浙教版数学九年级上册二次函数利润面积最值经典例题与练习
二次函数的最值(4种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)
重难点专项突破：二次函数的最值（4种题型）【题型细目表】 题型一：利用二次函数的对称性求最短路径题型二：面积最值问题题型三：最大利润问题题型四：线段最值问题【考点剖析】题型一：利用二次函数的对称性求最短路径一、填空题【答案】324π【分析】先求出抛物线的解析式，连接BC ，可得点N 的路径是以BC 的中点M 为圆心，BC 长的一半为半径的OC ，，求出OC 的长度即可．【详解】解：把点A （1，0），B （3，0），代入抛物线，则030933a b a b =++⎧⎨=++⎩，解得：14a b =⎧⎨=−⎩，∴243y x x =−+；连接BC ，可得点N 的路径是以BC 的中点M 为圆心，BC 长的一半为半径的OC ，连接OM ，如图：∵OB=OC=3，∴OM ⊥BC ，∴∠OMC=90°，∵==∴OM=，∴点N 运动路径的长为：9018024π•=；故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、弧长公式，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．【答案】①③【分析】①联立抛物线y ＝﹣x2+2x+m+1与直线y ＝m+2，然后根据韦达定理可进行判断；②根据二次函数的增减性可直接进行判断；③根据图象平移可直接进行求解；④由题意画出函数图象，进而作点B 关于y 轴的对称点B '，作点C 关于x 轴的对称点C '，连接B C ''与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点，最后问题可求解．【详解】解：联立抛物线y ＝﹣x2+2x+m+1与直线y ＝m+2可得：2210x x −+=， 其中440∆=−=，∴此方程有两个相等的实数根，∴抛物线y ＝﹣x2+2x+m+1与直线y ＝m+2有且只有一个交点，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线12b x a =−=，且10a =−<，开口向下，∴根据抛物线的性质可知离对称轴越近，所对应的函数值越大，∵点M （﹣2，y1）、点N （12，y2）、点P （2，y3）在该函数图象上，∴132y y y <<，故②错误；由将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为：()()()22222121y x x m x m=−+++++−=−++，故③正确； 当m ＝1时，抛物线解析式为y ＝﹣x2+2x+2，∴()()()0,2,1,3,2,2A B C ，作点B 关于y 轴的对称点B '，作点C 关于x 轴的对称点C '，连接B C ''与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点，如图所示：∴()()1,3,2,2B C ''−−，∴BE ED CD BC B E ED C D BC B C BC ''''+++=+++=+，根据两点之间线段最短，知B C ''最短，而BC 长度一定，∴此时四边形BCDE 的周长为B C ''+BC 最小，由两点距离公式可得：B C BC ''+=故④错误；综上所述：正确的有①③；故答案为①③．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及轴对称，熟练掌握二次函数的图象与性质及轴对称是解题的关键．二、解答题【答案】（1）223y x x =−−+；（2）当点M 到点B 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-；（3）点57,24Q ⎛⎫− ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据对称轴方程可得12b a −=−，把B 、C 坐标代入列方程组求出a 、b 、c 的值即可得答案； （2）根据二次函数的对称性可得A 点坐标，设直线AC 与对称轴=1x −的交点为M ，可得MB=MA ，即可得出MB+MC=MC+MA=AC ，为MB+MC 的最小值，根据A 、C 坐标，利用待定系数法可求出直线AC 的解析式，把x=-1代入求出y 值，即可得点M 的坐标.（3）设直线BQ 交y 轴于点H ，过点H 作HM BC ⊥于点M ，利用勾股定理可求出BC 的长，根据∠CBQ=45°可得HM=BM ，利用∠OCB 的正切函数可得CM=3HM ，即可求出CM 、HM 的长，利用勾股定理可求出CH 的长，即可得H 点坐标，利用待定系数法可得直线BH 的解析式，联立直线BQ 与抛物线的解析式求出交点坐标即可得点Q 坐标.【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线=1x −， ∴12b a −=−， ∵抛物线经过B(1，0)，C(0，3)两点， ∴1203b a a b c c ⎧−=−⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =−⎧⎪=−⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为223y x x =−−+.（2）设直线AC 的解析式为y=mx+n ，∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线=1x −，B （0，0），∴点A 坐标为（-3，0），∵C （0，3），∴303m n n −+=⎧⎨=⎩，解得：13m n =⎧⎨=⎩，∴直线解析式为3y x =+，设直线AC 与对称轴=1x −的交点为M ，∵点A 与点B 关于对称轴x=-1对称，∴MA=MB ，∴MB+MC=MA+MC=AC ，∴此时MB MC +的值最小，当=1x −时，y=-1+3=2，∴当点M 到点B 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-.（3）如图，设直线BQ 交y 轴于点H ，过点H 作HM BC ⊥于点M ，∵B （1，0），C （0，3），∴OB=1，OC=3，∴1tan 3OB OCB CO ∠==，∵∠CBQ=45°，∴△BHM 是等腰直角三角形，∴HM=BM ，∵tan ∠OCB=HM 1CM 3=， ∴CM=3HM ，∴解得：HM =， ∴CM=，∴52，∴OH=OC-CH=3-52=12， ∴10,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线BH 的解析式为：y=kx+b ， ∴012k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1212k b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴()BH Q 的表达式为：1122y x =−+， 联立直线BH 与抛物线解析式得2112223y x y x x ⎧=−+⎪⎨⎪=−−+⎩，解得：1x =（舍去）或x=52−，当x=52−时，y=255()2()322−−−⨯−+=74，∴点Q坐标为（52−，74）.【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.【答案】（1）y=x2-2x-3，（1，-4）；（2）M（1，-2）【分析】（1）把A的坐标代入函数的解析式，即可求得b的值，然后利用配方法即可求得顶点坐标；（2）直线BC与抛物线的对称轴的交点就是使CM+AM取得最小值的M的点，BC的长就是最小值．【详解】解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2+bx-3上，∴b=-2，∴抛物线解析式y=x2-2x-3，∵抛物线y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴顶点D的坐标（1，-4）；（2）对于y=x2-2x-3，当x=0时，y=-3，∴C （0，-3），当y=0时，0=x2-2x-3，解得：x=3或-1，∴B （3，0），由抛物线的性质可知：点A 和B 是对称点，∴连接BC 交函数的对称轴于点M ，此时AM+CM=BC 为最小值，而AC 的长度是常数，故此时△ACM 的周长最小，设直线BC 的表达式为y=mx+n ，则033m n n =+⎧⎨=−⎩，解得：13m n =⎧⎨=−⎩，故直线BC 的表达式为y=x-3，当x=1时，y=-2，故点M （1，-2）．BC 与抛物线的对称轴的交点就是使CM+AM 取得最小值的M 的点，是本题解题的关键． 5．（浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，二次函数图象与x 轴交于点A、B ，与y 轴交与点C ，抛物线的顶点坐标是（2，9），且经过D （3，8）．（1）求抛物线的函数关系式；（2）求△ABC 的面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得BM ＋DM 最短？若存在，求出M 的坐标．若不存在，请说明理由．【答案】（1）2(2)9y x =−−+；（2）ABC S =15；（3）M （2，6）【分析】（1）根据顶点坐标可设抛物线的顶点式，再将点D 的坐标代入即可得；（2）求出A ，B ，C 点坐标，利用三角形的面积公式即可求解；（3）先求出点D 关于对称轴对称的点D'的坐标，从而可得BM ＋DM ＝BM ＋D'M ，再根据两点之间线段最短可得当点B ，D'，M 在一条直线上时，BM ＋D'M 最短，然后利用待定系数法求出直线BD'的函数解析式，最后将点M 的横坐标代入即可得．【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，9），设抛物线的解析式为y ＝a （x−2）2＋9，∵抛物线经过点D （3，8），∴（3−2）2•a ＋9＝8，解得a ＝−1，∴抛物线的函数解析式为y ＝−（x−2）2＋9；（2）令y ＝−（x−2）2＋9=0，解得x1=5，x2=-1，∴A （-1，0），B （5，0），令x=0，则y=−（0−2）2＋9=5∴C （0，5） ∴S △ABC=12AB h ⋅=1652⨯⨯=15；（3）存在，求解过程如下：∵二次函数y ＝−（x−2）2＋9的对称轴为直线x ＝2，∴A （−1，0），B （5，0），∵点D （3，8）关于对称轴x ＝2对称的点的坐标为D'（1，8），由对称性得：DM ＝D'M ，则BM ＋DM ＝BM ＋D'M ，如图，由两点之间线段最短可知，当点B ，D'，M 在一条直线上时，BM ＋DM 最短，设直线BD'的函数解析式为y ＝kx ＋b ，把（5，0），（1，8）代入y ＝kx ＋b ，得：058k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得210k b =−⎧⎨=⎩，∴y ＝−2x ＋10，取x ＝2，则−2×2＋10＝6，∴M （2，6）．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的对称性、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键． 6．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）如图，已知抛物线25y x mx =−++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(5，0)．(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标．(2)点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当P A +PC 的值最小时，求点P 的坐标．【答案】(1)m=4，顶点坐标为(2，9)(2)P(2，3)【分析】（1）将点(5，0)，代入25y x mx =−++，得其解析式，从而求出m 的值及抛物线的顶点坐标；（2）利用“将军饮马”思路，点A 关于抛物线对称轴l 对称的点是点B ，进而解决问题．【详解】（1）将点（5，0）代入y=﹣x2+mx+5得，0=﹣25+5m+5，m=4，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5y=﹣x2+4x+5=﹣（x ﹣2）2+9，∴抛物线的顶点坐标为（2，9）；（2）如下图，点A 与点B 是关于直线l 成轴对称，根据其性质有，PA+PC=PC+PB ，当点C 、点P 、点B 共线时，PC+PB=BC 为最小值，即为PA+PC 的最小值，由抛物线解析式为()224529y x x x =−++=−−+，可得点C 坐标为（0，5），点B 坐标为(5，0)，对称轴l 为x=2，设直线BC 的解释为y=kx+b ，将点C(0，5)，点B(5，0)，代入y=kx+b 得，055k b b =+⎧⎨=⎩，解得15k b =−⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y=﹣x+5，联立方程，52y x x =−+⎧⎨=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，∴当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为(2，3)．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质和最短路径问题，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．【答案】（1）A （-2，0），B （3，5），C （8，10）；（2）由M1平移得到抛物线M2先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；（3）P （0，7011）.【分析】（1）y=0，即求A ；AB=BC ，得B （3，m2），求出直线AB 的解析式与二次函数求交点，利用根与系数的关系求m 的值，从而确定B 与C 的坐标；（2）抛物线平移前后a的值不变，由点B（3，5），C（8，10）在抛物线y=x2+bx+c上，确定抛物线解析式，从而得到平移过程；（3）作点B关于y轴的对称点B'，连接CB'与y轴的交点即为P，求出直线B'C的直线解析式的解析式与y 轴交点即为P；【详解】（1）M1：y=x2-4与x轴的负半轴相交于点A，∴A（-2，0），∵AB=BC，C（8，m），∴B（3，m 2），设AB直线解析式为y=kx+b，∴02k bm3k b2=−+⎧⎪⎨=+⎪⎩，∴mk10mb5⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y=m10x+m5，∵y=x2-4与y=m10x+m5相交于点A和B，∴x2-m10x+m5-4=0，∴x1+x2=m10=1，∴m=10，∴B（3，5），C（8，10）；（2）∵抛物线M1平移得到抛物线M2，∴a=1，∵B （3，5），C （8，10）在抛物线y=x2+bx+c 上，∴{593b c 10648b c =++=++，∴1026b c =−⎧⎨=⎩，∴y=x2-10+26=（x-5）2+1，由M1平移得到抛物线M2先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；（3）作点B 关于y 轴的对称点B'，连接CB'与y 轴的交点即为P ，∴B'（-3，5），设直线B'C 的直线解析式为y=mx+n ，∴53108k b k b =−+⎧⎨=+⎩，∴5k 1170b 11⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴y=511x+7011，∴P （0，7011）.【点睛】本题考查二次函数图象的平移，最短路径问题；掌握二次函数平移前后a 的值不变是解决平移后二次函数解析的关键，通过作对称点，将线段和的最小进行转化是解决最短路径的关键．(1)求抛物线的解析式及与(2)根据图象回答：当x 取何值时，(3)在抛物线的对称轴上有一动点【答案】(1)2=23y x x −−，(3,0)B(2)13x −＜＜(3)(1,0)P【分析】（1）把(10)A −，，(03)C −，代入2y x bx c =++，利用待定系数法求解b ，c ，再求解点B 的坐标即可得到答案；（2）由0y <，可得抛物线的图像在x 轴的下方，结合图象可得x 的取值范围，从而可得答案；（3）由(10)A −，，(30)B ，关于抛物线的对称轴1x =对称，可得AB 与对称轴的交点满足PA PB +最小，从而可得答案．【详解】（1）把(10)A −，，(03)C −，代入2y x bx c =++， 103b c c −+=⎧∴⎨=−⎩，解得：23b c =−⎧⎨=−⎩，∴抛物线的解析式为2=23y x x −−，由2230x x −−=，(3)(1)0x x ∴−+=，123,1,x x ∴==−∴(30)B ，； （2） 抛物线与x 轴交于(10)A −，，(30)B ，，0y <， ∴ 抛物线的图象在x 轴的下方，结合图象可得：13x −＜＜；（3）∵(10)A −，，(30)B ，， ∴对称轴是直线1x =，如图，当A 、B 、P 三点共线时，PA PB +的值最小，此时点P 是对称轴与x 轴的交点，即(10)P ，．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，利用抛物线的图象解一元二次不等式，掌握以上知识是解题的关键．题型二：面积最值问题一、解答题【答案】12，等腰三角形 【分析】根据已知条件10a b +=，再表示成10b a =−，代入公式，再利用二次函数的性质求出最值，最后根据三边长判断三角形的形状．【详解】解：三角形的边长满足6c =，10a b +=，1()82p a b c ∴=++=，10b a ∴=−，S ∴==当5a =时，S 有最大值为12，此时三角形三边分别为5，5，6，故为等腰三角形．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用新公式将三角形面积表示出来，并利用二次函数的性质求最值．