第2章有限单元法的解题思路
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2.1 有限元法的解题思想
有限单元法的基本思想是将一个连续的求解域离散 化，即将连续体划分为有限个具有规则形状的微小块体， 把每个微小块体称为单元，两相邻单元之间只通过若干 点相互连接，每个连接点称为结点，再把作用于各单元 上的外载荷按照虚功原理进行载荷移置，即转化成单元 的等效结点载荷【结构离散】；在单元体内假设近似解 的模式，用有限个结点上的未知参数表征单元的特性 【单元特性析】；然后用适当的方法，将各个单元的关 系式组合成包含这些未知数的方程组【整体分析】 ，求 解这个方程组，得出各结点的未知参数，利用插值函数 求出近似解【求解】。
2.2 有限元法的基本要素
构成有限元系统的3个基本要素是节点、单元和自由度。
（1）节点（Node）：节点是构成有限元系统的基本对象，也就 是这个工程系统中的最基本点，它包含了坐标位置以及具有物理 意义的自由度信息。
（2）单元（Element）：单元是由节点与节点相连而成，是构 成有限元系统的基础。一个有限元系统必须有至少一个以上的单 元。单元与单元之间由各节点相互连接，在具有不同特性的材料 和不同的具体结构当中，可选用不同种类的单元，单元中包含了 物理对象的各种特性。因此单元的选择极为重要，决定求解效率 和精度。
（3）轴对称问题单元； 对于轴对称问题，一般采用环单元。最常用的是3结点三角形环单 元和4结点四边形环单元。同样，为模拟曲线边界及提高插值函数 精度，还可以采用更多结点的环单元，如8结点四边形环单元。如 图2－3所示
（4）空间问题单元
在空间问题中，采用的是空间单元，常用的有四面体单元和六 面体单元。如4结点四面体单元、8结点六面体单元、20结点六面体 单元，如图所示。
（4）当物体的厚度有突变或者物体由不同材料组成时，不要把厚 度不同或材料不同的区域划在同一单元里。
2.3.4 施加约束
Байду номын сангаас
任何结构都有其承载基础，承载基础是一个固定不动的实体，
它不仅承受结构传来的载荷，而且约束了结构的方向位移。施加
约束就是在将结构物理模型转化为有限元模型时对承载基础的表
达，目的是防止结构有限元模型产生刚体位移。有限元中实施约
(3) 单元数目应根据精度要求和计算机容量来确定。在保证精度的 前提下，力求采用较少的单元。为此，当划分单元：应充分 利用结构的特点，如对称性、循环对称性等，从原结构中取出 一部分进行分析；采用密不同的网格剖分，对应力变化急剧 的区域可分细一些，应力变化平缓的区域可以分粗一些；对 于大型复杂结构，可以采用分步计算的方法，即先用比较均匀 的粗网格计算一次，然后根据计算结果，在局部区域再细分单 元，进行第二次计算，或者采用子结构法；
（3）自由度(DOF,Degree of Freemdom）：包括系统的自由度 和节点自由度。在分析中需要对整个系统的自由度进行适当的约 束,系统中每个节点都有各自的节点坐标系和对应的节点自由度， 不同单元上的节点具有不同的自由度。
2.3 结构离散化
结构离散化是有限单元法分析的基本前提，也是有 限单元法解解题的重要步骤。 2.3.1 结构离散化的主要任务是：
束就是客观地对与承载基础的结点实施方向约束，并将其方向位
移置为0或某个值，即所谓的约束边界条件。如下图2－1所示，
对于结点1与2有，u1=v1=u2=v2=0 2
35
P
P
1
4
图2－1 施加约束
2.3.5 非结点载荷等效移置
在有限元分析中,认为单元与单元之间仅通过结点相互联系。因 此，在结构离散化过程中，如果外载荷不是直接作用在结点上，那 么就需要将非结点载荷向结点等效移置。也就是把作用在结构上的 真实外载荷理想化为作用在结点上的集中载荷。这个过程称为非结 点载荷向结点的移置。移置到结点后的载荷称为等效结点载荷。
（1）选择合适的单元类型，把结构分割成有限个单元； （2）把结构边界上的约束，用适当的结点约束来代替； （3）把作用在结构上的非结点载荷等效地移置为结点载荷；
2.3.2 单元类型
单元是具有单元特性的，如单元结构、单元结点数、结点 自由度数、单元刚度矩阵等，不同的单元有不同的单元特性。
