圆周运动向心力的来源
圆周运动与向心力
圆周运动与向心力
圆周运动是指质点或物体沿着圆形路径运动的过程，是一种周期性
的运动形式。
在圆周运动中，物体受到向圆心的向心力作用，使其沿
着圆周运动。
圆周运动的特点是速度和加速度的方向都与运动路径相切。
因为运
动路径曲率半径的矢量方向指向圆心，所以向心力的方向恰好指向圆心，使得物体的加速度方向也指向圆心。
在圆周运动中，向心力是使
物体向圆心运动的力，其大小与质量、速度和运动曲率半径有关。
向心力的公式可以表示为F = mv² / r ，其中，F是向心力，m是质量，v是速度，r是运动曲率半径。
这个公式显示了向心力和速度的平
方成正比，曲率半径的平方成反比。
因此，当速度增加或曲率半径变
小时，向心力也会增加。
向心力对圆周运动的影响非常重要，因为它控制着物体的运动轨迹。
在圆周运动中，向心力必须与物体质量和速度相匹配，以保持物体的
运动在圆形路径上。
如果向心力不足，物体将会离开圆形路径并产生
非周期性运动。
如果向心力超过物体所需，物体将会产生过度周期性
运动。
除了圆周运动，向心力还存在于一些其他类型的运动中。
例如，当
车辆行驶时，车轮产生的离心力会使车辆沿着弯曲道路的中心线运动。
类似地，当航空器作曲线运动时，飞行员必须调整飞机的速度和曲率
半径，以便使向心力与重力平衡，以保持飞机的飞行轨迹。
总之，圆周运动与向心力是自然和人造世界中广泛存在的概念。
它们的研究可以深入了解物体的运动规律和掌握平面运动的基础知识。
向心力知识点总结
向心力知识点总结关键信息项1、向心力的定义：物体做圆周运动时，沿半径指向圆心方向的合力。
2、向心力的方向：始终指向圆心，与线速度方向垂直。
3、向心力的大小：＄F ＝ m\frac{v^2}｛r} ＝ m\omega^2 r$，其中$m$为物体质量，＄v$为线速度，＄r$为圆周运动半径，＄＼omega$为角速度。
4、向心力的来源：可以是一个力，也可以是几个力的合力，还可以是某个力的分力。
11 向心力的定义及特点向心力是使物体做圆周运动的合力，它的方向时刻改变，始终指向圆心。
其作用是不断改变物体的运动方向，而不改变物体速度的大小。
在匀速圆周运动中，向心力的大小保持不变；在非匀速圆周运动中，向心力的大小随物体运动速度的变化而变化。
111 向心力与向心加速度的关系向心加速度是由于向心力的作用而产生的。
根据牛顿第二定律$F ＝ma$，当合力（即向心力）作用在物体上时，会产生向心加速度$a ＝＼frac{v^2}｛r} ＝＼omega^2 r$。
向心加速度的方向与向心力的方向相同，始终指向圆心。
112 常见的向心力实例例如，在细绳拴着的小球在光滑水平面上做圆周运动时，细绳的拉力提供向心力；汽车在弯道上行驶时，摩擦力提供部分向心力；地球绕太阳公转时，太阳对地球的引力提供向心力。
12 向心力的大小计算向心力的大小可以通过公式$F ＝ m\frac{v^2}｛r} ＝ m\omega^2r$来计算。
其中，线速度$v$、角速度$＼omega$和圆周运动半径$r$是影响向心力大小的关键因素。
121 线速度与向心力的关系当圆周运动半径一定时，线速度越大，向心力越大；线速度越小，向心力越小。
122 角速度与向心力的关系当圆周运动半径一定时，角速度越大，向心力越大；角速度越小，向心力越小。
123 圆周运动半径与向心力的关系当线速度或角速度一定时，圆周运动半径越大，向心力越大；圆周运动半径越小，向心力越小。
13 向心力的来源分析在实际的圆周运动中，向心力的来源多种多样。
05.05圆周运动—向心力和向心加速度(来源分析)
05.06圆周运动—向心力和向心加速度（来源分析）Lex Li一、导航01、向心力的作用效果（1）只改变线速度的方向．由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变速度的大小．（2）向心力不是一种特殊性质的力，在对物体进行受力分析时，不能说物体还受到向心力．02、向心力的来源分析二、再接再厉01、如图所示，细线的一端有一小球，另一端有光滑的固定轴O，现给小球一个初速度V0，使球和细线一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，则：（1）求小球在A点处的向心力及细线的拉力；（2）若物体在B点处的速度变为V，求此时的向心力及细线的拉力；（3）求小球过最高点D的最小速度。
02、如图所示，细线的一端有一小球质量m=1 kg，另一端有光滑的固定轴O，现给小球一个初速度V0，使球和细线一起绕O轴在在光滑水平面上做匀速圆周运动，不计空气阻力，则：（1）若细线长L=1 m，V0=5 m/s，求细线的拉力；（2）若细线所能承受的最大力为100 N，求小球的最大速度。
03、如图所示，质量m=2 kg的物块在一半径R=0.1 m的圆柱形桶壁（桶壁粗糙）上，圆桶绕中心轴转动角速度ω=20 rad/s，则：（1）求物块所受的摩擦力；（2）求物块受到的向心力；（3）若物块与桶壁间的滑动摩擦因素μ=0.5，求物块不下滑的最小角速度。
04、如图所示，“飞椅”的游乐项目，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘．转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动，当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求：（1）飞椅的转动半径R及向心力F；（2）钢绳的弹力T；（3）转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．05、如图所示，公路在通过小型水库泄洪闸的下游时常常要修建凹型桥（图甲），也叫“过水路面”．现有一“过水路面”的圆弧半径为50 m，一辆质量为800 kg的小汽车驶过“过水路面”．当小汽车通过“过水路面”的最低点时速度为5 m/s.g取10 m/s2，则：（1）问此时汽车的压力为？对路面的压力为多大？（2）若修建凸型桥（图甲）圆弧半径仍为50 m，一辆质量为800 kg的小汽车驶过最高点时速度为10m/s，此时汽车的向心力为多大，对路面的压力为又为多大？