高中数学正态分布知识点+练习(2020年10月整理).pdf
高中正态分布知识点
高中正态分布知识点什么是正态分布？正态分布是一种概率分布，在统计学中被广泛应用。
它的形状类似于钟形曲线，因此也被称为钟形曲线。
正态分布的特点是均值和标准差能够完全描述它的分布。
正态分布的特性正态分布具有以下几个重要的特性：1.对称性：正态分布是对称的，左右两侧的曲线完全相同。
2.峰度：正态分布的峰度为3，这意味着它的曲线比较平缓。
3.尖峰性：正态分布的尖峰性为0，这意味着它的峰度与标准正态分布相同。
4.曲线的面积：正态分布的曲线下的面积等于1，即全部概率之和为1。
5.正态分布的均值和标准差：正态分布可以由其均值和标准差完全确定。
均值决定曲线的中心位置，标准差决定曲线的宽度。
正态分布的标准形式正态分布有许多不同的形式，其中最常见的是标准正态分布。
标准正态分布具有均值为0，标准差为1的特点。
我们可以通过标准正态分布表来计算其他正态分布的概率。
标准正态分布表常用于计算某一数值落在标准正态分布曲线的某个范围内的概率。
表的主要输入为z值，即标准正态分布的变量值。
正态分布的应用正态分布广泛应用于各个领域，特别是在统计学和概率论中。
以下是一些正态分布在实际应用中的例子：•抽样分布：当我们从一个总体中抽取一些样本并计算它们的平均值时，这些样本的平均值的分布接近于正态分布。
这个结果称为中心极限定理，它在统计学中非常重要。
•身高分布：人的身高通常呈现出正态分布。
大多数人的身高集中在平均值附近，而离平均值较远的人数较少。
•考试成绩：考试成绩通常也呈现出正态分布。
大多数学生的成绩集中在平均值附近，而离平均值较远的成绩较少。
正态分布的性质正态分布具有一些非常有用的性质，使得它在实践中非常有价值：1.标准正态分布的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）可以通过特定的公式计算。
这个公式是一个关于变量x的函数，描述了概率密度曲线在不同位置的高度。
概率密度函数可以帮助我们计算给定值的概率。
正态分布高中练习题及讲解
正态分布高中练习题及讲解1. 题目一：某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 16)，求长度在48到52之间的零件所占的比例。
2. 题目二：假设某大学新生的数学成绩服从正态分布N(70, 25)，求数学成绩超过80分的学生所占的比例。
3. 题目三：某市居民的身高数据服从正态分布N(170, 10)，如果随机选择一名居民，求其身高超过180cm的概率。
4. 题目四：某公司员工的工作时间服从正态分布N(8, 2)，计算工作时间超过9小时的员工所占的比例。
5. 题目五：某品牌手机的电池寿命服从正态分布N(300, 50)，求电池寿命超过350小时的概率。
讲解：正态分布是统计学中最常见的分布之一，其图形呈钟形，对称于均值。
正态分布的数学表达式为N(μ, σ²)，其中μ是均值，σ²是方差。
正态分布的特点是：- 均值μ决定了分布的中心位置。
- 方差σ²决定了分布的宽度，方差越大，分布越宽，反之亦然。
- 68%的数据位于距均值一个标准差(σ)的范围内。
- 95%的数据位于距均值两个标准差的范围内。
- 99.7%的数据位于距均值三个标准差的范围内。
要解决上述题目，我们可以使用正态分布的性质和Z分数来计算概率。
解题步骤：1. 将数据转换为Z分数，Z = (X - μ) / σ。
2. 查找Z分数对应的概率，通常可以使用标准正态分布表或计算器。
例如，对于题目一，我们首先计算48和52对应的Z分数：- Z1 = (48 - 50) / 4 = -0.5- Z2 = (52 - 50) / 4 = 0.5然后，查找Z分数表或使用计算器得到Z1和Z2对应的概率，最后计算两者之差。
对于题目二至题目五，解题步骤类似，只需将题目中的数据代入相应的公式中计算即可。
通过这些练习，学生可以更好地理解正态分布的概念，掌握如何使用Z 分数来解决实际问题。
同时，这些练习也有助于提高学生的计算能力和逻辑思维能力。
(完整版)正态分布习题与详解(非常有用,必考点)
1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228. 2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率 Φ（0.2）=0.5793, Φ（1.2）=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-0.57930.884810.4642=+-=4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398, Φ（1.96）=0.975] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ 520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200a a aP a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥，()0.975200a ∴Φ≥ 查表知： 1.96392200aa ≥⇒≥1设随机变量(3,1),若,,则P(2<X<4)= ( A)( B)l —pC ．l-2pD ．【答案】 C 因为,所以P(2<X<4)=,选 C ．2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( )A.49 B ．－19 C.23 D.59 [答案] D[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎫－1－132＋13⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝59. 