2．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD MN ≤，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若设AD 的长度为x 米，矩形菜园ABCD 面积为S 平方米．(1)写出S 与x 的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)若20a =，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长；(3)求矩形菜园ABCD 面积的最大值．【答案】(1)1(100)2S x x =−(2)10m(3)当050a <<时，矩形菜园ABCD 面积的最大值为21(50)2a a −+平方米，当50a ≥时，最大值为1250平方米．【分析】（1）根据题意得出1002x BC m −=，然后求面积即可；（2）利用（1）中结论，直接代入求解即可；（3）将（1）中结果化为顶点式，然后分两种情况分析即可．【详解】（1）解：设m AD x =．则1002x BC m −=， ∴1(100)2S x x =−；（2）由（1）得1(100)2S x x =−， 则1450(100)2x x =−解得110x =，290x =（舍去），∴AD 的长为10m ；（3）①当50a ≥时，由（1）得211(100)(50)125022S x x x =−=−−+，∵50a ≥，∴50x =时，S 的最大值为1250．②当050a <<时，则0x a <≤，S 随a 的增大而增大，当x a =时，S 的最大值为21502a a −+；综上所述，当050a <<时，矩形菜园ABCD 面积的最大值为21(50)2a a −+平方米，当50a ≥时，最大值为1250平方米．【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式进行分类讨论是解题关键． )090<≤α，直到第一次回到起点后停止．记机器人共行走的路程为60时，机器人的运动路径为 (2)如图3，若60α=，机器人执行六次指令后回到起点处停止．①若12b =，24b =，3 1.5=b ，43b =，则5b =______，65+=b b ______．②若12b =，24b =，20l =，请直接写出3b 与4b 之间的数量关系，并求出当S 最大时4b 的值．【答案】(1)12，8，5(2)①3，5.5；②34210+=b b ；43b =【分析】（1）根据每次逆时针旋转α，旋转360α︒次，可回到起点，即可进行解答；（2）①构造如图所示三角形，则,,,ABC AIH DBE GFC 为等边三角形，根据等边三角形三边相等，即可依次推出各边长度；②构造如图所示三角形，根据题意可得344=++GI b b ，6342=+−b b b ，546=−b b ，进而得出34210+=b b ，根据等边三角形的面积公式，即可求出S 的表达式，即可求解．【详解】（1）解：当30α=︒时，36011230l =⨯=， 当45α=︒时，3601845l =⨯=，当72α=︒时，3601572l =⨯=，故答案为：12，8，5．（2）①构造如图所示的三角形，∵60α=，∴,,,ABC AIH DBE GFC 为等边三角形，∴244,3CG b AH b ====， ∴34 1.538.5AC AH b CG =++=++=，则8.5AB AC BC ===， ∵12b =，24b =，∴2EF =，4CF =，∴68.524 2.5b BE BC EF CF ==−−=−−=， ∴58.53 2.53b DI AB AI BD ==−−=−−=， ∴65 2.53 5.5b b =+=+，故答案为：3，5.5．3，5．5②如图，构造等边GHI∴344=++GI b b ，6342=+−b b b ，546=−b b ，∵20l =，∴34434246220++++−++−=b b b b b ，∴34210+=b b ，如图：等边三角形边长为a ，高为h ，sin 60h a =︒=，∴等边三角形面积21122ah a ===∴))2223434442=+++−S b b b b∴))222446563S b b b =−++=−， ∴当S 最大时，43b =．【点睛】本题主要考查了多边形的外角，解题的关键是掌握多边形的外角和为360︒，根据题意构造等边三角形，根据等边三角形的性质求解．4．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，有一个铝合金窗框，所使用的铝合金材料长度为24m ．设AB 长为m x ，窗户的总面积为S 2m ．(1)求S 关于x 的函数表达式；(2)若AB 的长不能低于2m ，且AB BC <，求此时窗户总面积S 的最大值和最小值．【答案】(1)23122S x x =−+(2)窗户总面积S 的最大值224m ，最小值是218m【分析】（1）根据题意和图形可以求得S 与x 的函数表达式；（2）根据题意可以得到关于x 的不等式，从而求出x 的范围，然后根据（1）中的函数解析式和二次函数的性质即可解答．【详解】（1）解：根据题意，得224331222x S x x x −=⋅=−+． 即S 与x 的函数表达式是3122S x x =−+．（2）解：根据题意，得24322xx −≤<．解得：2 4.8x ≤<．()22334222124S x x x +==−−+−，∵302−<，∴S 有最大值，∵2 4.8x ≤<，抛物线的对称轴为直线4x =．∴当4x =时，S 有最大值，此时24S =，当2x =时，S 有最小值，此时()283242241S =−−+=，答：窗户总面积S 的最大值224m ，最小值是218m ．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键． 5．（2023·浙江宁波·统考一模）有一块形状如图1的四边形余料ABCD ，6AB =，2AD =，90A ∠=︒，135D ∠=︒，tan 2B ∠=，要在这块余料上截取一块矩形材料，其中一条边在AB 上．(1)如图2，若所截矩形材料的另一条边AE 在AD 上，设AE x =，矩形AEFG 的面积为y ，①求y 关于x 的函数表达式．②求矩形面积y 的最大值．(2)能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．【答案】(1)①262x y x =−+；②当2x =时，y 取到最大值10(2)能截出面积更大的矩形材料，这些矩形材料的最大面积为323【分析】（1）①由锐角三角函数可求GB 的长，由矩形的面积公式可求解；②由二次函数的性质可求解；（2）用NH 分别表示BH ，AF 的长，由面积公式和二次函数的性质可求解．【详解】（1）解：①如图2，四边形AEFG 是矩形，AE FG ∴=，90A FGB ∠=∠=︒，tan 2FG B GB ∠==， 12GB x ∴=，162AG AB GB x ∴=−=−， 211(6)622S AE AG x x x x ∴=⋅=−=−+； ②点E 在线段AE 上，20x ∴<≤，22116(6)1822y x x x =−+=−−+，∴当2x =时，y 的最大值为10； （2）能，如图1，当点E 在线段CD 上时，过点D 作DM EF ⊥于M ，四边形EFHN 是矩形， EF NH ∴=，EN FH =，tan 2NH B HB ∠==， 12HB NH ∴=，90A AFE ∠=︒=∠，DM EF ⊥，∴四边形ADMF 是矩形，DM AF ∴=，2AD MF ==，135ADC ∠=︒，45EDM ∴∠=︒，2DM EM NH ∴==−，2AF NH ∴=−， 382FH AB AF BH NH ∴=−−=−， 233832(8)()2233S FH NH NH NH NH ∴=⋅=−=−−+，∴当83NH =时，S 有最大值为323，32103>，∴能截出比（1）中更大面积的矩形材料，这些矩形材料面积的最大值为323．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，锐角三角函数，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． (1)求L （A ，B ）；(2)求抛物线1y 的表达式；(3)已知221y tx =+是该坐标系内的一个一次函数．①若D ，E 是221y tx =+图像上的两个动点，且，求CDE 面积的最大值；【答案】(1)4；(2)2123y x x =−++；(3)①CDE 面积最大值为②1t =−【分析】（1）根据题干中对于“L 型距离”的定义，即可求解；（2）根据二次函数1y 经过点A 、B 、C 三点，所以只要求出C 点坐标即可：根据点C 在直线2x =上运动，所以可设点()2,C m ，根据(),L B C BC ≤列方程求解出m 的值，利用待定系数法列方程组即可求出抛物线1y 的表达式；（3）①根据CDE 的一边DE 长度固定等于5，所以只要求出顶点C 到DE 的最大距离即可：由DE 所在的直线221y tx =+过固定点()0,1N ,故直线2y 的图像是绕点()0,1N 旋转的直线，当CN ⊥直线2y 时，点C 到DE的距离最大，此时就是CDE 的最大面积，根据三角形面积公式求解即可；②根据12y y y =+，可得函数y 的解析式：()2214y x t x =−+++，可知函数y 的图像是一个开口向下，对称轴是1x t =+的抛物线，由此可知函数y 在对称轴上取得最大值，根据3t x t +≤≤可知当3x t =+时y 有最小值，最后根据函数y 的最大值与最小值之和是8，从而列出方程即可求出t 的值．【详解】（1）解：由题意得：()()1003A B −，，，，(),1003134L A B ∴=−−+−=+=； （2）点C 在直线2x =上运动，∴设点()2,C m ，且()0,3B()()()222220343BC m m ∴=−+−=+−(),02323L B C m m=−+−=+− ()()()2222,232433L B C m m m ∴=+−=+−+−()0,L B C BC≤≤ ()22,L B C BC ∴≤ 即()()222243343m m m +−+−≤+− 430m ∴−≤， 又30m −≥ 30m ∴−=3m ∴=()2,3C ∴二次函数1y 的图像经过()1,0A −，()0,3B ，()2,3C ，∴设21111y a x b x c =++∴代入解析式得：111111103423a b c c a b c −+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩解方程组得：111123a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线1y 的表达式为2123y x x =−++；（3）①221y tx =+令0x =时，21y =∴直线2y 恒过定点()0,1N∴直线2y 的图像是绕点()0,1N 旋转的直线，∴当CN ⊥直线2y 时，点C 到DE 的距离最大，CDE 面积也最大，过点C 作CM DE ⊥交直线2y 于点M由点到直线的距离，垂线段最短知：CM CN ≤115222CDE S DE CM DE CN CN ∴=⨯≤⨯=()2,3C ，()0,1NCN ∴==5522CN ∴=⨯=CDE ∴面积的最大值为②()22122321214y y y x x tx x t x =+=−++++=−+++二次函数y 的对称轴为()()21121t x t +=−=+⨯−10a =−< ∴二次函数y 的图像开口向下，当1x t =+时，函数值y 取得最大值()()()212114y t t t =−+++++ 又()()311t t t t +−+>+−∴当3x t =+时，函数值y 取得最小值()()()232134y t t t =−+++++函数12y y y =+的最大值与最小值之和为8 ()()()()()2221214321348t t t t t ∴−++++−+++++=整理得：2210t t+−= 解得：1t =−∴实数t 的值为1−【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了对于题干中“L 型距离”的理解能力、以及根据“L 型距离”以及用待定系数法求抛物线的表达式、根据垂线段最短求三角形最大面积、根据二次函数图像的性质求函数最值等，对知识的综合性很强．根据题意灵活运用所学知识以及扎实的计算基础是解此题的关键．题型三：最大利润问题一、解答题 1．（2023秋·浙江温州·九年级期末）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元，调查发现，销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具的售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x 元，（x 为整数）月销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围．(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？(3)如果商店想要每月获得的利润不低于2520元，那么每月用于购进这种玩具的成本需要多少元？(4)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【答案】(1)2101302300y x x =−++，x 的取值范围为010x ≤≤（x 为整数） (2)32元(3)每月用于购进这种玩具的成本需要4200元、4000元、3800元、3600元、3400元、3200元、3000元、2800元、2600元(4)每件玩具的售价定为36或37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2720元【分析】（1）每件玩具的销售单价上涨x 元时，单件利润为()3020x −+元，销量为()23010x −件，根据总利润等于单件利润乘以销量列式即可；（2）令2520y =，解一元二次方程，根据实际情况对求出的解进行取舍即可；（3）结合（2）中结论可知，当销售单价上涨2、3、4、5、6、7、8、9、10元时，每月获得的利润不低于2520元；（4）将2101302300y x x =−++化为顶点式，结合x 的取值范围即可求出y 的最大值． 【详解】（1）解：依题意得：()()2302023010101302300y x x x x =−+−=−++，每件首饰售价不能高于40元， ∴3040x +≤，∴010x ≤≤（x 为整数）．因此y 与x 的函数关系式为2101302300y x x =−++，x 的取值范围为010x ≤≤，且x 为整数； （2）解：当2520y =时，21013023002520x x −++=，整理得213220x x −+=，解得12x =，211x =，010x ≤≤，∴2x =，当2x =时，30232+=．即每件首饰的售价定为32元时月销售利润恰好为2520元；（3）解：如图，由题可知：当每件玩具的销售单价上涨了2、3、4、5、6、7、8、9、10元，每月获得的利润不低于2520元， 对应的销售量为210、200、190、180、170、160、150、140、130，每月用于购进这种玩具的成本需要4200元、4000元、3800元、3600元、3400元、3200元、3000元、2800元、2600元．（4）解：2101302300y x x =−++，∴()2106527225y x ..=−−+．100a =−<，010x ≤≤，且x 取正整数，∴当6x =或7时，y 取最大值，()210765272252720y ..=−⨯−+=最大值，∴每件玩具的售价定为：30636+=（元）或30737+=（元）．即每件玩具的售价定为36或372720元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，根据“总利润=单件利润⨯销量”列出y 与x 的函数关系式． 2．（2023秋·浙江温州·九年级期末）某服装厂生产A 品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x 件时，批发单价为y 元，y 与x 之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x 为10的正整数倍．(1)当100300x ≤≤时，y 与x 的函数关系式为 ．(2)某零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装200件，需要支付多少元？(3)零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x ()100400x ≤≤件，服装厂的利润为w 元，问：x 为何值时，w 最大？最大值是多少？【答案】(1)111010y x =−+ (2)18000元(3)x 为190或200时，w 最大，最大值是3800元【分析】（1）设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，根据图象利用待定系数法求解析式即可；（2）根据（1）求出此时的批发单价，再乘以批发数量即可；（3）分类讨论①当100300x ≤≤时和②当300400x <≤时，结合利润=销售量×（售价−成本）列出w 与x 的函数关系即可得出答案．【详解】（1）当100300x ≤≤时，设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，根据题意得出：10010030080k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：110110k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴y 与x 的函数关系式为：111010y x =−+， 故答案为：111010y x =−+；（2）当200x =时，2011090y =−+=，∴9020018000⨯=（元），答：某零售商一次性批发A 品牌服装200件，需要支付18000元；（3）分两种情况：①当100300x ≤≤时，()2211111071391953802.5101010w x x x x x ⎛⎫=−+−=−+=−−+ ⎪⎝⎭，∵批发件数x 为10的正整数倍，∴当190x =或200时，w 有最大值是：()212001953802.5380010−−+=； ②当300400x <≤时，()80719w x x =−=，当400x =时，w 有最大值是：94003600⨯=，∴一次性批发A 品牌服装x （100400x ≤≤）件时，x 为190或200时，w 最大，最大值是3800元．