06、如图所示，质量为m的小物体A在水平转台上随转台以频率f作匀速圆周运动，物体到转轴的距离为d，物体与转台间的动摩擦因数为μ，求：（1）物体所需要的向心力；（2）物体所受到的转台对它的支持力和摩擦力．（3）为使物体保持距离d随转台一起转动，转台转动的角速度应满足什么条件？07、长L＝0.5 m的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，桶中有质量m＝0.5 kg的水(g取10 m/s2)，求：（1）在最高点时，水不流出的最小速率是多少？（2）在最高点时，若速率v＝3 m/s，水对桶底的压力为多大？08、长度为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球．求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(提示：杆对球可提供支持力，也可提供拉力)：（1）杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s；（2）杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s.09、原长为L的轻弹簧一端固定一小铁块，另一端连接在竖直轴OO′上，小铁块放在水平圆盘上，若圆盘静止，把弹簧拉长后将小铁块放在圆盘上，使小铁块能保持静止的弹簧的最大长度为5L/4，现将弹簧长度拉长到6L/5后，把小铁块放在圆盘上，在这种情况下，圆盘绕中心轴OO′以一定角速度匀速转动，如图教2－2－2所示．已知小铁块的质量为m，为使小铁块不在圆盘上滑动，圆盘转动的角速度ω最大不得超过多少？05.06圆周运动—向心力和向心加速度（来源分析）Lex Li04、解：依题意得：（2）设转盘角速度为ω，夹角为θ 座椅到中心的距离：R ＝r ＋L sin θ对座椅受力分析有：F ＝mg tan θ＝mRω2 联立两式得ω＝g tan θr ＋L sin θ.05、解：依题意得：汽车在“过水路面”的最低点时受力如图所示，由牛顿第二定律得：N －mg ＝mv 2r.解得：N ＝mg ＋m v 2r ＝(800×10＋800×2550)N ＝8 400 N ，根据牛顿第三定律，汽车对路面的压力N ′＝F N ＝8 400 N.06、解：依题意得：（1）物体随转台做圆周运动其向心加速度a ＝ω2r ＝(2πf )2d ，由牛顿第二定律得 F 向＝m (2πf )2d ＝2m π2f 2d（2）物体在竖直方向上处于平衡状态，所以物体受到平台的支持力为G ，物体在水平面内只可能受到摩擦力，所以摩擦力提供物体做圆周运动的向心力，F f ＝F 向＝2m π2f 2d .（3）物体受到的滑动摩擦力近似等于最大静摩擦力，当物体所受到的摩擦力不足以改变物体的速度的方向时，物体将相对平台发生滑动，所以μmg ≥m ω2d ，即ω≤μg /d . 07、解：依题意得：（1）若水恰不流出，则有：mg ＝m v 20L所求最小速率：v 0＝ gL ＝ 10×0.5 m/s ＝ 5 m/s ＝2.24 m/s.（2）设桶对水的压力为N ，则有：mg ＋N ＝m v 2LN ＝m v 2L －mg ＝0.5×90.5N －0.5×10 N＝4 N由牛顿第三定律得知，水对桶底的压力：N ′＝N ＝4 N.08、解：依题意得：（1）小球在最高点的受力如图所示： 杆的转速为2.0 r/s 时，ω＝2πn ＝4π rad/s 由牛顿第二定律得：F ＋mg ＝mLω2故小球所受杆的作用力：F ＝mLω2－mg ＝2×(0.5×42×π2－10)N ≈138 N 即杆对小球提供了138 N 的拉力由牛顿第三定律知小球对杆的拉力大小为138 N，方向竖直向上．（2）杆的转速为0.5 r/s时，ω′＝2π·n＝π rad/s同理可得小球所受杆的作用力：F＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10)N≈－10 N.力F为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下．【审题指导】解答该题应把握以下两点：（1）最高点时，杆对球的弹力和球的重力的合力充当向心力．（2）杆对球可能提供支持力，也可能提供拉力．09、解：依题意得：以小铁块为研究对象，圆盘静止时：设铁块受到的最大静摩擦力为f max，由平衡条件得f max＝kL/4.圆盘转动的角速度ω最大时，铁块受到的摩擦力f max与弹簧的拉力kx的合力提供向心力，由牛顿第二定律得kx＋f max＝m(6L/5)ω2max.又因为x＝L/5.解以上三式得角速度的最大值ωmax＝3k/（8m）.。
为什么物体在圆周运动中会有向心力和离心力之分
为什么物体在圆周运动中会有向心力和离心力之分物体在圆周运动中会有向心力和离心力之分，是由于运动物体受到的加速度的作用。
本文将从力的角度解释为什么物体在圆周运动中会产生向心力和离心力，并探讨这两种力的特点和作用。
一、向心力的产生在物体进行圆周运动时，速度的方向不断变化，即物体在径向方向上有加速度。
这个加速度导致物体受到一个指向圆心的力，称为向心力。
向心力的大小与物体的质量和轨道半径有关，可以通过下面的公式来计算：向心力 = 质量 ×向心加速度向心力的方向始终指向圆心，使得物体维持在运动轨道上，并保持圆周运动。
二、离心力的产生与向心力相对应的是离心力。
离心力是指物体在圆周运动时，由于惯性而产生，作用于物体沿运动轨道的外侧。
离心力的大小与物体的质量、速度和轨道半径有关。
离心力的计算也可以用公式表达：离心力 = 质量 ×离心加速度离心力的方向与速度方向相反，指向运动轨道的外侧。
三、向心力和离心力的特点1. 向心力和离心力大小相等，但方向相反。
它们一起共同作用于物体，使其能够保持在圆周运动轨道上。
2. 向心力和离心力都是惯性力，仅在惯性参考系中存在，而在实际参考系中并无体现。
物体没有受到其它力的作用时，它们互相平衡，物体将保持在圆周运动轨道上匀速运动。
3. 向心力和离心力不仅作用于物体本身，也与运动物体所处的参考系密切相关。
在运动物体相对静止的参考系中，向心力和离心力被称为惯性力；而在运动物体自身惯性参考系中，即形成惯性力的加速度参考系中，它们不再被视为力的形式。
四、向心力和离心力的作用1. 向心力的作用使物体维持在圆周运动轨道上，阻止了物体离开轨道的趋势。
