自测题(第四章)

D(X ) × D(Y )
1
-8
3 16
×
3 4
=
-
1 3
；
2．设连续型随机变量
X
概率密度为
f
(x)
=
ìax +
í î
0,
b,
0
£x£ 其它
1
，且
E(X
)
=
1 3
，则常
数a =
，b =
．
ò ò ( ) 解∵
E
X
=
+¥ xf (x)dx =
-¥
1 0
x
×(ax
+
b)dx
=
æ çè
a 3
x3
+
bx2
ö ÷ø
f (x, y) =
1
e2
-1 (1- ρ2
)
é ê百度文库êë
(
x
- μ1 σ12
)2
-
2
ρ
(
x
- μ1 )( σ1σ2
y
-
μ2
)
+
(
y
- μ2 σ22
)2
ù ú úû
2πσ1σ2 1- ρ2
=
4
3 5p
exp{-
9 10
[(
x
-
3)2
-
2 3
(x
-
3)(
y
-
2)
+
( y - 2)2 ]} 4
知
m1
=
3, m2
∴ X + a～N(0,s 2 )
3．设 E( XY ) = E( X )E(Y ) ，则 X 与Y 独立．（
）
解. [×]； 参见教材例 4.18.
三、填空题（每空 2 分, 共 22 分）:
1．设二维随机变量（ X , Y ）的联合分布律为：
X Y
1
2
1
1/4
1/2
-1
0
1/4
则 E( X ) = ，D( X ) = ，E(Y ) = ，D(Y ) = ，cov(X ,Y ) = ，r XY =
解：（1）设V 的分布函数为 FV (v) ，则
FV (v) = P{V £ v}= 1- P{V > v}= 1- P{X > v}P{Y > v}
当 v < 0 时， FV (v) = 0 ；
ò ò 当 v ³ 0 时， FV (v) = 1-
+¥ e- xdx
v
+¥ e- xdx = 1 - e-2v
5．设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X ~ N (1,2, ),Y ~ N (0,1) ．令 Z = -Y + 2X + 3 ，
则 D(Z) =
．
解：∵ X 与Y 相互独立，∴ D (Z ) = D (–Y + 2X + 3) = D (–Y ) + D (2X + 3) = (–1)2 D (Y ) + 4D ( X ) = 1+ 4´ 2 = 9 .
所以 E( X 2 ) = DX + (EX )2 = 2.4 +16 = 18.4 .
4．设随机变量 X1, X 2 , X 3 相互独立，其中 X1 在[0, 6]上服从均匀分布， X 2 服从正态分
布 N(0, 22 ) ， X3 服 从 参 数 为 l = 3 的 泊 松 分 布 ， 记 Y = X1 - 2 X 2 + 3X3 ． 则
=
2, σ1
= 1, σ2
=
2,
ρ
=
2 3
，
E(Z ) = 3E( X ) - 2E(Y ) = 9 - 4 = 5
D(Z
)
=
9D(
X
)
+
4D(Y
)
-12
cov(
x,
y)
=
9
+
16
-
12
´
2 3
´1´
2
=
9
，
则 Z : N (5,9) ，
而 cov(X
,
Z)
=
cov( X
,3X
-
2Y )
=
3D( X
X , Y 的概率密度，则在Y = y 的条件下， X 的条件概率密度 f X |Y (x | y) 为
（A） f X (x) ．
（B） fY ( y) ．
（C） f X (x) fY ( y) ．
（D） f X (x) ． fY (y)
解：由于 ( X ,Y ) 服从二维正态分布，因此从 X 与Y 不相关可知 X 与Y 相互独立，于是
=
-
1； 81
r XY =
cov(X ,Y ) = D( X ) × D(Y )
-
1 81
=-
9 ´162 = -
23 9
×
13 162
81´ 23 ´13
2。
299
五、（10 分）游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第 5 分钟、25
分钟和 55 分钟从底层起行.假设一游客在早 8 点的第 X 分钟到底层侯梯处，且 X 在[0,60]上
ö2 ÷ø
=
13 162
；
ò ò ò ò ( ) 又
∵
E
XY
=
+¥ -¥
+¥ -¥
xy
f
(
x,
y)dxdy
=
1 3
2 dx 1 xy(x + y)dy
0
0
ò =
1 3
2 0
çæ è
1 2
x
2
+
1 3
x ÷ödx ø
=
2 3
，
∴
cov (
X ,Y
)
=
E
(
XY
)
-
E(X
)×E
(Y
)
=
2 3
-
11 9
×
5 9
ïî60 - X + 5, 55 < X £ 60.