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用．掌握利用待定系数法求解析式以及理解题意利润=销售量×（售价−成本）列出w 与x 的函数关系式是解答本题的关键． 3．（2023秋·浙江温州·九年级期末）某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱．设每箱水果降价x 元．(1)当10x =时，求销售该水果的总利润；(2)设每天销售该水果的总利润为w 元．①求w 与x 之间的函数解析式：②试判断w 能否达到8200元，如果能达到，求出此时x 的值；如果不能达到，求出w 的最大值．【答案】(1)8000元(2)①2=41207200w x x −++ ②不能达到，最大值是8100元【分析】（1）利用每箱利润60=﹣每箱降低的价格及平均每天的销售量=120+205⨯每箱降低的价格，即可求出结论；（2）①设每箱应降价x ()60x ﹣元，平均每天可售出()4120x +箱，利用平均每天销售该种水果获得的总利润=每箱的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x 的函数解析式，②利用二次函数的性质即可得出结论．【详解】（1）解：根据题意，可知：当每箱水果降价10元时，每箱利润为601050﹣＝(元)， 平均每天可售出10120201605+⨯=(箱)总利润为：501608000⨯=(元)．（2）①设每箱应降价x 元，则每箱利润为()60x ﹣元，平均每天可售出()1202041205x x +⨯=+箱，依题意得： w 与x 之间的函数解析式为()26012020412072005x w x x x ⎛⎫=−+⨯=−++ ⎪⎝⎭；②w 不能达到8200元；()22412072004158100w x x x =−++=−−+.∵40−<，∴当15x =时，w 取到最大值，81008200w =<最大值，∴w 不能达到8200元，w 的最大值是8100元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用的应用，找准等量关系，正确列出二次函数关系式是解题的关键． 4．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）在新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研，某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．(1)直接写出小明销售该类型口罩销售量y （袋）与销售单价x （元）之间的函数关系式_____，每天所得销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式_____．(2)若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？ (3)求当销售单价定为多少元时，利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)2105001070010000y x w x x =−+=−+−,(2)30元或40元(3)当销售单价定为35元时，最大利润是2250元【分析】（1）根据“某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋”，即可得出y 关于x 的函数关系式，然后再根据题意得到销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）根据（1）得到的销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式，令2000w =求得x 即可； （2）利用配方法将w 关于x 的函数关系式变形为()210352250w x =−−+，根据二次函数的性质即可解答．【详解】（1）解：根据题意得，()250102510500y x x =−−=−+；则()()220105001070010000w x x x x =−−+=−+−．故答案为：2105001070010000y x w x x =−+=−+−,．（2）解：令2000w =可得220001070010000x x =−+−，解得30x =或40．答：销售单价应定为30元或40元．（3）解：∵21070010000w x x =−+−∴()210352250w x =−−+，∵100−<，∴当35x =时，w 有最大值2250，∴当销售单价定为35元时，最大利润是2250元．【点睛】本题主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、解一元二次方程、一次函数和二次函数的实际应用等知识点，掌握二次函数的性质是解题关键．【答案】(1)y 与x 之间的函数表达式为2180y x =−+． (2)该天的销售单价应定为50元/千克或70元/千克．(3)当销售单价定为60元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是1800元．【分析】（1）设y 与x 之间的函数表达式为(0)y kx b k =+≠，再在表中任选两组数据代入计算出k 和b 的值即可．（2）依题意列出关于销售单价x 的方程，然后解一元二次方程组即可．（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．【详解】（1）设y 与x 之间的函数表达式为(0)y kx b k =+≠，将表中数据（55，70）、（60，60）代入，得：55706060k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2180k b =−⎧⎨=⎩．∴y 与x 之间的函数表达式为2180y x =−+．（2）由题意得：(30)(21801600x x −−+=）， 解得1250,70x x ==．答：该天的销售单价应定为50元/千克或70元/千克． （3）设当天的销售利润为w 元，则：(30)(2180)w x x =−−+222405400x x =−+−22(60)1800x =−−+，∵20−<， ∴当60x =时，1800w =最大值．答：当销售单价定为60元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是1800元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是理清题目中的数量关系．(1)求y 与x 的函数关系式．(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元．(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w (元)，问：当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)5150y x =−+()815x ≤≤(2)13元(3)当每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元。
浙教版九年级上册第 一章二次函数面积最值问题练习
浙教版九年级上册第一章二次函数面积最值问题练习1、【题型分析】题型一：面积最值问题例1：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S 关于m的函数关系式，并求出S的最大值；变式训练：如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．例2：如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点C（0，－4），与x轴交于点A，B，且B 点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．例3：星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围变式训练：某小区为了改善居住环境，准备修建一个矩形花园ABCD，为了节约材料并种植不同类花，决定花园一边靠墙，三边用栅栏围住，中间用一段垂直于墙的栅栏隔成两块，已知所用栅栏的总长为60米，墙长为30米（如图），设花园垂直于墙的一边的长为x米．（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，这个矩形花园的面积最大？最大值是多少？（栅栏占地面积忽略不计）；（3）当这个花园的面积不小于288平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．例4：阅读材料：（1）对于任意实数a和b，都有（a-b）2≥0，∴a2-2ab+b2≥0，于是得到a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．请解答下列问题：某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成（如图所示）．设垂直于墙的一边长为x米．（1）若所用的篱笆长为36米，那么：①当花圃的面积为144平方米时，垂直于墙的一边的长为多少米？②设花圃的面积为S米2，求当垂直于墙的一边的长为多少米时，这个花圃的面积最大？并求出这个最大面积；（2）若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？题型二：利润最值问题例1：某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少买10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？变式训练：某超市经销一种销售成本为每件60元的商品，据市场调查发现，如果按每件70元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售就减少10件，设销售价为每件x元（x≥70），一周的销售量为y件．（1）写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．（2）设一周的销售利润为w，写出w与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？（3）在超市对该种商品投入不超过18000元的情况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？例2：有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．。
二次函数的应用题 利润问题、面积问题、最值问题 知识点+例题+练习 (非常好 分类全面)
三．二次函数应用题题型一．（10分）（2015•南充一模）某德阳特产专卖店销售“中江柚”，已知“中江柚”的进价为每个10元，现在的售价是每个16元，每天可卖出120个．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10个；每降价1元，每天可多卖出30个．（1）如果专卖店每天要想获得770元的利润，且要尽可能的让利给顾客，那么售价应涨价多少元？（2）请你帮专卖店老板算一算，如何定价才能使利润最大，并求出此时的最大利润？2．（12分）某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y（元/千度））与电价x（元/千度）的函数图象如图：（1）当电价为600元/千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x（元/千度）与每天用电量m（千度）的函数关系为x=5m+600，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？3.（12分）某企业信息部进行市场调查发现：信息一、如果单独投资A种产品，所投资利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表：x（万元）12 2.535y A（万元）0.40.81 1.22信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y B（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y B=ax2+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）从所学过的函数中猜想y A与x之间的关系，并求出y A与x的函数关系式；（2）求出y B与x的函数关系式，并求想利润y B为3（万元）应投资金额；（3）如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？例2、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？2.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？例3、拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y=213x ，当水面离桥顶的高度为253m 时，水面的宽度为多少米？2、有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB 为18米，拱顶O 离水面AB 的距离OM 为8米，货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF ，如图建立平面直角坐标系．(1)求此抛物线的解析式；(2)如果限定矩形的长CD 为9米，那么矩形的高DE 不能超过多少米，才能使船通过拱桥?(3)若设EF=a ，请将矩形CDEF 的面积S 用含a 的代数式表示，并指出a 的取值范围．x例4.如图所示，在ABC 中，∠B=90，AB=22cm ，BC=20cm ，点P 从点A 开始沿AB 向点B 以2cm/s 的速度运动，点Q 从点B 开始向点C 以1cm/s 的速度运动，如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发。
浙教版数学 九年级上册：二次函数的应用——利润最值问题
博途教育学科教师辅导讲义(一）学员姓名: 年 级：九年级 日期： 辅导科目：数 学 学科教师：刘云丰 时间： 课 题 九上 第六讲：二次函数的应用——利润最值问题 授课日期教学目标1、熟练掌握二次函数的概念、图像及性质；2、学会灵活运用二次函数的概念、图像及性质来解决实际问题。
教学内容二次函数的应用——利润最值问题〖教学重点与难点〗◆教学重点：熟悉二次函数的概念、图像及其性质。
灵活运用二次函数的概念、图像及性质来解决实际问题。
◆教学难点：灵活运用二次函数的概念、图像及性质来解决实际问题。
〖教学过程〗 一、知识要点：二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式ab ac a b x a y 44)2(22-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0>a 时，函数有最小值，并且当a bx 2-=，a b ac y 442-=最小值；当0<a 时，函数有最大值，并且当a bx 2-=，ab ac y 442-=最大值．如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当a bx 2-=，ab ac y 442-=最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小．二、典型例题：[例1]：求下列二次函数的最值：（1）求函数322-+=x x y 的最值．解：4)1(2-+=x y当1-=x 时，y 有最小值4-，无最大值．（2）求函数322-+=x x y 的最值．)30(≤≤x 解：4)1(2-+=x y∵30≤≤x ，对称轴为1-=x∴当12330有最大值时；当有最小值时y x y x =-=．[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润 则：)10300)(4060(1x x y -+-= )60010(102---=x x 6250)5(102+--=x当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元）)20300)(4060(2x x y +--=)15)(20(20+--=x x 6125)5.2(202+--=x当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元） 综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．变式训练：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 解：设每件价格提高x 元，利润为y 元，则：)20400)(2030(x x y --+= )20)(10(20-+-=x x 4500)5(202+--=x 当5=x ，4500max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？解：设旅行团有x 人)30(≥x ，营业额为y 元，则：)]30(10800[--=x x y )110(10--=x x 30250)55(102+--=x 当55=x ，30250max =y （元）答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额．