设置不同单元类型的目的主要是用于求解不同工程问题，同时也兼 顾求解精度。到目前为止，共设计开发了百余种单元，机械工程问 题中设计的单元大致可以分为：
整个结构的非结点载荷的移置按单元进行，即将各单元所受的 非结点外载荷分别移置到各单元相应的结点上；然后，在公共结点
处应用力的叠加原理，便可求出整个结构的结点载荷列阵。因此这
里只需介绍单元载荷移置问题。
单元载荷移置所遵循的原则是能量等效原则，即单元的实际载荷 与移置后的结点载荷在相应的虚位移上所做的功相等。
（1）自然离散问题单元；
自然离散问题单元有杆单元、梁单元。对于杆系结构的离散化，通 常采用自然离散的形式，即把结构的杆作为单元，称为杆单元。有 限个杆单元之间，利用有限个结点相互铰接（桁架情况），以传递 负荷。
j i
(a) 杆单元
y i
z (b)梁单元
j x
（2）平面问题单元； 在弹性平面问题中，常用的单元有：3结点三角形单元、4结点矩 形单元、6结点三角形单元、4结点任意四边形单元、8结点曲边 四边形单元，如图所示
2.3.3 用单元划分有限元网格应遵循的原则
(1) 任一单元的顶点必须同时也是相邻单元的顶点，而不能是相邻 单元的内点；
(2) 同一单元的各边长（或各顶角）不应相差太大，亦即单元划分 中不应出现太大的钝角或过小的锐角。否则在计算中会出现较 大的误差。为使整个求解区域计算结果的精度大体一致，当划 分单元时其大小尽量不要相差太悬殊；
单元载荷移置后的等效结点载荷的计算，原则上必须根据能量 等效原则推导出的载荷移置公式来计算，即所谓载荷移置普遍公式 化，这种方法适用于各种类型的单元。由于普遍公式化其表达公式
与单元位移函数模式有关（也可说是与单元形函数有关），故在后 面单元分析时再予以介绍。但当单元位移函数（或单元形函数）为 线性函数时，如平面3结点三角形单元，载荷移置的普遍公式化就 简化成一种最简单的移置方法，即所谓的直接法，当然这种方法只 适用于具有线性位移函数的单元。为了便于对这两种载荷移置方法 进行对比分析，在后面单元分析时一并介绍
有限单元法的基本思想是将一个连续的求解域离散 化，即将连续体划分为有限个具有规则形状的微小块体， 把每个微小块体称为单元，两相邻单元之间只通过若干 点相互连接，每个连接点称为结点，再把作用于各单元 上的外载荷按照虚功原理进行载荷移置，即转化成单元 的等效结点载荷【结构离散】；在单元体内假设近似解 的模式，用有限个结点上的未知参数表征单元的特性 【单元特性析】；然后用适当的方法，将各个单元的关 系式组合成包含这些未知数的方程组【整体分析】 ，求 解这个方程组，得出各结点的未知参数，利用插值函数 求出近似解【求解】。
2.2 有限元法的基本要素
构成有限元系统的3个基本要素是节点、单元和自由度。
（1）节点（Node）：节点是构成有限元系统的基本对象，也就 是这个工程系统中的最基本点，它包含了坐标位置以及具有物理 意义的自由度信息。
（2）单元（Element）：单元是由节点与节点相连而成，是构 成有限元系统的基础。一个有限元系统必须有至少一个以上的单 元。单元与单元之间由各节点相互连接，在具有不同特性的材料 和不同的具体结构当中，可选用不同种类的单元，单元中包含了 物理对象的各种特性。因此单元的选择极为重要，决定求解效率 和精度。
（3）轴对称问题单元； 对于轴对称问题，一般采用环单元。最常用的是3结点三角形环单 元和4结点四边形环单元。同样，为模拟曲线边界及提高插值函数 精度，还可以采用更多结点的环单元，如8结点四边形环单元。如 图2－3所示
（4）空间问题单元
在空间问题中，采用的是空间单元，常用的有四面体单元和六 面体单元。如4结点四面体单元、8结点六面体单元、20结点六面体 单元，如图所示。
（4）当物体的厚度有突变或者物体由不同材料组成时，不要把厚 度不同或材料不同的区域划在同一单元里。
2.3.4 施加约束
Байду номын сангаас
任何结构都有其承载基础，承载基础是一个固定不动的实体，
它不仅承受结构传来的载荷，而且约束了结构的方向位移。施加
约束就是在将结构物理模型转化为有限元模型时对承载基础的表
达，目的是防止结构有限元模型产生刚体位移。有限元中实施约
