函数与方程的零点

探究:
观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象： y
在区间[-2，1]上有零点_－__1___；
f(-2)=___5____，f(1)=__－__4___，
2
f(-2)·f(1)__<___0（“＜”或“＞”）． 1
在区间(2，4)上有零点___3___；
-2 -1 O 1 2 3 4 x -1
f(2)·f(4)__<__0（“＜”或“＞”）． -2
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归纳整理，整体认识
方程
函数
实根
零点
方程法
数值
列表法
范围
f(x)连续 f(a)f(b)<0
个数 存在性
函数图像
与x轴的交点 横坐标
图象法
交点法
f(x)连续 f(a)f(b)<0 (a,b)上单调
17
课堂小结：
１、函数零点的定义； 2、函数零点的存在性定理；
3、确定函数f(x)的零点的方法。
（1）解方程f(x)=0; （2）找f(x)图象与x轴交点的横坐标; （3）作出x,f(x)对应值表，找到a,b，使 f(a)f(b)<0，则零点Î c (a,b); （4）看成两个简单函数交点的横坐标.
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△＜0
没有实数根
函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象
y
x1 0
x2 x
函数的图象 与 x 轴的交点 (x1,0) , (x2,0)
y y
0 x1 x
(x1,0)
0
x
没有交点
方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。
方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。3
函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实 数x叫做函数y=f(x)的零点。
（3）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) >0，
则f(x)在区间(a,b)内没有零点.
（）
y
a O
y
bx
a O
y
bx Oa
bx
12
例 判断函数f(x)=lnx+2x－6是否有零点，若
有，求零点个数及零点所在的大致区间。
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象
“＞”)．
<
在区间(b,c)上___有___(有/无)零点；
③ 在区间(c,d)上f(c)·f(d) _____ 0(“＜”或”
10
函数零点存在性定理：
y
y
ac O
bx
c Oa
b x
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的
图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得 f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
与x轴交点的横坐标是函数y= f(x)的零点
5
课堂练习：
1.求下列函数的零点：
y 2x4
y(x2 1 )(x2 )(x3 )
y 2x 8
yln(x2)
6
课堂练习：
2.求下列函数的零点：
7
课堂练习：
3.求下列函数的零点： 思考：如何求函数f(x)=lnx+2x－6的零点?
8
零点存在性的探究： 问题:在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上一定存在零点？
x
1
2
3
4
56
7
8
9
f（x） －4 －1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
由表得f(2)<0,f(3)>0，
y
即f(2)·f(3)<0，
14
.
说明这个函数在区间(2,3)内有零点。1102
. .
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是 增函数，所以它仅有一个零点，这个 零点所在的大致区间是（2，3）
注意：零点指的是一个实数； 零点是一个点吗?
等价关系
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
4
对零点的理解：
"数"的角度：使f(x)=0的实数x的值
"形"的角度：函数f(x)的图象与x轴的交 点的横坐标
求函数零点的方法：
(1) 方程法： 解方程f(x)=0, 得到y=f(x)的零点 (2) 图象法： 画出函数y=f(x)的图象, 其图象
8
.
6 4
.
2
..
. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
－2
－4 .
－6
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如果不借助计算机，也不利用计算器， 如何确定函数f(x)=lnx+2x－6零点所在 的大致区间？
解法二：估算f(x)在各整数处的值的正负
x 1 234 f(x) - - + +
14
拓展提升：
你还有其它办法来确定函数
3.1.1方程的根 和
函数的零点
1
思考：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的实根与 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象有什么关系？
2
判别式△ = b2－4ac
△＞0
△=0
方程ax2 +bx+c=0 (a≠0)的根
两个不相等 有两个相等的 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2
f(x)=lnx+2x－6零点所在的大致区间？
解法三:
通过数形结合，把原函数 的零点个数问题， 转化为讨 论方程的根个数问题，再转 化为两个简单函数的图象交 点个数问题.
y
6
y= lnx
O 1234
x
y=－2x +6
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课后思考：
函数 f(x)=lnx+2x－6的零点 在区间(2,3)内，能否进一步地缩 小零点所在的区间范围，求出这 个零点？
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例 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例
（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b] 满足f (a) ·f(b) < 0，则
f(x)在区间(a,b)内存在零点.
（）
（2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) <
0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （ ）
-3
-4
9
零点存在性的探究：
y
问题:在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？
a
c
Ob
dx
观察函数的图象并填空:
①在区间(a,b)上f(a)·f(b)___<__0(“＜”或
“＞”)．
有
在区间(a,b)上______(有/无< )零点； ② 在区间(b,c)上f(b有)·f(c) _____ 0(“＜”或