[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表： 若日销售量y 是销售价x 的一次函数．⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：⑴设一次函数表达式为b kx y +=．则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ，•即一次函数表达式为40+-=x y ． ⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元， 所获销售利润为w 元y x w )10(-=)40)(10(+--=x x 400502-+-=x x 225)25(2+--=x当25=x ，225max =y （元）答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程．变式训练：3．市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千x （元） 15 20 3…y （件） 25 20 1…克)•与销售单价x (元)(30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)． 解：⑴设y=kx+b 由图象可知，3040020,:402001000k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解之得， 即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x ．⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x 200001400202-+-=x x ∵020<-=a ∴P 有最大值．当35)20(21400=-⨯=x 时，4500max =P （元）（或通过配方，4500)35(202+--=x P ，也可求得最大值） 答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．⑶∵44804500)35(2041802≤+--≤x 16)35(12≤-≤x ∴31≤x•≤34或36≤x ≤39．[例4]：研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x (吨)时，所需的全部费用y (万元）与x 满足关系式9051012++=x x y ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？解：（1）甲地当年的年销售额为万元；．（2）在乙地区生产并销售时，年利润．由，解得或．经检验，不合题意，舍去，．（3）在乙地区生产并销售时，年利润，将代入上式，得（万元）；将代入，得（万元）．，应选乙地．变式训练：4. 为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元? 解：)802)(20()20(+--=-=x x w x y )40)(20(2---=x x)80060(22+--=x x 200)30(22+--=x160012022-+-=x x当30=x ，200max =y （元）(1)y 与x 之间的的函数关系式为；160012022-+-=x x y(2)当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． (3) 150200)30(22=+--x ，25)30(2=-x28351>=x （不合题意，舍去）252=x答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为25元．三、本课小结：本课主要学习了利用二次函数解决利润问题中的一些最值情况，解决这类问题，一般先理清题中的各个数量关系，通过建模思想建立函数模型，最后利用二次函数中求最值的方法来达到我们解决问题的目的！四、课后作业：1．二次函数1212-+=x x y ，当x=_-1，_时，y 有最_小_值，这个值是23-． 2．某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为12--=x y (只写一个)，此类函数都有_大_值(填“最大”“最小”)． 3．不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是29>m ，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是_有解_(填“有解”或“无解”) 解：29)23(22-+-=m x y∵0)23(22≥-x ，要使0>y ，只有029>-m ∴29>m4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线213.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是 4.5米 ．解：当05.3=y 时，213.55y x =-+05.3=45.052⨯=x ，5.1=x 或5.1-=x （不合题意，舍去）5．在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V 0（m/s ）竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s （m ）与抛出时间t （s ）满足：S=V 0t-12gt 2（其中g 是常数，通常取10m/s 2），若V 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距离地面__7_m ． 解：t t s 1052+-=5)1(52+--=t当1=t 时，5max =s ，所以，最高点距离地面725=+(米)．6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为V （km/h ）的汽车的刹车距离S （m ）可由公式S=1100V 2确定；雨天行驶时，这一公式为S=150V 2．如果车行驶的速度是60km/h ，•那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_36_米．7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价_5_元，最大利润为_625_元．解：设每件价格降价x 元，利润为y 元，则：)20)(70100(x x y +--=600102++-=x x 625)5((2+--=x 当5=x ，625max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．8．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．xyA B O解：设9)8(2+-=x a y ，将点A )1,0(代入，得81-=a12819)8(8122++-=+--=x x x y令0=y ，得09)8(812=+--=x y98)8(2⨯=-x268±=x ，)0,268(+C ，∴5.242688≈++=OC (米)9．（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价x （元/千克）... 25 24 23 22 ... 销售量y （千克） (200)250030003500…（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x ，y ）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y 与x 之间的函数关系，并求出y 与x 之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，P 的值最大？ 解：（1）由图象可知，y 是x 的一次函数，设y=kx+b ，•∵点（•25，2000），（24，2500）在图象上，∴200025500,:25002414500k bk k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得 ， ∴y=-500x+14500．（2）P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14500))37744144142(500)37742(500)29)(13(50022+-+--=+--=---=x x x x x x=-500(x-21)2+32000∴P 与x 的函数关系式为P=-500x 2+21000x-188500，当销售价为21元/千克时，能获得最大利润，最大利润为32000元．10．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元，写出p 关于x 的函数关系式；(2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q －收购总额)？ 解：(1)由题意知：p=30+x,(2)由题意知：活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x 元.∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x 2+900x+30000. (3)设总利润为W 元则：W=Q －1000×30－400x=－10x 2+500x=－10(x 2－50x) =－10(x －25)2+6250. 当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元． 答：这批蟹放养25天后出售，可获最大利润．- 11 -。
1.4 利用二次函数解决距离和利润等最值问题 同步练习2021-2022学年浙教版九年级数学上册
1.4 二次函数的应用（2）一、选择题（共7小题；共35分）1. 一个小球被抛出后，如果距离地面的高度ℎ(m)和运动时间t(s)的函数表达式为ℎ=−5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是( )A. 1mB. 3mC. 5mD. 6m2. 烟花厂为春节特别设计了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度ℎ(m)关于飞行时间t(s)的函数表达式为ℎ=−32t2+12t+30．若这种礼炮在上升到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( )A. 3sB. 4sC. 5sD. 6s3. 长方形的周长为24cm，其中一边为x(cm)(x>0)，面积为y(cm2)，则这个长方形中y与x的关系可以表示为( )A. y=x2B. y=(12−x2)C. y=x(12−x)D. y=2(12−x)4. 如图所示，正方形ABCD的边长为1，E，F，G，H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为y，AE为x，则y关于x的函数图象大致是( )A. B.C. D.5. 一同学推铅球，铅球高度y(m)关于时间x(s)的函数表达式为y=ax2+bx(a≠0)．若铅球在第7秒与第14秒时的高度相等，则在( )时铅球最高．A. 第7秒B. 第8秒C. 第10.5秒D. 第21秒6. 汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式为s=−6t2+bt（b为常数）．已知t=12时，s=6，则汽车刹车后行驶的最大距离为( )A. 152米 B. 8米 C. 758米 D. 10米7. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30∘角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度ℎ（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系ℎ=20t−5t2．下列叙述正确的是( )A. 小球的飞行高度不能达到15mB. 小球的飞行高度可以达到25mC. 小球从飞出到落地用时4sD. 小球飞出1s时的飞行高度为10m二、填空题（共5小题；共25分）8. 广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y(m)关于水珠x2+6x(0≤x≤4)，水珠可以达到的最大高度与喷头的水平距离x(m)的函数表达式为y=−32是m．9. 如图所示，在△ABC中，∠B=90∘，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s 的速度移动（不与点C重合）．如果点P，Q同时出发，那么经过s，四边形APQC的面积最小．10. 某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏下每隔0.4m需要加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图所示），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为．11. 如图所示，线段AB的长为2，C为线段AB上一个动点，分别以AC，BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是．12. 科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表所示：科学家经过猜想推测出l与T之间为二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为∘C．三、解答题（共7小题；13题12分，14-19题各13分，共90分）13. 王大爷要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用20m长的墙，另三边用总长为36m的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x(m)且BC>AB，矩形ABCD的面积为S(m2)．（1）求S关于x的函数表达式（要求直接写出自变量x的取值范围）．（2）根据题中要求，所围花圃面积能否为154m2?若能，求出x的值；若不能，请说明理由．14. 用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图1，2所示的一种）．设竖档AB=x(m)，请根据图案解答下列问题（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD，AB平行）：（1）在图1中，如果不锈钢材料总长度为12m，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3m2?（2）在图2中，如果不锈钢材料总长度为12m，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大?最大面积是多少?15. A，B 两个水管同时开始向一个空容器内注水．如图所示为 A，B 两个水管各自注水量y(m3)与注水时间x(h)之间的函数图象，已知 B 水管的注水速度是1m3/h，1h后，A 水管的注水量随时间的变化是一段抛物线，其顶点是(1,2)，且注水9h，容器刚好注满．请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）直接写出A，B 注水量y(m3)与注水时间x(h)之间的函数表达式，并注明自变量的取值范围．（2）求容器的容量．（3）根据图象，求当y A>y B时，x的取值范围．16. 如图所示，小区要用篱笆围成一个四边形花坛，花坛的一边利用足够长的墙，另三边所用的篱笆之和恰好为18m．围成的花坛是图中的四边形ABCD，其中∠ABC=∠BCD=90∘，且BC= 2AB，设AB边的长为x(m)，四边形ABCD面积为S(m2)．（1）请直接写出S(m2)关于x(m)的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）．（2）当x是多少时，四边形ABCD的面积S最大?最大面积是多少?17. 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ACB，其横截面如图所示，在图中建立的平面直角坐标系x2+c且过顶点C(0,5)（长度单位：m）．中，抛物线的表达式为y=−120（1）直接写出c的值．（2）现因举行庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/m2，购买地毯需多少元?（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”横截面为矩形EFGH（点H，G分别在抛物线的左、右侧上），并铺设一斜面，其横截面为EG．已知矩形EFGH的周长为27.5m，求EG的长．18. 某水渠的横截面呈抛物线，水面的宽度为AB（单位：m），现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为点O．已知AB=8m，设抛物线的函数表达式为y=ax2−4．（1）求a的值．（2）C(−1,m)是抛物线上一点，C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积．19. 如图1所示，某公园有一斜坡形的草坪，其倾斜角为30∘，该斜坡上有一棵小树AB（垂直于水平面），树高(2√33−13)m．现给该草坪洒水，已知点A与喷水口点O的距离OA=23√3m．建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水的过程中，水运行的路线是抛物线y=−13x2+bx，且恰好过点B，最远落在草坪的点C处．（1）求b的值；（2）求直线OC的函数表达式；（3）在喷水路线上是否存在一点P，使△POC的面积最大?若存在，请求出点P的坐标和此时的S△POC；若不存在，请说明理由．