微积分(下)期末复习题完整版
微积分下册期末试卷及答案
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13、由确定，求.
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14、用拉格朗日乘数法求 在条件下的极值.
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15、计算.
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16、计算二重积分 ，其中 是由 轴及圆周 所围成的在第一象限内的区域.
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17、解微分方程.
评 分
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18、判别级数的敛散性.
评 分
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二、选择题(每小题3分,共15分) 分
卷 人
6、
的值为( ).
(A) (B) (C) (D)不存在
7、和在存在且连续是函数在点可微的( ).
(A) 必要非充分的条件 (C) 充分且必要的条件
(B) 充分非必要的条件 (D) 即非充分又非必要的条件
8、由曲面和及柱面 所围的体积是( ). (A) (B) (C) (D)
， 于是
，所以是函数的极大值点，且
…（4分） 对
有
，
，
， 于是
，
不是函数的极值点。
…（6分）
5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资
料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的及报纸广告费用(万元)之间
的关系有如下的经验公式: .若提供的广告费用为万元,求相应的最优广
告策略.
的反函数为
。且时，。于是
12、求二重极限 .
解：原式
(3分)
(6分)
13、由确定，求.
解：设
，则
， ，
， (3分)
(6分) 14、用拉格朗日乘数法求 在条件下的极值. 解：
令 ,得 , , 为极小值点. (3分)
微积分下册期末试卷及答案
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14、用拉格朗日乘数法求 在满足条件 下的极值.
评 分
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15、计算.
评 分
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16、计算二重积分
,其中
是由
轴及圆周
所围成的在第一象限内的区域.
评 分
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17、解微分方程.
评 分
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18、判别级数的敛散性.
评 分
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19、将函数展开成的幂级数.
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也收敛。
证：，
…（3分）
而由已知收敛，故由比较原则，也收敛。 …（5分）
2、设,其中为可导函数, 证明.
证明：因为,
…（2分）
…（4分）
所以.
…（5分）
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一、填空题(每小题3分,共15分) 分
卷 人
1、设
，且当
时，
，则
.
2、计算广义积分
.
3、设，则
. 4、微分方程具有
形式的特解.
5、级数的和为
.
的反函数为
。且时，。于是
12、求二重极限 .
解：原式
(3分)
(6分)
13、由确定，求.
解：设
，则
， ，
， (3分)
(6分) 14、用拉格朗日乘数法求 在条件下的极值. 解：
令 ,得 , , 为极小值点. (3分)
故 在 下的极小值点为
,极小值为
(6分)
15、计算. 解：
(6分)
16、计算二重积分 ，其中 是由 轴及圆周 所围成的在第一象限内的区域. 解： ＝ ＝
分
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21、设级数
微积分(下册)期末试卷与答案
中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案06年A 卷1、已知22(,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x 0 21 ___________.π=⎰∞+∞--dx e x 2 3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.二、选择题(每小题3分,共15分)6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-ep x x dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在(C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( ).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >>(C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n n a 收敛，则∑∞=-1)1(n nn a ( ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x .13、),(y x z z =由xy e z z =+确定，求y x z∂∂∂2.14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值.15、计算⎰⎰1212dxedy yyyx.16、计算二重积分22()Dx y dxdy+⎰⎰，其中D是由y轴及圆周221x y+=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程x y y +'=''.18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.19、将函数x 31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间..根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=，求最优广告策略.四、证明题(每小题5分,共10分)21、设1133ln()z x y =+，证明：13z zx y x y ∂∂+=∂∂.22、若∑=12n n u 与∑∞=12n n v 都收敛,则∑∞=+12)(n n n v u 收敛.答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2 3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=.二、选择题(每小题3分,共15分)6、(C ).7、 (B).8、(A ) .9、(D). 10、(D).三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32y x =的反函数为23,0x y y =>。