4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 72＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，∴x ＝3.5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A.255256B.9256C.247256D.764 [答案] C[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np (1－p )＝2， 解之得，p ＝12，n ＝8，∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫128＝⎝⎛⎭⎫128， P (ξ＝1)＝C 81×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫127＝⎝⎛⎭⎫125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1) ＝1－⎝⎛⎭⎫128－⎝⎛⎭⎫125＝247256.5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －(x －μi )22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6①命题“”的否定是:“”;②若,则的最大值为4;③定义在R 上的奇函数满足,则的值为0;④已知随机变量服从正态分布,则;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④ ①命题“”的否定是:“”;所以①正确.②若,则,即.所以,即,解得,则的最小值为4;所以②错误.③定义在R上的奇函数满足,则,且,即函数的周期是4.所以;所以③正确.④已知随机变量服从正态分布,则,所以;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间上任取两数m和n,则关于x的方程有两不相等实根的概率为___________.【答案】由题意知要使方程有两不相等实根,则,即.作出对应的可行域,如图直线,,当时,,所以,所以方程有两不相等实根的概率为.8、下列命题:` (1);(2)不等式恒成立,则;(3)随机变量X服从正态分布N(1,2),则(4)已知则.其中正确命题的序号为____________.【答案】(2)(3) (1),所以(1)错误.(2)不等式的最小值为4,所以要使不等式成立,则,所以(2)正确.(3)正确.(4),所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为（）A．26 B．25 C．23 D．18【答案】D样本的平均数为23,所以样本方差为,选D．3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在内的频数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 样本数据在之外的频率为,所以样本数据在内的频率为,所以样本数据在的频数为,选 C ．4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l 的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】 【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为,选B ．5从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.【答案】25从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C =种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105=.。
高中数学必修三正态分布知识点
高中数学必修三正态分布知识点正态分布的定义：如果随机变量ξ的总体密度曲线是由或近似地由下面的函数给定：x∈R，则称ξ服从正态分布，这时的总体分布叫正态分布，其中μ表示总体平均数，σ叫标准差，正态分布常用来表示。
当μ=0，σ=1时，称ξ服从标准正态分布，这时的总体叫标准正态总体。
叫标准正态曲线。
正态曲线x∈R的有关性质：(1)曲线在x轴上方，与x轴永不相交;(2)曲线关于直线x=μ对称，且在x=μ两旁延伸时无限接近x 轴;(3)曲线在x=μ处达到最高点;(4)当μ一定时，曲线形状由σ的大小来决定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布比较离散，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布比较集中。
在标准正态总体N(0，1)中：二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则k=0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并记独立重复试验：(1)独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验.(2)一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为此时称随机变量X服从二项分布，记作并称p为成功概率.(3)独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的.(4)独立重复试验概率公式的特点：是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率.