答案1. D2. B3. C4. B5. C6. C 【解析】把 t =12，s =6 代入 s =−6t 2+bt 得， 6=−6×14+b ×12，解得，b =15∴ 函数解析式为 s =−6t 2+15t =−6(t −54)2+758， ∴ 当 t =54 时，s 取得最大值，此时 s =758．7. C 【解析】A ．当 ℎ=15 时，15=20t −5t 2，解得 t 1=1，t 2=3，故小球的飞行高度能达到 15 m ，故此选项错误；B ．ℎ=20t −5t 2=−5(t −2)2+20，故 t =2 时，小球的飞行高度最大，为 20 m ，故此选项错误；C ．当 ℎ=0 时，0=20t −5t 2，解得 t 1=0，t 2=4，∴ 小球从飞出到落地用时 4 s ，故此选项正确；D ．当 t =1 时，ℎ=15，故小球飞出 1 s 时的飞行高度为 15 m ，故此选项错误．故选C ．8. 69. 310. 160 m11. 112. −113. （1） 由题意得 BC =36−2x ，所以 S =x (36−2x )=−2x 2+36x (8≤x <12)．（2） 由题意得 −2x 2+36x =154，解得 x 1=7，x 2=11，因为 8≤x <12，所以 x =11．所以能，x 的值为 11．14. （1） 由题意得 BC 的长为 (4−x )(m )，所以 x (4−x )=3，即 x 2−4x +3=0，解得 x 1=1，x 2=3．所以当 x =1或3 时，矩形框架 ABCD 的面积为 3 m 2．（2） 由题意得 AD =(12−4x )÷3=4−43x ， 所以S=x (4−43x)=−43x 2+4x=−43(x −32)2+3.所以当 x =32 时，矩形框架 ABCD 的面积最大，最大面积是 3 m 2．15. （1） y A ={2x,0≤x ≤118(x −1)2+2,1≤x ≤9． y B =x (0≤x ≤9)．（2） 容器的总容量是：x =9 时，f (x )=x +18(x −1)2+2=9+10=19(m 3)． （3） 当 x =18(x −1)2+2 时，解得 x 1=5−2√2，x 2=5+2√2，利用图象可得出：当 y A >y B 时，x 的取值范围是：x >5+2√2 或 0<x <5−2√2．16. （1） S =−2x 2+18x ．（2） S =−2x 2+18x =−2(x −92)2+812， ∴ 当 x =92 时，四边形 ABCD 的面积 S 最大，最大面积是 812 m 2．17. （1） c =5．（2） 令 y =0，即 −120x 2+5=0，解得 x 1=10，x 2=−10．∴ 地毯的总长度为 AB +2OC =20+2×5=30(m )．30×1.5×20=900（元）． ∴ 购买地毯需要 900 元．（3） 设点 G 的坐标为 (m,−120m 2+5)(m >0)，则 EF =2m ，GF =−120m 2+5． 由题意得 2(EF +GF )=27.5，即 2(2m −120m 2+5)=27.5，解得 m 1=5，m 2=35（舍去）．把 m =5 代入，得 −120m 2+5=−120×52+5=3.75，∴ 点 G 的坐标是 (5,3.75)．∴ EF =10 m ，GF =3.75 m ．∴ EG =54√73 m ．18. （1） ∵AB =8，∴B (4,0)．把点 B 的坐标代入表达式，得 16a −4=0，解得 a =14．（2） 如图所示，过点 C 作 CE ⊥AB 于点 E ，过点 D 作 DF ⊥AB 于点 F ．∵a =14，∴y =14x 2−4．令 x =−1，∴m =14×(−1)2−4=−154．∴ 点 C 的坐标为 (−1,−154)．∵ 点 C 关于原点的对称点为点 D ，∴ 点 D 的坐标为 (1,154)．∴CE =DF =154． ∴S △BCD =S △BOD +S △BOC =12OB ⋅DF +12OB ⋅CE =12×4×154+12×4×154=15.∴△BCD 的面积为 15 m 2． 19. （1） 点 B 的横坐标 x =2√33×√32=1，点 B 的纵坐标 y =√33+(2√33−13)=√3−13， 所以点 B 的坐标为 (1,√3−13)． 将 B (1,√3−13) 代入 y =−13x 2+bx ，得 √3−13=−13×12+b ， 解得 b =√3．（2） 因为直线 OC 的倾斜角为 30∘，点 A 与喷水口点 O 的距离 OA 为 23√3 m ， 所以点 A 的坐标为 (1,√33)． 设直线 OC 的函数表达式为 y =kx ，所以 k =√33， 所以直线 OC 的函数表达式为 y =√33x ． （3） {y =√33x,y =−13x 2+√3x,解得 {x 1=0,y 1=0, {x 2=2√3,y 2=2. 所以交点坐标为 (0,0)，(2√3,2)，所以点 C 的坐标为 (2√3,2)，所以 OC =4．如图所示，设 P (x,−13x 2+√3x)，过点 P 作 PH ⊥OC 于点 H ，则 PH =√32PM =√32×(−13x 2+√3x −√33x)=−√36x 2+x ．所以S△POC=12OC×PH=12×4×(−√36x2+x)=−√33x2+2x=−√33(x−√3)2+√3.所以当x=√3时，S△POC的最大值为√3，所以存在一点P(√3,2)，使△POC的面积最大，此时S△POC=√3．。
九年级数学上册1.4二次函数的应用第2课时利用二次函数解决距离、利润最值问题同步练习(新版)浙教版
第2课时利用二次函数解决距离、利润最值问题知识点一求含有根号的代数式的最值1．代数式x2＋4x＋10的最小值是________．知识点二利润问题的基本等量关系利润问题的基本等量关系：总利润＝总售价－________；总利润＝__________×__________．2．某商品的进价为8元/件，若销售价格定为10元/件时，则每天可卖出20件．已知销售单价每提高1元，则每天少卖出3件．设销售单价提高x元，则每天卖出________件，此时每天的销售收入为______________元，每天的销售利润为______________元．类型一用二次函数的最值解决有关“最近距离”的问题例1 [教材例2针对练] 如图1－4－4所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC ＝12 cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动；点Q从点B开始，沿BC 边向点C以2 cm/s的速度移动，设点P，Q同时出发，问：(1)经过几秒钟，点P，Q的距离最短？(2)经过几秒钟，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？图1－4－4【归纳总结】求y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型函数的最值的方法(1)利用勾股定理建立y＝ax2＋bx＋c型的函数表达式；(2)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值；(3)将(2)中求得的最值开根号，即得y＝ax2＋bx＋c型函数的最值．类型二用二次函数的最值解决有关“最大利润”的问题例2 [教材例3针对练] 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价多少元？【归纳总结】利用二次函数求最大利润问题的步骤(1)利用利润问题的等量关系建立利润与价格之间的二次函数表达式；(2)利用配方法或公式法求出函数的最大值，即得最大利润．类型三掌握自变量的取值范围对最值的影响例3 [教材补充例题] 某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的价格售出，每天可售出6台．假设这种品牌的彩电每台降价100x(x为正整数)元，每天可多售出3x台．(注：利润＝销售价－进价)(1)设商场每天销售这种彩电获得的利润为y元，试写出y与x之间的函数表达式；(2)销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少？此时，每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高？【归纳总结】解答此类题时要注意审题(比如题中会说明x为正整数)，不能放过每一个细节．用二次函数解决实际问题时，若抛物线顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，应如何解决？详解详析【学知识】 1．[答案] 6[解析] x 2＋4x ＋10＝（x 2＋4x ＋4）＋6＝（x ＋2）2＋6.∵(x＋2)2≥0， ∴(x ＋2)2＋6≥6，∴当x ＋2＝0，即x ＝－2时，x 2＋4x ＋10有最小值，为 6. 知识点二 总成本 每件商品所获利润 销售数量 2．[答案] (20－3x) (10＋x)(20－3x) (2＋x)(20－3x) 【筑方法】例1 [解析] 设经过t s ，则AP ＝t ，BQ ＝2t ，0≤t ≤6.(1)在Rt △PBQ 中，利用勾股定理，得出PQ 的长与t 之间的函数表达式，求其最小值； (2)先求△PBQ 的面积与t 之间的函数表达式，再求其最大值． 解：设运动时间为t s ，则AP ＝t cm ，BQ ＝2t cm ，0≤t ≤6. (1)在Rt △PBQ 中，PQ 2＝PB 2＋BQ 2， ∴PQ ＝PB 2＋BQ 2＝（6－t ）2＋（2t ）2＝5t 2－12t ＋36＝5（t －65）2＋1445.∵当t ＝65时，5(t －65)2＋1445有最小值1445，∴当t ＝65时，PQ 的最小值为125 5 cm.答：经过65 s ，点P ，Q 的距离最短．(2)设△PBQ 的面积为S ，则S ＝12BP·BQ＝12(6－t)·2t＝6t －t 2＝－(t －3)2＋9. ∴当t ＝3时，S 有最大值，最大值为9.答：经过3 s ，△PBQ 的面积最大，最大面积是9 cm 2. 例2 解：设降价x 元后每天获利y 元．由题意得y ＝(135－100－x)(100＋4x)＝－4x 2＋40x ＋3500＝－4(x －5)2＋3600. ∵a ＝－4<0，∴当x ＝5时，y 有最大值，最大值为3600. 答：每件降价5元，可使每天获得的利润最大．例3 解：(1)销售每台彩电获利3900－3000－100x ＝(－100x ＋900)元，每天的销售量为(6＋3x)台，所以y ＝(－100x ＋900)(6＋3x)＝－300x 2＋2100x ＋5400.(2)因为y ＝－300x 2＋2100x ＋5400＝－300(x －72)2＋9075，所以该函数图象的顶点坐标为(72，9075)．又因为x 为正整数，所以当x ＝3或x ＝4时，y 取得最大值，为9000元．所以销售该品牌彩电每天获得的最大利润是9000元．当x ＝3时，销售价为每台3600元，销售量为每天15台，营业额为3600×15＝54000(元)；当x ＝4时，销售价为每台3500元，销售量为每天18台，营业额为3500×18＝63000(元)．通过对比发现，当每台彩电的销售价为3500元时，彩电的销售量和营业额均较高．【勤反思】[小结] 每件商品利润 销售量[反思] 利用二次函数解决实际问题时，若抛物线的顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，这时，要结合二次函数的图象与性质，考虑自变量有意义的区域内的最值情况．。
九年级数学上册二次函数的应用——最大利润问题同步练习及答案
最大利润问题——典型题专项训练知识点 1 利润最大化问题1．毕节某旅行社在十一黄金周期间接团去外地旅游，经计算所获营业额y(元)与旅行团人员x(人)之间满足关系式y＝－x2＋100x＋28400，要使所获营业额最大，则旅行团应有( )A．30人B．40人C．50人D．55人2．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )A．5元B．10元C．0元D．36元3．2017·贵阳模拟某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.(1)求一次函数y＝kx＋b的表达式．(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？知识点 2 利用二次函数的最值解决其他实际问题4．两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到________．5．某果园有90棵橘子树，平均每棵树结520个橘子．根据经验估计，每多种一棵橘子树，平均每棵树就会少结4个橘子．设果园里增种x棵橘子树，橘子总个数为y个，则果园里增种________棵橘子树时，橘子总个数最多．6．生物学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测量出这种植物高度的增长情况(如下表)．科学家经过猜想，推测出y与x之间是二次函数关系．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)推测最适合这种植物生长的温度，并说明理由．图2－4－127．如图2－4－13所示，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且AE⊥EF，则AF的最小值是________．图2－4－138．在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况．请根据小丽提供的信息，解答小明和小华提出的问题．图2－4－149．经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？10．东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为p＝\f(1412)t＋48（25≤t≤48，t为整数），且其日销售量y(千克)与时间t(天)的关系如下表：(1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少；(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1千克水果就捐款n元利润(n<9)给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．详解1．C 2.A3．解：(1)根据题意，得65k＋b＝55，75k＋b＝45，)解得k＝－1，b＝120.)∴一次函数的表达式为y＝－x＋120.(2)根据题意，得W＝(x－60)(－x＋120)＝－x2＋180x－7200＝－(x－90)2＋900.∵抛物线的开口向下，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而60≤x≤87，∴当x＝87时，W最大＝－(87－90)2＋900＝891.∴当销售单价定为87元/件时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．4．95．20 [解析] 设果园里增种x棵橘子树，那么果园里共有(x＋90)棵橘子树，∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结4个橘子，∴平均每棵树结(520－4x)个橘子．∴y＝(x＋90)(520－4x)＝－4x2＋160x＋46800，∴当x＝－b2a＝－1602×（－4）＝20时，y最大，橘子总个数最多．6．解：(1)设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，选(0，49)，(2，41)，(－2，49)代入后得方程组c＝49，4a－2b＋c＝49，4a＋2b＋c＝41，解得a＝－1，b＝－2，c＝49，∴y与x之间的函数表达式为y＝－x2－2x＋49.(2)最适合这种植物生长的温度是－1 ℃.理由：由(1)可知，当x＝－b2a＝－1时，y取最大值50，即说明最适合这种植物生长的温度是－1 ℃.7．5 [解析] 在Rt△ADF中，AF2＝AD2＋DF2＝42＋(4－CF)2，若AF最小，则CF最大．设BE＝x，CF＝y，∵∠B＝∠AEF＝90°，则∠BAE＋∠AEB＝∠FEC＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABE∽△ECF，∴ABEC＝BECF，即44－x＝xy，化简得y＝－x2＋4x4＝－14(x－2)2＋1，∴当x＝2时，y有最大值为1，此时DF最小，为3，由勾股定理得到AF＝AD2＋DF2＝5.8．解：(1)小华的问题解答：设利润为W元，每个定价为x元，则W＝(x－2)·[500－100(x－3)]＝－100x2＋1000x －1600＝－100(x－5)2＋900.当W＝800时，解得x＝4或x＝6，又因为2×240%＝4.8(元)，所以x＝6不符合题意，舍去，故每个定价为4元时，每天的利润为800元．(2)小明的问题解答：当x＜5时，W随x的增大而增大．所以当x＝4.8时，W最大，为－100(4.8－5)2＋900＝896(元)．所以800元销售利润不是最多，每个定价为4.8元时，才会使每天利润最大．9．解：(1)当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000；当50≤x≤90时，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000.(2)当1≤x＜50时，二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝－b2a＝45，∴当x＝45时，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050；当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，∴当x＝50时，y最大＝－120×50＋12000＝6000.综上所述，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．10．解：(1)依题意，得y＝120－2t.当t＝30时，y＝120－60＝60.答：在第30天的日销售量为60千克．(2)设日销售利润为W元，则W＝(p－20)y.当1≤t≤24时，W＝(14t＋30－20)(120－2t)＝－12t2＋10t＋1200＝－12(t－10)2＋1250.当t＝10时，W最大＝1250.当25≤t≤48时，W＝(－12t＋48－20)(120－2t)＝t2－116t＋3360＝(t－58)2－4.由二次函数的图象及性质知，当t＝25时，W最大＝1085.∵1250>1085，∴在第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元．(3)依题意，得每天扣除捐款后的日销售利润W＝(14t＋30－20－n)(120－2t)＝－12t2＋2(n＋5)t＋1200－120n.其图象对称轴为直线t＝2n＋10，要使W随t的增大而增大．由二次函数的图象及性质知，2n＋10≥24，解得n≥7.又∵n<9，∴7≤n<9.。
