(仅供参考)复变函数-第一章习题课

∂ 2u
∂ϕ∂ρ
=
1
ρ
∂2v
∂ϕ 2
,
接着Eq. (1b)左右乘ρ然后对ρ求偏导, 得到
∂
∂ρ
ρ
∂v
∂ρ
=
−
∂2u
∂ρ∂ϕ
,
比较上面两式, 即可得到Eq. (3b).
10
第1题 (P23). 已知复势f(z)=1/(z-2+i), 画出等温网.
解: 令z=x+iy,代入到复势的表达式中, 得
f
(z)
书中在静电场部分用的是前者，但是在平面无 旋流速场时，定义了后者。为了统一起见，本 课程中，我们统一用u(x,y)表征势函数，而用 v(x,y)表示“量函数”。
7
第3题 (P18). 从极坐标系中的柯西-黎曼方程求出拉普 拉斯(Laplace)方程的极坐标表示式.
解: 极坐标下C-R条件为
∂u
∂ρ
∂v
∂ρ
= =
1
ρ
∂v
∂ϕ
,
−
1
ρ
∂u
∂ϕ
,
(1a) (1b)
消去g
(其中g=u或v),
就对它求偏导,
使之成为
∂2g
∂ρ∂ϕ
=
⋅⋅⋅
的形式. 例如消掉v, Eq. (1a)左右乘ρ然后对ρ求偏导,
∂
∂ρ
ρ
∂u
∂ρ
=
∂2v
∂ρ∂ϕ
(2a)
8
接着, Eq. (1b)左右对ϕ求偏导, 得到
∂2v
∂ϕ∂ρ
PlotPoints → 400, AspectRatio → 1,
TextStyle → 8FontSize → 20<E;
Show@u, vD
12
2
1
0
−1
y= -1
−2
−3
−4
−2
0
2
4
6
x=2
红线: u(x,y)=c1, 兰线: v(x,y)=c2, 分别是在点(2, -1)处 相切于直线x=2和y=-1的圆族. 两个切线本身也包含
TextStyle → 8FontSize → 20<E;
v
=
ContourPlotA−
Hx
−
y+ 2L2 +
1
Hy
+
1L2
,
8x,
−2,
6<,
8y,
−4,
2<,
ContourShading → False,
ContourStyle −> 8RGBColor@0, 0, 1D, Thickness@0.01D<,Fra Baidu bibliotek
偏导数:
∂v ∂x
= F '(t) ∂t ∂x
=
−
y x2
F '(t),
∂v ∂y
= F '(t) ∂t ∂y
= 1 F '(t), x
(2a)
∂2v ∂x 2
=
−
y x2
2 F ''(t)
+
2y x3
F '(t),
∂2v ∂y 2
=
1 x
2
F ''(t).
(2b)
14
将Eq.(2b)代入Laplace方程, 得
于圆族里, 分别由c1=0和c2=0给出.
13
第2题 (P23). 已知流线族方程”y/x=常数”求复势.
解: 令v=y/x, 则
∂v = 1 , ∂y x
∂2v ∂y 2
=
0;
∂v ∂x
=
−
y x2
,
∂2v ∂x 2
=
2y x3
.
(1)
显然v=y/x不满足Laplace方程.
参考P21例2的做法, 令t=y/x, v=F(t), 求v的一, 二阶
2 4
这一结果的正确性取决于下面的不等式是否成立
0 ≤ π −α < 2π
2
显然，在不知道α的情况下，我们无从判断。事实 上，判断α不是问题的根本。
具体数值计算时要判断复数的象限，即实部x和虚 部y的正负，然后用下面公式求出主幅角。
arctg( y / x),
arg
z
=
arctg(
y
/
x)
+
π
,
注意2：主幅角被人为地规定大于等于0、小于2π， 并用arctg(y/x)的主值求得。有部分同学在计算2.4
题用了如下计算：
1−
cosα
+
i
sinα
=
2 sin 2
α
2
+
i2
sin
α
2
cos
α
2
=
2 sin
α
2
sin
α
2
+
i
cos
α
2
=
2 sin
α
2
cos
π
− 2
α
+
i
sin
π
− 2
α
= 2sin α ei(π −α )/2.
x2 + y2 x4
F ''(t) +
2y x3
F '(t)
=
0,
两边同乘x2, 考虑到y/x=t, 所以得到
(1+ t 2 )F ''(t) + 2tF '(t) = 0.
复数的模为 ρ＝ (1− cosα )2 + sin 2 α =
2(1− cosα ) = 2sin α ,
2
幅角为
ϕ＝arctg
sin α 1− cosα
=
arctg
ctg
α
2
,
因此指数式为
2sin
α
eiarctg
ctgα 2
.
2
3
注意1: 复数的三角、指数式中出现的幅角一般都是 主幅角，无需加2kπ (其中k为整数)，道理很简单 ei(ϕ±2kπ)=eiϕ.
=
−
1
ρ
∂ 2u
∂ϕ 2
,
(2b)
比较Eqs. (2a)和(2b),自然得到
∂
∂ρ
ρ
∂u
∂ρ
+
1
ρ
∂2u
∂ϕ 2
= 0.
(3a)
同理可以消掉u, 得到
∂
∂ρ
ρ
∂v
∂ρ
+
1
ρ
∂2v
∂ϕ 2
= 0.
(3b)
Eqs. (3a)和(3b)就是极坐标下拉普拉斯方程的表达式.9
消掉u的具体办法: Eq. (1a)左右对ϕ求偏导, 得到
=
x
−
2
1 + i(y
+ 1)
=
x − 2 − i( y +1) (x − 2)2 + ( y +1)2
(1)
= u(x, y) + iv(x, y),
由复数相等的关系可求
u
=
(x
−
x 2)2
− +
2 (y
+ 1) 2
,
(2a)
v
=
−
(x
−
(y 2)2
+ +
1) (y
+ 1) 2
.
(2b)
11
In[1]:=
u
=
ContourPlotA
Hx
−
x− 2L2 +
2
Hy
+
1L2
,
8x,
−2,
6<,
8y,
−4,
2<,
ContourShading → False,
ContourStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D, Thickness@0.01D<,
PlotPoints → 400, AspectRatio → 1,
复习及习题课
课程名称：数学物理方法B (学时 64) 课程编号：70L173Q
1
作业要求
要求用练习本，书写工整； 作业本的封面上要注明学号、姓名、班 级； 布置的作业要求全部上交。
2
第一章复数与复数运算
第一节习题(P5)问题：
1）求解步骤省略现象普遍，例如2.4题的求解。
首先1-cosα+isinα是代数式，而非三角式；
arctg( y / x) + 2π ,
z在第I象限; z在第II、III象限; z在第IV象限.
5
2）复数书写要规范，尽量将虚数单位i写在虚部前 面，例如1-cosα+isinα，不要写成1-cosα+sinαi等.
6
第5节平面标量场内容： • 势函数的规定，可以用u(x,y), 也可以用v(x,y);