微积分下册期末试卷及答案[1]
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、已知22(,)yf x y x y x +=- 则=),(y x f、已知 则=⎰∞+--dx e x x21π=⎰∞+∞--dx ex 2、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值 、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++= 则=')0,1(x f、以xe x C C y 321)(+= 21,C C 为任意常数 为通解的微分方程是知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-e p xx dx 1 1ln 均收敛 则常数p 的取值范围是1p > 1p < 12p << 2p >数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断 是因为该函数在原点无定义 在原点二重极限不存在 在原点有二重极限 但无定义 在原点二重极限存在 但不等于函数值、若2211x y I +≤=⎰⎰22212x y I ≤+≤=⎰⎰22324x y I ≤+≤=⎰⎰则下列关系式成立的是123I I I >> 213I I I >> 123I I I << 213I I I <<、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解b ax y += xe b ax y 3)(+= x e bx ax y 32)(+= x e bx ax y 323)(+=、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna绝对收敛 条件收敛 发散 不定 一、填空题 每小题 分 共 分、2(1)1x y y -+、)32,31(- 、 、"6'0y y y -+= 、求由23x y = 4=x 0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积 解：32y x=的函数为23,0x y y =>。
微积分(下)期末复习试题完整版
期末复习题一、填空题1、=⎰→xt t xx 020d cos lim.2、若)(x f 在],[b a 上连续, 则=⎰bxx x f x 2d )(d d .3、已知)(x F 是)(x f 的原函数,则⎰>+x x t a t f t)0( d )(1等于 . 4、若2e x -是)(xf 的一个原函数,则='⎰10d )(x x f .5、=++⎰-112d 1||x x x x .6、已知21)(xxx f +=,则)(x f 在]2,0[上的平均值为 .7、设⎰=+π0),(sin d )(x f x x x f 且)(x f 连续, 则=)(x f .8、设曲线kx y =<0,0>>x k >与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为31,则=k . 9、设yx y y x y x f arcsin)1()2(),(22---=,则=∂∂)1,0(y f .10、设yx z 2e =,则=∂∂∂yx z2. 11、交换积分次序 =⎰⎰x y y x f x ln 0e 1d ),(d . 12、交换积分次序 =⎰⎰---xx y y x f x 11122d ),(d .13、交换积分次序⎰⎰-2210d ),(d y yx y x f y ＝.二、选择题1、极限xtt x x cos 1d )1ln(lim2sin 0-+⎰→等于〔 〔A1〔B2〔C4〔D82、设x x t t f xe d )(d d e 0=⎰-,则=)(xf 〔 <A>21x<B> 21x - <C> x 2e - <D> x2e -- 3、设)(x f 是连续函数,且C x F x x f +=⎰)(d )(,则必有〔 B〔A )(d )(x F t t f x a =⎰ 〔B )(]d )([x F t t F x a ='⎰ 〔C)(d )(x f t t F x a='⎰〔D )()(]d )([a f x f t t F xa-=''⎰4、设)(x f 在],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上的平均值是〔〔A2)()(b f a f + 〔B ⎰b a x x f d )(〔C ⎰-b a x x f a b d )(1 〔D ⎰-b a x x f ba d )(15、积分⎰=t sx x t f tI 0d )(与〔 有关。
微积分下期末考试试题
微积分下期末考试试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的导数是：A. \( \frac{1}{x} \)B. \( x^{-1} \)C. \( \frac{1}{x} \)（不包括x=0）D. \( \frac{1}{x} \)（不包括x<0）2. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，则下列哪个选项是正确的？A. \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \leq 1 \)B. \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \geq 1 \)C. \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx = 1 \)D. 无法确定3. 泰勒级数展开 \( \sin(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的前三项是：A. \( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \)B. \( x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \)C. \( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{3!} \)D. \( x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{4!} \)4. 以下哪个函数是偶函数？A. \( f(x) = x^2 + 1 \)B. \( f(x) = x^3 - 1 \)C. \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \)D. \( f(x) = \ln|x| \)5. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1 \)，则下列哪个选项是正确的？A. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \)B. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \)C. \( \lim_{x \to 0} f(x) \) 不存在D. \( \lim_{x \to 0} f(x) \) 可以是任意值二、计算题（每题10分，共40分）1. 求函数 \( f(x) = \sin(x) + e^x \) 在区间 \( [0, \pi] \) 上的定积分。
