x ax +<恒成立.当01a <<时，()n x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，不合题意，所以1a ≥.综上得1a =. （2）由（1）知()()ln 101x x x x x <+<>+.令1x i =，得111ln 11i i i⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，从而11111111ln 112321n i n i n -=⎛⎫+++<+<+++ ⎪-⎝⎭∑L L ，又因为11ln nS dx n x==⎰，则12S S S <<. （3）由已知111232313ni i i i =⎛⎫+-⎪--⎝⎭∑ 1111111123323n n ⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭L 111123n n n =++⋅⋅⋅+++，因为111ln 11i i i⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，所以 111111ln 1ln 1ln 1123123n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>++++++ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 31ln1n n +=+，111123ln ln ln 123131n n n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+++ ⎪ ⎪ ⎪+++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ln3=.从而131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑. 【点睛】本题考查了定积分的几何意义、不等式的恒成立问题、对数的运算等，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于难题.22．已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程222222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'2'x yy y=⎧⎨=⎩得到曲线'C ，设曲线'C 上任一点为()','M x y ，求点M 到直线l 距离的最大值.【答案】（1）40x y --=，221x y +=；（2）10422【解析】（1）利用参数方程和一般方程，极坐标和直角坐标系下方程的转化公式，代入即得解；（2）求出'C 方程，再由参数方程设()2cos ,sin M ϕϕ，由点到直线距离公式，运用两角和的正弦公式化简，即得解. 【详解】（1）直线l 的普通方程：40x y --=，曲线C 的直角坐标方程：221x y +=；（2）曲线C ：22''14x y +=，设()2cos ,sin M ϕϕ，()5sin 42cos sin 422d ϕθϕϕ+---==，其中θ为辅助角，当()sin 1ϕθ+=-时，d 1042+. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与一般方程的互化，点到直线的距离公式等知识点，考查了学生转化划归、数学运算的能力，属于中档题. 23．已知关于x 的不等式2|25|5x a x a +++-<. （1）当1a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）37,22⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）(0,2). 【解析】（1）代入1a =,可得绝对值不等式|1||3|5x x ++-<.分类讨论x 的不同取值范围,即可解不等式.（2）根据绝对值三角不等式的性质,化简后结合不等式有实数解,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时,令()|1||3|5g x x x =++-< 当1x <-时,()225g x x =-+<,解得312x ->>- 当13x -≤<时,()45g x =<,不等式恒成立当3x ≥时,()225g x x =-<,解得732x ≤< 综上所述,不等式的解集为37,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭（2）222|||25|2525x a x a x a x a a a +++-≥+--+=-+, 所以2255a a -+< 即25255a a -<-+< 解得()0,2a ∈ 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论思想和绝对值三角不等式性质的应用,属于中档题.。

2024学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高三数学第一学期期末综合测试试题含解析