九年级数学上册第1章二次函数1.4二次函数的应用1.4.1利用二次函数解决面积最值问题同步练习新版浙教版word
1.4 第1课时利用二次函数解决面积最值问题一、选择题1．关于二次函数y＝x2＋4x－7的最大(小)值，下列叙述正确的是( )A．当x＝2时，函数有最大值B．当x＝2时，函数有最小值C．当x＝－2时，函数有最大值D．当x＝－2时，函数有最小值2．如图K－6－1，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( )图K－6－1A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m23．如图K－6－2所示，C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( )图K－6－2A．当C是AB的中点时，S最小B．当C是AB的中点时，S最大C．当C为AB的三等分点时，S最小D．当C为AB的三等分点时，S最大4．如图K－6－3，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，∠ABE＝45°，BE＝DE，连结BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连结QD.设PD＝x，△PQD的面积为y，则能表示y与x之间函数关系的图象大致是( )图K－6－3图K－6－4二、填空题5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图K－6－5所示，当－5≤x≤0时，函数y的最大值是________，最小值是________．图K－6－56．已知一个直角三角形两直角边的长度之和为30，则这个直角三角形的面积最大为________．7．如图K－6－6，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝12 cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动(不与点C重合)．如果点P，Q分别从A，B同时出发，那么经过________s，四边形APQC的面积最小.图K－6－68．2017·河南如图K－6－7①，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图②是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是________．图K－6－7三、解答题9．2017·绍兴某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2)．(1)如图K－6－8①，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？(2)如图②，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确.图K－6－810．如图K－6－9所示，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，设运动时间为t s(0<t≤4)，△PDQ的面积为S cm2，求S关于t的函数表达式，并求△PDQ面积的最小值．图K－6－911．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图K－6－10所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.(1)求y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？图K－6－1012、2017·潍坊如图K－6－11①，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过平行四边形ABCD的顶点A(0，3)，B(－1，0)，D(2，3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.(1)求抛物线的函数表达式．(2)当t为何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根．(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．图K －6－111．[解析] D ∵y ＝x 2＋4x －7＝(x ＋2)2－11， ∴此抛物线的开口向上，顶点为最低点， ∴x ＝－2时，函数有最小值．2．[解析] C 设BC ＝x m ，则AB ＝(16－x)m ，矩形ABCD 的面积为y m 2， 根据题意，得y ＝(16－x)x ＝－x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64，当x ＝8时，y max ＝64， 则所围成矩形ABCD 的最大面积是64 m 2. 故选C.3．[解析] A 设AC ＝x ，则BC ＝1－x ， 所以S ＝x 2＋(1－x)2＝2x 2－2x ＋1， 所以当x ＝－－22×2＝12时，S 有最小值．4．[解析] C 易得BE ＝DE ＝2 2，则EP ＝EQ ＝2 2－x ，过点Q 作QF ⊥AD 于点F ，则QF ＝22(2 2－x)＝2－22x ，∴y ＝12PD·Q F ＝12x(2－22x)＝－24x 2＋x ＝－24(x －2)2＋22. 5．[答案] 6 －3 6．[答案] 112.5[解析] 设一条直角边长为x ，则另一条直角边长为30－x ， 故S ＝12x(30－x)＝－12(x －15)2＋112.5.∵－12<0，∴当x ＝15时，S 最大＝112.5.故答案为112.5. 7．[答案] 3[解析] 设点P ，Q 同时出发后经过的时间为t s ，四边形APQC 的面积为S cm 2，则 S ＝S △ABC －S △PBQ＝12×12×6－12(6－t)×2t ＝t 2－6t ＋36 ＝(t －3)2＋27.∴当t ＝3时，S 取得最小值．故填3. 8．[答案] 12[解析] 观察图象，可以获得以下信息：①点P 在由B →C 的过程中，BP 的长度y 随时间x 变化的关系为正比例函数，表现在图象上应该是一段线段；②点P 在由C →A 的过程中，BP 的长度y 随时间x 变化的关系为二次函数，表现在图象上应该是抛物线的一部分；③当BP ⊥AC 时，BP 的长度最短，反映在图象上应为抛物线的最低点；④当点P 到达点A 时，此时BP ＝5，∴AB ＝AC ＝5，AC 边上的高BP ＝4，此时，由勾股定理，得AP ＝CP ＝52－42＝3，∴AC ＝6，∴S △ABC ＝12×4×6＝12.9．解：(1)根据题意，得y ＝x·50－x 2＝－12(x －25)2＋6252，∴当x ＝25时，y 最大，即当饲养室长为25 m 时，占地面积y 最大．(2)根据题意，得y ＝x·50－（x －2）2＝－12(x －26)2＋338，∴当x ＝26时，y 最大，即当饲养室长为26 m 时，占地面积y 最大． ∵26－25＝1≠2，∴小敏的说法不正确． 10．解：由题意知AP ＝t cm ，BQ ＝2t cm ， ∴PB ＝(6－t)cm ，QC ＝(8－2t)cm ，∴S ＝48－4t －t(6－t)－3(8－2t)＝t 2－4t ＋24＝(t －2)2＋20. ∵t ＝2在0＜t ≤4范围内， ∴当t ＝2时，S 取最小值，为20， 即△PDQ 面积的最小值为20 cm 2.11．解：(1)∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD 的面积是矩形BCFE 的面积的2倍，∴AE ＝2BE.设BE ＝a ，则AE ＝2a ，∴8a ＋2x ＝80，∴a ＝－14x ＋10，2a ＝－12x ＋20，∴y ＝(－12x ＋20)x ＋(－14x ＋10)x＝－34x 2＋30x.∵a ＝－14x ＋10>0，∴x<40，则y ＝－34x 2＋30x(0<x<40)．(2)∵y ＝－34x 2＋30x ＝－34(x －20)2＋300(0<x<40)，且二次项系数为－34<0，∴当x ＝20时，y 有最大值，最大值为300.12解：(1)将点A(0，3)，B(－1，0)，D(2，3)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，a －b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.∴抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)∵直线l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，∴直线l 必过其对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.由点A ，D 的坐标知，抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴E(3，0)，设直线l 的函数表达式为y ＝kx ＋m ，代入⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32和(3，0)，得⎩⎪⎨⎪⎧12k ＋m ＝32，3k ＋m ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－35，m ＝95.∴直线l 的函数表达式为y ＝－35x ＋95.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－35x ＋95，y ＝－x2＋2x ＋3，可得x F ＝－25.如图①，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交l 于点M ，过点F 作FN ⊥PH 于点N. ∵点P 的纵坐标为y P ＝－t 2＋2t ＋3，点M 的纵坐标为y M ＝－35t ＋95，∴PM ＝y P －y M ＝－t 2＋2t ＋3＋35t －95＝－t 2＋135t ＋65，则S △PFE ＝S △PFM ＋S △PEM ＝12PM·F N ＋12PM ·EH ＝12PM·(F N ＋EH)＝12(－t 2＋135t ＋65)(3＋25)＝－1710·(t －1310)2＋289100×1710，∴当t ＝1310时，△PFE 的面积最大，最大值的立方根为3289100×1710＝1710.(3)如图②，过点P 作PK ⊥x 轴于点K ，过点A 作AQ ⊥PK 于点Q ，则在Rt △PKE 中，PE 2＝PK 2＋KE 2＝(－t 2＋2t ＋3)2＋(3－t)2；在Rt △AQP 中，PA 2＝AQ2＋PQ 2＝t 2＋(－t 2＋2t)2；在Rt △AOE 中，AE 2＝OA 2＋OE 2＝18.由图可知∠PEA ≠90°.①若∠PAE ＝90°，则PE 2＝PA 2＋AE 2，∴(－t 2＋2t ＋3)2＋(3－t)2＝t 2＋(－t 2＋2t)2＋18， 即－t 2＋t ＝0，解得t ＝1或t ＝0(舍去)． ②若∠APE ＝90°，则AE 2＝PE 2＋PA 2，∴18＝(－t 2＋2t ＋3)2＋(3－t)2＋t 2＋(－t 2＋2t)2，即(t －3)(t 2－t －1)＝0，解得t ＝3(舍去)或t ＝1＋52或t ＝1－52＜－25(舍去)． 综上可知，存在满足条件的点P ，t 的值为1或1＋52.。
浙教版数学九年级上册二次函数利润面积最值经典例题与练习
二次函数收益面积最值经典例题与练习知识重点：二次函数的一般式 y ax 2bx c ( ab) 24ac b 20 )化成极点式 y a( x4a ，如2a果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在极点处获得最大值（或最小值）．即当 a0 时，函数有最小值，而且当xb ， y 最小值4ac b 2；2a 4a当 a0时，函数有最大值，而且当x4ac b 2 b， y 最大值．2a4a假如自变量的取值范围是x 1 xx 2 ，假如极点在自变量的取值范围 x 1 x x 2 内，则当 xb4ac b 2， y 最值 4a，假如极点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取2a值范围内的增减性；假如在此范围内y 随 x 的增大而增大，则当 x x 2 时，y 最大ax 22 bx 2 c ，当 xx 1 时， y 最小ax 12 bx 1 c ；假如在此范围内 y 随 x 的增大而减小， 则当 xx 1 时， y 最大ax 12 bx 1 c ，当 x x 2时， y 最小ax 22bx 2 c ．解决最值问题应用题的思路与一般应用题近似，也有差别，主要有两点：⑴在“当某某为什么值时， 什么最大 ( 或最小、 最省 ) ”的设问中， ?“某某” 要设为自变量， “什么”要设为函数；⑵求解方法是依赖配方法或最值公式，而不是解方程 [ 例 1] ：求以下二次函数的最值：（ 1 ）求函数 y x 2 2x 3 的最值． （ 2 ）求函数 yx 2 2x 3 的最值． (0 x3)[ 例 2] ：某商品此刻的售价为每件 60 元，每礼拜可卖出 300 件，市场检查反应：每涨价 1 元，每礼拜少卖出 10 件；每降价 1 元，每礼拜可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件40元，怎样订价才能使收益最大？[ 练习 ] ：1 ．某商铺购进一批单价为20 元的日用品，假如以单价30 元销售，那么半个月内能够售出 400 件．依据销售经验，提升单价会致使销售量的减少，即销售单价每提升 1 元，销售量相应减少20 件．怎样提升售价，才能在半个月内获取最大收益？2 ．某旅行社组团去外处旅行，30 人起组团，每人单价800 元．旅行社对超出30 人的团给予优惠，即旅行团每增添一人，每人的单价就降低10 元．你能帮助剖析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社能够获取最大营业额？x（元）12 3500y（件）22 1[ 例 3] ：某产品每件成本10 元，试销阶段每件产品的销售价500x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系以下表：若日销售量y 是销售价 x 的一次函数．⑴求出日销售量y (件)与销售价 x (元)的函数关系式；⑵要使每天的销售收益最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天销售收益是多少元？练习 :市“健益”商场购进一批20 元 / 千克的绿色食品，假如以30?元 / 千克销售，那么每天可售出 400 千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)?与销售单价 x (元)( x30 ）存在以以下图所示的一次函数关系式．⑴试求出 y 与x的函数关系式；⑵设“健益”商场销售该绿色食品每天获取收益P 元，当销售单价为什么值时，每天可获取最大收益？最大收益是多少？⑶依据市场检查，该绿色食品每天可获收益不超出4480 元， ?现该商场经理要求每天收益不得低于4180 元，请你帮助该商场确立绿色食品销售单价x 的范围(?直接写出答案)．[ 例 4] 某居民小区要在一块一边靠墙(墙长 15m) 的空地上修筑一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m)，花园的面积为y(m 2)．(1)求 y 与 x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（ 2 ）依据（ 1 ）中求得的函数关系式，描绘其图象的变化趋向；并联合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？练习：如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，假如用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆分开的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)求 y 与 x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；(2)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？[ 例 5] ：在矩形 ABCD 中， AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB 边向点 B 以1cm ／s 的速度挪动，同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cm ／s 的速度挪动，假如 P、Q 两点同时出发，分别抵达B、C 两点后就停止挪动．（1）运动第 t 秒时，△PBQ 的面积 y(cm 2)是多少？（2）此时五边形 APQCD 的面积是 S(cm 2)，写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3） t 为什么值时 s 最小，最小值时多少？初中数学试卷。
二次函数应用题 面积问题、最值问题、经济利润问题 知识点+例题+练习 (非常好 分类全面)
教学主题
二次函数应用
教学目标
掌握二次函数应用题
重要知识点1.函数建模
2.利润问题
3.