其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式.二项分布的判断与应用：(1)二项分布，实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述，判断二项分布，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布.(2)当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果时，我们可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.求独立重复试验的概率：(1)在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即2，…，n)是第i次试验的结果.(2)独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n，p，k的意义。
高中数学正态分布
指数分布与正态分布关系
指数分布是一种连续型概率分布 ，用于描述两个连续事件之间的 时间间隔。
在某些情况下，指数分布可以近 似为正态分布。具体来说，当指 数分布的参数 $lambda$ 足够大 时，指数分布 $Exp(lambda)$ 可以用正态分布 $N(frac{1}{lambda}, frac{1}{lambdasqrt{2}})$ 来近似 。然而，这种近似通常不如二项 分布和泊松分布逼近正态分布那 样准确。
多元正态分布的定义
多元正态分布是指多个随机变 量组成的向量服从正态分布的 情况。
多元正态分布的性质
多元正态分布具有一些重要的 性质，如联合分布、边缘分布 、条件分布和独立性等。
多元正态分布在统计学中 的应用
多元正态分布广泛应用于多元 统计分析中，如多元线性回归 、主成分分析、因子分析等。
多元正态分布的参数估计 和假设检验
对于多元正态分布的参数估计 和假设检验，可以使用最大似 然估计、协方差矩阵的估计和 多元t检验等方法进行。
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对两个正态总体均值或方差进行 比较的假设检验，如t检验和F检 验的两样本版本。
置信区间构建
利用样本数据构造总体均值的置 信区间，以估计总体均值可能落 入的范围。
01
02
单样本假设检验
对单个正态总体均值或方差进行 假设检验，如t检验和F检验。
03
04
配对样本假设检验
对配对观测值之差的均值进行假 设检验，如配对t检验。
智商分布
智商测试的结果也符合正态分布，大 部分人的智商处于中等水平，极高和 极低的智商相对较少。
生产过程中质量控制
产品质量分布
在生产线上，产品质量往往呈现 正态分布，大部分产品符合质量 标准，极少数产品存在严重缺陷
高三数学正态分布知识点
高三数学正态分布知识点正文：正态分布是概率论和统计学中经常应用的一种重要分布。
其特点是在均值附近的概率较高，而在离均值较远处的概率较低。
在高中数学的学习中，正态分布也是一个重要的知识点。
本文将介绍高三数学正态分布的相关知识。
一、正态分布的定义正态分布，又称为高斯分布，是一种连续型概率分布。
对于一个服从正态分布的随机变量X，其概率密度函数可以表示为：f(x) = (1 / sqrt(2 * π * σ^2)) * exp(-(x - μ)^2 / (2 * σ^2))其中，μ是均值，σ是标准差。
二、正态分布的性质1. 对称性：正态分布是以均值为对称轴，两侧面积相等的曲线。
2. 峰度：正态分布的峰度是指曲线的陡峭程度，峰度值为3。
3. 切点：正态分布曲线与均值之间会有两个切点，也即均值加减标准差的位置。
三、标准正态分布标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。
它是对正态分布进行标准化后的结果。
对于一个服从正态分布的随机变量X，可以通过以下公式将其转化为标准正态分布的随机变量Z：Z = (X - μ) / σ四、正态分布的应用正态分布在实际生活和科学研究中具有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 质量控制：正态分布可以帮助企业在生产过程中进行质量控制，通过控制产品的均值和标准差，来确保产品的质量稳定。
2. 统计分析：正态分布在统计学中扮演了重要角色，可以用于分析和描述大量数据的分布情况，从而得出结论或进行预测。
3. 考试评分：在考试评分过程中，教师常常采用正态分布来确定分数段及相应的等级，从而更公平地进行评价。
4. 实验设计：科学实验中常常会涉及到测量误差和数据分布的问题，正态分布可以作为参考，帮助科研人员进行实验设计和数据分析。
五、常用的正态分布应用题1. 求解概率：给定正态分布的均值和标准差，可以求解指定区间的概率。
2. 求解分位数：给定正态分布的均值和标准差，可以求解给定概率下的分位数，即求解落在该概率下的随机变量取值。
高中正态分布知识点
高中正态分布知识点正态分布（Normal distribution）在高中数学中起着重要的作用，它具有许多特点和应用。
正态分布是一种连续概率分布，其特征是以均值为中心对称，并且呈钟型分布。
它在统计学、概率论、自然科学等领域都有广泛的应用。
一、正态分布的特点正态分布的特点主要有三个方面：对称性、均值、标准差。
1. 对称性：正态分布的曲线以均值为中心对称，即曲线两侧的面积相等。
这意味着在正态分布中，均值附近的数值出现的概率较大，而离均值较远的数值出现的概率较小。
2. 均值：正态分布的均值是曲线的中心位置，也是分布的期望值。
在正态分布中，均值的取值是有用的参考，可以帮助我们了解数据集的中心倾向。
3. 标准差：正态分布的标准差决定了曲线的宽度，标准差较小意味着数据集的值相对集中，标准差较大意味着数据集的值相对分散。
标准差还可以用来衡量数据的离散程度。