2024学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高三数学第一学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，12BD DC =，则AD =（） A ．1344+AB AC B ．21+33AB ACC ．12+33AB ACD ．1233AB AC -2．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为（） A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =3．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（）．A ．B ．C ．D ．5．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，187．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为（）A ．2116B ．32C ．2516D ．39．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离10．已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a ba b b a b ⎧=⎨<⎩，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．11．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =A ．{}10x x x ><或B ．{}12x x <<C ．{|2}x x >D ．{}1x x >12．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( )A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高三(上)期末数学试卷(文科)

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合A={x|y=√x(2−x)}.B={y|y=2x,x>0}，则A∩B=()A. [0,2]B. (1,2]C. [1,2]D. (1,+∞)2.抛物线y=2x2的焦点坐标为()A. (1,0)B. (14,0) C. (0,14) D. (0,18)3.已知点A(−1,1)，B(3,y)，向量a⃗=(1,2)，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ //a⃗，则y的值为()A. 6B. 7C. 8D. 94.历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…它满足f(1)=f(2)=1，且满足递推关系f(n+1)=f(n)+f(n−1)，(n≥3,n∈N∗)，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若将此数列的每一项除以4后的余数构成一个新数列{a n}，则a2020=()A. 3B. 2C. 1D. 05.已知正项等比数列{a n}满足：a2a8=16a5，a3+a5=20，若存在两项a m，a n使得√a m a n=32，则1m +4n的最小值为()A. 79B. 910C. 34D. 956.设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7.已知函数f(x)=sin2x+2√3sinxcosx−cos2x，x∈R，则()A. f(x)的最大值为1B. f(x)在区间(0,π)上只有1个零点C. f(x)的最小正周期为π2D. x=π3为f(x)图象的一条对称轴8.如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，且BC=3，AC=4，CC1=3，点P在棱AA1上，且三棱锥A−PBC的体积为4，则点C1到平面PBC的距离等于()A. 3√2B. 6√25C. 6√55D. √1559.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. π2+√3B. π+√3C. 3π2+√3D. 3π+√310. 焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( )A. 14B. 13C. 12D. 2311. 直线l ：2x −y +e =0的倾斜角为α，则sin(π−α)sin(π2+α)的值为( )A. −25B. −15C. 15D. 2512. 已知函数f(x)是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有f(−x)f(x)=e 2x ，当x <0时f(x)+f′(x)>0，若e a f(2a +1)≥f(a +1)，则实数a 的取值范围是( )A. [0,23]B. [−23,0]C. [0,+∞)D. (−∞,0]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≥−1,x −y ≥−1,2x −y ≤1,则z =x +2y 的最大值是______．14. 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的各顶点都在球O 的球面上，且AB =AC =1，BC =√2，若球O 的表面积为20π，则这个三棱柱的体积为______． 15. 如图，F 1、F 2是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B.若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为_________．16. 