教学过程
二次函数应用题分类
一、建模型
即要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。
这类问题建模要求高，有一定难度。
例1．如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点处到边MN的距离是4dm，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于8dm？
不能
二、面积型
张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．
（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．
128
21。
九年级数学上册期末复习二次函数商品利润最大问题
九年级数学上册期末复习二次函数商品利润最大问题1、某旅馆有30个房间供旅客住宿。
据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元/天，就会有一个房间空闲。
该旅馆对旅客住宿的房间每间要支出各种费用20元/天（没住宿的不支出）。
当房价定为每天多少时，该旅馆的利润最大？解：设每天的房价为60+5x元，则有x个房间空闲，已住宿了30-x个房间．∴度假村的利润y=（30-x）（60+5x）-20（30-x），其中0≤x≤30．∴y=（30-x）•5•（8+x）=5（240+22x-x²）=-5（x-11）²+1805．因此，当x=11时，y取得最大值1805元，即每天房价定为115元∕间时，度假村的利润最大。
2、最近，某市出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加。
某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元每千克。
经市场调查发现，该产品每天的销售量w （千克）与销售量x（元）有如下的关系：w=-2x+80。
设这种产品每天的销售利润为y（元）。
（1）求y与x之间的函数关系式；解：y=（x-20）w=（x-20）（-2x+80）=-2x²+120x-1600，∴y与x的函数关系式为：y=-2x²+120x-1600；（2）当销售价定为多少元每千克时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？解：y=-2x²+120x-1600=-2（x-30）²+200，∴当x=30时，y有最大值200，∴当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？解：当y=150时，可得方程：-2（x-30）2+200=150，解这个方程，得x1=25，x2=35，（8分）根据题意，x2=35不合题意，应舍去，∴当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．3、与某雪糕厂由于季节性因素，一年之中产品销售有淡季和旺季，当某月产品无利润时就停产。
2021-2022学年浙教版九年级上册数学第一章二次函数—利润问题专项解答题含答案
第一章二次函数-利润问题专项解答题1．某企业为杭州计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y 1（元）与月份x （1≤x ≤9，且x 取整数）之间的函数关系如下表：月份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 价格y 1（元/件）560580600620640660680700720随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y 2（元）与月份x （10≤x ≤12，且x 取整数）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y 1 与x 之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y 2与x 之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p 1（万件）与月份x 满足关系式p 1=0.1x+1.1（1≤x ≤9，且x 取整数），10至12月的销售量p 2（万件）p 2=﹣0.1x+2.9（10≤x ≤12，且x 取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润．2.我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y （万件）与月份x （月）的关系为：y ={x +4(1≤x ≤8,x 为整数)−x +20(9≤x ≤12,x 为整数) ，每件产品的利润z （元）与（1）请你根据表格求出每件产品利润z （元）与月份x （月）的关系式；（2）若月利润w （万元）=当月销售量y （万件）×当月每件产品的利润z （元），求月利润w（万元）与月份x（月）的关系式；（3）当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？3.某商场新进一批商品，每个成本价25元，销售一段时间发现销售量y（个）与销售单价x(2)若该商品的销售单价在45元∼80元之间浮动．①销售单价定为多少元时，销售利润最大？此时销售量为多少？②商店想要在这段时间内获得4550元的销售利润，销售单价应定为多少元？4.某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，商场决定降价销售，经调查，每件衬衫降价1元时，平均每天可多卖出2件．(1)设每件衬衫降价x元，商场服装部每天盈利y元，试求出y与x之间的函数关系式；(2)若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？(3)当每件衬衫降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？最大盈利是多少元？5.某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．这种许愿瓶的进价为6元/个，根据市场调查，一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：(1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；(2)按照上述市场调查的销售规律，当利润达到1200元时，请求出许愿瓶的销售单价x；(3)请写出销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．6.某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．(1)求y关于x的函数表达式．(2)若要书店每天盈利1200元，则需降价多少元？(3)当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？7.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元．则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x 为正整数），每个月的销售利润为y元．(1)写出上涨后每件商品的利润为________元，每月能销售________件商品（用含x的代数式表示）(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？8.今年我区吉安镇柑桔喜获丰收，根据柑桔季节性及以往销售经验，销售时间不超过12y x(1)请你从所学过的一次函数和二次函数中确定哪种函数关系能表达y与x的变化规律（不需说明理由），并写出y关于x的函数关系式．(2)根据销售经验，第1周每千克售价30元时，当周可以销售1200千克水果；以后售价每降低2元，当周销售量可以增加400千克，通过计算估计最多第几周的销售金额就可以达到60800元．(3)设第9周的销售量仍满足(2)中的关系，根据销售经验，从第9周后，每周的销售量均比前一周下降900千克，而售价与时间仍满足(1)中的关系，柑桔通过前9周的销售后，只剩5000千克．现准备将这批柑桔全部批发给某水果商，那么每千克的批发价至少为多少元时，才能获得不低于依销售经验按周销售的金额？（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24，√6≈2.45，√7≈2.65）9.某商场有A、B两种商品，A商品每件售价25元，B商品每件售价30元，B商品每件的成本是20元．根据市场调查“若按上述售价销售，该商场每天可以销售B商品100件，若销售单价毎上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件．(1)请写出B商品每天的销售利润y（元）与销售单价(x)元之间的函数关系？(2)当销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？10.一种进价为每件40克的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，为提高利益，就对该T恤进行涨价销售，经过调查发现，每涨价1元，每周要少卖出10件，请确定该T恤涨价后每周销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？11.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图(1)所示．(1)看图1回答：①当批发价为5元时，批发量m的范围是________②当批发价为4元时，批发量m的范围是________(2)写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m(kg)之间的函数关系式；在图2的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图3所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．12.2021年上半年，某种农产品受炒作的不良影响，价格一路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落.其中，1月份至7月份，该农产品的月平均价格y元/kg与月份x呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格y元/kg与月份x呈二次函数关系.已知1月、7月、9月和12月这4个月的月平均价格分别为8元/kg、26元/kg、14元/kg和11元/kg.（1）分别求出当1≤x≤7和7≤x≤12时，y关于x的函数表达式；（2）在2012年的12个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？（3）若以12个月的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？13、某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元.21·cn·jy·com(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?14．某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)的变化如下表：同时，销售过程中的其他开支(不含造价)总计40万元．(1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y(万个)与x(元/个)的函数解析式；(2)求出该公司销售这种计算器的净得利润z(万元)与销售价格x(元/个)的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？(3)该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x(元/个)的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？15.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨2元，就会少售出20件玩具(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x>40)，请你分别用x的代数式来表示销售量y400件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？参考答案及解析1.解：（1）利用表格得出函数关系是一次函数关系： 设y 1=kx+b ， ∴， 解得：，∴y 1=20x+540，利用图象得出函数关系是一次函数关系： 设y 2=ax+c ， ∴， 解得：，∴y 2=10x+630．（2）去年1至9月时，销售该配件的利润w=p 1（1000﹣50﹣30﹣y 1）， =（0.1x+1.1）（1000﹣50﹣30﹣20x ﹣540）=﹣2x 2+16x+418， =﹣2（ x ﹣4）2+450，（1≤x ≤9，且x 取整数）∵﹣2＜0，1≤x ≤9，∴当x=4时，w 最大=450（万元）； 去年10至12月时，销售该配件的利润w=p 2（1000﹣50﹣30﹣y 2） =（﹣0.1x+2.9）（1000﹣50﹣30﹣10x ﹣630）， =（ x ﹣29）2，（10≤x ≤12，且x 取整数），∵10≤x ≤12时，∴当x=10时，w 最大=361（万元），∵450＞361，∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元． 2.当1≤x ≤9时，设每件产品利润z （元）与月份x （月）的关系式为z =kx +b ， {k +b =192k +b =18 ，得{k =−1b =20， 即当1≤x ≤9时，每件产品利润z （元）与月份x （月）的关系式为z =−x +20， 当10≤x ≤12时，z =10，由上可得，z ={−x +20(1≤x ≤9,x 取整数)10(10≤x ≤12,x 取整数)；当1≤x ≤8时，w =(x +4)(−x +20)=−x 2+16x +80，当x =9时，w =(−9+20)×(−9+20)=121， 当10≤x ≤12时，w =(−x +20)×10=−10x +200，由上可得，w ={−x 2+16x +80(1≤x ≤8,x 取整数)121(x =9)−10x +200(10≤x ≤12,x 取整数)；当1≤x ≤8时，w =−x 2+16x +80=−(x −8)2+144，∴当x =8时，w 取得最大值，此时w =144； 当x =9时，w =121，当10≤x ≤12时，w =−10x +200，则当x =10时，w 取得最大值，此时w =100，由上可得，当x 为8时，月利润w 有最大值，最大值144万元．3.销售单价应定为60元．过程略4.解：(1)设每套降价x 元，商场平均每天赢利y 元，则y =(40−x)(20+2x)=−2x 2+60x +800，(2)当y =1200， 1200=−2(x −15)2+1250， 解得x 1=10，x 2=20，因为为了扩大销售，所以，应降价20元；若商场每天平均需盈利1200元，每件衬衫应降价20元；（3）y =−2x 2+60x +800， =−2(x −15)2+1250，当x =15时，y 有最大值为1250元，当每件降价15元时，商场平均每天盈利最多．5.许愿瓶的销售单价x 为10元或16元；（3）w =(x −6)(−30x +600)=−30x 2+780x −3600即w 与x 之间的函数关系式为w =−30x 2+780x −3600． 由题意得6(−30x +600)≤900，解得x ≥15，w =−30x 2+780x −3600图象对称轴为x =−7802×(−30)=13， ∵a =−30<0，∴抛物线开口向下，当x ≥15时，w 随x 增大而减小， ∴当x =15时，w 最大=1350．即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元 ．6.若每天盈利1200元，为了尽快减少库存，则应降价20元；(3)∵y =−2(x −15)2+1250=1200则当x =15时，y 取得最大值1250；即当将价15元时，该书店可获得最大利润1250元． 7.10+x210−10x 略8.解：(1)由图表数据观察可知y 与x 之间是一次函数关系， 设y =kx +b(k ≠0)， 则{30=k +b 28=2k +b，解得{k =−2b =32．故y 与x 函数关系式为y =−2x +32(0≤x ≤12)；(2)设第x 周的销售金额就可以达到60800元，根据题意得：[1200+400(x −1)][30−2(x −1)]=60800， 整理得x 2−14x +44=0，解得x 1=7−√5，x 2=7+√5（舍去），通过计算估计最多第5周的销售金额就可以达到60800元；(3)把x =9代入y =−2x +32得y =−2×9+32=14，∴第9周的销售价格为14元，9.当销售单价为35元时，B 商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元． 10.