电磁场理论课程主要内容与问题

第1章主要内容与问题

1． 正交曲线坐标系及其变换

1) 正交曲线坐标系及其变换关系:

()()()()()()

111232212333123 q q x,y,x x x q ,q ,q q q x,y,x y y q ,q ,q q q x,y,x z z q ,q ,q =⎧⎧⎪⎪

=↔=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩＝ 2）正交曲线坐标系坐标轴方向矢量：

()()()()()()3

212

2

2

,,i z x ,y ,x q y x ,y ,x q x x ,y ,x q z

x ,y ,x q e ˆy x ,y ,x q e ˆx x ,y ,x q e

ˆe

ˆi i i i z i y i x q i =⎪⎭⎫

⎝

⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂=

3)正交曲线坐标系中空间曲线元的弧长

()()()2332222112

32221d d d d d d d q h q h q h s s s s ++=

++=

其中i h 称为Lame 系数：

()()()2

2

2

123i i i i q x,y,x q x,y,x q x,y,x h i ,,x y z ,

∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪

∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭

2． 矢量及其代数运算 （1） 矢量与标量

有数值有方向的量为矢量，有数值无方向的量为标量。 （2） 两矢量Ａ与Ｂ的标积和叉积

标量积：∑∑===⋅=⋅3

1

3

1

i i i i i i A B B A A B B A ＝

叉积： n

AB ˆsin θB A B A C =⨯= 其中()123i i A ,B i ,,=分别是矢量Ａ和Ｂ在x 、y 、z 坐标轴上的分量或投影，AB θ为矢量Ａ与Ｂ的夹角。

（3） 三矢量的混合积和叉积

三矢量的混合积：

()()1

23

1

2312

3

A A A

B B B

C C C =⨯⋅A,B,C A B C ＝

三矢量的叉积：

()()()233112

2

3

31121

2

3

x y z ˆˆˆe e e

A A A A A A

B B B B B B

C C C ⨯⨯⨯⨯=

A B C =B A C A B C －

其中()123i i i A ,B ,C i ,,=分别表示矢量A B C 、、在x 、y 、z 坐标轴上的分量。 3． 场论基础 （1） 场的概念

空间区域内的每一点有确定的物理量与之对应，称在该空间区域定义了一个物理量的场。如果物理量为标量，则是标量场，如果物理量为矢量，则是矢量场。 （2） 标量场的梯度

标量场的梯度定义为场在空间变化最快的方向及数值，记为

max grad |x y z

u u u u

ˆˆˆˆu n

e e e u l x y z

∂∂∂∂==++=∇∂∂∂∂ （3） 矢量场的散度

包含()z ,y ,x M 点的任意闭合曲面矢量场()x,y,z F 的通量与该闭合曲面体积之比的极限，记为

()()0

d div lim

y s

x z

V x,y,z F F F x,y,z V

x y z

∆→⋅∂∂∂==∇⋅=

++∆∂∂∂⎰⎰F S

F F （4）矢量场的旋度

包含()z ,y ,x M 点的任意面元边界矢量场的环量与面元比值之极限的最大值及最大值时面元的法向（边界的绕行方向与面元法矢为右手螺旋关系），记为

0Max

d rot lim x y z l

s x

y

z ˆˆˆe e e ˆn s x y z F F F ∆→⎛⎫ ⎪⎛

⎫

⋅∂

∂∂

⎪ ⎪==∇⨯= ⎪∆∂∂∂ ⎪

⎝

⎭ ⎪ ⎪⎝⎭

⎰

F l F F 4． 矢量场的基本性质

（1） 亥姆霍兹定理

空间区域V 上的任意矢量场()r F ，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，且可以表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠加，即：

()()()r F r F r F l e +=

其中()r F e 为无散矢量场，即()0≡⋅∇r F e ；()r F l 为无旋矢量场，即()0≡⨯∇r F l 。 （2） 矢量场与激励源关系

通量源激发有散矢量场，矢量场的散度与激发该矢量场的通量源密度成正比。旋涡源激发有旋矢量场，矢量场的旋度与激发该矢量场的旋涡源源密度成正比。

（3） 矢量场的有关性质

无旋的矢量场可以表示为某个标量场的梯度，无散的矢量场可以表示为某个矢量场的旋度，即：()()()() l e φ=-∇=∇⨯F r r F r A r

第2章主要内容与问题

1. 宏观电磁场的基本定理和定律

1）电荷守恒定律。一个封闭系统内电荷总量保持不变，其数学表达式为：

d

d d d s

V

V

t ρ-⋅=

⎰⎰⎰⎰⎰J S （积分形式），0=∂∂+⋅∇t ρJ （微分形式） 2）库仑定律。真空中两个静止点电荷q 1 和q 2之间作用力的大小与两点电荷的电荷量成正比，与两点电荷距离的平方成反比；作用力的方向沿q 1 和q 2连线方向，同性电荷相互排斥，异性电荷相互吸引；数学上表述为：

1212

123012

4πq q R ε=

R F