2. 离心力的作用使物体沿运动轨道向外侧运动，趋向于脱离原始轨道。
总结：物体在圆周运动中产生向心力和离心力，是为了保持物体在圆周运动轨道上运动。
向心力和离心力大小相等，方向相反。
向心力使物体保持在圆周轨道上，而离心力则使物体趋向于离开原始轨道。
专题2.3 水平面内的圆周运动(解析版)
2020年高考物理备考微专题精准突破专题2.3 水平面内的圆周运动【专题诠释】1．向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．2．向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．(2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．3．几种典型运动模型飞机水平转【高考领航】【2019·浙江选考】一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是（）A ．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力B ．汽车转弯的速度为20 m/s 时所需的向心力为1.4×104 NC ．汽车转弯的速度为20 m/s 时汽车会发生侧滑D ．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s 2 【答案】D【解析】汽车转弯时受到重力，地面的支持力，以及地面给的摩擦力，其中摩擦力充当向心力，A 错误；当最大静摩擦力充当向心力时，速度为临界速度，大于这个速度则发生侧滑，根据牛顿第二定律可得2vf m r=，解得m/s v ====，所以汽车转弯的速度为20 m/s 时，所需的向心力小于 1.4×104 N ，汽车不会发生侧滑，BC 错误；汽车能安全转弯的向心加速度225607m/s 80v a r ===，即汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s 2，D 正确。
【2018·江苏卷】火车以60 m/s 的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s 内匀速转过了 约10°。
在此10 s 时间内，火车（ ）A ．运动路程为600 mB ．加速度为零C ．角速度约为1 rad/sD ．转弯半径约为3.4 km 【答案】AD【解析】圆周运动的弧长s =vt =60×10 m=600 m ，选项A 正确；火车转弯是圆周运动，圆周运动是变速运动，所以合力不为零，加速度不为零，故选项B 错误；由题意得圆周运动的角速度103.1418010t θω∆==⨯∆⨯ rad/s=3.14180 rad/s ，又v r ω=，所以601803.14v r ω==⨯ m=3439m ，故选项C 错误、D 正确。
专题3.2 向心力的来源分析与计算(解析版)
第三部分专项提能优化训练专题3.2 向心力的来源分析与计算目录一、从动力学角度分析向心力来源 (1)类型1单一性质的力提供向心 (3)类型2多种性质的力的合力提供向心力 (5)二、从向心力来源角度分析圆周运动的临界问题 (7)类型1水平面上的圆周运动 (8)类型2竖直平面内的圆周运动 (11)类型3复合场中的圆周运动 (13)三．专题强化训练 (15)一、从动力学角度分析向心力来源做圆周运动的物体必须有外力提供其向心力，向心力既可以由某一个力来提供，也可以是由几个力的合力或某一个力的分力来提供。
圆周运动及其相关问题，往往都需要寻找向心力来源，然后根据“供”“需”关系列出合外力提供向心力的动力学关系式求解相关问题。
【例1】如图所示，平面直角坐标系xOy的x轴上固定一带负电的点电荷A，一带正电的点电荷B绕A在椭圆轨道上沿逆时针方向运动，椭圆轨道的中心在O点，P1、P2、P3、P4为椭圆轨道与坐标轴的交点。
为使B绕A做圆周运动，某时刻起在此空间加一垂直于xOy平面的匀强磁场，不计B受到的重力。
下列说法中可能正确的是()A．当B运动到P1点时，加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场B．当B运动到P2点时，加一垂直于xOy平面向外的匀强磁场C．当B运动到P3点时，加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场D．当B运动到P4点时，加一垂直于xOy平面向外的匀强磁场【答案】C【解析】过P1点以A点为圆心的圆如图所示当点电荷B运动到P1点时，加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场，根据左手定则可知点电荷B受到的洛伦兹力方向指向A，点电荷B一定相对于原来的轨道做向心运动，不可能在轨道1上做匀速圆周运动，故A错误；当B运动到P2点或P4点时，加一垂直于xOy平面向外的匀强磁场，根据左手定则可知粒子受到的洛伦兹力方向向外，洛伦兹力和电场力的合力不指向A点，不可能绕A做匀速圆周运动，故B、D错误；当B运动到P3点时，加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场，根据左手定则可知洛伦兹力方向指向A，此时粒子相对于原来的椭圆做向心运动，可能绕图中轨道2做匀速圆周运动，其向心力为洛伦兹力和电场力的合力，故C正确。
圆周运动中的离心力与向心力
圆周运动中的离心力与向心力圆周运动是物体在一个固定半径的圆周轨道上运动。
在圆周运动中，有两个非常重要的力：离心力和向心力。
它们对于物体在圆周运动中的行为有着决定性的影响。
本文将详细论述圆周运动中离心力和向心力的作用原理及其在现实生活中的应用。
一、离心力的作用原理离心力是指物体在进行圆周运动时，由于离开圆心而受到的一种惯性力。
离心力与物体质量的大小及运动速度的平方成正比，与物体到圆心的距离成反比。
离心力的计算公式为：F = m * v^2 / r其中，F表示离心力，m表示物体的质量，v表示物体的线速度，r表示物体到圆心的距离。
离心力的作用是使物体远离圆心，并且与物体运动方向相反。
当物体进行圆周运动时，离心力的方向始终指向圆心。
