有理插值函数的构造新方法_荆科
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DOI:10.14096/j.cnki.cn34-1069/n.2012.01.023
第 29 卷第 1 期 2012 年 3 月
阜阳师范学院学报（ 自然科学版） Journal of Fuyang Teachers College （ Natural Science）
Vol． 29 ， No． 1 Mar． 2012
5］ 根据文献［ 中的公式（ 7 ） 得
3
R( x) =
μi ( x ) pi ( x ) ∑ i =0
3
=
μi ( x ) ∑ i =0 1 4 x4 － 20 x3 + 26 x2 － 10 x + 30 。 30 x2 － 2 x + 3 解法 2 ： 取 q ( x ) = x3 － 2 x2 + 3 x + 4 ， 那么 q0 = － 2 ， q1 = 4 ， q2 = 6 ， q3 = 10 ， q4 = 22 ， 相应的 l0 ( x ) = （ x4 － 6 x3 + 11 x2 － 6 x） / 24 ， l1 ( x ) = － （ x4 － 5 x3 + 5 x2 + 5 x － 6 ） / 6 ， l2 ( x ) = （ x4 － 4 x3 + x2 + 6 x ） / 4 ， l3 ( x ) = － （ x4 － 3 x3 － x2 + 3 x ） / 6 ， l4 ( x ) = （ x4 － 2 x3 － x2 + 2 x） / 24 ， 分子多项式为： p ( x ) = （ 3 x4 － 14 x3 + 9 x2 + 26 x） / 24 。 根据公式（ 7 ） 得： 1 88 x4 － 296 x3 － 208 x2 + 1016 x + 480 R( x) = 。 360 x3 － 2 x2 + 3 x + 4 比较上面两种解法， 可 以 看 出， 解 法 2， 在算 p ( x ) 和 q ( x ) 时都比解法 1 要简单。 例2
( )
=
qi fi li ( x ) ∑ i =0 q( x)
m +n
=
( ∑ bk i fi qi ) xk ∑ k =1
i =0
m
m +n
( ∑ bk ∑ k =1
i =0
n
m +n
(
i)
qi ) x
（ 5）
qi fi li ( x ) ∑ i =0 a n x n + a n －1 x n －1 + … + a1 x + a0
有理插值函数的构造新方法
荆 科， 康 宁， 崔方达
（ 阜阳师范学院 数学与计算科学学院， 安徽 阜阳 236041 ）
摘
源自文库
要： 为了解决有理插值函数的存在性和降低有理插值函数的次数， 利用拉格朗日插值基函数的方法和多项式插
给出了一种有理插值函数并将其推广到向量值情形 。 相比于其他方法， 其构造过程公式法， 有理插值函数 值的误差公式， 次数较低， 且计算量较小， 便于实际应用。 关键词： 有理插值函数； 拉格朗日基函数； 插值公式； 多项式 中图分类号： O241． 3 文献标识码： A 4329 （ 2012 ） 0103503 文章编号： 1004-
Abstract： In order to solve the existence of rational interpolation function and reduce the degree of rational interpolation function ，we present a new rational interpolation method and extend it to vector － valued case，by use of the method of Lagrange interpolation basis function and error of polynomial interpolation． Compared with other methods，the course of constructing function is formulary，the degree of rational function is lower，and the algorithm needs less computation and facilitates the practical application．
k
（ 7）
2］ 3］ 但是， 无论是文献［ 还是文献［ 中的方法， i = 0， 1， …， m + n 时， 如果有某个 q i = 0 ， 就会产生 不可达点， 而且在确定有理函数次数之前并不能判 i = 0， 1， …， m + n ； 另外， 断其是否存在 q i = 0 ， 一 旦插值节点和有理插值函数的次数给定，p ( x ) 和 q ( x ) 也是唯一确定的， 这样也就使有理插值函数 并且计算 p ( x ) 和 q ( x ) 的表达 丧失了很多灵活性， 式也需要非常大的计算量。 为了解决以前方法中 的有理插值函数的存在性和降低有理插值函数的 次数， 利用拉格朗日插值基函数的方法和多项式插 值的误差公式， 构造出了一种有理插值函数并将其 推广到向量值情形。其算法是无条件的， 且有理插 值函数的次数较低， 计算量较小， 构造过程公式化， 便于实际应用。
