2010考研数一真题答案及详细解析

P{X = k} = k! ,k = 0,l,2,
．一 b — =
则 EX 2= � 贮
k=O
e-1 = e- 1• 00
k
k!
k=l (k - 1)!
= e- 1 �(k — 1)+ 1 = 2 k=l (k - 1)!
三解 、 答题 (15)解 由题设知，齐次方程对应的特征方程为r 2 — 3 r+2 = 0,
(—1)n-1 2n—l X
2n-l)
I
=
oo
笘( — l)n— 1X2n-2
= l-x2 +x4 -x6 +…+ (_ 1)n-1X 2n-2 +…
所以
—
1 l+x2
,x
E
[—1,1].
J: I : S 1(x) = J: S'(1t)dt+S 1(0) = 1�t2 dt+0= arctant = arctanx.
2 + y z 气-yz =l
y = 2z
(x +岛) IY — 2z I
✓ ＠根据题设条件知 ， 曲面积分『
dS中积分曲面2是椭球面S位于平面
2 4 + y2 + z 2 -- 4yz
2010年 （数一） 真题答案解析
一、选择题
Cl) C
丑
法
用求幕指数型极限的一般方法。求I = lim exln(x-a)(叶b)'
x-=
归结为求
— + W =limx ln x-c。
2
Cx
X
-a)(x
+b)
= lim x
户=
ln((x
x2 — a)(x +b)
1
1)
＝上 =严 2
�x
((x -
X
a)(x +b)
I: 』 』 域9得截面D(z)且D(z)是一圆域：x2 +y2 �z.
=『 于是[』zdV= dz zdxdy >dz dxdy
X
『 L=六 =了 。 = 0 z • 亢zdz
z 2dz 六 3 1 =3六 •
I r If 『 =『六 =王之 dV= dz dxdy
万
D(zl
zdz
2 1 二，
2
02
1
l
令J'(x) =0, 得X -0, X =土1.
则广(0) = 2J\-'2dt < o, 广（士1) = 4e-1 > O,
1 所以f(O) = —(1 —
e-1)是极大值，f(土1) = 0是极小值．
2
由千当X > l时，j'(x) > 0;0 < x < l时，j'(x) < 0; - 1 < X < 0时，J'(x) > 0;
解得特征根为： r1 = l,r 2 = 2.
于是齐次方程y" — 3y'+2y = 0的通解是：
Y=C1e"十C2心，(CI, 贮是任意常数）．
由条件知原方程的一个特解可设为： y , = .r (ax + b)e勹（其中a ,b为待定系数）．
则y'1= [ax 2+(2a +b)• x +b]矿，y� = [a.1:· 2 + (4a +b)x+2a +2b]e气
所以f I IntI[ln Cl+t)千dt<f尸I IntI dt.
0
0
c r。 II) 由 C I)知 0< u ,,<
J
lnt
J
tn
dt =
1 O+n)2'
叫 r j勹 �I
IntItn dt =— 尸lntdt = - 1尸Int/ 1 +
o
n+l
o
o
』气dt n+l
=
1 (n+1)2'
1
+ 又由于lim n-= (1
F:
=F
1 2
• 一 1 ，
X
X
所以
必 F; �) Fq —
— clx =
—
----,F.
=
—
+Fq-�) 启· 一1
=
yF�+ zF� x F'2 '
X
F; —1
Jz Jy
=
—
FFzy''=-
X
启—1
=- FF' �2 '
X
则x
- ooxz +y- ooyz =
yF�+ 启
zF� -—yF—� =z. F�
<
1}-P { X
<
1} =
.F Cl)
-
F Cl
-O) =
1
-
e-1--1 = 2
-1 -e-1. 2
（ 8 ）
解
由于几(x) =』了主
八(x)�{¾• l�x�3,
0' 其他
二几 I: 气 长号气 故r::/C.r)dx =a f
=
(x)dx +b 八(x)dx =a
+bf:
b=l.可得
+ 2a 3b =4, 故应选A.