已知数列{a n }满足a 1=1且a 1+12a 2+13a 3+⋯+1n a n =a n+1−1(n ∈N ∗)，数列{a n 2n }的前n 项和为S n ，则使不等式S n <m 对任意正整数n 恒成立的最小整数m 为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，内角A ，B ，C 顺次成等差数列．(1)若a =2，c =3，求b 的大小；(2)若b =2√3，求△ABC 的周长的取值范围．18. 已知直线4x +3y +1=0被圆C ：(x +3)2+(y −m)2=13(m <3)所截得的弦长为4√3，且P(x,y)为圆C 上任意一点． (1)求m ；(2)求圆C 的斜率为l 的切线方程．19. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠BAC =90°，AB =1，AC =2，AA 1=3.点E在侧棱BB 1上，且BB 1=9BE ． (1)求证：AE ⊥平面A 1BC 1；(2)设D 为B 1C 1的中点，求六面体ABA 1DC 1体积．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√22，且过点(√22,√32). (1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4，求直线l 的方程．21. 设函数f(x)=e x −a(x +1)．(1)当a =1时，求f(x)在x =0处的切线方程；(2)若f(x)有两个不等的零点x 1，x 2，求实数a 的取值范围； (3)求证：在(2)的条件下x 1+x 2>0．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的方程为√3x +y −4=0，圆C 的参数方程{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐坐标系． (1)求l 和圆C 的极坐标方程；(2)过O 且倾斜角为β的直线与直线l 交于点A ，与圆C 交于另一点B.若π6≤β≤512π，求|OB|OA 的取值范围．23. 已知函数f(x)=|x −1|．(1)求不等式3f(x)−f(x +2)>2的解集；(2)若不等式f(x −a +1)+f(x +3)≤f(x +4)的解集包含[−2,−1]，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|y=√x(2−x)}={x|0≤x≤2}．B={y|y=2x,x>0}={y|y>1}，∴A∩B={x|1<x≤2}=(1,2]．故选：B．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】Dy【解析】解：整理抛物线方程得x2=12∴焦点在y轴，p=14)∴焦点坐标为(0,18故选：D．先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p，进而求得焦点坐标．本题主要考查了抛物线的简单性质．求抛物线的焦点时，注意抛物线焦点所在的位置，以及抛物线的开口方向．3.【答案】D⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,y−1)，【解析】解：根据题意，点A(−1,1)，B(3,y)，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ //a⃗，则有4×2=y−1，解可得y=9，若AB故选：D．⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得4×2=y−1，解可得y 根据题意，由A、B的坐标可得向量AB的值，即可得答案．本题考查向量平行的坐标表示方法，涉及向量坐标的计算，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：“兔子数列”的前些项1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…分别除以4后的余数数列{a n}依次为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1，……，可见，数列{a n}中的项按1，1，2，3，1，0的规律，6个一组，周而复始，依次重复出现，故a2020=a6×336+4=a4=3．故选：A．计算出{a n}前面的有限项，然后找出其中体现出来的周期性规律，即可求出第2020项．本题考查递推数列条件下的数列问题，利用有限项体现出的“周期性”规律来求数列中的项，是一种常考模式．属于中档题．5.【答案】C【解析】解：∵a2a8=16a5，∴a52=16a5，∴a5=16，∵a3+a5=20，∴a 3=4， ∴q 2=a5a 3=4，∵正项等比数列{a n }， ∴q =2， ∴a 1=1， ∴a n =2n−1， ∵√a m a n =32， ∴a m a n =210， ∴2m+n−2=210， ∴m +n =12，∴1m +4n =112(1m +4n )(m +n)=112(5+nm +4m n)≥112(5+2√n m ⋅4m n)=34，当且仅当nm =4m n，即m =4，n =8时取等号，故选：C ．先根据等比数列的性质和通项公式求出首项和公比，再根据指数幂的运算求出m +n =12，利用“乘1”法，根据基本不等式即可求出．本题考查了等比数列的性质和基本不等式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题． 