微积分下册期末试卷及答案
中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案06年A 卷1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x0 21___________.π=⎰∞+∞--dx ex 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.二、选择题(每小题3分,共15分)6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-e p xx dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( ).(A) 123I I I >> (B) 213I I I>>(C) 123I I I << (D) 213I I I<<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) xe bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限 11lim222200-+++→→y x y x y x .13、),(y x z z =由xy e z z=+确定，求y x z∂∂∂2.14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值.15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx .16、计算二重积分22()Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程x y y +'=''.18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间..根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=， 求最优广告策略.四、证明题(每小题5分,共10分)21、设1133ln()z x y =+，证明：13z z xy x y ∂∂+=∂∂.22、若∑=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛.答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 23、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 二、选择题(每小题3分,共15分)6、(C ).7、 (B).8、(A ) .9、(D). 10、(D).三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32y x =的反函数为23,0x y y =>。
微积分下册期末试卷及答案
1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x0 21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.二、选择题(每小题3分,共15分 评分阅卷人6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-e p x x dx 1 1ln 均收敛, 则常数p 的取值范围是( ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若22223111x y I x y dxdy +≤=--⎰⎰,222232121x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰222233241x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,则下列关系式成立的是( ).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) xe b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) xe bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)评分11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x . 13、),(y x z z =由xy e z z=+确定，求y x z∂∂∂2. 14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx. 16、计算二重积分22()Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程x y y +'=''.18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.21、设1133ln()z x y =+，证明：13z z xy xy ∂∂+=∂∂. 22、若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛.答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+.2、π.3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 二、选择题(每小题3分,共15分)6、(C ).7、 (B).8、(A ) .9、(D). 10、(D).三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32y x =的反函数为23,0x y y =>。
微积分下期末总复习题
22
3、二阶偏导数
2 z 2 z 1 设z x ln( xy), 求 2 , . x xy 解 z ln( xy) x 1 y ln( xy) 1, x xy
