第8讲等腰三角形(word版)

第8 讲等腰三角形

【专题简介】在前面的学习中，我们对等腰三角形的性质有了一定的了解，在本讲中，我们首先学习等腰三角形三线合一的性质，利用等腰三角形的性质挖掘题目条件内涵，解决全等证明问题我我们还会学习与等腰三角形有关的模型.

【学习目标】

1、熟练掌握等腰三角形的性质判定及其应用

2、锻炼分类讨论能力

3、进一步加强全等训练

模块一

等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边等腰三角形的性质:

(1) 两腰相等.

(2) 两底角相等.

(3) “三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。基础夯实

例1】已知等腰△ ABC, AB=AC, 求证: (1) ∠B=∠C (2)该三角形底边上的边上的中线和顶角的平分分线(该性质也称为“三线合一”

练习1】( 1)已知：ΔABC有两个角相等等，∠

2) 如图：已知ΔABC，AH是BC边上的高，也

是

3) 如图：已知Δ ABC，AH是BC边上的高，AH平分∠ BAC，求证：Δ ABC是等腰三角形

4) 如图：已知ΔABC，AH是BC边上的中线，AH平分∠ BAC，求证：ΔABC是等腰三角形

总结:等腰三角形的判定

(1) 有两条边相等的三角形是等腰三角形，

(2) 有两个角相等的三角形是等腰三角形，

(3) 同一边上的中线、高线、对角的角平分线中有两条重合(用时请证明)

例2】如图：已知ΔABC，AB=AC，D为AC上一

点，

【例3】如图，△ ABC中，AB=AC，点 D. E. F分别在求证：DG⊥EF.

例4】在△ ABC 中,∠ BAC=90 °,AB=AC, 点 D 是线段BC 上的一个动点（不与点 B 重合）.DE⊥BE 于E,∠

1

EBA= ∠ACB ，DE与AB 相交于点 F.

2

（1）当点 D 与点 C 重合时（如图1），探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；

（2）当点 D 与点 C 不重合时（如图2）,试判断（1）中的猜想是否仍然成立，请说明理由。

练习4】已知：如图，在△ ABC 中，∠ ABC=3 ∠ C ，∠ 1=∠ 2，BE ⊥ AE..求证：AC - AB=2BE.

模块二等腰直角三角形

等腰直角三角形的性质：顶角等于90°，底角等于45°，两直角边相等。

等腰直角三角形的判定：（1）顶角为90°的等腰三角形（2）底角为45°的等腰三角形

【例4】如图,在等腰Rt△ABC中,D 是斜边BC的中点,以D为顶点的直角的两边分别与边AB,AC交于点E,F. 当∠ EDF绕顶点D旋转时（点E不与A、B重合）（，1）试判断DE与DF的数量关系，并证明。（2）当AC=23,AF=15 时，求AE、EF的长度。

【练习2】操作：在△ ABC 中,AC=BC=42 √,∠C=90°.将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕P点旋转，三角板自两直角边分别交射线AC、射线CB 于 D. E 两点，如右图，①、②、③是

旋转三角板得到的图形中的其中三种。

(2)三角板绕 P 点旋转时△ PBE 是否能成为等腰三角形 ,若能,指出所有的情况 (即求出△ PBE 为等腰三角形时 CE 的长 )；若不能，请说明理由。

总结：已知等腰直角斜边的中点，连斜边上的中线，原等腰直角三角形被分割为两个小等腰直角三角形 【例5】已知，△ ABC 中， CA=CB ，∠ ACB=90 °，点 O 为AB 的中点，现将一个∠ α=45 °的角放在顶点 O 处绕点 O 旋转，∠ α的两边分别交直线 AC 、BC 于 M 、N

(1)如图 1，若 M 在AC 上， N 在BC 上，求证： CN+MN=AM ；

( 2)如图 2，若点 M 在 AC 上，点 N 在 BC 的延长线上，试探究： CN ，MN ，AM 之间的数量关系．

【练习 6】如图,ΔABC 是等腰直角三角形，∠ BAC=90°,点 O 是斜边 BC 的中点,点E 在AC 上,点O 在 AB AD AE 2DE AD AE DE 上,∠ DOE=45°.下列结论：① AD

AE 2DE 1②. AD AE DE 1只有一个是正确的，请选出正确

BD CE BD CE 的结论并证明

中点垂直模型及其变式

【例6】已知等腰 Rt △ABC 中,∠ACB=90°，AC=BC ，点D 为BC 中点，过 C 作CF ⊥AD 于H 交AB 于 F ，求证： (1)∠ADC= ∠ BDF.

(2)AD=DF+CF

探究： (1)三角板

绕 为例，加以证

P 点旋转时，观察线段 PD 与 PE 之间有什么大小关系 ?它们的关系表示为 并以图②

变式 1)已知等腰 Rt △ABC 中,∠ACB=90°，AC=BC ，点 D 、E 在BC 上， CD=BE ，过 C 作CF ⊥AD

(变式 3)已知等腰 Rt △ABC 中,∠ACB=90°，AC=BC ，点 D 、E 分别是 BC 延长线上和 CB 延长线上两 点，且 CD=BE ，CH ⊥AD 于H ，延长 HC 交AB 延长线于 F ，连EF ，(1)探究∠ ADC 与∠ BEF.关系 (2) 探究 AD 、CF 、 EF 之间的关系

于 H 交 AB 于 F ，求证： (1)∠ ADC= ∠

BEF. 变式 2)已知等腰 Rt △ABC 中 ,∠ACB=90

，AC=BC ，点 D 、E 在BC 上， CD=BE ，过 C 作CF ⊥AE 于 H 交 AB 于 F ，求证： (1)∠AED= ∠EDF.

(2)探究 AE 、CF 、 DF 之间的关系

(2)探究 AD 、CF 、EF 之间的关系