6.【答案】A【解析】解：因为“a =1”时，“直线l 1：ax +2y =0与l 2：x +(a +1)y +4=0” 化为l 1：x +2y =0与l 2：x +2y +4=0，显然两条直线平行；如果“直线l 1：ax +2y =0与l 2：x +(a +1)y +4=0平行” 必有a(a +1)=2，解得a =1或a =−2，所以“a =1”是“直线l 1：ax +2y =0与l 2：x +(a +1)y +4=0平行”的充分不必要条件．故选A ．利用a =1判断两条直线是否平行；通过两条直线平行是否推出a =1，即可得到答案．本题考查充要条件的判断，能够正确判断两个命题之间的条件与结论的推出关系是解题的关键． 7.【答案】D【解析】解：函数f(x)=sin 2x +2√3sinxcosx −cos 2x =√3sin2x −cos2x =2(√32sin2x −12cos2x)=2sin(2x −π6)，可得f(x)的最大值为2，最小正周期为T =2π2=π，故A 、C 错误；由f(x)=0，可得2x −π6=kπ，k ∈Z ，即为x =kπ2+π12，k ∈Z ，可得f(x)在(0,π)内的零点为π12，7π12，故B 错误；由f(π3)=2sin(2π3−π6)=2，可得x =π3为f(x)图象的一条对称轴，故D 正确．故选：D ．运用二倍角的正弦公式、余弦公式和辅助角公式，推得f(x)=2sin(2x −π6)，运用正弦函数的最值和周期公式，可判断A ，C ；由f(x)=0，可判断B ；由对称轴的特点，计算可判断D ．本题考查三角函数的恒等变换，以及正弦函数的图象和性质，考查转化思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：∵AC⊥BC，且BC=3，AC=4，∴AB=5，∵三棱锥A−PBC的体积为4，三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，∴V P−ABC=13⋅S△ABC⋅PA=13⋅12⋅3⋅4⋅PA=6，解得：PA=2，∵PA=2，AB=5，AC=4，∴PB=√29，PC=√20，而BC=3，∴PC2+BC2=PB2，∴S△PBC=12⋅√20⋅3=3√5，设点C1到平面PBC的距离是h，则V C1−PBC =V P−BCC1=13S△BCC1⋅AC=13⋅12⋅3⋅3⋅4，故13⋅S△PBC⋅ℎ=13⋅12⋅3⋅3⋅4，解得：ℎ=6√55，故选：C．根据三棱锥A−PBC的体积为4，求出PA的长，从而求出△PBC的面积，设点C1到平面PBC的距离是h，根据V C1−PBC =V P−BCC1，求出h的值即可．本题考查了三棱锥的体积，考查求点，面距离，训练了利用等积法求多面体的体积，考查转化思想，是一道中档题．9.【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为圆锥PO的一半，圆锥的底面半径为1，高为√3．∴圆锥的母线长l=√(√3)2+12=2．则该几何体的表面积为S=12×π×12+12×π×1×2+12×2×√3=3π2+√3．故选：C．由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥PO的一半，圆锥的底面半径为1，高为√3，再由圆的面积公式、三角形面积公式及圆锥侧面积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．10.【答案】C【解析】解：由椭圆的性质可知：AB=2c，AC=AB=a，OC=b，S ABC=12AB⋅OC=12⋅2c⋅b=bc，S ABC=12(a+a+2c)⋅r=12⋅(2a+2c)×b3=b(a+c)3，∴b(a+c)3=bc，a=2c，由e=ca =12，故选：C．根据椭圆的性质AB=2c，AC=AB=a，OC=b，根据三角形面积相等求得a和c的关系，由e=ca，即可求得椭圆的离心率．本题主要考察椭圆的基本性质，考察三角形的面积公式，离心率公式，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：∵直线l：2x−y+e=0的倾斜角为α，∴tanα=2，∴sin(π−α)sin(π2+α)=sinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanα1+tan2α=21+22=25．故选：D．根据倾斜角和斜率的关系可求tanα=2，进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解．本题主要考查了倾斜角和斜率的关系，考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．12.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，解答本题的关键是偶函数对称性的灵活应用．由已知可得，f(−x)e x=e x f(x)=e−x f(−x)，构造函数g(x)=e x f(x)，则g(−x)=g(x)，根据x<0时f(x)+ f′(x)>0，可得函数g(x)在(−∞,0)上单调递增，根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知g(x)在(0,+∞)上单调递减，从而可求解．