1 (1) n (1) n (1) 1, p 1, | n 1 |收敛，故 n 1 绝对收敛, p n 1 np n 1 np 1 ( 1) n ( 1) n (2) 1, p 1, | n 1 |发散，故 n 1 发散, p n 1 np n 1 np
0
1 . 4
9
4：极坐标系下的二重积分
Chapter 8 三、14
a 2 x2 y 2 dxdy , 其中D ( x, y) x2 y2 a2 , a 0
2
D
0
d
a 0
a
0
a r rdr
2 2
a 2 r 2 d (a 2 r 2 )
期末考试考核点
1、定积分计算题 2、级数敛散性判断 3、偏导数计算 3、二重积分计算 4、微分方程求解 5、应用题 6、证明题
1
一、定积分
1、变量代换 2、分部积分 3、直角坐标系下的二重积分 4、极坐标系下的二重积分
2
1、变量代换
(1)
求： x 1 xdx （课本225页）
Chapter 8 三、13 D是无界区域
y2
解一： e
微积分下册期末试卷及复习资料
(A)p1(B)p1(C) 1 p 2(D)p24x,22f (x,y)2 2 , x 2 y 2xy7数0, 22xy在原点间断 ,中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案f （x1、已知y, y) x 2x 2y,则 f (x,y)2、已知 , 则1x 2edxe xdxf(x, y)3、函数x 2xy2y 2 y1在 点取得极值 .4、已知f (x, y) (xarctan y) arctan y, 则f x (1,0) .5、以 y3x（C 1 C 2x ）e 3x （C 1,C 2为任意常数 ）为通解的微分方、选择题 （ 每小题 3分, 共15分）e dx 与edx1xln p 1x 均收敛 ,则常数 p的取值范围是 （).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在(C) 在原点有二重极限 , 但无定义(D)在原点二重极限存在 , 但不等于函数值10、设 n 1 a n 收敛，则 n1( 1) a n(32(A) 绝对收敛 (B)条件收敛 (C) 发散(D)不定三、计算题 ( 每小题 6分, 共60分)I 18、若I 3x 231 x2 y 2dxdy 131 x 2y 2 dxdyy 2 4I 2 3 1 x 2 y 2 dxdy1 x2 y 2 2, 则下列关系式成立的是 ( ).(A) (C)I 1I 19、方程 y (A) (C)I 2 I 3I 2 I 3(B) (D)I 2 I 1I 3I 2I 1I 36y y ax b y (ax 29y 5(xbx)e 3x1)e具有特解 ( y (ax (ax 3bx 2 )e3x).(B) (D)3xb)e2 3x).所围图形绕 y轴旋转的旋转体的体积11、求由y x2, x 4, y13、z z(x,y)由z e z xy确定，求2z12、求二重极限22l x y im00 x2 y2 1 1xy2214、用拉格朗日乘数法求z x2 y2 1在条件x y 1下的极值.x 1yy1dy 2 e dx15、计算 2 y2围成的在第一象限内的区域16、计算二重积分 (x 2 y 2) dxdyD， 2其中 D 是由y轴及圆周x22y 21所17y y x18、判别级数n 1( n 1n 1)的敛散性.119、将函数 3 x 展开成 x 的幂级数 , 并求展开式成立的区间20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告 . 根据统计资料 , 销售收入 R （万元 ）与电台广告费用 x1 （万元）的及报 纸广告费用 x2（万元） 之间的关系有如下的经验公式 :22R 15 14x 1 32x 2 8x 1x 2 2x 12 10x 22，求最优广告策略.四、证明题 （ 每小题 5分, 共10分）答案、填空题 （每小题 3分,共15分）评分评阅人1121、设 z ln( x 3 y 3 ) ，证明：u n22、若 n 1与都收敛 , 则 (u1v n )2收敛.2x 2(1 y) 1 2( , )1、 1 y. 2 、 . 3 、 3 3 . 4 、1. 5 、y" 6y' y 0.二、选择题 (每小题 3分,共15分)6、(C ). 7 、 (B). 8 、(A ) . 9、(D). 10 、(D).三、计算题 (每小题 6分,共60分)311、求由 y x2 , x 4, y 0所围图形绕 y轴旋转的旋转体的体积 .32 23解： y x2的反函数为 x y 3,y 0。
重庆工商大学期末复习资料微积分近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)
均收敛,
则常数 的取值范围是(
).
(A)
(B)
(C)
(D)
7、对于函数 (A)不是驻点 (C)是极大值点
,点 (
).
(B)是驻点而非极值点
(D)是极小值
8、已知
,
,其中 为
,则
(
).
(A)
(B)
(C)
(D)
9、方程
具有特解(
).
(A)
(B)
(C)
(D)
10、级数
(A)条件收敛 (C)发散
11、求
，则其通解为 （D）
A、
； B、
有三个特解
，
，
；
21/21
C、
；
D、
5、无穷级数
( 为任意实数) （A）
A、无法判断
B、绝对收敛
三、计算题(每小题6分,共60分)
C、收敛
D、发散
1、求下列极限：
。
解：
2、求由在区间
上,曲线
…（3分）
…（6分）
与直线
、
所围图形绕 轴旋转的旋转体的体积。
解：
…（4分）
所以，原式
.
13．L上的点到平面
的距离为 ，它的最大值点，最小值点与 的一致，用拉格朗日乘数
法，设
，
求偏导数，并令其为零有：
，
，
，
，
．
解之得两组解
.所以当
时， 最小；
4/4
当
时，
最大.
14．将分成如图的两块， 的圆记为 D1，另一块记为 D2 +
15．由 从而知
微积分下册总复习
z
lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x ( x0, y0 ) x0
x
lim f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x x0
x x0
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0)
z Ax By o( ) ( 0),
D
b
dx
2( x) f ( x, y对x的二次积分
y
y 2(x)
D
y 1(x)
Oa
bx
第20页/共107页
D {( x, y)c y d,1( y) x 2( y)},
其中函数1( y)、 2( y) 在区间[c, d]上连续.
f ( x, y)d
1( )
A
rdrd 极坐标系中的面积元素
第23页/共107页
D {( x, y) ,0 r ( )}
其中函数 ( )在区间[ , ]上连续.
( )
f ( x, y)d d 0 f (r cos ,r sin )rdr;
D
r ( )
D
O
A
第24页/共107页
D {( x, y)0 2π,0 r ( )} 其中函数 ( )在区间[ , ]上连续.