二、向心力的作用原理向心力是指物体在圆周运动中，由于受到圆心作用力而产生的一种力。
向心力与物体质量的大小、运动速度的平方以及圆周半径成正比。
向心力的计算公式为：F = m * v^2 / r其中，F表示向心力，m表示物体的质量，v表示物体的线速度，r表示物体到圆心的距离。
向心力的作用是使物体朝向圆心，并且与物体运动方向相同。
当物体进行圆周运动时，向心力的方向始终指向圆心。
三、离心力与向心力的对比离心力和向心力是一对互补力，彼此大小相等，但方向相反。
离心力试图使物体远离圆心，而向心力试图使物体朝向圆心。
它们共同作用于物体，使其保持在圆周轨道上的运动状态。
在圆周运动中，离心力和向心力的大小相等，使得物体能够维持在固定半径的轨道上运动，并保持稳定。
四、离心力与向心力的应用离心力和向心力在现实生活中有着广泛的应用。
在交通工具中，离心力和向心力的相互作用使得汽车在转弯时能够保持平衡，并保持行驶方向稳定。
在高速转弯时，离心力会使车辆产生向外的推力，而向心力则使车辆保持在弯道上。
在旋转机械设备中，例如离心机和离心泵等，离心力被充分利用。
离心机通过离心力将混合物中的固体和液体分离，提高工业生产效率。
高中物理--向心力--总结
F合 0或F合 mr 2
F合
v2 m
r
mw 2r
向心力的来源：可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质 的力，也可以是几个力的合力，还可以是某个力的分力。
物体做匀速圆周运动时，由合力提供向心力。
非匀速圆周运动：
F向 F合
F F F 向是 合的指向圆心方向的分力 n
练习 例1：关于向心力说法中正确的是（B ）
A、物体由于做圆周运动而产生的力叫向心力；
第七节： 向心力
一、向心力
1、定义：
做匀速圆周运动的物体受到的合外力指向圆心的，这个力叫 做向心力。
2、方向： 总指向圆心，与速度垂直，方向不断变化。
二、向心力的大小
Fn man
v2 m
r
mr 2
只改变速度的方向，不改变速度的大小。
验证向心力公式:
（1）设计实验：控制变量法
保持r、ω一定 保持r、m 一定 保持m、ω一定
A B
fB 4fA
rB 2rA
N
fA
AB mg
匀 速圆 周运动 实例分析
圆周运动中的临界问题
本节课的学习目标
1、知道向心力是物体沿半径方向所受的合外力提供的。 2、知道向心力、向心加速度的公式也适用于变速圆周运动。 3、会在具体问题中分析向心力的来源，并进行有关计算。
一、汽车过桥问题
1.求汽车以速度v 过半径为r 的拱桥时对拱桥的压力？
F向
mgtan
mv2 R
v临 Rg tan 火车转弯规定临界速度
1.v=V临时,车轮对内、外都无侧压力。 2.V>V临时,车轮对外轨有侧压力。 3.V<V临时,车轮对内轨有侧压力。
圆周运动中的向心力分析
圆周运动中的向心力分析在自然界中，我们常常可以观察到物体在圆周运动中的现象，比如地球绕太阳运动、月球绕地球运动等。
这些现象都涉及到一个重要的力——向心力。
一、向心力的定义与性质向心力是使物体沿着圆周运动轨迹改变速度方向的力。
在任何一个物体所受到的向心力都指向圆心。
向心力的大小可以用公式F = m * a_c来表示，其中m是物体的质量，a_c是向心加速度。
根据牛顿第二定律F = m * a，我们可以得到向心力与向心加速度的关系式F = m * v^2 / r，其中v是物体的运动速度，r是运动轨迹的半径。
二、向心力的来源在进行圆周运动时，物体所受的向心力来源于其他力对该物体的约束作用，例如：1. 弹力：当我们以线的一端牵引一个物体做圆周运动时，物体所受的向心力来自于线的另一端的弹力。
2. 重力：当天体绕另一个天体作圆周运动时，如地球绕太阳运动，物体所受的向心力来自于两个天体之间的重力。
3. 磁场力：当带电粒子在磁场中做圆周运动时，物体所受的向心力来自于磁场力的作用。
三、向心力对圆周运动的影响向心力对圆周运动有以下几个重要影响：1. 改变速度方向：向心力的作用使物体在圆周运动中改变运动速度的方向，但不影响速度的大小。
这导致物体始终朝向圆心运动，保持了圆周运动的特性。
2. 维持圆周运动：向心力与物体的质量和运动速度成正比，与运动轨迹的半径成反比。
它提供了足够的力量来维持物体在圆周运动中所需的加速度，从而保持运动状态。
3. 影响运动周期：向心力的大小会改变物体在圆周运动中所需的时间。
根据圆周运动的周期公式T = 2πr / v，可以推导出向心力与圆周运动的周期成反比的关系。
四、向心力的应用举例向心力广泛应用于各个领域，下面举几个例子来说明其应用：1. 碎片分选机：采用离心力场，将不同密度的碎片分离，使得轻质碎片朝外圆周运动，而重质碎片则居于内圈。
2. 汽车行驶：车辆在转弯时，汽车车轮上的离心力会使车身产生向外的倾斜，这样可以增加车辆的稳定性。
圆周运动的向心力
圆周运动的向心力在物理学中，圆周运动是指物体在固定中心点周围作圆形轨迹的运动。
而在圆周运动中，物体所受到的向心力扮演着至关重要的角色。
本文将探讨圆周运动的向心力对于物体运动的影响，并剖析向心力的来源和计算方法。
1. 向心力的概念向心力是指使物体朝向围绕轴心的中心点运动的力。
在圆周运动中，物体必须受到向心力的作用，才能保持在轨道上运动。
向心力的方向始终指向轴心，并且垂直于物体的速度方向。
向心力的大小与物体质量、速度以及轨道的半径有关。
2. 向心力的计算方法为了计算圆周运动中的向心力，我们可以使用下面的公式：F = m * a其中，F是向心力，m是物体的质量，a是物体在圆周运动中的加速度。
考虑到圆周运动的加速度是由速度的变化率决定的，我们可以将加速度表示为：a = v^2 / r其中，v是物体的速度，r是圆周运动的半径。
综合上述两个公式，我们可以得到向心力的计算公式为：F = m * v^2 / r这个公式告诉我们，在圆周运动中，向心力与物体质量和速度的平方成正比，与运动半径的倒数成反比。
3. 向心力的作用向心力的作用使得物体朝向轴心运动，并保持在固定的轨道上。
如果没有向心力的存在，物体将会沿直线飞出轨道。
通过控制向心力的大小，我们可以调节物体在圆周运动中的速度和轨道的半径。
4. 向心力的来源向心力的来源可以是多种多样的力，取决于特定的情景。
一些常见的向心力的来源包括引力、弹力、摩擦力等。