解：根据题意得y =(x −40)[300−10(x −60)] =−10x 2+1300x −36000，∵x −60≥0且300−10(x −60)≥0， ∴60≤x ≤90， ∵a =−10<0，而抛物线的对称轴为直线x =65，即当x >65时，y 随x 的增大而减小， 而60≤x ≤90，∴当x =65时，y 的值最大，即销售单价定为65元时，每周的销售利润最大．11.20≤m ≤60m >60(2)由题意得：w ={5m(20≤m ≤60)4m(m >60)，函数图象如图所示．由图可知资金金额满足240<w ≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果；(3)设日销售量为xkg(x >60)，日零售价为p 元， 则由图3日零售价p 满足：x =kp +b ，将(7, 40)，(6, 80)， 代入解析式得： {7k +b =406k +b =80， 解得：{k =−40b =320，∴x =320−40p ，于是p =320−x 40销售利润y =x( 320−x 40−4)=−140(x −80)2+160当x =80时，y 最大值=160，此时p =6即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/千克， 当日可获得最大利润160元． 12.解：（1）当1≤x ≤7时，设y =kx+m .将（1，8），（7，26）分别代入y=kx+m ，得k+m =8,7k +m =26. 解得m =5,k =3. ∴函数表达式为y =3x +5.当7≤x ≤12时，设y =ax 2+bx+c.将（7，26），（9，14），（12，11）分别代入y =ax 2+bx +c ，得：49a +7b+c=26,81a +9b +c =14,144a +12b +c =11. 解得a =1,b =-22,c =131. ∴函数表达式为y =x 2-22x +131.（2）当1≤x ≤7时，函数y =3x +5，y 随x 的增大而增大，∴当x=1时，y 最小值=3×1+5=8.当7≤x ≤12时，y =x 2-22x +131=（x-11）2+10≥10.∴当x =1时，y 最小值=8.∴该农产品月平均价格最低的是1月，最低为8元/kg.（3）∵1至7月份的月平均价格呈一次函数，∴当x=4时的月平均价格17元/kg 是前7个月的平均价格.将x =8，x =10和x =11分别代入y =x 2-22x +131，得y=19，y=11和y =10.∴后5个月的月平均价格分别为19元/kg ，14元/kg ，11元/kg ，10元/kg ，11元/kg.∴年平均价格为177191411121011⨯+++++=463≈15.3（元/kg ）.当x =3时，y=14<15.3，x =4时，y=17＞15.3,∴4，5，6，7，8这5个月的月平均价格高于年平均价格. 13、（1）根据题意，y=（60-50+x ）(200-10x),整理得，y=10x 2+100x+2000(0<x ≤12)；(2)由(1)得y=-10x 2+100x+2000=－10（x-5）2＋2250，当x=5时，最大月利润y 为2250元。
2019九年级数学上册 第1章 1.4 第1课时 利用二次函数解决面积最值问题同步练习 (新版)浙教版
1．4 二次函数的应用第1课时 利用二次函数解决面积最值问题知识点一 求二次函数的最大值或最小值二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当x ＝________时，函数有最值，最值为________． 1．[2016·嘉兴一模] 二次函数y ＝x 2－3x ＋74的最小值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．22．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(0≤x≤3)的图象如图1－4－1所示．关于该函数在所给自变量取值范围内的最值，下列说法正确的是( )图1－4－1A ．有最小值0，有最大值3B ．有最小值－1，有最大值0C ．有最小值－1，有最大值3D ．有最小值－1，无最大值知识点二 运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值的一般步骤：一是选定变量，建立函数关系求函数表达式；二是确定自变量的取值范围；三是求最值．3．用长度为12 cm 的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积是________ cm 2.类型一运用二次函数求实际问题中的最值例1 [教材例1针对练] 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图1－4－2所示)，设这个苗圃垂直于墙的一边的长为x米．(1)若苗圃的面积为72平方米，求x的值．(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．(3)当这个苗圃的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．图1－4－2【归纳总结】利用二次函数求最值(1)利用二次函数解决实际问题的步骤：①理解问题；②分析问题中的变量与常量以及它们之间的关系；③用二次函数表示出变量之间的关系；④确定最大值或最小值；⑤检验解的合理性．(2)当－b2a不在自变量的取值范围内时，要结合函数的增减性及自变量的取值范围来确定最值．类型二运用二次函数求几何问题中的最值例2 [教材补充例题] 如图1－4－3，在△ABC中，BC＝AC＝4，∠ACB＝120°，E是AC 上一个动点(点E不与点A，C重合)，ED∥BC，求△CED面积的最大值．图1－4－3二次函数y＝(x－2)2－1有最值吗？当x<0时，函数还有最值吗？当－3≤x≤3时，函数是否存在最值？详解详析【学知识】知识点一 －b 2a 4ac －b24a1．[答案] C2．[解析] C 由图可知，当0≤x≤3时，该二次函数在x ＝1时有最小值－1，在x ＝3时有最大值3.3．[答案] 9[解析] 设矩形的一边长为x cm(0＜x ＜6)，则与其相邻的一边长为(6－x)cm ， 则面积S ＝x(6－x)＝－x 2＋6x ＝－(x －3)2＋9，所以当x ＝3时，S 有最大值，最大值为9 cm 2.【筑方法】例1 解：(1)根据题意，得(30－2x)x ＝72，解得x 1＝3，x 2＝12.∵30－2x≤18，∴x ≥6，∴x ＝3不合题意，舍去，故x ＝12. (2)设苗圃的面积为y 平方米， 则y ＝x(30－2x)＝－2x 2＋30x.∵a ＝－2＜0，∴苗圃的面积y 有最大值．∵y ＝－2x 2＋30x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －1522＋2252，当x ＝152时，30－2x ＝15＞8，∴当x ＝152时，y 最大＝112.5.∵6≤x ≤11，∴当x ＝11时，y 最小＝88.故这个苗圃的面积有最大值和最小值，最大值为112.5平方米，最小值为88平方米． (3)由题意，得－2x 2＋30x≥100， 解得5≤x ≤10.又∵30－2x≤18，∴x ≥6.故6≤x≤10.例2 [解析] 根据已知条件可证△ADE 为等腰三角形，设AE ＝DE ＝x ，则CE ＝4－x ，过点D 作DF⊥AC 于点F ，由于可求得∠DEC＝60°，故DF ＝32x ，从而可得S △CED ＝34x(4－x)，进而求△CED 面积的最大值．解：过点D 作DF⊥AC 于点F.∵BC ＝AC ＝4，∠ACB ＝120°，ED ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B＝∠A＝30°，∠DEC ＝180°－∠ACB＝60°， ∴AE ＝DE ，∠EDF ＝30°. 设AE ＝DE ＝x ，则EF ＝12x ，DF ＝x 2－（12x ）2＝32x ，∴S △CED ＝12×32x(4－x)＝－34x 2＋3x ＝－34(x －2)2＋3(0<x<4)．∵x ＝2在0<x<4范围内， ∴△CED 面积的最大值为 3. 【勤反思】[反思] 当x ＝2时，y 的最小值为－1；当x<0时，函数既没有最大值，也没有最小值；若－3≤x≤3，当x ＝2时，y 的最小值为－1，当x ＝－3时，y 的最大值为24.。
九年级数学上册第1章二次函数1.4二次函数的应用1.4.2利用二次函数解决距离、利润最值问题练习浙
2018年秋九年级数学上册第1章二次函数1.4 二次函数的应用1.4.2 利用二次函数解决距离、利润最值问题同步练习（新版）浙教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第1章二次函数1.4 二次函数的应用1.4.2 利用二次函数解决距离、利润最值问题同步练习（新版）浙教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年秋九年级数学上册第1章二次函数1.4 二次函数的应用1.4.2 利用二次函数解决距离、利润最值问题同步练习（新版）浙教版的全部内容。
1。
4 第2课时利用二次函数解决距离、利润最值问题一、选择题1．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米,且时间与高度的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹所在高度最大的是（)A．第8秒 B．第10秒C．第12秒 D．第15秒2．某民俗旅游村为解决游客的住宿需求，开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则租出床位相应地减少10张．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且所获租金高，那么每张床位每天最合适的收费是( ）A．140元 B．150元 C．160元 D．180元二、填空题3．2016·台州竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1。
1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．4．2017·沈阳某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售,那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是________元时，才能在半月内获得最大利润.5．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如下表：科学家经过猜想，推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃。
二次函数应用题 面积、经济利润、抛物线、最值问题 例题+练习(分类全面)
教学内容二次函数的应用教学目标掌握二次函数的应用重点最值问题难点利润问题教学准备纸、笔教学过程类型一：最大面积问题例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y(㎡)与路宽x(m)之间的关系？变式练习1：如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y(㎡)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数关系式？当x为多长时，花园面积最大？变式训练3：某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历从亏损到盈利的过程，如下图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润之和y与x之间的关系）．（1）根据图上信息，求累积利润y（万元）与销售时间x（月）的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元？（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？类型三:实际抛物线问题例三：某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示。
（1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；（2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由。
4米，水位上升3米变式练习3：如图是抛物线型的拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽64米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上就达到警戒水位线CD，这时水面宽3升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？变式训练4：如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；课后练习：一，利润问题：1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？3. 有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图该抛物线的解析式为。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数利润面积最值经典例题与练习
知识要点：
二次函数的一般式c bx ax y ++=2
(0≠a )化成顶点式a b ac a b x a y 44)2(2
2-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．
即当0>a 时，函数有最小值，并且当a
b x 2-=，a b a
c y 442-=最小值； 当0<a 时，函数有最大值，并且当a
b x 2-=，a b a
c y 442-=最大值． 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当a
b x 2-=，a b a
c y 442-=最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，
c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；
如果在此范围内y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=12
1最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小．
解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：
⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程
[例1]：求下列二次函数的最值：
（1）求函数322
-+=x x y 的最值． （2）求函数322-+=x x y 的最值．)30(≤≤x
[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？
2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？
[例3]：某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价
5 0 0
x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：
若日销售量y是销售价x的一次函数．
⑴求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；
⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
练习:市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y(千克)•与销
售单价x(元)
x）存在如下图所示的一次函数关系式．
(30
⑴试求出y与x的函数关系式；
⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围(•直接写出答案)．
[例4]某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．
(1)求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；
（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？
练习：如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔开的养鸡场，设它的长度为x米．
(1)求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；
(2)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？
[例5]：在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．
（1）运动第t秒时，△PBQ的面积y(cm²)是多少？
（2）此时五边形APQCD的面积是S(cm²)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
（3）t为何值时s最小，最小值时多少？
初中数学试卷。