m +n
( ∑ dk i fi qi ) ωk ( x ) ∑ k =1
( )
m
k
i =0 k
( ∑ dk i qi ) ωk ( x ) ∑ k =1
( )
n
i =0
（ 4） 3］中利用拉格朗日基函数的插值方法 文献［ 给出了有理插值函数的表达式 p( x) R( x) = = q( x)
R( x)
R( x) =
qi fi li ( x ) ∑ i =0
m +n
（ 6）
qi li ( x ) ∑ i =0 是一个 有 理 插 值 函 数， 且 满 足 插 值 条 件 R ( xi ) = f ( xi ) ， i = 0， 1， …， m + n， 但是（ 6 ） 的缺点是有理插 值函数的次数很高。 设 qi ≠ 0， ( i = 0， 1， …， m + n) 是 多 项 式 q ( x ) = a n x n + a n －1 x n －1 + … + a1 x + a0 在点 x i ， （i = 0， 1， …， m + n） 处的函数值。 定理 2 如果 f ( x ) 是次数不超过 n 次的代数 则它的 n 次拉格朗日插值多项式就是它本 多项式， [ 4] 身 ； 有时也说插值是精确的。 根据定理 2 ， 显然 R ( x ) 是 [ （ m + n） / n ] 型有 理分式函数， 则：
m +n m
]
型
=
qi li ( x ) ∑ i =0 b m x m + b m －1 x m －1 + … + b1 x + b0
m +n
（ 8）
qi li ( x ) ∑ i =0 定理 4 对所有的 m（ 0 ≤ m ≤ （ m + n） ） 次多 项式 p ( x ) ， 由式 （ 8 ） 给 出 的 R ( x ) 满 足 插 值 条 件 R ( xi ) = f ( xi ) ， i = 0， 1， …， m +n。 式（ 7 ） 和（ 8 ） 就是给出的一般有理插值公式。 通过选取不同次数的多项式 q ( x ) 或 p ( x ) 可以得 到不同的次数类型的有理插值函数。 相比于文献 ［ 5］ 具有下列 （ i ） － （ v ） 优点。 本文的有理插值公 式同样可以推广到向量值有理插值函数的情形 ， 文 6］ 5］ 6］ 献［ 是文献［ 的向量值形式， 相比于文献［ 同
Key words： rational interpolation； Lagrange basis function； interpolation formula； polynomial
0
引言
i = 0， 1， …， m + n 是与 y = f ( x ) 有 设 ( xi ， yj ) ， + 1 个 型 值 点， 其 中 x i ， = f ( xi ) ， = 0， 1， …， m + n ) 互 异， y i + n 乃是寻 = 0， 1， …， m + n ) 。所谓有理插值问题， P( x) = Q( x)
a0 + a1 x + a2 x + … + a m x b0 + b1 x + b2 x2 + … + b n x n 使之满足如下条件
（ 1）
0214 收稿日期： 2012基金项目： 国家 特 色 专 业 （ 数 学 与 应 用 数 学 TS11496 ） ； 安 徽 省 高 等 学 校 省 级 教 学 质 量 与 教 学 改 革 工 程 重 点 项 目 （ 20101984 ） 资助。 作者简介： 荆 科（ 1983 － ） ， 男， 硕士， 助教。研究方向： 应用数值逼近、 统计计算。
A new method of constructing rational interpolation function
JING Ke，KANG Ning，CUI Fangda
（ School of Mathematics and Computational Science， Fuyang Teachers College，Fuyang，Anhui， 236041 ，China）
2 m
R ( xi ) =
P ( xi ) = f ( xi ) ， Q ( xi ) （ 2）
i = 0， 1， …， m +n
关的 m
(i (i
( ) 1］中运用连 求 R m， 文献［ n x 有很多种构造方法 ，
求有理分式函数： R( x) =
给出了有理插值函数的表达式 分式的方法， x － x0 x － x1 x － x n －1 R ( x ) = b0 + + +…+ b1 b2 bn （ 3） 由此得到的有理插值函数具有下面的性质 ： 定理 1 （ 特征定理） 设有理插值函数 R （ x） 由 式（ 3 ） 给出， 则：
1
有理插值方法
m +n
设 多 项 式 q（ x）
m +n
=
q i l i （ x） ， p（ x） Σ i =0
=
q i f i l i （ x） Σ i =0 数， 显然：
， 其中 l i ( x ) 是 m + n 次拉格朗日基函
