高考数学 三角函数的图像与性质导学案 新人教版

三角函数的图像与性质

一、课标、考纲解读

1、能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象，

2、了解三角函数的周期性.

3、借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；

4、命题走向近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法.

5、学习重点、难点

三角函数的性质，特别是单调性和周期性以及最值是重中之重。

二、基础知识梳理

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像（请自己在对应图像后面画出任意一个周期的图象）

小结：用“五点法”作正弦、余弦函数的图象．

“五点法”作图实质上是选取函数的一个，将其四等分，分别找到图象的点，点及“平衡点”．由这五个点大致确定函数的位置与形状．

⑴若相邻两条对称轴为x＝a和x＝b，则T＝．

⑵若相邻两对称点(a，0)和(b，0) ，则T＝．

⑶若有一个对称点(a，0)和它相邻的一条对称轴x＝b，则T＝．那么该结论可以推广到其它函数吗？

三、典例精析

例2. 已知函数f (x)＝2

1log (sinx －cosx)

⑴ 求它的定义域和值域； ⑵ 求它的单调区间； ⑶ 判断它的奇偶性；

⑷ 判定它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．

考点一、三角函数的定义域问题 1．与三角函数有关的函数的定义域

(1)与三角函数有关的函数的定义域仍然是使函数解析式有意义的自变量的取值范围．

(2)求此类函数的定义域最终归结为用三角函数线或三角函数的图象解三角不等式．

变式训练： 求函数y ＝－2cos 2x ＋3cos x －1＋lg(36－x 2)的定义域： 【分析】 本题求函数的定义域．(1)需注意对数的真数大于零，然后利用弦函数的图象求解．(2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零，然后利用函数的图象或三角函数线求解．

【解析】 (1)函数定义域即下面不等式组的解集：

⎩⎨⎧

－2cos 2

x ＋3cos x －1≥036－x 2＞0

解得：－6＜x ≤－53π或－π3≤x ≤π3或5π3≤x ＜6； 所以函数定义域为(－6，－53π]∪[－π3，π

3]∪[5π3

，6

小结：1、用三角函数线解sin x ＞a (cos x ＞a )的方法

(1)找出使sin x ＝a (cos x ＝a )的两个x 值的终边所在位置． (2)根据变化趋势，确定不等式的解集．

2、用三角函数的图象解sin x ＞a (cos x ＞a ，tan x ＞a )的方法． (1)作直线y ＝a ，在三角函数的图象上找出一个周期内(不一定是[0,2π])在直线y ＝a 上方的图象．

(2)确定sin x ＝a (cos x ＝a ，tan x ＝a )的x 值，写出解集． 考点二、三角函数单调区间的求法

1．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和

最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间(－π2，π

2)内的单调性．

2．准确记忆三角函数的单调区间是求复合三角函数单调区间的基础．

变式训练：已知函数f (x )＝sin2x ＋2sin x cos x ＋3cos2x ，x ∈R .求：

(1)函数f (x )的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (2)函数f (x )的单调增区间．

【解析】 (1)法一 ∵f (x )＝1－cos 2x 2＋sin 2x ＋3(1＋cos 2x )

2

＝2＋sin 2x ＋cos 2x ＝2＋2sin(2x ＋π

4)．

∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π

8(k ∈Z )时，f (x )取得最大值2＋ 2.

因此，f (x )取得最大值的自变量x 的集合是{x |x ＝k π＋π

8

，k ∈Z }．

法二 ∵f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )＋sin 2x ＋2cos 2x

＝1＋sin 2x ＋1＋cos 2x ＝2＋2sin(2x ＋π

4)．

∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π

8(k ∈Z )时，f (x )取得最大值2＋ 2.

因此，f (x )取得最大值的自变量x 的集合是{x |x ＝k π＋π

8，k ∈Z }．

(2)f (x )＝2＋2sin(2x ＋π

4)．由题意得

2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π

2(k ∈Z )，

即[k π－3π8，k π＋π

8](k ∈Z )．

因此，f (x )的单调增区间是{x |k π－3π8≤x ≤k π＋π

8(k ∈Z )}

小结：1、形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间，基本思

路是把ωx ＋φ看作一个整体，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π

2＋2k π(k ∈Z )求得函数的

增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π

2

＋2k π(k ∈Z )求得函数的减区间．

2、形如y ＝A sin(－ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数，可先利用诱导公式把x

的系数变为正数，得到y ＝－A sin(ωx －φ)，由－π2＋2k π≤ωx －φ≤π

2＋2k π(k ∈Z )

得到函数的减区间，由π2＋2k π≤ωx －φ≤3π

2＋2k π(k ∈Z )得到函数的增区间．