课时跟踪检测(二十八) 直线与抛物线的位置关系及应用

课时跟踪检测（二十八） 直线与抛物线的位置关系及应用

1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于a 2＋2a ＋5(a ∈R)，则这样的直线( )

A ．有且仅有1条

B ．有且仅有2条

C ．有1条或2条

D ．不存在

解析：选C |AB |＝x A ＋x B ＋p ＝a 2＋2a ＋5＝(a ＋1)2＋4≥4，而通径的长为4，所以有1条或2条．

2．已知抛物线C ：x 2＝2py 的焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 交C 于A ，B 两点，若|AB |＝16，则p ＝( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．12

解析：选A 抛物线C ：x 2＝2py 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，直线l ：y －p 2＝3x ，可得x ＝13⎝⎛⎭⎫

y －p 2，代入抛物线方程，得y 2－7py ＋1

4p 2＝0，则y 1＋y 2＝7p ，|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝7p ＋p ＝16，解得

p ＝2.

3．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( ) A ．213 B ．215 C ．217

D ．219

解析：选B 设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由直线AB 斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，代入抛物线方程y 2＝8x ，整理得x 2－4x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，|AB |＝ 5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·16－4＝215.

4．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )

A ．⎣⎡⎦⎤－12，1

2 B ．[－2,2] C ．[－1,1]

D ．[－4,4]

解析：选C 准线为x ＝－2，Q (－2,0)，设l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝k (x ＋2)，y 2

＝8x ，

得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0. 当k ＝0时，x ＝0，即交点为(0,0)；

当k ≠0时，Δ≥0，－1≤k ＜0或0＜k ≤1. 综上，k 的取值范围是[－1,1]．

5．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为2

3的直线与C

交于M ，N 两点，则FM ―→·FN ―→

＝( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

解析：选D 由题意知直线MN 的方程为y ＝2

3(x ＋2)，

联立⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，

解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝4，

y ＝4.

不妨设M (1,2)，N (4,4)． 又∵抛物线焦点为F (1,0)， ∴FM ―→＝(0,2)，FN ―→

＝(3,4)． ∴FM ―→·FN ―→＝0×3＋2×4＝8.

6．设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.

解析：分别过点A ，B ，P 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，Q ，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |＝2|PQ |＝8.

答案：8

7．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，

则y 21＋y 22的最小值是______．

解析：设AB 的方程为x ＝my ＋4，代入y 2＝4x 得y 2－4my －16＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2

＝－16，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16m 2＋32，当m ＝0时，y 21＋y 2

2最小为32.

答案：32

8．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为________.

解析：假设抛物线方程为y 2＝2px ，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，将x ＝p

2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，所以p ＝6，点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，所以△ABP

的面积为1

2

×6×12＝36.

答案：36

9．设直线y ＝2x ＋b 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，已知弦AB 的长为35，求b 的值．

解：由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝2x ＋b ，y 2＝4x ，

消去y ，

得4x 2＋4(b －1)x ＋b 2＝0.

由Δ＞0，得b ＜1

2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

则x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 2

4.

∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝

1－2b .

∴|AB |＝

1＋22|x 1－x 2|＝5·1－2b ＝35，

∴1－2b ＝9，即b ＝－4.

10．已知抛物线C ：y 2＝4x 焦点为F ，点D 为其准线与x 轴的交点，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，求△DAB 的面积S 的取值范围．

解：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，D (－1,0)，设过点F 的直线l ：x ＝ty ＋1，设

A (x 1，y 1)，

B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝ty ＋1，

y 2＝4x ，

消去x, 整理得y 2－4ty －4＝0，

则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， 所以S △DAB ＝1

2×|FD |×|y 2－y 1|＝

(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝

16t 2＋16＝4

t 2＋1≥4，

故△DAB 的面积S 的取值范围为[4，＋∞)．

1．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作斜率为3的直线，交抛物线于A ，B 两点，若AF ―→＝λFB ―→

(λ>1)，则λ＝( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6