从而
ò EY =
+¥ -¥
g
(
x)
f
X
(
x)dx
ò ò ò ò =
1 60
[
5 (5 -
0
x)dx
+
25(25 - x)dx +
5
55(55 - x)dx +
25
60(65 - x)dx]
55
=
1 60
(12.5
+
200
+
450
+
37.5)
=
11.67
.
六、（10 分）设随机变量（ X ,Y ）的概率密度为：
f (x, y) =
4
3 5p
exp{-
9 10
[(
x
-
3)2
-
2 3
(
x
-
3)(
y
-
2)
+
(
y
- 2)2 4
]}.
记 Z = 3X - 2Y ，（1）求 Z 的分布；（2）问 Z 与 X 独立吗？
解：因为随机变量 ( X,Y ) 是二维正态分布，其概率密度
1 0
=
a
+ 3b 3
=
1 3
ò ò +¥ f (x)dx = -¥
1(ax
0
+
b)dx
=
æ çè
a 2
x2
+
bx
ö ÷ø
1 0
=
a
+ 2b 2
=
1
∴ a = 4, b = -1.
3．设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射击命中率为 0.4，则 E( X 2 ) =
．
解：由于 E( X 2 ) = DX + (EX )2 ，而 X : B(10,0.4) . EX = 10´ 0.4 = 4 ， DX = 10 ´ 0.4´ 0.6 = 2.4 ，
选D
2．对于任意两个随机变量 X 和Y ，若 E( XY ) = E( X )× E(Y ) ，则（ ）.
（A） D( XY ) = D( X )D(Y ) （C） X 和Y 独立 解：由于 E( XY ) = E( X )× E(Y ) ，因此有
（B） D( X + Y ) = D(Y ) + D(Y ) （D） X 与Y 不独立
f
( x,
y)
=
ì ï í ïî
S
1 (D)
,
( x,
y)
0,其它
Î
D
=
ì1, í î
(x, y) Î D 0,其它
E(3X + 5Y + 2) = òò (3x + 5y + 2) f (x, y)dxdy
D
ò ò = 1dx x (3x + 5y + 2)dy
0
-x
ò= 13x(2x + 0 + 4x)dx 0
有
f X|Y (x | y) = f X (x)
二、判断题（每小题 3 分, 共 9 分）:
选A
1．设随机变量
X
的概率密度为
f
(x)
=
p
1 (1 +
x2
)
,-¥
<
x
<
+¥
，则
E(X
)
=0．（
）
1
( ) ò ò ò 解：1. [×]； ∵
E
X
=
+¥ x × f (x)dx =
-¥
+¥ -¥
p
(1
x +
= (2x3 + 2x2 ) |10
=4
四、（10 分）设随机变量（ X ,Y ）的概率密度为：
f (x, y) = ïíì13 (x + y), 0 £ x £ 2,0 £ y £ 1
ïî 0,
其它
求数学期望 E( X ) 及 E(Y ) ，方差 D( X ) 及 D(Y ) ，协方差 cov(X ,Y ) 及相关系数 r XY ．
cov( X ,Y ) = E( XY ) - E(X )× E(Y ) = 0
D( X + Y ) = D(Y ) + 2 cov( X ,Y ) + D(Y ) = D(Y ) + D(Y ) .