第1 期
荆
科， 等： 有理插值函数的构造新方法
37
样具有下列优点： （ i） 文献［ 5］中的有理函数， 分母多项式是唯 一确定， 而本文的（ 7 ） 中的分母多项式可以是在点 xi ， i = 0， 1， …， m + n 处函数值不为零的任意 n 次 多项式。 （ ii） 文献［ 5］ 计算分母多项式需要很大的计算 量， 而本文是直接给出来的显示表达式 。 （ iii） 文献［ 5］ 中计算分子多项式需要计算 n － d 个插值多项式 p i ( x ) ， 同样需要很大的计算量， 而 本文只需要计算一个插值多项式 。 （ iv） 文献［ 5］中的方法只可以通过选取不同 的正整数 d ， 来降低分母多项式的次数， 而本文可 以降低分母或者分子多项式的次数 。 （ v） 文献［ 5］ 中的方法对于不同的正整数 d ， 需要重新计算 p i ( x ) 和 μ i ( x ) ； 而本文无论分母多 项式次数是多少， 分子多项式中的基函数 l i ( x ) 始 这样就减少了很大的计算量。 终不变，
（ 0 ≤ n ≤ （ m + n） ） 次多 定理 3 对所有的 n， 项式 q ( x ) ， 由式 （ 7 ） 给 出 的 R ( x ) 满 足 插 值 条 件 R ( xi ) = f ( xi ) ， i = 0， 1， …， m +n。 i = 0， 1， …， m + n 是多项式 p ( x ) = 设 fi qi ≠ 0， b m x + b m －1 x m －1 + … + b1 x + b0 在点 x i ， （ i = 0， 1， …， m + n） 处的函数值。 根据定理 2 ， 显然 R ( x ) 是 [ （ m / （ m + n） 有理分式函数。则： R( x) = p( x)
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阜阳师范学院学报（ 自然科学版）
第 29 卷
m +n
n （ i） 如果 n 是偶数， 则 R （ x） 为 ［ ］； n n ］。 （ ii） 如果 n 是奇数， 则 R（ x） 为 ［ n －1 由式（ 3 ） 求有理插值函数是有条件的， 即 bj ≠ 0（ j = 1， …， n） 。但对于给定函数值 f（ x i ） （ i = 0 ， 1， …， n） 却很难预判 b j 是否为零， 并且计算 b j 的量 很大。而且插值节点一旦给定， 有理函数的次数就 固定了， 那么灵活性也大大降低了。 2］中利用牛顿基函数的插值方法给出 文献［ 了有理插值函数的表达式 p( x) R( x) = = q( x) f0 q0 + q0 +
第 29 卷第 1 期 2012 年 3 月
阜阳师范学院学报（ 自然科学版） Journal of Fuyang Teachers College （ Natural Science）
Vol． 29 ， No． 1 Mar． 2012
5］ 根据文献［ 中的公式（ 7 ） 得
3
R( x) =
μi ( x ) pi ( x ) ∑ i =0
3
=
μi ( x ) ∑ i =0 1 4 x4 － 20 x3 + 26 x2 － 10 x + 30 。 30 x2 － 2 x + 3 解法 2 ： 取 q ( x ) = x3 － 2 x2 + 3 x + 4 ， 那么 q0 = － 2 ， q1 = 4 ， q2 = 6 ， q3 = 10 ， q4 = 22 ， 相应的 l0 ( x ) = （ x4 － 6 x3 + 11 x2 － 6 x） / 24 ， l1 ( x ) = － （ x4 － 5 x3 + 5 x2 + 5 x － 6 ） / 6 ， l2 ( x ) = （ x4 － 4 x3 + x2 + 6 x ） / 4 ， l3 ( x ) = － （ x4 － 3 x3 － x2 + 3 x ） / 6 ， l4 ( x ) = （ x4 － 2 x3 － x2 + 2 x） / 24 ， 分子多项式为： p ( x ) = （ 3 x4 － 14 x3 + 9 x2 + 26 x） / 24 。 根据公式（ 7 ） 得： 1 88 x4 － 296 x3 － 208 x2 + 1016 x + 480 R( x) = 。 360 x3 － 2 x2 + 3 x + 4 比较上面两种解法， 可 以 看 出， 解 法 2， 在算 p ( x ) 和 q ( x ) 时都比解法 1 要简单。 例2
( )
=
qi fi li ( x ) ∑ i =0 q( x)
m +n
=
( ∑ bk i fi qi ) xk ∑ k =1
i =0
m
m +n
( ∑ bk ∑ k =1
i =0
n
m +n
(
i)
qi ) x
（ 5）
qi fi li ( x ) ∑ i =0 a n x n + a n －1 x n －1 + … + a1 x + a0
有理插值函数的构造新方法
荆 科， 康 宁， 崔方达
（ 阜阳师范学院 数学与计算科学学院， 安徽 阜阳 236041 ）
摘
源自文库
