微积分(下)期末复习题完整版
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6、解 ， ，
， 。
7、解： ，
8、解：方程两边关于x求偏导，
方程两边关于y求偏导， 。
9、解 ，求得驻点 ，
， ， ， ，
所以 为极小值点，极小值为
10、解原式 。
11、解 。
12、解交换积分次序，
13、解交换积分次序，
原式 。
14、解交换积分次序，原式 。
15、解分离变量， ，积分得 ，
将 代入，得 ，
令 ， ，
解得唯一驻点
由实际意义，此时利润的增加最大
5、解：目标函数为 ，
约束条件
令 ， ，
解得唯一驻点 ，此时价格
由实际意义，此时利润最大
6、解: ，
得 ，唯一，
由实际问题存在产量最大，即当 时产量最大。
7、解目标函数 ，约束条件 ，
,…（3分）
令
，
解得唯一驻点 ，由实际问题，此时产量最大。
五、证明题
五、证明题
1、设 在 上连续,证明： 。
2、设 在 上连续,证明： 。
3、证明 .
解答：
一、填空题
1. 1 2.-2f(2x) 3. 4. 5. ln2 6.
7. 8. 9. 810、 11.
12.
13、
二、选择题
1. C 2. B
3、解选B
利用变上限积分函数的导数 ，结合 ，得
(A) , (C) , (D) ,
故选(B).
4、解选C
若函数 在 上连续，则称 为 在 上的平均值，故选(C).
5、解选D
设 ，则 ， ，
于是 ，故积分I与s有关.应选(D).
6、解选
由于 可写成 ，故应选(B).
7、解选
将原方程分离变量并两边积分，得到通解为 ，
代入初始条件 ，得 ，所求特解为 。
三、计算题
1、计算下列不定积分：
(1)解令 ，则 ， ，于是
.
(2)解 .
(3)解
(4)解令 ， ， ，
(5)解令 ， ，
(6)解
2、计算下列定积分：
(1)解：
解得 .
(2)解：原式
.
(3)解：令 ，则
原式
(4)解：令 ，则
(5)解：令 ，则
原式
(6)解令 ，则
(7)解设 ，
原式
(8)解令 ，原式 。
3、解
4、解设 ，
.
5、解 ；同理， 。
(7) (8)
3、设 ，求 .
4、设 ,求 。
5、设 是由方程 确定的隐函数，求 。
6、设 ，求 。
7、 ，求 。
8、已知 ，求 ， 。
9、求函数 的极值。
10、计算二重积分 ，其中 。
11、计算二重积分 ，其中D是以 为顶点的三角形区域。
12、计算 .
13、计算 .
14、计算 。
15、求微分方程满足初始条件的特解： ， .
(1)求点A的坐标；(2)求平面图形D绕x轴旋转一周而成的旋转体体积。
4、为销售某种产品，需要作两种方式的广告，当两种广告的费用分别为x和y时，销售利润的增加是 （万元）。现花25万元用于广告，问怎样分配两种方式的广告费用，可使利润的增加达到最大？
5、某厂生产产量分别为x和y的两种产品，总成本
，需求函数分别为
（A） （B） （C） （D）s
6、下列方程中变量可分离的是( )
（A） （B）
（C） （D）
7、( )是微分方程 满足条件 的特解。
（A） （B）
（C） （D）
三、计算题Baidu Nhomakorabea
1、计算下列不定积分：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2、计算下列定积分：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
期末复习题
一、填空题
1、 .
2、若 在 上连续,则 .
3、已知 是 的原函数，则 等于.
4、若 是 的一个原函数，则 .
5、 .
6、已知 ，则 在 上的平均值为.
7、设 且 连续，则 .
8、设曲线 ( )与直线 及y轴围成的图形面积为 ，则 .
9、设 ，则 .
10、设 ，则 .
11、交换积分次序 .
所求特解为 .
16、解方程改写为 （1分）
（3分）
17、解原方程为 ，
18、解 ，
19、解原方程改写为 ，通解为
，
将 代入，得 ，故所求特解为 。
四、应用题
1、解 ，
2、解 ，
3、解（1） ，则切线的斜率 ，切线方程： 切线与x轴交点为 ，S ，解得 ， .
（2）切线方程： ，
4、解：目标函数为 ，约束条件
， ，( 为产品单价)，且产品需求要受限制 求工厂获最大利润时的产量和单价。
6、设某企业的总产量函数为 （吨）， 为两种投入要素，其单价分别为1万元/吨和2万元/吨，且该企业拥有资金150万元，试求 使产量最大。
7、生产某种产品需要 三种原料，且产量与 原料的用量 的关系为 ，已知三种原料售价分别为1,2,3(万元)，今用2400(万元)购买材料，问应如何进料才能使产量最大？
12、交换积分次序 .
13、交换积分次序 ＝.
二、选择题
1、极限 等于（）
（A）1（B）2（C）4（D）8
2、设 ，则 （）
(A) (B) (C) (D)
3、设 是连续函数，且 ，则必有（）B
（A） （B）
（C） （D）
4、设 在 上连续，则 在 上的平均值是（）
（A） （B）
（C） （D）
5、积分 与（）有关。
16、求微分方程 的通解。
17、求方程 的通解。
18、求微分方程 的通解。
19、求解微分方程 ， .