【解答】解：∵f(−x)f(x)=e2x，∴f(−x)e x=e x f(x)=e−x f(−x)，令g(x)=e x f(x)，则g(−x)=g(x)，当x<0时f(x)+f′(x)>0，∴g′′(x)=e x[f(x)+f′(x)]>0，即函数g(x)在(−∞,0)上单调递增根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知g(x)在(0,+∞)上单调递减，∵e a f(2a+1)≥f(a+1)，∴e2a+1f(2a+1)≥e a+1f(a+1)，∴g(2a+1)≥g(a+1)，|2a+1|≤|a+1|，解可得，−23≤a≤0，故选：B ．13.【答案】8【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z =x +2y 得y =−12x +12z ，平移直线y =−12x +12z 由图象可知当直线y =−12x +12z 经过点A 时，直线y =−12x +12z 的纵截距最大，此时z 最大，由{x −y =−12x −y =1，解得A(2,3)，此时z =2+2×3=8，故答案为：8．14.【答案】3√22【解析】解：如图：∵AB =AC =1，BC =√2，∴∠BAC =90°，取BC ，B 1C 1的中点E ，F ，则EF 的中点O 为直三棱柱的外接球的球心，由S 球=4πR 2=20π，得R =√5，∴EF =2√R 2−BE 2=2√5−12=3√2，又S △ABC =12×AB ×AC =12×1×1=12， ∴这个直三棱柱的体积V =EF ×S △ABC =3√22．故答案为：3√22．先根据勾股定理判断出底面是等要直角三角形，再判断出EF 的中点为直三棱柱的外接球的球心，根据球的面积得出球的半径，利用勾股定理得到直三棱柱的高，最后根据柱体体积公式求解．本题考查多面体外接球的表面积，考查棱柱体积的求法，属中档题．15.【答案】√7【解析】【分析】本题考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，可求m的值，在△AF1F2中，由余弦定理，可得结论．【解答】解：设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，可得|BF1|=m+2a，∴|AF1|=2a，∵|AF2|−|AF1|=2a，∴|AF2|=4a，∴m=4a，在△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，|F1F2|=2c，∠F1AF2=120°，∴由余弦定理可得4c2=(4a)2+(2a)2+2×4a×2a×12，∴c=√7a，∴e=ca=√7，故答案为√7．16.【答案】2【解析】解：数列{a n}满足a1+12a2+13a3+⋯+1na n=a n+1−1(n∈N∗)，∴n≥2时，a1+12a2+13a3+⋯+1n−1a n−1=a n−1(n∈N∗)，两式相减可得：1n a n=a n+1−a n，化简：a n+1n+1=a nn，∴a nn =⋯…=a22，∵a1=1，∴a2−1=a1=1，可得a2=2．∴a nn =a22=1，解得：a n=n．∴a n2n =n2n．∴数列{a n2n }的前n项和S n=12+22+32+⋯…+n2，∴2S n=1+22+322+⋯…+n−12n−2+n2n−1，相减可得：S n=1+12+12+⋯…+12−n2=1−(12)n1−12−n2=2−2+n2，由于数列{a n2n}的前n项和S n单调递增，可得：S n<2．则使不等式S n<m对任意正整数n恒成立的最小整数m为2．故答案为：2．数列{a n}满足a1+12a2+13a3+⋯+1na n=a n+1−1(n∈N∗)，n≥2时，a1+12a2+13a3+⋯+1n−1a n−1=a n−1(n∈N∗)，两式相减可得：a n+1n+1=a nn，进而得出a n.再利用错位相减法可得：数列{a n2n}的前n项和S n，利用其单调性即可得出结论．本题考查了数列递推关系、错位相减法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由A+B+C=π且2B=A+C，所以B=π3，由余弦定理得，b2=a2+c2−2accosB=4+9−2×2×3×12=7，故b=√7，(2)由正弦定理得，a sinA=√3√32=csinC，故a=4sinA，c=4sinC，所以△ABC的周长a+b+c=4sinA+4sinC+2√3，=4sinA+4sin(2π3−A)+2√3，=4sinA+2sinA+2√3cosA+2√3，=6sinA+2√3cosA+2√3，=4√3(√32sinA+12cosA)+2√3，=4√3sin(A+π6)+2√3，∵△ABC为锐角三角形，∴{0<A<π20<2π3−A<π2，解得，π6<A<π2，则π3<A+π6<2π3，∴√32<sin(A+π6)≤1，∴△ABC的周长的取值范围(6+2√3,6√3].【解析】(1)由已知结合等差数列的性质及三角形的内角和可求B，然后结合余弦定理可求b，(2)由正弦定理可表示a，c，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及辅助角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)圆C：(x+3)2+(y−m)2=13的圆心C为(−3,m)，半径r=√13，若直线4x+3y+1=0被圆C：(x+3)2+(y−m)2=13(m<3)所截得的弦长为4√3，则圆心到直线的距离d=√13−(2√3)2=1=√16+9，解可得：m=2或m=163(舍)，则m =2；(2)设圆C 的斜率为l 的切线方程为y =x +b ，即x −y +b =0．由(−3,2)到切线的距离等于半径，可得|−3−2+b|√2=√13，解得b =5+√26或b =5−√26．