二、正态分布的应用正态分布在实际生活中有广泛的应用，以下是几个常见的场景：1. 身高和体重：人类的身高和体重通常服从正态分布。
这使得我们可以通过计算均值和标准差来了解人群的平均身高和体重，也能够判断某个个体身高和体重是否在正常范围之内。
2. 考试成绩：考试成绩常常呈正态分布。
通过对成绩分布的分析，教师可以了解学生的表现情况，设计适合学生的教学方案。
3. 生物学实验数据：生物学实验中的许多测量结果，如细胞数量、药物浓度等，往往服从正态分布。
通过对实验结果的分析，科研人员可以评估实验的准确性和稳定性。
4. 财经领域：股市收益率、商品价格等经济指标常常符合正态分布。
金融机构和投资者可以利用正态分布来进行风险评估和预测。
三、正态分布的性质正态分布具有许多重要的性质，以下是其中几个常见的性质：1. 中心极限定理：中心极限定理是正态分布的一个重要应用。
它表明，当样本容量足够大时，样本均值的分布会接近于正态分布。
2. 正态分布的标准化：对于给定的正态分布，我们可以通过标准化处理将其转化为标准正态分布。
【2020】人教版最新高考数学知识梳理复习题-正态分布附参考答案
附参考答案★ 知 识 梳理 ★1. 正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示___________与___________；当时得到标准正态分布密度函数：.0μ=()()221,,26x f x e x π-=∈-∞+∞答案: 总体的平均数（期望值）; 标准差2.正态曲线的性质：① ______________________; ② ______________________; ③ ______________________; ④ ______________________; 答案:① 曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ② 曲线是单峰的，关于直线x ＝ 对称；③ 曲线在x ＝处达到峰值；④ 曲线与x 轴之间的面积为1；3. 是参数是参数的意义:① ______________________; ② ______________________’ 答案:① 当一定时，曲线随质的变化沿x 轴平移；② 当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中；越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散.。
特别提醒： (1)P=0.6826；(2)P=0.9544(3)P=0.99744．对于，取值小于x 的概率.2(,)N μσ()x F x μσ-⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭ 21x x μμσσ--⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.★ 重 难 点 突 破 ★1.重点：利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义2.难点：利用正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义解决简单问题.3.重难点：.(1) 正态分布与正态曲线问题1:若总体密度曲线就是或近似地是函数的图象，则其分布叫正态分布，常记作．的图象称为正态曲线．R,21)(222)(∈=--x ex f x σμσπ),(2σμN )(x f点拨：画出三条正态曲线：即①；②；③，其图象如下图所示：5.0,1==σμ1,0==σμ2,1==σμ观察以上三条正态曲线，得以下性质： ①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交．②曲线关于直线对称，且在时位于最高点．μ=x μ=x③当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近．μ<x μ>x④当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．μσσσ注意: 当时，正态总体称为标准正态总体，相应的函数表示式是．相应的曲线称为标准正态曲线．1,0==σμR ,21)(22∈=-x e x f x π★ 热 点 考 点 题 型 探 析★考点一： 正态分布的应用题型1. 正态分布公式的应用[例1] 给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ（１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x ex f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x ex f x π（３）22(1)2(),(,)2x f x e x π-+=∈-∞+∞[解题思路]：考查正态总体的概率密度函数公式, 式中是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差解析：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5[例2] 某物体的温度()是一个随机变量，已知，又随机变量()T0F )2,6.98(~N T S 0C满足，求的概率密度.。
正态分布知识点归纳+题型
正态分布在频率分布直方图中，当样本点个数越来越大，分组数越来越多时(即组距无限缩小)，频率分布直方图的顶边会无限缩小乃至形成一条光滑的曲线。
如图：随机变量X 在每个小区间内取值的频率，接近于X 在那个区间中取值的概率，因此，我们把这条曲线称为X 的概率密度曲线。