四、应用题
1、求 与 所围成的图形的面积及它绕 轴旋转而成的旋转体体积。
2、求 与 所围成的图形的面积,并求此图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
3、过曲线 上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形D的面积S为 。
1、证明：
而
故
2、见教材P22例11(2)
3、证明
， 。
7、解： ，
8、解：方程两边关于x求偏导，
方程两边关于y求偏导， 。
9、解 ，求得驻点 ，
， ， ， ，
所以 为极小值点，极小值为
10、解原式 。
11、解 。
12、解交换积分次序，
13、解交换积分次序，
原式 。
14、解交换积分次序，原式 。
15、解分离变量， ，积分得 ，
将 代入，得 ，
令 ， ，
解得唯一驻点
由实际意义，此时利润的增加最大
5、解：目标函数为 ，
约束条件
令 ， ，
解得唯一驻点 ，此时价格
由实际意义，此时利润最大
6、解: ，
得 ，唯一，
由实际问题存在产量最大，即当 时产量最大。
7、解目标函数 ，约束条件 ，
,…（3分）
令
，
解得唯一驻点 ，由实际问题，此时产量最大。
五、证明题
五、证明题
1、设 在 上连续,证明： 。
2、设 在 上连续,证明： 。
3、证明 .
解答：
一、填空题
1. 1 2.-2f(2x) 3. 4. 5. ln2 6.
7. 8. 9. 810、 11.
12.
13、
二、选择题
1. C 2. B
3、解选B
利用变上限积分函数的导数 ，结合 ，得
(A) , (C) , (D) ,
故选(B).
4、解选C
若函数 在 上连续，则称 为 在 上的平均值，故选(C).
5、解选D
设 ，则 ， ，
于是 ，故积分I与s有关.应选(D).
6、解选
由于 可写成 ，故应选(B).
7、解选
将原方程分离变量并两边积分，得到通解为 ，
代入初始条件 ，得 ，所求特解为 。
三、计算题
1、计算下列不定积分：
(1)解令 ，则 ， ，于是
.
(2)解 .
(3)解
(4)解令 ， ， ，
(5)解令 ， ，
(6)解
2、计算下列定积分：
(1)解：
解得 .
(2)解：原式
.
(3)解：令 ，则
原式
(4)解：令 ，则
(5)解：令 ，则
原式
(6)解令 ，则
(7)解设 ，
原式
(8)解令 ，原式 。
3、解
4、解设 ，
.
5、解 ；同理， 。
(7) (8)
3、设 ，求 .
4、设 ,求 。
5、设 是由方程 确定的隐函数，求 。
6、设 ，求 。
7、 ，求 。
8、已知 ，求 ， 。
9、求函数 的极值。
10、计算二重积分 ，其中 。
11、计算二重积分 ，其中D是以 为顶点的三角形区域。
12、计算 .
13、计算 .
14、计算 。
15、求微分方程满足初始条件的特解： ， .
(1)求点A的坐标；(2)求平面图形D绕x轴旋转一周而成的旋转体体积。
4、为销售某种产品，需要作两种方式的广告，当两种广告的费用分别为x和y时，销售利润的增加是 （万元）。现花25万元用于广告，问怎样分配两种方式的广告费用，可使利润的增加达到最大？
5、某厂生产产量分别为x和y的两种产品，总成本
，需求函数分别为
（A） （B） （C） （D）s
6、下列方程中变量可分离的是( )
（A） （B）
（C） （D）
7、( )是微分方程 满足条件 的特解。
（A） （B）
（C） （D）
三、计算题Baidu Nhomakorabea
1、计算下列不定积分：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2、计算下列定积分：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
期末复习题
一、填空题
1、 .
2、若 在 上连续,则 .
3、已知 是 的原函数，则 等于.
4、若 是 的一个原函数，则 .
5、 .
6、已知 ，则 在 上的平均值为.
7、设 且 连续，则 .
8、设曲线 ( )与直线 及y轴围成的图形面积为 ，则 .
9、设 ，则 .
10、设 ，则 .
11、交换积分次序 .
所求特解为 .
16、解方程改写为 （1分）
（3分）
17、解原方程为 ，
18、解 ，
19、解原方程改写为 ，通解为
，
将 代入，得 ，故所求特解为 。
四、应用题
1、解 ，
2、解 ，
3、解（1） ，则切线的斜率 ，切线方程： 切线与x轴交点为 ，S ，解得 ， .
（2）切线方程： ，
4、解：目标函数为 ，约束条件
， ，( 为产品单价)，且产品需求要受限制 求工厂获最大利润时的产量和单价。
6、设某企业的总产量函数为 （吨）， 为两种投入要素，其单价分别为1万元/吨和2万元/吨，且该企业拥有资金150万元，试求 使产量最大。
7、生产某种产品需要 三种原料，且产量与 原料的用量 的关系为 ，已知三种原料售价分别为1,2,3(万元)，今用2400(万元)购买材料，问应如何进料才能使产量最大？
12、交换积分次序 .
13、交换积分次序 ＝.
二、选择题
1、极限 等于（）
（A）1（B）2（C）4（D）8
2、设 ，则 （）
(A) (B) (C) (D)
3、设 是连续函数，且 ，则必有（）B
（A） （B）
（C） （D）
4、设 在 上连续，则 在 上的平均值是（）
（A） （B）
（C） （D）
5、积分 与（）有关。
16、求微分方程 的通解。
17、求方程 的通解。
18、求微分方程 的通解。
19、求解微分方程 ， .
四、应用题
1、求 与 所围成的图形的面积及它绕 轴旋转而成的旋转体体积。
2、求 与 所围成的图形的面积,并求此图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
3、过曲线 上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形D的面积S为 。
1、证明：
而
故
2、见教材P22例11(2)
3、证明