∴切线方程为y =x +5+√26或y =x +5−√26．【解析】(1)根据题意，由直线与圆的位置关系分析可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式列式求解m 的值；(2)设出圆C 的斜率为l 的切线方程为y =x +b ，再由圆心到直线的距离等于半径列式求得b ，则答案可求．本题考查直线与圆的位置关系，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．19.【答案】解：(1)证明：∵在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠BAC =90°，AB =1，AC =2，AA 1=3.点E 在侧棱BB 1上，且BB 1=9BE ．∴A 1C 1⊥A 1B 1，A 1C 1⊥A 1A ，∵A 1B 1∩A 1A =A 1，A 1B 1⊂平面A 1B 1BA ，A 1A ⊂平面A 1B 1BA ，∴A 1C 1⊥平面平面A 1B 1BA ，∵AE ⊂平面A 1B 1BA ，∴AE ⊥A 1C 1，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0，3)，E(1,0，83)，A 1(0,0，0)，B(1,0，3)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−13)，A 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，3)， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴AE ⊥A 1B ， ∵A 1B ∩A 1C 1=A 1，A 1B ⊂平面A 1BC 1，A 1B ⊂平面A 1BC 1，∴AE ⊥平面A 1BC 1．(2)∵D 为B 1C 1的中点，∴S △A 1DC 1=12S △A 1B 1C 1=12×12×1×2=12，D 到平面ABA 1的距离ℎ=12AC =1，S △ABA 1=12×1×3=32，∴六面体ABA 1DC 1体积为：V =V D−ABA 1+V A−A 1DC 1=13×ℎ×S △ABA 1+13×AA 1×S △A 1DC 1 =13×1×32+13×3×12 =1．【解析】(1)推导出AE ⊥A 1C 1，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出AE ⊥A 1B ，由此能证明AE ⊥平面A 1BC 1．(2)六面体ABA 1DC 1体积为V =V D−ABA 1+V A−A 1DC 1，由此能求出六面体ABA 1DC 1体积．本题考查线面垂直的证明，考查六面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由已知可得：{ c a =√22(√22)2a 2+(√32)2b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2=2，b 2=1，故椭圆的方程为x 22+y 2=1；(2)由(1)知，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，设点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，代入椭圆方程可得y =±√22，所以P(1,√22)，Q(1,−√22)，则PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22)⋅(2,−√22)+(2,0)⋅(0,√22)=−12≠4⋅(2,−√22)+(2,0)⋅(0,√22)=−12≠4，不成立，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =k(x −1)，并代入椭圆方程可得；(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−2=0，所以x 1+x 2=4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−21+2k 2，因为PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x 1,−y 1)⋅(x 2+1,y 2)+(2,0)⋅(1−x 2,−y 2)=4，即x 1x 2+y 1y 2+(x 1+x 2)+1=0，即(1+k 2)x 1x 2+(1−k 2)(x 1+x 2)+1+k 2=0x 1x 2+(1−k 2)(x 1+x 2)+1+k 2=0，所以(1+k 2)×4k 21+2k 2+(1−k 2)×2k 2−21+2k 2+1+k 2=0，化简得k 2=17，所以k =√7，此时直线l 的方程为x ±√7y −1=0．【解析】(1)由已知条件建立方程组即可求解；(2)先讨论直线l 斜率不存在时取出点P ，Q 的坐标，验证已知等式不成立，所以直线l 的斜率存在时差直线l 的方程，并设出点P ，Q 的坐标，联立直线l 的方程与椭圆的方程，利用韦达定理以及向量的数量积的运算化简即可求解．