高中数学正态分布知识点+练习(2020年10月整理).pdf

正态分布

要求层次

重难点

正态分布

A

利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

（一） 知识内容

1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近

的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线． 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布

⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．

服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22

()21()2πx f x e

μσσ

−−=

⋅，x ∈R ，其中μ，

σ是参数，且0σ>，μ−∞<<+∞．

式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ．

正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．

⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论：

①正态变量在区间(,)μσμσ−+，(2,2)μσμσ−+，(3,3)μσμσ−+内，取值的概率分别是68.3%，

95.4%，99.7%．

②正态变量在()−∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ−+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．

例题精讲

高考要求

正态分布

x=μO

y

x

（二）典例分析：

【例1】 已知随机变量X 服从正态分布2(3)N a ，，则(3)P X <=（ ）

A ．1

5

B ．14

C ．13

D ．

12

【例2】 在某项测量中，测量结果X 服从正态分布()()210N σσ>，，若X 在()01，

内取值的概率为0.4，则X 在()02，

内取值的概率为 ．

【例3】 对于标准正态分布()01N ，

的概率密度函数()2

2

12π

x f x e

−

=，下列说法不正确的是（ ）

A ．()f x 为偶函数

B ．()f x 最大值为

12π

C ．()f x 在0x >时是单调减函数，在0x ≤时是单调增函数

D ．()f x 关于1x =对称

【例4】 已知随机变量X 服从正态分布2(2)N σ，

，(4)0.84P X =≤，则(0)P X =≤（ ） A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84

【例5】 某种零件的尺寸服从正态分布(04)N ，，则不属于区间(44)−，

这个尺寸范围的零件约占总数的 ．

【例6】 已知2(1)X N σ−，

~，若(31)0.4P X −=≤≤-，则(31)P X −=≤≤（ ） A ．0.4 B ．0.8 C ．0.6 D ．无法计算

【例7】 设随机变量ξ服从正态分布(29)N ，，若(2)(2)P c P c ξξ>+=<−，则_______c =．

【例8】 设~(01)N ξ，，且(||)(010)P b a a b ξ<=<<>，

，则()P b ξ≥的值是_______（用a 表示）．

【例9】 设随机变量ξ服从正态分布(01)N ，，0a >，则下列结论正确的个数是____．

⑴(||)(||)(||)P a P a P a ξξξ<=<+= ⑵(||)2()1P a P a ξξ<=<− ⑶(||)12()P a P a ξξ<=−< ⑷(||)1(||)P a P a ξξ<=−>

【例10】 如果随机变量2~()1N E D ξμσξξ==，，，求(11)P ξ−<<的值．

【例11】 正态变量2~(1)X N σ，，c 为常数，0c >，

若(2)(23)0.4P c X c P c X c <<=<<=，求(0.5)P X ≤的值．

【例12】 下列函数是正态分布密度函数的是（ ）

A ．2

()21()2x r f x e

σ

σ

−=

π B ．22

2()2x f x e −=ππ C ．2(1)

4

1()22x f x e −=

π D ．2

21()2x f x e =π

【例13】 若正态分布密度函数2

(1)2

1

()()2x f x e

x −−

=

∈R π

，下列判断正确的是（ ）

A ．有最大值，也有最小值

B ．有最大值，但没最小值

C ．有最大值，但没最大值

D ．无最大值和最小值

【例14】 设ξ的概率密度函数为2

(1)2

1()2x f x e

−−=

π

，则下列结论错误的是（ ）

A ．(1)(1)P P ξξ<=>

B ．(11)(11)P P ξξ−=−<<≤≤

C ．()f x 的渐近线是0x =

D ．1~(01)N ηξ=−，

【例15】 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为

2

(80)200

1()102x f x e

π

−−=

，则下列命题中不正确的是（ ）

A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分

B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同

C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同

D ．该市这次考试的数学标准差为10

【例16】 灯泡厂生产的白炽灯寿命ξ（单位：h ），已知2~(100030)N ξ，，要使灯泡的平均寿命为1000h

的概率为99.7%，则灯泡的最低使用寿命应控制在_____小时以上．

【例17】 一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，

随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？

【例18】 某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论

上说在80分到90分的人数是______．