要： 为了解决有理插值函数的存在性和降低有理插值函数的次数， 利用拉格朗日插值基函数的方法和多项式插
给出了一种有理插值函数并将其推广到向量值情形 。 相比于其他方法， 其构造过程公式法， 有理插值函数 值的误差公式， 次数较低， 且计算量较小， 便于实际应用。 关键词： 有理插值函数； 拉格朗日基函数； 插值公式； 多项式 中图分类号： O241． 3 文献标识码： A 4329 （ 2012 ） 0103503 文章编号： 1004-
Abstract： In order to solve the existence of rational interpolation function and reduce the degree of rational interpolation function ，we present a new rational interpolation method and extend it to vector － valued case，by use of the method of Lagrange interpolation basis function and error of polynomial interpolation． Compared with other methods，the course of constructing function is formulary，the degree of rational function is lower，and the algorithm needs less computation and facilitates the practical application．
k
（ 7）
2］ 3］ 但是， 无论是文献［ 还是文献［ 中的方法， i = 0， 1， …， m + n 时， 如果有某个 q i = 0 ， 就会产生 不可达点， 而且在确定有理函数次数之前并不能判 i = 0， 1， …， m + n ； 另外， 断其是否存在 q i = 0 ， 一 旦插值节点和有理插值函数的次数给定，p ( x ) 和 q ( x ) 也是唯一确定的， 这样也就使有理插值函数 并且计算 p ( x ) 和 q ( x ) 的表达 丧失了很多灵活性， 式也需要非常大的计算量。 为了解决以前方法中 的有理插值函数的存在性和降低有理插值函数的 次数， 利用拉格朗日插值基函数的方法和多项式插 值的误差公式， 构造出了一种有理插值函数并将其 推广到向量值情形。其算法是无条件的， 且有理插 值函数的次数较低， 计算量较小， 构造过程公式化， 便于实际应用。
m +n
( ∑ dk i fi qi ) ωk ( x ) ∑ k =1
( )
m
k
i =0 k
( ∑ dk i qi ) ωk ( x ) ∑ k =1
( )
n
i =0
（ 4） 3］中利用拉格朗日基函数的插值方法 文献［ 给出了有理插值函数的表达式 p( x) R( x) = = q( x)
R( x)
R( x) =
qi fi li ( x ) ∑ i =0
m +n
（ 6）
qi li ( x ) ∑ i =0 是一个 有 理 插 值 函 数， 且 满 足 插 值 条 件 R ( xi ) = f ( xi ) ， i = 0， 1， …， m + n， 但是（ 6 ） 的缺点是有理插 值函数的次数很高。 设 qi ≠ 0， ( i = 0， 1， …， m + n) 是 多 项 式 q ( x ) = a n x n + a n －1 x n －1 + … + a1 x + a0 在点 x i ， （i = 0， 1， …， m + n） 处的函数值。 定理 2 如果 f ( x ) 是次数不超过 n 次的代数 则它的 n 次拉格朗日插值多项式就是它本 多项式， [ 4] 身 ； 有时也说插值是精确的。 根据定理 2 ， 显然 R ( x ) 是 [ （ m + n） / n ] 型有 理分式函数， 则：
m +n m
]
型
=
qi li ( x ) ∑ i =0 b m x m + b m －1 x m －1 + … + b1 x + b0
m +n
（ 8）
qi li ( x ) ∑ i =0 定理 4 对所有的 m（ 0 ≤ m ≤ （ m + n） ） 次多 项式 p ( x ) ， 由式 （ 8 ） 给 出 的 R ( x ) 满 足 插 值 条 件 R ( xi ) = f ( xi ) ， i = 0， 1， …， m +n。 式（ 7 ） 和（ 8 ） 就是给出的一般有理插值公式。 通过选取不同次数的多项式 q ( x ) 或 p ( x ) 可以得 到不同的次数类型的有理插值函数。 相比于文献 ［ 5］ 具有下列 （ i ） － （ v ） 优点。 本文的有理插值公 式同样可以推广到向量值有理插值函数的情形 ， 文 6］ 5］ 6］ 献［ 是文献［ 的向量值形式， 相比于文献［ 同
Key words： rational interpolation； Lagrange basis function； interpolation formula； polynomial
