三角函数的图像与性质课程教案

三角函数的图像与性质

二. 教学目标：

了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx+φ）的简图，理解A、ω、φ的物理意义。

三. 知识要点：

1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2. 三角函数的单调区间：

的递增区间是，

递减区间是；

的递增区间是，

递减区间是

的递增区间是，

3. 函数

最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。

4. 由y＝sin x的图象变换出y＝sin（ωx＋）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活地进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换）

先将y＝sin x的图象向左（＞0）或向右（＜0＝平移｜｜个单位，

再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），便得到y＝sin（ωx＋）的图象。

途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。

先将y＝sin x的图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），再沿x

轴向左（＞0）或向右（＜0，平移个单位，便得到y＝sin（ωx＋）的图象。

5. 对称轴与对称中心：

的对称轴为，对称中心为；

的对称轴为，对称中心为；

对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系。

6. 五点法作y=A sin（ωx+）的简图：

五点法是设X=ωx+，由X取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。

【典型例题】

例1. 把函数y=cos（x+）的图象向左平移个单位，所得的函数为偶函数，则的最小值是（）

A. B. C. D.

解：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解。

向左平移个单位后的解析式为y=cos（x++）

则cos（－x++）=cos（x++），

cos x cos（+）+sin x sin（+）=cos x cos（+）－sin x sin（+）∴sin x sin（+）=0，x∈R.

∴+=kπ，∴=kπ－＞0

∴k＞，∴k=2，∴=

答案：B

例2. 试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sin x的图象。

解：y=sin（2x+）

另法答案：

（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；

（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sin x的图象；

（3）再将y=sin x图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sin x的图象。

例3. 求函数y=sin4x+2sin x cos x－cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在［0，π］上的单调递增区间。

解：y=sin4x+2sin x cos x－cos4x

=（sin2x+cos2x）（sin2x－cos2x）+sin2x

=sin2x－cos2x

=2sin（2x－）.

故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；单调递增区间是［0，］，［，

π］

点评：把三角函数式化简为y=A sin（ωx+）+k（ω＞0）是解决周期、最值、单调区间问题的常用方法。

例4. 已知电流I与时间t的关系式为。

（1）下图是（ω＞0，）

在一个周期内的图象，根据图中数据求

的解析式；

（2）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最

大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？

解：本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力。

（１）由图可知A＝300

设t1＝－，t2＝

则周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝

∴ω＝＝150π

将点代入

∴＝

故所求的解析式为

（2）依题意，周期T≤，即≤，（ω>0）

∴ω≥300π＞942，又ω∈N*

故最小正整数ω＝943．

点评：本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。

【模拟试题】

1. 在（0，2π）内，使sin x＞cos x成立的x的取值范围是（）

A. （，）∪（π，）

B. （，π）

C. （，）

D. （，π）∪（，）

2. 如果函数f（x）=sin（πx+θ）（0＜θ＜2π＝的最小正周期是T，且当x=2时取得最大值，那么（）

A. T=2，θ=

B. T=1，θ=π

C. T=2，θ=π

D. T=1，θ=

3. 设函数f（x）=A+B sin x，若B＜0时，f（x）的最大值是，最小值是－，则A=_______，B=_______。

4. 已知函数y=tan（2x+）的图象过点（，0），则可以是（）

A. －

B.

C. －

D.

5. 函数y=sin（－2x）+sin2x的最小正周期是（）

A. 2π

B. π

C.

D. 4π

6. 若f（x）sin x是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（）

A. sin x

B. cos x

C. sin2x

D. cos2x

7. 函数y=2sin（－2x）（x∈［0，π］）为增函数的区间是（）

A. ［0，］

B. ［，］

C. ［，］

D. ［，π］

8. 把y=sin x的图象向左平移个单位，得到函数__________的图象；再把所得

图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数__________的图象。

9. 函数y=lg（cos x－sin x）的定义域是_______.