古文 (19)解
S(x) = xS1 (x) = xarctanx,x E [— 1,1].
O 令F(x,y,z) = x 2 +y 2 + z 2 -yz — 1,则F(x ,y, z) = 0为椭球面 S的方程 ，
设点P的坐标为(x,y,z), 由题设条件知曲面S在点P处的切平面法向量为：
n 1 ={F; ,F; ,F,'}={2x,2y-z,2z — y}'
- - l 2 -3
1 3
01 3 0 0 a -6
o2
02
00 o
a
a
所以a =6. 故应填6.
(14) 2
00
解
因为:几 =1, 故
k=O
2 ! 00
00
C 1 1 几 = �
k ! k k=O
k=O
00
- =C� —= Ce=
k=O
即得C=e—1. 所以
（其中〉
k=O
入k
k!
= e入 ).
e-1
D
f ＝ 重 －
xydx +x 2dy + xydx +x 2dy
2 （ 1 2 、丿 _3
�f 一(I,十L1) xydx +x'dy�J' (x一：'o +x'• O)dx�o.
-1-1
,
[』zdV
解 由题设所求坐标为云= [J.
圃dV
其中积分区域9如右图所示用平面z = z(O�z�l)截积分区
sint• 2tdt
『 ［ 。 『。 l I。 六
= — 4 t• sintdt = 4 (t• cost) — costdt =4(—冗' — 0) - 4sint = -4冗．
(11) 0
解 利用格林公式如右图所示，由题设条件知． L =AB +BC.
y B(O,l)
记L1=C入，则L +L1为闭曲线且所围区域记为D,
于是可知幕级数的收敛半径R = l,即收敛区间为( — 1,1);
200 (—u n-1
当x = 土1时，级数 n= l
为交错级数，由莱布尼茨定理知级数收敛， 2n -1
00 故幕级数:
(-1)已 x2n
的收敛域为[ — 1,1].
n = l 2n-1
f00
＠记S(x)为级数: n=l
(—u
n-1
X
又xOy平面的法向量为：n 2 = {0,0,1}, 由于点P处的切 平面垂直于xOy平面，于是 n 1上n z已n 1 •n z= O, 即y = 2 z. 又因为点P在曲面S上， 所以点P的坐标(x,y,z)满足曲面S的方程：x z +�沪+z z— y z =
厂 1' 从而知动点 P 的轨迹 C 的方程为
. 1＋
1
、 ,
\_
_J．
2
＿
2
n
[
1
n
' ，
+
． +＿ i
n_
\ i
n 1
2 |，'
＼：
1--.
, ＇
}j n
` 2` 1
i
. 1 d . 1（
)d .
+ y a
x
0
.
01
＋
x 、丿 ( 12
y
n
(5) A
:s;;; 由于A为m Xn矩阵，B为 nXm矩阵，故r(A) m,r(B)冬m. :s;;; 解 又AB = E,于是m = r(AB) r(A) <m,m = r(AB) < r(B) <m,
n)2 = O,
根据夹逼准则知，ln-im=u n = 0.
(18) 解
CD
记
Un
(x)
=
(—l)n— l 2n— 1
X
Z
n
,
因为lim I妇+i (x) n-00 Un(x)
=
(- l)nx2n+2
2n-1
lim n-00
2n +l • (—1)n-1• X 2n
= xz'
所以由比值法知，当x2 < l即IxI< 1时，级数收敛；当x2 > l即IxI> 1时，级数发散．
1
将Y1•Y 1'丈代入原方程并整理得 y'�- 3y:+2y1= (2a - b -2ax)e' = 2xe工
比较等式两端x同次幕的系数得
- 2a = 2 {
, 即r = — l
2a — b= O
b = -2
于是特解Yi = — x(x+2)e气
故原方程通解为
(16)解
=「 — 『 2 y= Y+y 1=C 1 e工 +C 2e2x -x(x+2)e工（其中Cr立是任意常数）．
X <-I时，J'(x) < 0.