D
d
dy
2( y)
f ( x, y)dx
c
1( y)
y
d D
x 1( y)
c
x 2( y)
先对x 后对y的二次积分. O
x
第21页/共107页
交换积分次序的步骤
(1) 利用已给的二次积分的积分限得出 相应的二重积分的积分区域, 并画出草图;
微积分第二学期期末复习题
微积分第二学期期末复习题微积分第二学期期末复习题随着学期的结束，微积分第二学期的期末考试也即将到来。
为了帮助大家更好地复习和准备考试，本文将提供一些复习题，希望对大家有所帮助。
一、定积分1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (x^2 + 3x + 1) dx$。
2. 求定积分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$。
3. 计算定积分 $\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx$。
二、不定积分1. 求不定积分 $\int (2x^3 + 3x^2) dx$。
2. 计算不定积分 $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$。
3. 求不定积分 $\int e^x \sin(x) dx$。
三、微分方程1. 求解微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2x$。
2. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$。
3. 求解微分方程 $\frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0$。
四、级数1. 计算级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$。
2. 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}$ 的敛散性。
3. 计算级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$。
五、向量1. 求向量 $\vec{A} = (2, -3)$ 和 $\vec{B} = (1, 4)$ 的数量积。
2. 求向量 $\vec{A} = (3, -2)$ 和 $\vec{B} = (4, 1)$ 的叉积。
3. 求向量 $\vec{A} = (1, -2, 3)$ 和 $\vec{B} = (2, 1, -3)$ 的向量积。
六、多元函数1. 计算函数 $f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数。
2. 求函数 $f(x, y) = x^3 - 3xy^2$ 的梯度。
微积分下册期末考试题及答案
微积分下册期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 若函数 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，则 \( f'(x) \) 等于：A. \( 6x + 2 \)B. \( 3x + 2 \)C. \( 6x^2 + 2 \)D. \( 6x - 5 \)2. 曲线 \( y = x^3 - 2x^2 + x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 若 \( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_{0}^{1} x dx \) 等于：A. \( \frac{1}{2} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{6} \)4. 函数 \( y = \sin(x) \) 的原函数是：A. \( \cos(x) \)B. \( -\cos(x) \)C. \( x - \sin(x) \)D. \( x + \sin(x) \)5. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} \) 等于：A. 0B. 1C. 2D. 36. 函数 \( y = e^x \) 的 \( n \) 阶导数是：A. \( e^x \)B. \( ne^x \)C. \( n!e^x \)D. \( (n+1)e^x \)7. 若 \( \int e^x dx = e^x + C \)，则 \( \int_{0}^{1} e^x dx \) 等于：A. \( e - 1 \)B. \( e \)C. \( e^2 - 1 \)D. \( e^2 \)8. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是：A. \( x \geq 0 \)B. \( x > 0 \)C. \( x < 0 \)D. \( x \leq 0 \)9. 函数 \( y = x^2 \) 的拐点是：A. \( x = 0 \)B. \( x = 1 \)C. \( x = -1 \)D. \( x = 2 \)10. 若 \( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \)，则\( f(x) \) 和 \( g(x) \) 的关系是：A. \( f(x) \) 比 \( g(x) \) 增长得更快B. \( f(x) \) 比 \( g(x) \) 增长得更慢C. \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 增长速度相同D. \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 都是常数答案：1. A 2. C 3. A 4. A 5. C 6. A 7. A 8. B 9. A 10. B二、填空题（每题2分，共10分）11. 若 \( f(x) = \ln(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{x} \)。
微积分下期末试题及答案
