一阶微分方程的初等解法

本章内容/Main Contents/
§2.1 变量分离方程与变量变换 §2.2 线性微分方程与常数变易法
§2.3 恰当微分方程与积分因子
§2.4 一阶隐式微分方程与参数表示
3
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
本章要求/Requirements/
熟练掌握一些重要的常见的一阶方 程的类型及其求解方法。
•注意： 正确判断方程的类型
4
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
§2.1 变量分离方程与变量变换
Separable First-Order ODE & Transform
5
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
dy ( y) f ( x)dx
dy f ( x) ( y ) dx
(2) 两边积分
1 及f ( x ) 用G(y)，F(x)分别表示 ( y)
的某一个原函数
(3) 方程（2.1）的通解为G(y)=F(x)+C
…………(2.2)
8
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
并求出满足初始条件：当 x = 0时 y = 1的特解。 解
y0时
(1) 分离变量 (2) 两边积分 （3）
dy cos xdx 2 y
dy 1 cos xdx c sin x c y2 y
1 y 为方程的通解。 （c为任意常数） sin x c
注意 y = 0 时，也是方程的解，而其并不包含在 通解中，因而方程还有解 y = 0
因为将 y 视为 x 的函数，对G(y)=F(x)+C 两端关于x求导，
1 dy f ( x) ( y ) dx
dy f ( x) ( y ) dx
所以，（2.2）为方程(2.1)的通解。 如果存在 yi ，使得
( yi ) 0, i 1,2,, k
直接验证得: y yi 为方程(2.1)的常数解。
24
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
25
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
(2)可化为齐次方程的类型 /Classifications of Homogenous/

dy a1 x b1 y c1 形式： dx a2 x b2 y c2
•内容提要/Main Contents/
特点 变量分离方程 解法 变量分离方程 举例 与变量变换 可化为变量分离的类型 齐次方程 可化为齐次方程的类型 •本节要求/Requirements/
1 熟练掌握变量分离方程，齐次方程的求解方法。 2 熟练掌握运用变量变换将方程化为熟知类型求解 的思想方法，求更广泛类型方程的解。
26
a1 b1 k a 2 b2
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
dy k (a2 x b2 y) c1 f (a2 x b2 y) dx a2 x b2 y c2
令 u a2 x b2 y
du a 2 b2 f (u ) （变量分离方程，即可求解） dx a1 a2 a1 x b1 y c1 0 0 则 2.若 ……………..(2.6) b1 b2 a2 x b2 y c2 0
~ c
c e
~ c
得: （c 为非零任意数）
Sinu = cx
另当 tanu = 0 时，u = 0
即 u = 0 也是方程(2.4)的解
故 （2.4）的通解为 sinu= cx（c 为任意常数）
y 代回原来的变量，原方程的通解为: sin cx x
23
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
~ ln sin u ln x c
~为任意常数) (c
22
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
~ ln sin u ln x c
~ 为任意常数) (c
sin u e x
令
~ c
sin u e x
du tan u dx x
13
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
14
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
15
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
16
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
6
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
1 变量分离方程/Variables Separated ODE/
dy f ( x) ( y ) dx
其中 特点
f ( x), ( y ) 分别是 x 与 y 的已知连续函数。
(2.1)
dy f ( x, y ) 中的 f ( x, y )可表示成 一般的一阶方程 dx
G ( y ) F ( x) C 分离变量方程（2.1）的解为 y yi , i 1,2, , k
9
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
dy x 例1 求解方程 dx y
解
1 ( y) 0 y
1 分离变量 2 两边积分
形式：
dy y g( ) dx x
特点： 一般方程的右端函数 f (x,y) 是x，y 的零次齐次式。
即
y f ( x, y ) g ( ) x
ky y 0 f (kx , kg ) g ( ) k g ( ) f ( x, y ) k 0 kx x
或 f (x,y) 可表示成以
a1 b1 b2
……………(2.5)
ai , bi , ci , i 1,2 均为常数，且c1 , c 2 不同时为零.
1.若 a 2 设
0
a1 b1 即 a2 b2
a1 ka 2 , b1 kb 2
dy k (a2 x b2 y) c1 f (a2 x b2 y) 则原方程可化为: dx a2 x b2 y c2
ydy xdx
ydy xdx
（c 为任意正常数）
y2 x2 c 2 2 2
3 求通解
x 2 y 2 c 或者 y c x 2
10
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
例2
求解方程
dy y 2 cos x dx
f ( x, y) f ( x) φ( y)
例
dy x dx y
R kR
7
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
解法步骤 /Solving Steps/
如果 ( y ) 0
(1) 分离变量
dy f ( x)dx ( y)
(1) 齐次方程/Homogeneous Equation/ (2) 可化为齐次方程的方程类型
/Classifications of Homogenous/
19
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
(1) 齐次方程/Homogeneous Equation/
dy y y tan 例6 求解方程 dx x x
解
y 令 u , x 或 y ux
dy du x u dx dx
du x u u tan u dx
du tan u ………………………………..(2.4) dx x
du dx tan u x
d sin u 1 sin u x dx
17
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
18
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
2 可化为变量分离方程的类型
/Classifications of Variable Separated Equation/

a1 X b1Y (a1 b1 c1 ) a2 X b2Y (a2 b2 c2 )
dY a1 X b1Y Y g( ) dX a2 X b2Y X
为齐次方程, 即可求解。
28
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
第二章 一阶微分方程的初等解法
Integrated Method of First Order ODE
1
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
方程类型/Classifications/：
du x u g (u ) dx
（4）求解方程(2.3),若其解为: (5) 原方程的通解为:
u ( x, c) 或 (u, x, c) 0
y y x ( x, c)或( , x, c) 0 x
21
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
y f ( x, y )
F ( x, y, y) 0
初等积分法/Integrated Method/：通过积分求解常 微分方程的一种方法，其特点是微分方程的解可 用初等函数以及初等函数的积分形式来表示。
2
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
a 特别地，当 1 b1
a2 b2
0 时，方程(2.5)的求解方法
(1) 解代数方程组
…………….(2.6) a2 x b2 y c2 0
y Y
dY a1 X b1Y dX a2 X b2Y
a1 x b1 y c1 0
其解为: x , y (2) 作变换 x X ,
11
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
1 所以，原方程的解为 y sin x c y 0 求特解
将初始条件 y (0)=1代入通解中，得c = -1 则满足所给条件的特解为: y
1 sin x 1
12
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
有唯一的解:( , )
X x 令 Y y
du dy a 2 b2 dx dx
x X 或 y Y
27
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
则方程 (2.5) 化为：
dY dy a1 ( X ) b1 (Y ) c1 dx dX a2 ( X ) b2 (Y ) c2
y 为整体变量的函数。 x
20
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
解法
y u (1) 作变量变换 x
即
y=ux
dy y g( ) dx x
dy du x u （2）对两边关于 x 求导 dx dx
（3）将上式代入原方程，得 整理
du 1 ( g (u ) u )Biblioteka Baidu……….(2.3) 变量可分离方程 dx x
将方程(2.5)化为齐次方程
Y 将其化为变量分离方程 (3) 再作变换 U X
(4) 求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原 方程的解。
29
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
类似的方法，可求解更广泛的方程