故 f(x)的单调递减区间为( — =, — l)LJ(O,l),
f(x)的单调递增区间为(-1,0)LJ(l, 十=).
(17) 解 C I) 当 0冬X<l时，0<ln(1+x)<x,
故当o<t<I时，[ln(l +t)千＜广，所以I IntI[ln(1+t)千<tn J lnt J.
1,故收敛．
x-o+
了
n
X
设n =1,m =1,2, lim
x-o+
[ln气1-x)]
..!..
石
存在，故此时不是反常积分．
X
设n =l,m > 2, lim [ln 2(1—X)]-;;;- • X l—了, 存在，又 O< 1 — — 2 < 1,故收敛
x-o+
X
m
1
对于r
叨声1-x了
dx,瑕点为 x =l, 当m为正整数时，lim
？几
.• -1 一
[ln气1-x)] 石
•
1
(1-x)
=O,
故收敛．
所以，不论m,n取何正整数，反常积分都收敛．故选D.
(4) D
l i
m
n f oo
＿l i E
2 I
2 m }I
}n I
}n [
＿ 、 （ n
＋ t. '/ ( n n 2
十
j
2 l
、｀丿
l n
}mI.
}n I
1
1
．- 2 1
n
+
i n_
由f(x)
x2
(x z
t)e_,z dt= x 2
e-'2
dt
工2 -『
te-1 2
dt,
.; I
1
厂尸 则J'(x) — 2x
dt+x'e—''"'• 2x — x'e—,,,,, :: �2xre_,, dt.
『 』xZ 广(x)= 2
I
2
e_,z
dt+2xe—(x 2 )2 •
2x
ห้องสมุดไป่ตู้—2
1
e一'2 dt +4x尸．
(3) D
解
J。 显然广义积分
l
勺ln 2(1-x ) 扣有两个瑕点 X =0与 X =1,则
石
+M 尸产亡万
J。 石 石 。
石
dx
=
汇言
l 霄汇了
dx +f寺
dx ,
J十勺ln气l—x)
对于 。
dx ,瑕点为X =0, 石
设n
> 1, lim
[ln气1- x )]占
上 •x"=O,由千O<
1 —<
＿ - + +et (
＿ n e 2 t
－ d 2
＋2 t 2 ） 1
2
t ＿ te 2 ＿ t 2
n q+ t 勹 + 1 2+ t t 2 －- ．
。 ， 。 , d -y 2 X
故 应 填
I
一 o I
.
亢
解 J召 五
s
石
d
X
。
-I亢 石『 。 ［ 。— 。 ］ =
＿＿令 t
厂广 六
tcost• 2tdt = 2 costdt = 2 (t 2• sint)
所以r(A)=m,r(B)=m.
(6) D
设入是A的特征值由于A 2 +A =0,
所以矿十入=O, 即（入十1)入=O,
故A的特征值为-1或0. 又A为实对称矩阵，所以A可相似于对角阵A.
且 解 r (A)= r (A)= 3,
-1
—l
千是 A= 解
。-1
c （ 7 、丿
解 A
P
{X=
1} =
P
{X
—
1)
(x
•
Ca (x
— b) x +ab - a)(x + b))
=a
—
b.
因此I =ea-b. 故应选C. （ 2 、丿 B
解
解
因为z
=z(x ,y)由方程F(之,--=--) XX
=0确定，则对F(之'
X
--=--) X
求偏导数得
—;z) —句， F; =Fq
+ F�(
F; =F� • 一1 ，
z z=x2+yi
y
即歹＝— 亢 ·
3
一2
穴
= —32 '故应填一32 ．
03) 6
解 由于«1,« 2,贮生成的向量空间的维数为2'所以r(a1,a 2,a 3 )= 2.
对矩阵(a1,a 2,a3)进行初等行变换：
1 12 1 1