信号与系统第6章 系统的频域分析(6学时)

1、定义 系统的频率响应 H (j )是系统冲激响应h(t)的傅 里叶变换。 H (j) ej h( )d
-
y( t ) x(t) h(t) 系统的零状态响应：
Yzs(j) X(j)H (j) 根据卷积定理有：
一、连续系统的频率响应
2、表示形式
Yzs(j) H (j) = H (j) ej( ) X (j)
~ x (t )
A
-T0
0

T0
t
解： 对于周期方波信号，其Fourier系数为
A n0 Cn Sa T0 2
可得系统响应
y (t )
n
jn 0t C H ( j n ) e n 0

A y(t ) aT
n
系统的频域响应为：H ( j) K e j td
幅度响应 | H (j)| K
相位响应j() td
一、 无失真传输系统
无失真传输系统的幅度和相位响应
| H ( j ) | K
( ) t d

( ) t d
|H(j)|


无失真传ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ系统应满足两个条件：
例1 已知一连续时间系统的频率响应如图所示，
输入信号时，x(t ) 5 3 cos 2t cos 4t t 试求该系统的稳态响应y(t)。 H ( j )
解：系统频率响应是正的实函数，所以
1
j(0 ) 0
1 H (j0 ) - +1 3
3
0
3

利用余弦信号作用在系统上的零状态响应的特点，即 T{cos(0 t )} H ( j0 ) cos(0 t (0 ) )
第六章 系统的频域分析
6.1 连续非周期信号通过系统响应的频域分析 6.2 连续周期信号通过系统响应的频域分析 6.3 无失真传输系统与理想滤波器 6.4 时域抽样与抽样定理
6.1 连续非周期信号通过系统响应的频域分析
连续系统的频率响应 微分方程描述的LTI系统响应 电路系统的响应
一、连续系统的频率响应
例3 已知描述某LTI系统的微分方程为 y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = x(t)， 求系统的频率响应H(j)。 解：利用Fourier变换的微分特性，微分方程的 频域表示式为
( j)2 Yzs ( j) 3 jYzs ( j) 2Yzs ( j) X ( j)
幅度响应
相位响应
若h(t)是实信号时，则|H(j)|是的偶函数， j()是的奇函数。
例1 已知某LTI系统的冲激响应为 h(t) = (e-te-2t) u(t)，求系统的频率响应H(j)。 解： 利用H(j)与h(t)的关系
1 1 H ( j ) F [h(t )] j 1 j 2 1 ( j ) 2 3( j ) 2
例2 已知某LTI系统的输入信号为f(t) = e-t u(t) ， 输出信号为y(t) = (e-te-2t) u(t) ，求该系统的频率 响应H(j)和冲激响应h(t)。 解： 利用H(j)与F(j) 、Y(j)的关系 1 F(j ) j 1
1 1 2j 3 Y (j) + = j 1 j 2 j 1 j 2
由Fourier反变换，得系统的冲激响应h(t)为
1 (1 / RC)t h(t ) e u(t ) RC
RC电路系统的幅度响应
j
低通滤波器
0
0
1/RC
2/RC
3/RC
4/RC

随着频率的增加，系统的幅度响应|H(j)|不断减小，说明 信号的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大。 由于|H(j(1/RC))|=0.707，所以把c=1/RC称为该系统的3db截频。
三、电路系统响应
建立基本元件的频域模型，得到基本元件的广义阻抗， 利用电路基本原理求解频域响应。
v R(t) R iR(t)
diL(t) v L(t) L dt
dvC (t) iC (t) C dt
VR(j ) R I R(j )
VL(j ) j LI L(j )
IC (j ) j CVC (j )
(0 2π / T0 )
利用虚指数信号 ejt 作用在系统上响应的特点及 线性特性可得系统的零状态响应为
y (t )
n