0
引言
i = 0， 1， …， m + n 是与 y = f ( x ) 有 设 ( xi ， yj ) ， + 1 个 型 值 点， 其 中 x i ， = f ( xi ) ， = 0， 1， …， m + n ) 互 异， y i + n 乃是寻 = 0， 1， …， m + n ) 。所谓有理插值问题， P( x) = Q( x)
a0 + a1 x + a2 x + … + a m x b0 + b1 x + b2 x2 + … + b n x n 使之满足如下条件
（ 1）
0214 收稿日期： 2012基金项目： 国家 特 色 专 业 （ 数 学 与 应 用 数 学 TS11496 ） ； 安 徽 省 高 等 学 校 省 级 教 学 质 量 与 教 学 改 革 工 程 重 点 项 目 （ 20101984 ） 资助。 作者简介： 荆 科（ 1983 － ） ， 男， 硕士， 助教。研究方向： 应用数值逼近、 统计计算。
A new method of constructing rational interpolation function
JING Ke，KANG Ning，CUI Fangda
（ School of Mathematics and Computational Science， Fuyang Teachers College，Fuyang，Anhui， 236041 ，China）
2 m
R ( xi ) =
P ( xi ) = f ( xi ) ， Q ( xi ) （ 2）
i = 0， 1， …， m +n
关的 m
(i (i
( ) 1］中运用连 求 R m， 文献［ n x 有很多种构造方法 ，
求有理分式函数： R( x) =
给出了有理插值函数的表达式 分式的方法， x － x0 x － x1 x － x n －1 R ( x ) = b0 + + +…+ b1 b2 bn （ 3） 由此得到的有理插值函数具有下面的性质 ： 定理 1 （ 特征定理） 设有理插值函数 R （ x） 由 式（ 3 ） 给出， 则：
1
有理插值方法
m +n
设 多 项 式 q（ x）
m +n
=
q i l i （ x） ， p（ x） Σ i =0
=
q i f i l i （ x） Σ i =0 数， 显然：
， 其中 l i ( x ) 是 m + n 次拉格朗日基函
第1 期
荆
科， 等： 有理插值函数的构造新方法
37
样具有下列优点： （ i） 文献［ 5］中的有理函数， 分母多项式是唯 一确定， 而本文的（ 7 ） 中的分母多项式可以是在点 xi ， i = 0， 1， …， m + n 处函数值不为零的任意 n 次 多项式。 （ ii） 文献［ 5］ 计算分母多项式需要很大的计算 量， 而本文是直接给出来的显示表达式 。 （ iii） 文献［ 5］ 中计算分子多项式需要计算 n － d 个插值多项式 p i ( x ) ， 同样需要很大的计算量， 而 本文只需要计算一个插值多项式 。 （ iv） 文献［ 5］中的方法只可以通过选取不同 的正整数 d ， 来降低分母多项式的次数， 而本文可 以降低分母或者分子多项式的次数 。 （ v） 文献［ 5］ 中的方法对于不同的正整数 d ， 需要重新计算 p i ( x ) 和 μ i ( x ) ； 而本文无论分母多 项式次数是多少， 分子多项式中的基函数 l i ( x ) 始 这样就减少了很大的计算量。 终不变，
（ 0 ≤ n ≤ （ m + n） ） 次多 定理 3 对所有的 n， 项式 q ( x ) ， 由式 （ 7 ） 给 出 的 R ( x ) 满 足 插 值 条 件 R ( xi ) = f ( xi ) ， i = 0， 1， …， m +n。 i = 0， 1， …， m + n 是多项式 p ( x ) = 设 fi qi ≠ 0， b m x + b m －1 x m －1 + … + b1 x + b0 在点 x i ， （ i = 0， 1， …， m + n） 处的函数值。 根据定理 2 ， 显然 R ( x ) 是 [ （ m / （ m + n） 有理分式函数。则： R( x) = p( x)
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阜阳师范学院学报（ 自然科学版）
第 29 卷
m +n
n （ i） 如果 n 是偶数， 则 R （ x） 为 ［ ］； n n ］。 （ ii） 如果 n 是奇数， 则 R（ x） 为 ［ n －1 由式（ 3 ） 求有理插值函数是有条件的， 即 bj ≠ 0（ j = 1， …， n） 。但对于给定函数值 f（ x i ） （ i = 0 ， 1， …， n） 却很难预判 b j 是否为零， 并且计算 b j 的量 很大。而且插值节点一旦给定， 有理函数的次数就 固定了， 那么灵活性也大大降低了。 2］中利用牛顿基函数的插值方法给出 文献［ 了有理插值函数的表达式 p( x) R( x) = = q( x) f0 q0 + q0 +