微积分下期末试题及答案下面是微积分下期末试题及答案的内容：一、单选题（每题2分，共20分）1. 在一个封闭的矩形区域内，下列函数中一定存在一个绝对值最大的点的是：A. f(x) = 2x + 3B. f(x) = -x^2 + 5x + 1C. f(x) = sin(x)D. f(x) = e^x答案：B2. 设函数f(x) = x^3，则f'(x) = ？A. 3x^2B. 4x^3C. 2x^3D. x^2答案：A3. 曲线y = 2x^2 - 3x + 1的切线斜率为：A. 2B. -2C. 3D. -3答案：C4. 若f(x) = x^2 + 2x，则f''(x) = ？A. 2B. 4C. 0D. 6答案：A5. 设y = 3x - 1为直线L1上一点，曲线y = 2x^2 + 1上一点为(x0, y0)，则L1与曲线的切线平行于x轴的条件是：A. x0 = -1B. x0 = 0C. x0 = 1D. y0 = -1答案：D6. 函数f(x) = ln(x)的反函数为：A. f(x) = e^xB. f(x) = xC. f(x) = e^(-x)D. f(x) = x^2答案：A7. 函数f(x) = 3x^2 + 2在区间[1, 2]上的平均值为：A. 4B. 5C. 8/3D. 10/3答案：C8. 若f(x) = sin(x)，则f''(x) = ？A. -cos(x)B. cos(x)C. -sin(x)D. sin(x)答案：D9. 由函数f(x) = x^3 - 3x求得的原函数为：A. x^4/4 - 3x^2/2 + CB. x^4 + 3x^2 + CC. x^3 - 3x + CD. x^4 - x^2 + C答案：A10. 函数y = ax^2 (a ≠ 0)与直线y = 2x - 3相切的条件是：A. a = 4B. a = 2C. a = 1D. a = 3答案：B二、计算题（每题10分，共30分）1. 设函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1，求f'(2)的值。
微积分(下)总复习题及部分参考答案
微积分（下）总复习题及部分参考答案()()()()()xD xC xB x A x πππππππππcos cos 1cos 1cos sin 1⋅⋅⋅-⋅-的一个原函数是函数B()()()()()()12211,2sin ln 2122-=⋅=D C B A k x x ctg k x f 则的一个原函数为设A()()()[]()[]()()∞+∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=,,00,2,2sin ,3D C B A x y ππππ可积的区间是函数在下列区间中C()()()()()()()()()()Cx D C x x C C x f B Cx x A dx x f x C x dx x f ++++++++=+⋅+=⎰⎰333333432313113131411,4则若D()()()()()C x D Cx C Cx B Cx A xdx +--+--+--+-=-⎰32323223232325D()()()()()()()()()()()()()()()()a G a x G D a G a t G C a G x G B a G t G A dt a t g x g x G xa22,6-+-+--=+='⎰则己知D()()()()()3ln 8093ln 9803ln 9803722⋅⋅⋅=⎰--D C B A dx x B()()()()()⎰⎰⎰⎰∞+∞+∞+∞+⋅11112ln 8x dx D xx dx C xdx B xdx A 是下列广义积分中收敛的D()()()()()()11sin 111cos 211cos 111cos 11,1cos 922232221212++-+-+-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎰⎰xx D xx C x x B xA dt t f t x dt t f xx则如果A()()()()()()313311lim1032-=-⎰-→D C B A xdtext xD()()()()()eD eC eB e A dx x e x -++-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰33ln 3ln 333ln 3ln 3113ln 1A()()()()()()()()()()()()()()()()a F F D F a F C a F a F B a F a F A dx a x f x f x F aa-----=-⎰002,122则的原函数是如果C()()()()()()()()()()()以上都不对则若D x C x B x A x f c x dx x f x x ln cos ln sin ln ,ln sin 21ln sin 132=+=⎰解 ()()()⎪⎭⎫⎝⎛+='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰c x dx x f x x ln sin 21ln sin 2, ()()()()x x xx f x x ln cos ln sin 1ln sin ⋅= , ()()x x f ln cos =.()[]()()()()()[]()()()()()[]()02,,14000D dxx f x f C dx x f B dx x f x f A dx x f a a x f aaa aa⎰⎰⎰⎰-+-+-=---则上连续在设证明()()()dx x f dx x f dx x f aaaa⎰⎰⎰--+=0令：x t -=，()()()()⎰⎰⎰⎰-=-=--=-aaaa dx x f dt t f dt t f x f 0()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰-+=+=--aa aaaadx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 0()()[]dx x f x f a⎰-+=0。
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一、填空题
1、 .
2、若 在 上连续,则 .
3、已知 是 的原函数，则 等于.
4、若 是 的一个原函数，则 .
5、 .
6、已知 ，则 在 上的平均值为.
7、设 且 连续，则 .
8、设曲线 ( )与直线 及y轴围成的图形面积为 ，则 .
9、设 ，则 .
10、设 ，则 .
11、交换积分次序 .
6、解 ， ，
， 。
7、解： ，
8、解：方程两边关于x求偏导，
方程两边关于y求偏导， 。
9、解 ，求得驻点 ，
， ， ， ，
所以 为极小值点，极小值为
10、解原式 。
11、解 。
12、解交换积分次序，
13、解交换积分次序，
原式 。
14、解交换积分次序，原式 。
15、解分离变量， ，积分得 ，
将 代入，得 ，
12、交换积分次序 .
13、交换积分次序 ＝.