- 地球公转：在地球公转的过程中，太阳的引力提供了向心力，使得地球保持在固定的轨道上。
- 汽车转弯：当汽车在转弯时，轮胎对地面的摩擦力提供了向心力，使得汽车能够保持在弯道上。
- 旋转过山车：在旋转过山车的过程中，座椅对乘客的弹力提供了向心力，使得乘客不会从座位上飞出。
5. 圆周运动中的应用圆周运动及其相关的向心力在现实生活中有着广泛的应用。
举例如下：- 行星公转：太阳系中的行星公转是典型的圆周运动，各个行星受到太阳引力的向心力作用，从而保持在固定的轨道上。
圆周运动(二)圆周运动中的动力学问题
【例1】如图7所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为 m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥 面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做 匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT.(g取10 m/s2，结 果可用根式表示)求： (1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？ (2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
3．质量为m的飞机以恒定速率v在空 中水平盘旋，如图所示，其做匀速 圆周运动的半径为R，重力加速度为 g，则此时空气对飞机的作用力大小 为
析 飞机在空中水平盘旋时 在水平面内做匀速圆周运动， 受到重力和空气的作用力两 个力的作用，其合力提供向 心力F向＝mv2/R. 飞机受力情况示意图如图所 示，根据勾股定理得： F＝m √ (g2+ v4/R2).
例题 1．有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为 L 的钢绳一端系着座椅， 另一端固定在半径为 r 的水平转盘边缘， 转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω 匀速转动 时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ ，不 计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
圆周运动（二） 圆周运动中的动力学分析
1．向心力的来源： 向心力是依据力的作用效果命名的，它可以是重力、弹 力或摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分 力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．如图 甲所示的圆锥摆和火车以规定速率拐弯时．向心力由重力和 弹力的合力提供；图乙中随圆盘一起转动的物体和汽车在水 平路面上转弯则是由静摩擦力提供向心力． 2．向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面， 确定圆心的位置． (2)分析物体的受力情况，找出所有的力 沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
圆周运动中向心力来源分析
圆周运动中向心力来源分析众所周知在圆周运动的学习中，对向心力的来源分析是一个重点和难点，对大多数的学生来说是比较头痛的。
本文从实例出发，谈谈向心力的来源问题。
向心力不是和重力、弹力、摩擦力相并列的一种性质力，是根据力的效果来命名的，在分析做圆周运动物体的受力情况时，切不可在物体的相互作用力以外再添加一个向心力，向心力需要实际力来承担。
可以由一个实际力来承担，也可以由几个力的合力来承担，还可以是一个力的某一分力来承担。
例1、弹力提供向心力如图所示，半径为r的圆筒绕竖直中心轴oo′转动，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的摩擦因数为μ。
现要使a不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为：（）解析：以小物块为研究对象，它受到三个力的作用，重力mg、静摩擦力ff、和支持力fn，其中 ff=mg ①要使a刚好不下落，则静摩擦力最大值ff=μ fn ③由①②③得ω所以使a不下落时圆筒的角速度ω≥故答案选d例2、摩擦力提供向心力如图所示，一圆盘可绕一通过圆盘中心o且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放置一木块.当圆盘以匀角速度转动时，木块随圆盘一起运动。
那么：（）a.木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心b.木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指向圆盘中心c.因为木块随圆盘一起运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力的方向与木块的运动方向相同d.因为摩擦力总是阻碍物体运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力的方向与木块的运动方向相反e.因为二者是相对静止的，圆盘与木块间无摩擦力解析：对木块受力分析，它受到三个力的作用，重力mg、静摩擦力ff、和支持力fn，由于在竖直方向重力和支持力作用效果抵消，所以可以理解成是合外力提供向心力也可理解成是静摩擦力提供向心力，向心力始终指向圆心故答案选b例3、火车转弯的向心力来源关于铁道转弯处内外铁轨间有高度差，下列说法中正确的是（）a. 可以使火车顺利转弯，减少车轮与铁轨间的磨损b. 火车转弯时，火车的速度越小，车轮对内侧的铁轨测侧向压力越小c. 火车转弯时，火车的速度越大，车轮对外侧的铁轨测侧向压力越大d. 外铁轨略高于内铁轨，使得火车转弯时，由重力和支持力的合力提供了部分向心力解析：在火车转弯处，如果内、外轨一样高，外侧轨道作用在外侧轮缘上的弹力f？指向圆心，使火车产生向心加速度，由于火车的质量和速度都相当大，所需向心力也非常大，则外轨很容易损坏，所以应使外轨高于内轨.如右图所示，这时支持力n不再与重力g平衡，它们的合力指向圆心.如果外轨超出内轨高度适当，可以使重力g 与支持力的合力，刚好等于火车所需的向心力。