曲线呈现“中间高，两边低，左右大致对称”的特点，我们把具有这种特性的曲线叫作正态分布密度曲线，简称正态曲线，它的函数表达式为：），（πR x e x p x ∈=--222)(21)(σμσ其中μ和σ为参数，且0＞σ，R ∈μ.)(x p 称为概率密度函数.此时，我们称随机变量X 服从参数为μ和2σ“的正态分布，简记为：)(~2σμ，N X 正态分布密度曲线具有如下特点：1.曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交;2.曲线是单峰的，它关于直线μ=x 对称;3.)(x p 在μ=x 处达到最大值πσ21；4.当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移;5.σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越尖陡;6.曲线与x 轴之间所夹区域的面积等于1.特别地，当数学期望0=μ，方差12=σ时：），（πR x e x p x ∈=-2221)(此时，的正态分布称为标准正态分布，随机变量X 服从标准正态分布记作：)10(~，N X若)(~2σμ，N X ，则随机变量X 在μ的附近取值的概率较大，在离μ较远处取值的概率较小.随机变量X 的取值：落在区间][σμσμ+-，内的概率约为68.27%，落在区间]22[σμσμ+-，内的概率约为95.45%，落在区间]33[σμσμ+-，内的概率约为99.73%.【例题1】在某次数学考试中，假设考生的成绩服从正态分布N(90，100).(1)求考试成绩X 位于区间[70，110]上的概率;(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在[80，100]间的考生大约有多少人.【练习】1.某工厂制造的机械零件尺寸服从正态分布N(4，9/4)，问:在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间(3，5)这个尺寸范围的零件大约有多少个?2.从某批材料中任取一件进行检测，测得材料的强度X 服从正态分布N(200，18).(1)计算取得的材料的强度不低于182的概率;(2)如果所用的材料要求以98%的概率保证强度不低于164，则这批材料是否符合这个要求?。
高中数学“正态分布”知识点讲解——以2024年全国1卷第9题为例
高中数学“正态分布”知识点讲解——以24年全国1卷第九题为例一言概之：正态分布X~N(μ，σ ),μ是期望，是图像的对称轴；σ 是方差，σ决定图像的胖瘦.详细解释：一、概念若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ 的正态分布，记为N(μ，σ ).其概率密度函数(f(x)=√ e( )(μ∈R,σ>0))为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度.当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布.二、性质1.对称性：关于x=μ对称，在x=μ处达到最大值√，越远离μ，密度函数越小.2.σ(σ>0)决定函数图像的胖、瘦.如下图所示.3.3σ原则（1）P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827 ；（2）P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545 ；（3）P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.4. 正态分布的均值与方差若X～N(μ,σ )，则E(X)=μ，D(X)=σ .以2024年全国1卷第9题为例2024年全国1卷T9. 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x ，样本方差20.01s ，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布 21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布 2,N x s ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布 2,N u ，()0.8413P Z ）A. (2)0.2P XB. (2)0.5P XC. (2)0.5P YD. (2)0.8P Y 解析： 2~ 1.8,0.1X N 的图像：1.80.1 1.9∴ 1.910.84130.1587P X ，显然 2 1.9P X P X ，所以A 错误.B 正确. 2~ 2.1,0.1Y N 的图像：与 2~ 1.8,0.1X N 的图像一致，仅对称轴改变.∵ 2.10.5P X （对称性，对称轴为 2.1x ，故左右各为0.5）2 2.1P Y P Y ，故C 正确；又∵ 2 2.10.10.8413P Y P Y （对称性： 0.8413P Y P Y ） 即：D 错误.解题建议：①画出图像；②标明对称轴；③标明 与 .。
正态分布知识点回顾与专题训练
正态分布知识点回顾与专题训练（1）正态分布概念：若连续型随机变量ξ的概率密度函数为),(,21)(222)(∞+-∞∈=--x ex f x σμσπ，其中,σμ为常数，且0σ>，则称ξ服从正态分布，简记为ξ～()2,N μσ。
()f x 的图象称为正态曲线。