(3) 单元数目应根据精度要求和计算机容量来确定。在保证精度的 前提下，力求采用较少的单元。为此，当划分单元：应充分 利用结构的特点，如对称性、循环对称性等，从原结构中取出 一部分进行分析；采用密不同的网格剖分，对应力变化急剧 的区域可分细一些，应力变化平缓的区域可以分粗一些；对 于大型复杂结构，可以采用分步计算的方法，即先用比较均匀 的粗网格计算一次，然后根据计算结果，在局部区域再细分单 元，进行第二次计算，或者采用子结构法；
（3）自由度(DOF,Degree of Freemdom）：包括系统的自由度 和节点自由度。在分析中需要对整个系统的自由度进行适当的约 束,系统中每个节点都有各自的节点坐标系和对应的节点自由度， 不同单元上的节点具有不同的自由度。
2.3 结构离散化
结构离散化是有限单元法分析的基本前提，也是有 限单元法解解题的重要步骤。 2.3.1 结构离散化的主要任务是：
束就是客观地对与承载基础的结点实施方向约束，并将其方向位
移置为0或某个值，即所谓的约束边界条件。如下图2－1所示，
对于结点1与2有，u1=v1=u2=v2=0 2
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P
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图2－1 施加约束
2.3.5 非结点载荷等效移置
在有限元分析中,认为单元与单元之间仅通过结点相互联系。因 此，在结构离散化过程中，如果外载荷不是直接作用在结点上，那 么就需要将非结点载荷向结点等效移置。也就是把作用在结构上的 真实外载荷理想化为作用在结点上的集中载荷。这个过程称为非结 点载荷向结点的移置。移置到结点后的载荷称为等效结点载荷。
（1）选择合适的单元类型，把结构分割成有限个单元； （2）把结构边界上的约束，用适当的结点约束来代替； （3）把作用在结构上的非结点载荷等效地移置为结点载荷；
2.3.2 单元类型
单元是具有单元特性的，如单元结构、单元结点数、结点 自由度数、单元刚度矩阵等，不同的单元有不同的单元特性。
设置不同单元类型的目的主要是用于求解不同工程问题，同时也兼 顾求解精度。到目前为止，共设计开发了百余种单元，机械工程问 题中设计的单元大致可以分为：
整个结构的非结点载荷的移置按单元进行，即将各单元所受的 非结点外载荷分别移置到各单元相应的结点上；然后，在公共结点
处应用力的叠加原理，便可求出整个结构的结点载荷列阵。因此这
里只需介绍单元载荷移置问题。
单元载荷移置所遵循的原则是能量等效原则，即单元的实际载荷 与移置后的结点载荷在相应的虚位移上所做的功相等。
（1）自然离散问题单元；
自然离散问题单元有杆单元、梁单元。对于杆系结构的离散化，通 常采用自然离散的形式，即把结构的杆作为单元，称为杆单元。有 限个杆单元之间，利用有限个结点相互铰接（桁架情况），以传递 负荷。
j i
(a) 杆单元
y i
z (b)梁单元
j x
（2）平面问题单元； 在弹性平面问题中，常用的单元有：3结点三角形单元、4结点矩 形单元、6结点三角形单元、4结点任意四边形单元、8结点曲边 四边形单元，如图所示
2.3.3 用单元划分有限元网格应遵循的原则
(1) 任一单元的顶点必须同时也是相邻单元的顶点，而不能是相邻 单元的内点；
(2) 同一单元的各边长（或各顶角）不应相差太大，亦即单元划分 中不应出现太大的钝角或过小的锐角。否则在计算中会出现较 大的误差。为使整个求解区域计算结果的精度大体一致，当划 分单元时其大小尽量不要相差太悬殊；
单元载荷移置后的等效结点载荷的计算，原则上必须根据能量 等效原则推导出的载荷移置公式来计算，即所谓载荷移置普遍公式 化，这种方法适用于各种类型的单元。由于普遍公式化其表达公式
与单元位移函数模式有关（也可说是与单元形函数有关），故在后 面单元分析时再予以介绍。但当单元位移函数（或单元形函数）为 线性函数时，如平面3结点三角形单元，载荷移置的普遍公式化就 简化成一种最简单的移置方法，即所谓的直接法，当然这种方法只 适用于具有线性位移函数的单元。为了便于对这两种载荷移置方法 进行对比分析，在后面单元分析时一并介绍