Cn T {e
jn0t
}
n
jn 0t C H ( j n ) e n 0

例2 求图示周期方波信号通过LTI系统 H(j) = 1/(a+j) 的响应y(t)。
3( j ) 4 Yzs ( j ) X ( j ) H ( j ) ( j 1)( j 2)( j 3)
1 t 5 3t 2t yzs (t ) F [Yzs ( j )] [ e 2e e ]u (t ) 2 2
1
例4 图示RC电路系统，激励电压源为x(t)，输出电压
利用虚指数信号ejt响应的特点及系统的线性特性，得
1 (j0t ) (j0t ) 零状态响应y(t ) H (j ) e H ( j ) e 0 0 2j 1 jj(0 ) (j0t ) -jj(0 ) (j0t ) = [ H (j0 ) e e H (j0 ) e e ] 2j H (j0 ) sin(0t j(0 ) )
一、正弦信号通过系统的响应
T{sin(0 t )} H ( j0 ) sin(0 t (0 ) )
同理可得 T{cos(0 t )} H ( j0 ) cos(0 t (0 ) ) 结论： （1）正、余弦信号作用于LTI系统时，其输出的零 状态响应y(t)仍为同频率的正、余弦信号。 （2）输出信号的幅度y(t)由系统的幅度响应|H(j0)| 确定 （3）输出信号的相位相对于输入信号偏移了(
R R
+
x(t) C
+
y (t )
+
X(j) 1/jC
+
Y(j)
-
-
-
-
解： RC电路的频域(相量)模型如图， 由电路的基本原理有 1 jC Y ( j ) 1 / RC H ( j ) j 1 / RC X ( j ) R 1 jC 由Fourier反变换，得系统的冲激响应h(t)为 1 (1 / RC)t h(t ) e u(t ) RC
1 解： 由于输入激励x(t)的频谱函数为 X ( j ) j 3
系统的频率响应由微分方程可得
3( j ) 4 3( j ) 4 H ( j ) 2 ( j ) 3( j ) 2 ( j 1)( j 2)
故系统的零状态响应yzs (t)的频谱函数Yzs (j)为
6.2 连续周期信号通过系统响应的频域分析
虚指数信号通过系统的响应 正弦信号通过系统的响应 任意周期信号通过系统的响应
一、虚指数信号通过系统的响应
当输入信号为虚指数信号f( t ) ejt 时
其对应的输出响应如下：
y(t ) ejt h(t )
（t - ） = ej h( ) d ejt - -
Y (j ) 2j 3 1 H (j) =2F(j ) j 2 j 2
h( t ) 2(t) e2t u(t)
二、微分方程描述的LTI系统响应
n阶连续LTI系统的数学模型用微分方程描述如下：
any(n )(t) an 1y(n 1)(t) a0y(t) bm x(m )(t) bm 1x(m 1)(t ) b0x(t )

h( )e-j d ejt H (j )
y( t ) e H (j)
jt
二、正弦信号通过系统的响应
LTI系统输入信号为 x(t ) sin 0t , t
1 j(0t ) j(0t ) e ) 由Euler公式可得 x(t ) (e 2j
ZR
VR(j ) R I R(j )
VL(j ) ZL j L I L(j )
ZC VC (j ) 1 IC (j ) j C
例3 图示RC电路系统，激励电压源为x(t)，输出电压
y(t)为电容两端的电压vc(t)，电路的初始状态为零。 求系统的频率响应H(j)和冲激响应h(t)。
-1
-
A n 0 ejn0t A n 0 ejn0t Sa + Sa T 2 a jn 0 n 1 T 2 a j n 0
系统响应频域分析小结
求解方法：
1、由描述LTI系统的微分方程直接计算；
2、由LTI系统的冲激响应的傅里叶变换计算；
由定义可求得
1 Yzs ( j ) H ( j ) 2 ( j ) 3( j ) 2 X ( j )
例3 已知描述某LTI系统的微分方程为
y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = 3x '(t)+4x(t)，系统的输入激 励 x(t) = e3t u(t)，求系统的零状态响应yzs (t)。
解决方法：采用拉普拉斯变换
6.3 无失真传输系统与理想滤波器
无失真传输系统 理想滤波器
一、 无失真传输系统
1、定义 若输入信号为x(t)，则无失真传输系统的输出 信号y(t)应为 K为正常数
y(t ) K x(t td )
td是延迟时间
h(t ) K (t t d ) 系统的冲激响应为：
可以求出信号x(t)作用在系统上的稳态响应为
T{x(t )} 5H ( j0) 3H ( j2) cos2t H ( j4) cos4t
5 cos 2t
t
三、任意周期信号通过系统的响应
~ 将周期为T0的周期信号 x (t ) 用Fourier级数展开为
jn0t ~ x (t ) Cne n
y(t)为电容两端的电压vc(t)，电路的初始状态为零。 求系统的频率响应H(j)和冲激响应h(t)。
R
解：由电路的基本原理有
+
x(t) C
+
y (t )
dy(t ) RC y(t ) x(t ) dt
-
-
Y (j ) 1 1 / RC H (j ) = X (j ) RC（j）+1 j 1 / RC
利用时域微分特性可得
[an(j)n an 1(j)n 1 a0 ] Yzs(j) [bm(j)m bm 1(j)m 1 b0]X(j)
则连续系统的频率响应可表示如下
Yzs ( j ) bm ( j ) m bm1 ( j ) m1 b1 ( j ) b0 H ( j ) X ( j ) a n ( j ) n a n1 ( j ) n1 a1 ( j ) a0
1) 系统的幅度响应|H(j)|在整个频率范围内应为常数K， 即系统的带宽为无穷大； 2) 系统的相位响应()在整个频率范围内应与成正比。
例1 已知一LTI系统的频率响应为
3、对电路系统，可由电路的零状态频域等效电路模型计算。
系统响应频域分析小结
优点：求解系统的零状态响应时，可以直观地体现信号
通过系统后信号频谱的改变，解释激励与响应时域波形 的差异，物理概念清楚。
不足：
（1）只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响应 仍需按时域方法求解。 （2）若激励信号不存在傅里叶变换，则无法利用频域 分析法。 （3）频域分析法中，傅立叶反变换常较复杂。