人教版数学-江苏省数学竞赛第42讲 平均不等式.

平均不等式

本节主要内容是两个、三个或n 个（n ∈N +）正数的算术平均数不小于它的几何平均数，

也就是),(2

+∈≥+R b a ab b

a ),,(3

3

+∈≥++R c b a abc c b a

),...,,(......212121+∈≥+++R a a a a a a n

a a a n n

n n

对于一般正整数n 的平均不等式，我们将在本节的附录里给出证明． A 类例题

例1 证明：对任意实数a >1,b >1， 有

81

12

2≥-+-a b b a

分析：由对称性，容易算出当a =b =2时等号成立，此时

4)1(41

)1(412

2=-=-=-=-a a b b b a

证明：)1(4.1

2)1(412

2--≥-+-b b a b b a

即

a b b a 4)1(412

≥-+-

同理

b a a b 4)1(41

2

≥-+-

两同向不等式相加得

81

12

2≥-+-a b b a ，a =b =2时等号成立． 说明：不等式中什么时候等号成立，应该看作是一种信息，有时能帮助我们找到证题的入口．本题对平均不等式用得巧妙、简捷、富有启发性． 链接：本题可以稍作引申：

当a >1,b >1,c >1时，

121

112

22≥-+-+-a c c b b a

例2 已知a 2,…, a n 是n 个正数，满足c =1

求证：（2+ a 1）（2+ a 2）…（2+ a n ）n

3≥ (1989年全国联赛题)

分析：考虑到已知条件a 1.a 2…a n =1，因此如何从（2+ a 1）（2+ a 2）…（2+ a n ）过渡到能用已知条件就成关键．再注意到2+ a 1，2+ a 2等都与3比较接近，并且还有相等的可能，因此证法便自然得到．

证明：1+1+ a 131

.1.13a ≥

即 2+ a 1313a ≥ 同理 2+ a 2323a ≥ …

2+ a n 33n a ≥

将这n 个同向不等式相乘得（2+ a 1）（2+ a 2）…（2+ a n ）n

3≥.n n a a a 3...321=，当a 1= a 2= a n 时等号成立．

说明：本题证明中将2+ a 1拆成1+1+ a 1，这种恒等变形（分拆）还有形形色色的“凑”和“配”，在解题时是经常用到的．这些技巧的运用并无固定的程式和章法可套，只能根据题目的特点，因题而异．经验和洞察力要靠我们不断地实践和积累．

链接：本题也可以从左边入手乘开，或将3n 表为（2+1）n 二项展开都可以获得成功，过程略显繁琐．

例3 设a >b >0，那么a 2+

)

(1

b a b -的最小值是_____（2005年全国高中联赛江苏赛区初赛）

分析：本题取自课本的一个习题（人教社版，第二册（上）），题中有两个变量a ，b ，解题时总希望字母愈少愈好，故最好把原式处理成一个变量问题，再证明它大于或等于一个常数．在这中间我们又注意到和-b 之和为a ，因式2

2)(a

b a b b a b =-+≤

- 解：2

)(a b a b ≤

-⇒

)(1b a b -24

a ≥ a 2+

)(1b a b -44

22≥+≥a

a ，因此a 2+

)(1b a b -的最小值是4． 当⎪⎩

⎪⎨⎧==222

b a 时取得最小值． 说明：当若干个变量的和为常量或积为常量时，我们就可以考虑用平均值不等式，再说在短短的演算过程中两次使用了平均值不等式．

链接：如果题目变为a >b >0，求a 2+)

(1b a b -的最小值，你会做吗？

情景再现

1. 设a >b >c ，证明

4≥--+--c

b c

a b a c a 2. 设X 1, X 2…X n +∈R ，求证≥++++-1

22132

2221...X X X X X X

X X n n n X 1+ X 2+…+ X n

3. 证明 3)2

(2)3(3ab b

a abc c

b a -+≥-++，其中a ，b ，

c ∈R + B 类例题

例4 已知abc =0，求证21

4444

44444444444≤++++++++c

b a

c c b a b c b a a （2004年北京市中学生数学竞赛高一）

分析：如果通分或去分母也许能行得通，但计算量太大，因此这种情况下往往考虑利用“≤”或“≥”的变形（而不是恒等变形）统一分母． 证明：4a 4+b 4+c 4= 2a 4+ a 4+ b 4+ a 4+ c 4≥2a 4+2a 2b 2+2a 2c 2 所以44444c b a a ++≤)

(2)(22222

22224c b a a c b a a a ++=

++ 同理可得

44442c b a b ++≤)(22

222

c b a b ++

44444c b a c ++≤)

(22222

c b a c ++

三式相加得

2

1

)(24442

22222444444444444=++++≤++++++++c b a c b a c b a c c b a b c b a a 当a 2=b 2=c 2≠0时上式等号成立．

说明：平均不等式还有一些特殊形式，从中还能推导出另外一些“副产品”，而所有这些在证题中是常常用得到的，例如：

a 2+

b 2≥2ab （a ，b ∈R ）

a +

a 1≥2 （a ∈R +

） a

b

b a +≥2 （ab >0） A 3+b 3+

c 3≥3abc （a ，b ，c ∈R +

）

2

22

2b a b a +≤

+ （a ，b ∈R ） 3

32

22c b a c b a ++≤

++ （a ，b ，c ∈R ） 此外该题处理分母的方法给我们深刻印象，值得借鉴．

例5 已知a ，b ，c 是正数且a bc ≤1