二、选择题
1、极限 等于（）
（A）1（B）2（C）4（D）8
2、设 ，则 （）
(A) (B) (C) (D)
3、设 是连续函数，且 ，则必有（）B
（A） （B）
（C） （D）
4、设 在 上连续，则 在 上的平均值是（）
（A） （B）
（C） （D）
5、积分 与（）有关。
（A） （B） （C） （D）s
6、下列方程中变量可分离的是( )
（A） （B）
（C） （D）
7、( )是微分方程 满足条件 的特解。
（A） （B）
（C） （D）
三、计算题
1、计算下列不定积分：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2、计算下列定积分：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(1)解令 ，则 ， ，于是
.
(2)解 .
(3)解
(4)解令 ， ， ，
(5)解令 ， ，
(6)解
2、计算下列定积分：
(1)解：
解得 .
(2)解：原式
.
(3)解：令 ，则
原式
(4)解：令 ，则
(5)解：令 ，则
原式
(6)解令 ，则
(7)解设 ，
原式
(8)解令 ，原式 。
3、解
4、解设 ，
.
5、解 ；同理， 。
五、证明题
1、设 在 上连续,证明： 。
2、设 在 上连续,证明： 。
3、证明 .
解答：
一、填空题
1. 1 2.-2f(2x) 3. 4. 5. ln2 6.
7. 8. 9. 810、 11.
12.
13、
二、选择题
1. C 2. B
3、解选B
利用变上限积分函数的导数 ，结合 ，得
(A) , (C) , (D) ,
， ，( 为产品单价)，且产品需求要受限制 求工厂获最大利润时的产量和单价。
6、设某企业的总产量函数为 （吨）， 为两种投入要素，其单价分别为1万元/吨和2万元/吨，且该企业拥有资金150万元，试求 使产量最大。
7、生产某种产品需要 三种原料，且产量与 原料的用量 的关系为 ，已知三种原料售价分别为1,2,3(万元)，今用2400(万元)购买材料，问应如何进料才能使产量最大？
1、证明：
而
故
2、见教材P22例11(2)
3、证明
令 ， ，
解得唯一驻点
由实际意义，此时利润的增加最大
5、解：目标函数为 ，
约束条件
令 ， ，
解得唯一驻点 ，此时价格
由实际意义，此时利润最大
6、解: ，
得 ，唯一，
由实际问题存在产量最大，即当 时产量最大。
7、解目标函数 ，约束条件 ，
,…（3分）
令
，
解得唯一驻点 ，由实际问题，此时产量最大。
五、证明题
所求特解为 .
16、解方程改写为 （1分）
（3分）
17、解原方程为 ，
18、解 ，
19、解原方程改写为 ，通解为
，
将 代入，得 ，故所求特解为 。
四、应用题
1、解 ，
2、解 ，
3、解（1） ，则切线的斜率 ，切线方程： 切线与x轴交点为 ，S ，解得 ， .
（2）切线方程： ，
4、解：目标函数为 ，约束条件
故选(B).
4、解选C
若函数 在 上连续，则称 为 在 上的平均值，故选(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ).
5、解选D
设 ，则 ， ，
于是 ，故积分I与s有关.应选(D).
6、解选
由于 可写成 ，故应选(B).
7、解选
将原方程分离变量并两边积分，得到通解为 ，
代入初始条件 ，得 ，所求特解为 。
三、计算题
1、计算下列不定积分：
16、求微分方程 的通解。
17、求方程 的通解。
18、求微分方程 的通解。
19、求解微分方程 ， .
四、应用题
1、求 与 所围成的图形的面积及它绕 轴旋转而成的旋转体体积。
2、求 与 所围成的图形的面积,并求此图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
3、过曲线 上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形D的面积S为 。
(1)求点A的坐标；(2)求平面图形D绕x轴旋转一周而成的旋转体体积。
4、为销售某种产品，需要作两种方式的广告，当两种广告的费用分别为x和y时，销售利润的增加是 （万元）。现花25万元用于广告，问怎样分配两种方式的广告费用，可使利润的增加达到最大？
5、某厂生产产量分别为x和y的两种产品，总成本
，需求函数分别为
(7) (8)
3、设 ，求 .
4、设 ,求 。
5、设 是由方程 确定的隐函数，求 。
6、设 ，求 。
7、 ，求 。
8、已知 ，求 ， 。
9、求函数 的极值。
10、计算二重积分 ，其中 。
11、计算二重积分 ，其中D是以 为顶点的三角形区域。
12、计算 .
13、计算 .
14、计算 。
15、求微分方程满足初始条件的特解： ， .