圆周运动的向心力探“源”
的 关 键 是 寻 找 质 点 所 受 的 向心 力 的来 源．
一
例 １ 如 图 ４ 所
而导致求解错 误． 其 实 向 心 力 是 按 力 的 作 弹力提供 物 体 圆周 运 动 的 向心 力 ； 附着 在 绕 用效果命名 的力 ， 在 受 力 分 析 图 中 不 能 画 竖 直轴 匀速 转 动 的 圆通 内壁 ， 随 圆通 内壁 匀
出， 它 可 以 由某 一 个 力 来 提 供 ， 也可以 由 速 圆周运 动 的物体 ， 与 圆通 内壁 相互 挤压 ， 圆
（ ２ ）当物体 Ｂ处 于 将 要 离 开 、 而 尚未 离
物 体 在 水平 面做 圆周 运 动 ， 由于 有 沿 半 径 向外 的 运 动 趋 势 ， 它 会 受 到 水 平 面 对 它
沿半径 向 内的静摩 擦 力作 用 ， 静 摩 擦力 提 供物体做 圆周 运 动 的 向心力． 如 物 体 在 水
需 向心 力 的来 源 ， 是 研 究 圆 周 运 动 的 关
连接在绳、 杆或弹簧一端 的物体 ， 绕绳、
键． 同 学 们 在 对 做 圆周 运 动 的 物 体 进 行 受 杆 或弹 簧另 一端在 水平 面 内做匀 速 圆周运 动
力分析 时 Байду номын сангаас 往 往 会 多 分 析一 个 向心 力 ， 从 时 ， 绳、 杆或 弹 簧 由于 弹性 形 变 而 产 生 弹 力 ，
李恒 林
向心 力 是 效 果 力 ， 它 可 以是 某 一 个 力 ，
向心力(hua)
例15：小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动， 试分析图中的 θ （小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线 速度v 、周期T 的关系。（小球的半径远小于R） 解：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在 半球的球心），向心力F 是重力G 和支持力N 的合力，所以重力 和支持力的合力方向必然水平。如图所示：
向心力指向圆心，而物体的运动方向沿圆 周上该处的切线方向。两者相互垂直，物体在 运动方向上所受的合外力为零，在这个方向上 无加速度，速度大小不会改变。所以向心力只 改变速度的方向。
向心力
高 中 物 理 必 修 二
精确的实验能表明，在同一 使用国际单位制下，向心力的大 小为：
v F m r 或F m r
m v2 由牛顿运动定律，有：m g tan m Rsin 2 R sin N O 由此可得： v gR tan sin , θ （式中h 为小 R 2r R cos h 球轨道平面到 T 2 2 F
v g g 球心的高度） 可见，θ越大,即h越小, v 越大,T 越小。
向心力
高 中 物 理 必 修 二
学习目标： 1、知道向心力、向心加速度的概念。
2、会利用向心加速度公式进行计算。
3、能灵活运用
2 v2 4 F向 m m 2 r m r r
进行计算。
向心力
一、圆周运动的向心力
观察与思考
高 中 物 理 必 修 二
1．向心力：做匀速圆周运动 的物体受到的合外力总是指 向圆心，这个力叫做向心力。
向心力
四、生活中的向心力
高 中 物 理 必 修 二
1、汽车在倾斜路面转 弯时的向心力
r
θ
O
向心力的来源分析
向心力的来源分析确定圆周运动的物体所需向心力的来源，是研究圆周运动的关键。
同学们在对做圆周运动的物体实行受力分析时，往往会多分析一个向心力，从而导致求解错误。
其实向心力是按力的作用效果命名的力，在受力分析图中不能画出，它能够由某一个力来提供，也能够由几个力的合力来提供，还能够由某个力的分力来提供。
一、向心力由某一个力来提供如图1所示，用细绳系一个小球在竖直平面内做圆周运动，假设小球恰好能通过最高点，则在最高点时小球做圆周运动的向心力由重力提供。
如图2所示，一个物体在圆柱体的内壁，随着圆柱体一起做匀速圆周运动，物体与圆柱体无相对滑动，则物体做圆周运动的向心力由圆柱体内壁对物体的支持力（弹力）提供。
如图3所示，将一个物体放在转台上，物体随转台一起做匀速圆周运动，物体与转台无相对滑动，则其向心力由转台对物体的静摩擦力提供。
例1、如图4所示，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向放着三个物体A 、B 、C ，M A =M C =2M B ，它们与盘面间的摩擦因数相等，它们到转轴的距离的关系为R A <R B <R C ，当转盘的转速逐渐增大时，哪个物体先开始滑动，相对盘向哪个方向滑动？（ ）A ．B 先滑动，沿半径向外 B ．B 先滑动，沿半径向内C ．C 先滑动，沿半径向外D ．C 先滑动，沿半径向内 解析： 物体相对盘滑动是因为提供的向心力小于维持做圆周运动所需的向心力的缘故。
物体做圆周运动的向心力由圆盘对物体的静摩擦力提供，故能够先求出物体开始滑动时的临界角速度，rr m mg μωωμ=∴=2，因为R A <R B <R C 所以A B c ωωω〈〈，即C 先开始滑动，滑动时物体做离心运动，故滑动方向沿半径向外。
故C 准确二、向心力由几个力的合力来提供如图5所示，物体在绳子的作用下在水平面内做匀速圆周运动，其向心力由绳子对物体的拉力和物体重力的合力提供向心力。
图4 图3 图1 图2 图5 图6 图7如图6所示，物体在光滑的碗内壁做匀速圆周运动，其向心力由碗壁对物体的支持力和物体的重力的合力提供。
向心力的来源
向心力的来源
当物体做圆周运动时，合力在指向圆心方向的分力提供向心力，如果合力全部提供向心力，即合力大小不变，方向与速度始终垂直且指向圆心，则物体必做匀速圆周运动。
向心力可以由某一个力提供，也可以由若干个力的合力提供，甚至可以由某一个力的分力提供，判断向心力的来源关键是对物体进行正确的受力分析，一定要明确只有受向心力作用，物体才能做圆周运动。
值得注意的是向心力不是按性质命名的力，而是根据力的作用效果来命名的，由于存在向心力，它产生向心加速度，以不断改变物体的速度方向，保持物体做圆周运动。