（2）、正态分布的期望与方差：若ξ～()2,N μσ，则2,E D ξμξσ== （3）、正态曲线的性质：①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交；②曲线关于直线x=μ对称； ③曲线在x=μ时位于最高点．④当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐进线，向它无限靠近；⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．（4）、在标准正态分布表中相应于0x 的值()0x Φ是指总体取值小于0x 的概率即 ()()00x P x x Φ=<00≥x 时，则)(0x Φ的值可在标准正态分布表中查到 00<x 时，可利用其图象的对称性获得)(1)(00x x -Φ-=Φ来求出，)()()()()(121221x x x P x P x x P Φ-Φ=<-<=<<ξξξ标准正态分布曲线)(0x ΦxyO（5）两个重要公式：① ②（6）、()2,N μσ与()0,1N 的关系：①若ξ～()2,N μσ，则ξμησ-=～()0,1N ，有()()000x P x F x μξσ-⎛⎫<==Φ ⎪⎝⎭②若ξ～()2,N μσ，则()2112x x P x x x μμσσ--⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1.设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<=（D ）A.2p B. 1p - C. 12p - D. 12p -2.设随机变量),(~2σμξN ，且 )()(c P c P >=≤ξξ，则c 等于（ D ）μμσ...0.D C B A -3. 设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，记()()＜x P x ξΦ=，则下面不正确的是（ D ）A ．()102Φ=B ．()()1x x Φ=-Φ-C ．()()()＜21＞0P a a a ξ=Φ-D ．()()()＞1＞0P a a a ξ=-Φ4.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ A ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ，0.845. （安徽卷,10）以()x Φ表示标准正态总体在区间(),x -∞内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则概率()P ξμσ-<等于（ B ）A.()()μσμσΦ+-Φ-B. ()()11Φ-Φ-C. 1μσ-⎛⎫Φ⎪⎝⎭D. ()2μσΦ+ 6.（湖南卷,5）设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ，已知()1.960.025Φ-=，则()1.96P ξ<=( C ) A. 0.025 B. 0.050 C. 0.950 D. 0.9757.（浙江卷,5）已知随机变量ξ服从标准正态分布()22,N σ，()40.84P ξ≤=则()0P ξ≤=( A ) A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84())()(1221x x x x P Φ-Φ=<<ξ())(100x x -Φ-=Φ1x 2x )(0x Φ)(10x -Φ-。
正态分布知识点总结高中
正态分布知识点总结高中1. 正态分布的定义正态分布是一种连续型的概率分布，它的曲线呈钟形，左右对称，并且具有两个参数：均值μ和标准差σ。
正态分布的概率密度函数（probability density function）可以用以下公式表示：\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]其中，\(x\) 是随机变量的取值，\(μ\) 是均值，\(σ\) 是标准差，\(e\) 是自然常数。
正态分布的曲线在均值处达到最高点，然后向两侧逐渐下降。
2. 正态分布的性质正态分布具有许多重要的性质，包括以下几点：（1）曲线对称性：正态分布的曲线是左右对称的，即以均值为中心的两侧曲线是对称的。
（2）均值与中位数和众数相等：在正态分布中，均值、中位数和众数是相等的，即它们都在曲线的顶峰位置。
（3）68-95-99.7%法则：大约68%的数据落在均值加减一个标准差的范围内，大约95%的数据落在均值加减两个标准差的范围内，大约99.7%的数据落在均值加减三个标准差的范围内。
（4）正态分布的标准化：对于任意的正态分布，我们都可以通过标准化（即减去均值并除以标准差）将其转化为标准正态分布，其均值为0，标准差为1。
（5）无穷远处的概率值：在正态分布中，曲线在无穷远处逐渐趋于0，即任意大于或小于一个数值的概率值都是接近于0的。
3. 正态分布的应用正态分布是一种非常重要的概率分布，它在许多领域都有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：（1）自然科学和社会科学：正态分布在自然界和社会现象中的应用非常广泛，例如人的身高、体重、智商分布等都可以用正态分布来描述。
（2）工程学和经济学：正态分布在工程学和经济学中也有着广泛的应用，特别是在质量控制、风险评估和金融市场等方面。
（3）测量与统计：正态分布在统计学中有着重要的地位，许多统计方法和假设检验都是建立在对正态分布的假设之上的。
正态分布练习题（含部分答案）
正态分布练习题（含部分答案）正态分布练习题1正态分布1.1正态函数及曲线特点1.（对称性）：已知随机变量ξN (2,32)。
若P (ξ>C +1)=P (ξ2.（单峰与最值）若正态分布曲线是偶函数，且最大值为14√2π，则总体的均值和方差分别为0和16。