选B
3．设随机变量 ( X ,Y ) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关， f X (x), fY ( y) 分别表示
x2
)dx
=
1 p
+¥ -¥
1
2 + x2
d
(1
+
x2
)
=
1 2p
ln (1 +
x2 )
+¥ -¥
不存在。
2．设 X ~ N (0,s 2 ) ，则对任何实数 a 均有： X + a ~ N (a,s 2 + a 2 ) ． （ ）
解：[×]； ∵ E ( X + a) = E ( X ) + a = a ， D ( X ) = D ( X + a) = D ( X ) = s 2
6．设随机变量（ X ,Y ）在区域 D = {(x, y) | 0 < x < 1,| y |< x} 内服从均匀分布，则
E(3X + 5Y + 2) =
．
解： D = {(x, y) | 0 < x < 1,| y |< x} ， S(D) = 1,
（ X ,Y ）在区域 D = {(x, y) | 0 < x < 1,| y |< x} 内服从均匀分布，则
0
0
ò =
1 3
1 (2 y 2
0
+ 2 y)dy
=
5； 9
( ) ò ò ò ò ∵
E
X2
=
+¥ -¥
+¥ -¥
x2
f
(
x,
y)dxdy
=
1 3
2 dx
0
1 x2(x + y)dy
0
ò =
1 3
2 (x3
0
+
1 2
x
2
)dx
=
16 9
，
( ) ∴
D(X)= E
X2
–
éëE (
X
)ùû2
=
16 9
-
DY =
．
解：依题意，
D(
X1)
=
36 12
=
3
，
D(
X
2
)
=
4
，
D( X3
)
=
3
，由于
X1,
X2
,
X3
相互独立，
故 X1, -2 X 2 ,3X 3 也相互独立，
所以 DY = D( X1 - 2X 2 + 3X3 ) = D( X1) + D(-2 X 2 ) + D(3X3 ) = 3 + 4´ 4 + 9 ´ 3 = 46
Y2
–
éëE (Y
)ùû2
= 12
´
æ çè
1 4
+
1 2
ö ÷ø
+
(-1)2
´
1 4
-
æ çè
1 2
ö2 ÷ø
=
3 4
；
cov( X ,Y ) = E ( XY ) - E ( X ) E (Y )
=
(-2)
´
1 4
+
(-1)
´
0
+1´
1 4
+
2
´
1 2
-
7 4
´
1 2
=
-
1 8
；
r XY =
cov(X ,Y ) =
ò ò ò ò ( ) 解：
E
X
=
+¥ -¥
+¥ -¥
xf
(
x,
y)dxdy
=
1 3
2 dx
0
1 x(x + y)dy
0
ò =
1 3
2 çæ x 2 0è
+
1 2
x
÷ödx ø
=
11 9
；
ò ò ò ò ( ) E Y
=
+¥ -¥
+¥ -¥
yf
(
x,
y)dxdy
=
1 3
1 dy 2 y(x + y)dx
æ çè
11 9
ö2 ÷ø
=
23 9
；
( ) ò ò ò ò 又∵ E Y 2
=
+¥ -¥
+¥ -¥
y2
f
( x,
y)dxdy
=
1 3
1 dy
0
2 y2(x + y)dx
0
ò =
1 3
1 0
y
2
(2
y
+
2)dy
=
7 18
( ) ∴ D(Y ) = E
Y2
–
éëE
(Y
)ùû2
=
7 18
-
æ çè
5 9
服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望.
解： X : [0, 60] ，故 X 的密度函数为
f
X
(
x)
=
ìï í
1 60
,
0 £ x £ 60,
ïî 0, 其他.
令 Y 为候车时间，则
ì 5 - X , 0 < X £ 5,
Y
=
g(X )
=
ïï í
ï
25 - X , 55 - X ,
5 < X £ 25, 25 < X £ 55,
自测题（第四章）
一、选择题（毎小题 3 分, 共 9 分）:
1. 对目标进行 3 次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为 0.72，
则每次射击的命中率等于（ ）.
（A）0.1
( B ) 0.2
( C ) 0.3
( D ) 0.4
解：由题意知： X～B (3, p) ，而 D ( X ) = 3 · p· (1– p) = 0.72 ，\ p = 0.4 .
)-
2 cov( X ,Y )
=
3×1- 2 ×
2 3
×1× 2
=
1 3
所以， Z 与 X 不相互独立。
七 、（10 分 ） 设 随机 变量 X 与 Y 相 互 独 立 ， 且均 服从 参 数 为 1 的 指 数 分 布 ，记 U = max{X ,Y }, V = min{X ,Y }，求（1）V 的概率密度 fV (v) ；（2） E(U + V ) ．
．
解：
E
(
X
)
=
1´
1 4
+
2
´
æ çè
1 2
+
1 4
ö ÷ø
=
7 4
；
( ) D( X ) = E
X2
–
éëE
(
X
)ùû2
= 12
´
1 4
+
22
´
æ çè
1 2
+
1 4
ö ÷ø
-
æ çè
7 4
ö2 ÷ø
=
3 16
；
E
(Y
)
=
1´
æ çè
1 4
+
1 2
ö ÷ø
+
(-1) ´
1 4
=
1 2
；
( ) D(Y ) = E
v
故
V
的概率密度
fV
(v)
=
FV¢(v)
=
ìï2e-2v ,
í ïî
0,
v>0 v£0
（2）解法一：U
= max{X ,Y }=
1 2
[(
X
+Y)+
X
-Y
]
V
= min{X ,Y }=
1 2
[(
X
+Y)-
X
-Y
]
则U +V = X + Y E(U + V ) = E(X + Y ) = E( X ) + E(Y ) = 1+1 = 2 ．