提醒：做圆周运动的物体所需的向心力由物体受到的合外力来提供，所以对于圆周运动的分析，首先要从受力分析开始。
向心力是根据力的作用效果命名的，而不是一种特定的力（如重力），因此在分析物体的受力时，切不可将向心力也作为物体的受力考虑在内。
例. 如图1所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图1中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（）
A. a处为拉力，b处为拉力；
B. a处为拉力，b处为推力；
C. a处为推力，b处为拉力；
D. a处为推力，b处为推力。
向心力由谁提供
F
二竖直面内的圆周运动（最高点和最底点) （汽车过拱桥、过山车模型）
汽车过拱桥
（讨论对桥的压力问题）
汽车过凸形桥
汽车以速度v过半径为r 的拱桥时，求：对拱桥的压力？
G和N的合力提供汽车做圆周运动的向心力 N
v
v v2 GN m N Gm ＜G r r
2
（失重状态）
G 当v 当v
N
f静
G
火车转弯
认真观察：转弯处铁轨有什么特点？
外 轨 略 高 于 内 轨
为什么要 这样设计 呢？
车轮介绍
1、内外轨道一样高时
N
F
G
由外侧轨道对车轮轮缘的挤压力F提供
2、外轨略高于内轨时
转弯处--外轨略高于内轨。
火车拐弯
• 火车转弯时所 需的向心力是 由重力G与支 持力N的合力F 来提供．
杯中的水不流出来
(3)当v gr时
杯中的水流出来
用绳系着小球在竖直平面 内做变速圆周运动。
T
mg
O
v2 最高点：mg T m r
过最高点的最小速度是多大?
v gr
过最高点的速度需满足 v gr
牛刀一试 1、在水平面上转弯的汽车，向心力是（ A ）
A、水平面对汽车的静摩擦力；
B、水平面对汽车的滑动摩擦力；
C、汽车受到的重力和水平面对汽车支持力的合力； D、汽车受到的重力、水平面对汽车支持力和汽车 牵引力的合力。
牛刀二试
2、关于铁道转弯处内外铁轨间高度的关系， 下列说法正确的是（ C ）
A、内、外轨一样高，以防列车倾倒造成翻车事故； B、因为列车转弯处有向内倾的可能，所以内轨略高 于外轨，以防列车翻倒；
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向心力的来源1如图所示，小物体A 与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起作匀速圆周运动，则A 的受力情况是（B ）A 、受重力、支持力B 、受重力、支持力和指向圆心的摩擦力C 、重力、支持力、向心力、摩擦力D 、以上均不正确我们一般所说的重力，浮力，摩擦力，电场力等是有对应的物理实体的，是能够找到施力物体的。
还有一类力是以力的效果命名的，比如向心力，它一定是一个或多个力产生的效果。
这种力只是表示物体所受到的力的一部分或全部所产生的效果，并不是独立存在的一个力2．汽车甲和汽车乙质量相等，以相等速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为Ff 甲和Ff 乙．以下说法正确的是( )A ．Ff 甲小于Ff 乙B ．Ff 甲等于Ff 乙C ．Ff 甲大于Ff 乙D ．Ff 甲和Ff 乙大小均与汽车速率无关解析：本题重点考查的是匀速圆周运动中向心力的知识．根据题中的条件可知，两车在水平面做匀速圆周运动，则地面对车的摩擦力来提供其做圆周运动的向心力，则F 向＝f ，又有向心力的表达式F 向＝mv 2r，因为两车的质量相同，两车运行的速率相同，因此轨道半径大的车的向心力小，即摩擦力小，A 正确．答案：A3 一圆筒绕其中心轴OO 1匀速转动，筒内壁上紧挨着一个物体与筒一起运动相对筒无滑动，如图2所示，物体所受向心力是（ C ）A ．物体的重力B ．筒壁对物体的静摩擦力C ．筒壁对物体的弹力D ．物体所受重力与弹力的合力4．在世界一级锦标赛中，赛车在水平路面上转弯时，常常在弯道上冲出跑道，则以下说法正确的是( )A ．运动员未能及时转动方向盘才造成赛车冲出跑道的B ．运动员没有及时加速才造成赛车冲出跑道的C ．，运动员没有及时减速才造成赛车冲出跑道的D ．由公式F ＝mω2r 可知，弯道半径越大，越容易冲出跑道解析：赛车在水平路面上转弯时，它需要的向心力是由赛车与地面间的摩擦力提供的，由向心力公式F ＝mv 2r知，当v 较大时，赛车需要的向心力也较大，当摩擦力不足以提供其所需的向心力时，赛车将冲出跑道，故选项C 正确．[来源:学&科&网]答案：C5一小球质量为m ，用长为L 的悬绳(不可伸长，质量不计)固定于O 点，在O 点正下方L/2处钉有一颗钉子，如图所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间( )A ．小球线速度没有变化B ．小球的角速度突然增大到原来的2倍C ．小球的向心加速度突然增大到原来的2倍D ．悬线对小球的拉力突然增大到原来的2倍解析：在小球通过最低点的瞬间，水平方向上不受外力作用，沿切线方向小球的加速度等于零，因而小球的线速度不会发生变化，A正确；在线速度不变的情况下，小球的半径突然减小到原来的一半，由v ＝ωr 可知角速度增大为原来的2倍，B 正确；由a ＝v 2/r ，可知向心加速度突然增大到原来的2倍，C 正确；在最低点，F －mg ＝ma ，D 错误．答案：ABCθ O P6．上海锦江乐园新建的“摩天转轮”是在直径为98 m 的圆周上每隔一定位置固定一个座舱，每个座舱有6个座位．游人乘坐时，转轮始终不停地在竖直平面内匀速转动，试判断下列说法中正确的是( )A ．每时每刻，乘客受到的合力都不为零[来源:学,科,网]B ．每个乘客都在做加速度为零的匀速运动C ．乘客在乘坐过程中对座位的压力始终不变D ．乘客在乘坐过程中的机械能始终保持不变解析：由于乘客随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，故受到合力指向圆心，A 正确、B 错误；将加速度沿水平、竖直方向分解可知：人位于转轴以下时，人处于超重状态，人对座位的压力大于人的重力；人位于转轴以上时，人处于失重状态，人对座位的压力小于人的重力，C 错误；在运动过程中，人的动能始终不变，而势能在变化，D 错误．