1.2三个重要区间的概率应用(特殊区间段的计算公式)P 1=P (μ?σP 2=P (μ?2σP 3=P (μ?3σ类型1:(μ,μ+nσ]型,(n =1,2,3):P (μP n ,(n =1,2,3);如：P (μ类似也可求解(μ?nσ,μ]型,(n =1,2,3).类型2:(μ±nσ,+∞)型,(n =0,1,2,3):P (μ±nσ类似也可求解(?∞,μ±nσ)型,(n =0,1,2,3).类型3:(μ+kσ,μ+tσ)型,?3≤k <="">case 1:kt ≤0时P (μ+kσ×[P t +P |k |]case 2:kt ≥0时P (μ+kσ<="" ≤μ+tσ)="12×[P">1练习:1.若X N(μ,1)，求P(μ?3< bdsfid="97" p=""><>2.若X N(5,1)，求P(6< bdsfid="99" p=""><>3.若X N(1,1)，求P(3< bdsfid="101" p=""><>4.若X N(0,1)，求P(?3<x< bdsfid="103" p=""></x<>1.3应用问题1.某糖厂用自动打包机打包，包质量（单位：kg）目标以正态分布X N(100,1.22).（1）求质量在(98.8,101.2]内的糖包后的概率；（2）若一公司从该糖厂进货1500包，试估计在(98.8,101.2]内的糖包的数量。
高中数学必修三正态分布知识点
高中数学必修三正态分布知识点正态分布的定义：如果随机变量ξ的总体密度曲线是由或近似地由下面的函数给定：x∈R，则称ξ服从正态分布，这时的总体分布叫正态分布，其中μ表示总体平均数，σ叫标准差，正态分布常用来表示。
当μ=0，σ=1时，称ξ服从标准正态分布，这时的总体叫标准正态总体。
叫标准正态曲线。
正态曲线x∈R的有关性质：(1)曲线在x轴上方，与x轴永不相交;(2)曲线关于直线x=μ对称，且在x=μ两旁延伸时无限接近x 轴;(3)曲线在x=μ处达到最高点;(4)当μ一定时，曲线形状由σ的大小来决定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布比较离散，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布比较集中。
在标准正态总体N(0，1)中：二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则k=0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并记独立重复试验：(1)独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验.(2)一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为此时称随机变量X服从二项分布，记作并称p为成功概率.(3)独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的.(4)独立重复试验概率公式的特点：是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率.其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式.二项分布的判断与应用：(1)二项分布，实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述，判断二项分布，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布.(2)当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果时，我们可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.求独立重复试验的概率：(1)在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即2，…，n)是第i次试验的结果.(2)独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n，p，k的意义。
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正态分布
要求层次
重难点
正态分布
A
利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
（一） 知识内容
1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近
的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线． 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布
⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．
服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22
()21()2πx f x e
μσσ
−−=
⋅，x ∈R ，其中μ，
σ是参数，且0σ>，μ−∞<<+∞．
式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ．
正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．
⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论：
①正态变量在区间(,)μσμσ−+，(2,2)μσμσ−+，(3,3)μσμσ−+内，取值的概率分别是68.3%，
95.4%，99.7%．
②正态变量在()−∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ−+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．
例题精讲
高考要求
正态分布
x=μO
y
x
（二）典例分析：
【例1】 已知随机变量X 服从正态分布2(3)N a ，，则(3)P X <=（ ）
A ．1
5
B ．14
C ．13
D ．
12
【例2】 在某项测量中，测量结果X 服从正态分布()()210N σσ>，，若X 在()01，