本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到分类讨论思想，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)函数f(x)=e x −(x +1)的导数为f′(x)=e x −1，可得f(x)的图象在x =0处的切线斜率为k =1−1=0，且f(0)=0，则f(x)在x =0处的切线方程为y =0；(2)函数f(x)=e x −a(x +1)的导数为f′(x)=e x −a ，当a ≤0时，f′(x)>0，f(x)在R 上递增，则f(x)最多一个零点；当a >0时，x >lna 时，f′(x)>0，f(x)递增；x <lna 时，f′(x)<0，f(x)递减，所以f(x)在x =lna 处取得最小值f(lna)=a −a(lna +1)=−alna ，由于f(x)有两个不等的零点x 1，x 2，可得−alna <0，解得a >1；(3)证明：由(2)知，函数f(x)有两个零点时，a >1．函数f(x)恰有两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，由f(x 1)=f(x 2)=0，得e x 1=a(x 1+1)，e x 2=a(x 2+1)，于是x 1=lna +ln(x 1+1)，x 2=lna +ln(x 2+1)，所以x 2−x 1=ln x 2+1x 1+1，令x 2+1x 1+1=t(t >1)，则x 2+1=t(x 1+1)，于是x 2−x 1=(x 2+1)−(x 1+1)=lnt ．所以x 1+1=lnt t−1，x 2+1=tlnt t−1，x 1+x 2+2=(t+1)lnt t−1，要证x 1+x 2>0，即证(t+1)lnt t−1>2，由t >1，即证lnt >2(t−1)t+1，设ℎ(t)=lnt −2(t−1)t+1，ℎ′(t)=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0，所以ℎ(t)在(1,+∞)单调递增，所以ℎ(t)<ℎ(1)=0，即lnt >2(t−1)t+1，所以x 1+x 2>0．【解析】(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得切线方程；(2)求得f(x)的导数，讨论a ≤0时，不成立；a >0时，求得单调性和最值，由题意可令最值小于0，解不等式可得所求范围；(3)由函数零点的定义和构造函数法，结合分析法，以及函数的单调性的运用，即可得证．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法和函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力以及转化思想的应用，属于难题．22.【答案】解：(1)直线l 的直角坐标方程为√3x +y −4=0，转换为极坐标方程为√3ρcosθ+ρsinθ−4=0．圆C 的参数方程{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，化为普通方程为x 2+(y −1)2=1，整理得x 2+y 2=2y ，转换为极坐标方程为ρ=2sinθ；(2)过O 且倾斜角为β的直线为θ=β，∵该直线与l 交于点A ，∴{ρ=2sin(θ+π3)θ=β，得ρA =2sin(β+π3)，与C 交于另一点B ，∴{ρ=2sinθθ=β，整理得ρB =2sinβ， ∴|OB||OA|=2sinβ2sin(β+π3)=sinβsin(β+π3)=sinβ(12sinβ+√32cosβ) =12sin 2β+√32sinβcosβ=1−cos2β4+√34sin2β=12sin(2β−π6)+14， ∵π6≤β≤512π，∴π6≤2β−π6≤2π3， ∴12≤12sin(2β−π6)+14≤34，则|OB||OA|的取值范围是[12,34].【解析】(1)直接利用极坐标与直角坐标的互化关系可得直线l 的极坐标方程，把曲线参数C 的参数方程化为普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的极坐标方程；(2)联立θ=β与l 及C 的极坐标方程，分别求得ρA ，ρB 的值，利用三角变换结合β的范围可得|OB||OA|的取值范围．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题． 23.【答案】解：(1)3f(x)−f(x +2)>2即3|x −1|−|x +1|>2，故{x ≤−1−3(x −1)+x +1>2或{−1<x <1−3(x −1)−x −1>2或{x ≥13(x −1)−x −1>2，解得：x ≤−1或−1<x <0或x >3，即x <0或x >3，故不等式的解集是(−∞,0)∪(3,+∞)；(2)f(x −a +1)+f(x +3)≤f(x +4)即|x −a|+|x +2|≤|x +3|，∵不等式f(x −a +1)+f(x +3)≤f(x +4)的解集包含[−2,−1]，故|x −a|+|x +2|≤|x +3|对于x ∈[−2,1]恒成立，∵x ∈[−2,−1]，∴x +2≥0，x +3≥0，故|x −a|+|x +2|≤|x +3|等价于|x −a|+x +2≤x +3，即|x −a|≤1恒成立，故a −1≤x ≤a +1在[−2,−1]恒成立，故{a −1≤−2−1≤a +1，解得：−2≤a ≤−1，故实数a 的取值范围是[−2,−1]．【解析】(1)通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出即可；(2)根据集合的包含关系|x −a|+|x +2|≤|x +3|等价于a −1≤x ≤a +1在[−2,−1]恒成立，根据x 的范围，得到关于a 的不等式组，解出即可．本题考查了绝对值不等式问题，考查集合的包含关系以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。