答案：A7．质量为m 的小球由轻绳a 和b 分别系于一轻质木架上的A 点和C 点，如图所示，当轻杆绕轴BC 以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a 在竖直方向，绳b 在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b 被烧断的同时杆子停止转动，则 （ ）A ．小球仍在水平面内做匀速圆周运动B ．在绳被烧断瞬间，a 绳中张力突然增大C ．若角速度ω较小，小球在垂直于平面ABC 的竖直平面内摆动D ．若角速度ω较大，小球可在垂直于平面ABC 的竖直平面内做圆周运动．BCD ；绳b 烧断前，竖直方向合力为零，即F a ＝mg ，烧断b 后，因惯性，要在竖直面内做圆周运动，且F a ′－mg ＝m v 2l ，所以F a ′＞F a ，A 错B 对，当ω足够小时，小球不能摆过AB 所在高度，C 对，当ω足够大时，小球在竖直面内能通过AB 上方最高点，从而做圆周运动，D 对．8．(2011年淮北模拟)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R ，小球半径为r ，则下列说法正确的是( )A ．小球通过最高点时的最小速度v min ＝gR ＋rB ．小球通过最高点时的最小速度v min ＝0C ．小球在水平线ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D ．小球在水平线ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力解析：小球沿管上升到最高点的速度可以为零，故A 错误，B 正确；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力N 与球重力在背离圆心方向的分力F mg 的合力提供向心力，即：N －mg ＝m v 2R ＋r，因此，外侧管壁一定对球有作用力，而内侧壁无作用力，C 正确；小球在水平线ab 以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力与小球速度大小有关，D 错误．答案：BC9．如图所示，质量为m 的物块从半径为R 的半球形碗边向碗底滑动，滑到最低点时的速度为v ，若物块滑到最低点时受到的摩擦力是F f ，则物块与碗的动摩擦因数为 （ ）A ．F f mgB ．F f mg ＋m v 2RC ．F f mg －m v 2RD ．F f m v 2R．B ；物块滑到最低点时受竖直方向的重力、支持力和水平方向的摩擦力三个力作用，据牛顿第二定律得F N －mg ＝m v 2R ，又F f ＝μF N ，联立解得μ＝F f mg ＋m v 2R，选项B 正确． 10．用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的张力为F T ，则F T 随ω2变化的图象是下图中的 （ ）．C ；小球角速度ω较小，未离开锥面对，设细线的张力为F T ，线的长度为L ，锥面对小球的支持力为F N ，则有F T cosθ＋F N sinθ＝mg ，F T sinθ－F N cosθ＝mω2Lsinθ，可得出：F T ＝mgcosθ＋mω2Lsin 2θ，可见随ω由0开始增加，F T 由mgcosθ开始随ω2的增大，线性增大，当角速度增大到小球飘离锥面时，F T ·sinα＝mω2Lsinα，得F T ＝mω2L ，可见F T 随ω2的增大仍线性增大，但图线斜率增大了，综上所述，只有C 正确．11:如下图所示，将完全相同的两个小球A 、B ，用长L=0.8 m 的细绳悬于以v=4 m ／s 向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止运动，此时悬线的拉力之比F B ∶F A 为(g=10 m ／s 2)（ ）A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.1∶4答案：C （A 球以v=4 m ／s 的速度做匀速圆周运动，B 球静止）12 如图4所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A 和B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内作匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）A. 球A 的线速度必定大于球B 的线速度B. 球A 的角速度必定小于球B 的角速度C. 球A 的运动周期必定小于球B 的运动周期D. 球A 对筒壁的压力必定大于球B 对筒壁的压力图4解析：对小球A 、B 受力分析，两球的向心力都来源于重力mg 和支持力N F 的合力，其合成如图4所示，故两球的向心力αcot mg F F B A == 比较线速度时，选用r v m F 2=分析得r 大，v 一定大，A 答案正确。
比较角速度时，选用r m F 2ω=分析得r 大，ω一定小，B 答案正确。
B A比较周期时，选用r T m F 2)2(π=分析得r 大，T 一定大，C 答案不正确。
小球A 和B 受到的支持力N F 都等于αsin mg，D 答案不正确。
点评：①“向心力始终指向圆心”可以帮助我们合理处理物体的受力；② 根据问题讨论需要，解题时要合理选择向心力公式13 如图所示，半径为R 的半球形碗内，有一个具有一定质量的物体A ，A 与碗壁间的动摩擦因数为 ，当碗绕竖直轴 匀速转动时，物体A 刚好能紧贴在碗口附近随碗一起匀速转动而不发生相对滑动，求碗转动的角速度14 如图3所示，质量相等的小球A 、B 分别固定在轻杆的中点和端点，当杆在光滑水平面上绕O 点匀速转动时求杆OA 和AB 段对球A 的拉力之比。
解析：隔离A 、B 球进行受力分析，如图3所示。
因A 、B 两球角速度相同，设为ω，选用公式r m F 2ω=向，并取指向圆心方向为正方向，则 对A 球：OA L m F F 221ω=- ① 对B 球：OB L m F 22ω= ②①②两式联立解得2321=F FO F 1ABF 2F 2。