内取值的概率为0.4，则X 在()02，
内取值的概率为 ．
【例3】 对于标准正态分布()01N ，
的概率密度函数()2
2
12π
x f x e
−
=，下列说法不正确的是（ ）
A ．()f x 为偶函数
B ．()f x 最大值为
12π
C ．()f x 在0x >时是单调减函数，在0x ≤时是单调增函数
D ．()f x 关于1x =对称
【例4】 已知随机变量X 服从正态分布2(2)N σ，
，(4)0.84P X =≤，则(0)P X =≤（ ） A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84
【例5】 某种零件的尺寸服从正态分布(04)N ，，则不属于区间(44)−，
这个尺寸范围的零件约占总数的 ．
【例6】 已知2(1)X N σ−，
~，若(31)0.4P X −=≤≤-，则(31)P X −=≤≤（ ） A ．0.4 B ．0.8 C ．0.6 D ．无法计算
【例7】 设随机变量ξ服从正态分布(29)N ，，若(2)(2)P c P c ξξ>+=<−，则_______c =．
【例8】 设~(01)N ξ，，且(||)(010)P b a a b ξ<=<<>，
，则()P b ξ≥的值是_______（用a 表示）．
【例9】 设随机变量ξ服从正态分布(01)N ，，0a >，则下列结论正确的个数是____．
⑴(||)(||)(||)P a P a P a ξξξ<=<+= ⑵(||)2()1P a P a ξξ<=<− ⑶(||)12()P a P a ξξ<=−< ⑷(||)1(||)P a P a ξξ<=−>
【例10】 如果随机变量2~()1N E D ξμσξξ==，，，求(11)P ξ−<<的值．
【例11】 正态变量2~(1)X N σ，，c 为常数，0c >，
若(2)(23)0.4P c X c P c X c <<=<<=，求(0.5)P X ≤的值．
【例12】 下列函数是正态分布密度函数的是（ ）
A ．2
()21()2x r f x e
σ
σ
−=
π B ．22
2()2x f x e −=ππ C ．2(1)
4
1()22x f x e −=
π D ．2
21()2x f x e =π
【例13】 若正态分布密度函数2
(1)2
1
()()2x f x e
x −−
=
∈R π
，下列判断正确的是（ ）
A ．有最大值，也有最小值
B ．有最大值，但没最小值
C ．有最大值，但没最大值
D ．无最大值和最小值
【例14】 设ξ的概率密度函数为2
(1)2
1()2x f x e
−−=
π
，则下列结论错误的是（ ）
A ．(1)(1)P P ξξ<=>
B ．(11)(11)P P ξξ−=−<<≤≤
C ．()f x 的渐近线是0x =
D ．1~(01)N ηξ=−，
【例15】 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为
2
(80)200
1()102x f x e
π
−−=
，则下列命题中不正确的是（ ）
A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D ．该市这次考试的数学标准差为10
【例16】 灯泡厂生产的白炽灯寿命ξ（单位：h ），已知2~(100030)N ξ，，要使灯泡的平均寿命为1000h
的概率为99.7%，则灯泡的最低使用寿命应控制在_____小时以上．
【例17】 一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，
随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？
【例18】 某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论
上说在80分到90分的人数是______．
【例19】 已知连续型随机变量ξ的概率密度函数0
1()1202x f x x a x x ⎧⎪
=−<⎨⎪⎩
≤≤≥，
⑴求常数a 的值；⑵求3
(1)2
P ξ<<．
【例20】 已知连续型随机变量ξ的概率密度函数20
1()1202x f x ax x x ⎧⎪
=<⎨⎪⎩
≤≤≥，求a 的值及3(1)2P ξ<<．
【例21】 设随机变量X 具有概率密度30
()00x ke x f x x −⎧=⎨<⎩
≥，求k 的值及(0.1)P X >．
【例22】 美军轰炸机向巴格达某铁路控制枢纽投弹，炸弹落弹点与铁路控制枢纽的距离X 的密度函数
为100||
||100()10000
0||100x x f x x −⎧⎪=⎨⎪>⎩
≤，若炸弹落在目标40米以内时，将导致该铁路枢纽破坏，已知投弹3颗，求巴格达铁路控制枢纽被破坏的概率．
【例23】 设2~()X N μσ，
，且总体密度曲线的函数表达式为：221
4
1()e
2π
x x f x −+−
=，x ∈R ．
⑴求μσ，
；⑵求(|1|2)P x −<及(12122)P x −<<+的值．
【例24】 某校高中二年级期末考试的物理成绩ξ服从正态分布2(7010)N ，．
⑴若参加考试的学生有100人，学生甲得分为80分，求学生甲的物理成绩排名； ⑵若及格（60分及其以上）的学生有101人，求第20名的物理成绩．
已知标准正态分布表(0.97)0.833φ=．
【例25】 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布(70100)N ，．已知成
绩在90分以上（含90分）的学生有12名． ⑴试问此次参赛学生总数约为多少人？
⑵若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？ 附：标准正态分布表(1.30)0.9032(1.31)0.9049(1.32)0.9066φφφ===，，．。