《现代控制理论基础》考试题A卷及答案
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即
112442k
g
k f M L M ML θθθ⎛⎫=-+++
⎪⎝⎭
21244k k g M M L θθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
(2)定义状态变量
11x θ=,21x θ=,32x θ=,42x θ=
一．（本题满分10分）
如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L ，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为M ）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，1θ与2θ分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当12θθ=时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力()f t 作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sin θθ=，cos 1θ=。 （1）写出系统的运动微分方程； （2）写出系统的状态方程。
【解】
（1）对左边的质量块，有
()2111211cos sin sin cos sin 222
L L L
ML f k MgL θθθθθθ=⋅-⋅-⋅-
对右边的质量块，有
()221222sin sin cos sin 22
L L
ML k MgL θθθθθ=⋅-⋅-
在位移足够小的条件下，近似写成：
()112124f kL
ML Mg θθθθ=---
()21224kL
ML Mg θθθθ=--
则
122133441344244x x k g k f
x x x M L M ML x x k k
g x x x M M L =⎧⎪
⎛⎫⎪=-+++ ⎪⎪⎝⎭
⎨
=⎪⎪⎛⎫=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩
或写成
11
22334401
000014420001000044x x k g k x x M L M
f ML x x x x k k
g M M L ⎡
⎤
⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎢⎥
⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥ ⎪
⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎣⎦
⎣⎦⎢⎥-+⎣⎦
⎢
⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
二．(本题满分10分)
设一个线性定常系统的状态方程为=
x Ax ，其中22R ⨯∈A 。
若1(0)1⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦x 时，状态响应为22()t t e t e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
x ；2(0)1⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x 时，状态响应为
2()t t e t e --⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
x 。试求当1(0)3⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x 时的状态响应()t x 。
【解答】系统的状态转移矩阵为()t t e =A Φ，根据题意有
221()1t t t e t e e --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
A x
22()1t t t e t e e --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
A x
合并得
2212211t
t t t t e e e e
e ----⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥----⎣⎦
⎣⎦A 求得状态转移矩阵为
1
22221212221111t t t t t
t
t t t e e e e e e
e e e -----------⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦A
22222222t t t t t t t t e e e e e e e e --------⎡⎤
-+-+=⎢⎥--⎣⎦
当1(0)3⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
x 时的状态响应为
222211222()332t t
t t t
t t
t t e e e e t e e e
e e --------⎡⎤-+-+⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
⎣⎦A x 227874t t t
t e e e e ----⎡⎤
-+=⎢⎥
-⎣⎦
三．（本题满分10分)
已知某系统的方块图如下，
回答下列问题:
(1)按照上图指定的状态变量建立状态空间表达式;
(２)确定使系统状态完全能控且完全能观时，参数k 的取值范围。 【解答】(１)系统的状态空间表达式为
[]1122122110110x x k u x x x y x ⎧-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎪⎣⎦⎣⎦⎨
⎡⎤
⎪=⎢⎥⎪
⎣⎦⎩
（２)使系统状态完全能控且完全能观时，参数3k ≠且0k ≠。
四．(本题满分10分）
离散系统的状态方程为
1122(1)()410()(1)23()1x k x k u k x k x k +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
(1)是否存在一个有限控制序列{}(0)(1)()u u u N ，使得系统由已知的初始状态
1(0)x ,2(0)x 转移到1(1)0x N +=，2(1)0x N +=?试给出判断依据和判断过程。
(2)若存在，求N 的最小值及控制序列{}(0)(1)
()u u u N 。