09第四章解析函数的级数表示

第四章 解析函数的级数表示
§1. 复数项级数 一. 复数序列的极限
定义： 设{}n z 为一个复数序列，其中n n n y i x z +=， 又设000y i x z +=为一个复定值. 若
,0,0>∃>∀N ε使得,N n >∀有不等式
ε<-0z z n
恒成立，则称复数序列{}n z 收敛于0z ，或称
{}n z 以0z 为极限，记作
0l i m z z n n =∞
→ 或()∞→→n z z n 0
.
如果对于任意复数0z ，上式均不成立，则称复数序列{}n z 不收敛或发散.
定理1 设000y i x z +=，n n n y i x z +=，则
⎪⎩⎪⎨⎧==⇔=∞
→∞
→∞→.lim ,lim
lim 000y y x x z z n n n n n n 定理1说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两
个实数列的敛散性.
二. 复数项级数
定义： 设{}n z 为一个复数序列，表达式 +++++n z z z z 321
称为复数项无穷级数.如果它们的部分和序列
() 2,1321=++++=n z z z z S n n
有极限S S n n =∞
→l i m （有限复数），则称级数是收敛的，S 称为级数的和；如果{}n S 没有极
限，则称级数是发散的. 例1.
当1<z 时，判断级数
++++++n
z z z z 321
是否收敛？
定理2 级数 ++++n z z z 21收敛的充分必要条件
是实数项级数 ++++n x x x 21与 ++++n y y y 21都收敛.
定理2说明: 可将复级数的敛散性转化为判别两 个实级数的敛散性.
定理3 （级数收敛的必要条件）若级数
++++n z z z 21
收敛，则0lim =∞
→n n z . 定理4 若级数
+++++=∑
∞
=n n n z z z z z 3211
收敛，则级数
+++++=∑∞
=n n n
z z z z z
3211
一定收敛.
定义： 若级数 ++++=∑∞
=n n n z z z z 211收敛， 则称级数
++++=∑∞
=n n n
z z z z 211绝对收敛，
若级数 ++++=∑∞
=n n n z z z z 211发散，而级数 ++++=∑∞
=n n n z z z z 211
收敛，则称级数 ++++=∑∞
=n n n
z z z z
211
条件收敛.
例2.
判断下列级数的敛散性：
（1）∑∞=⎪⎭⎫
⎝⎛+121n n i n ；（2）∑∞=1n n
n
i ；（3）∑∞=1
2n n
n i
.
§2. 复变函数项级数
一. 复变函数项级数
定义： 设(){}() ,,n z f n 21=为区域D 内的函数序
列，称以()z f n 为一般项的复级数 ()()()()+++++z f z f z f z f n 321
为区域D 内的复变函数项级数.该级数的前n 项的和
()()()()()z f z f z f z f z S n n ++++= 321
称为该级数在D 内的部分和. 设0z 为区域D 内的一个定点，若极限
()()00lim z S z S n n =∞
→存在，则称该复变函数项级
数在0z 点收敛，()0z S 为其和，即
()()0
1
z S z f n n
=∑∞
=.
如果该复变函数项级数在D 内处处收敛，则称该复变函数项级数在D 内收敛，由此所定
义的函数()z S 称为和函数，记作()∑∞
=1
n n z f .即 ()()∑∞
==1
n n z f z S 二. 幂级数
定义： 形如
()
()()()
+-++-+-+=-∑∞
=n
n n n
n
z z C z z C z z C C z z C 02
020100
的复变函数项级数称为幂级数，其中n C 与0
z 均为复常数. 定理5
如果幂级数()
∑∞
=-00n n
n z z C 在点()011z z z ≠ 收
敛，则该级数在圆域010z z z z -<-内绝对收敛.
推论 如果幂级数()∑∞
=-1
0n n
n z z C 在点2z 发散，则在区域020z z z z ->-内发散.
定义：若存在圆R z z <-0，使得幂级数
()
∑∞
=-1
0n n
n z z C 在此圆内绝对收敛，在此圆外发散，
则称该圆为幂级数的收敛圆，称该圆的半径R 为幂级数的收敛半径. 结论：
对幂级数()
∑∞
=-10n n
n z z C 而言，一定存在某一
圆R z z <-0，使得该幂级数在此圆内绝对收敛，在此圆外发散.
达朗贝尔比值判别法——
若 λ=+∞→n n n C C 1
lim ，则幂级数()∑∞=-1
0n n
n z z C 的收敛半径λ1
=R .
柯西根值判别法——
若 λ=∞
→n
n
n C lim ，则幂级数()
∑∞
=-1
0n n
n z z C 的收
敛半径λ1
=R .
例3. 求级数∑∑∑∞
=∞
=∞=1
210
,,n n
n n
n n
n z n
z
z 的收敛半径. 例4.
求级数()∑∞
=-1
1n n
n
z 的收敛半径.
说明：达朗贝尔比值判别法与柯西根值判别法都只是充分条件，而非必要条件. 例5. 把函数z 1表示成形如()∑∞
=-0
2n n
n z c 的幂级数. 性质 (1)
幂级数()
∑∞
=-00n n
n z z C 的和函数在收敛圆内
一定解析；
(2)
在收敛圆内，幂级数()
∑∞
=-00n n
n z z C 可以逐项
积分或求任意阶导数，所得到的幂级数在
该圆内也收敛，且相应的和函数即为对幂级数()
∑∞
=-00n n
n z z C 的和函数进行积分或求
相应阶导数所得的结果.
例6 求幂级数∑∞=12n n
z n 的和函数，并计算级数∑∞
=122
n n n 之值.
§3. 泰勒级数
定理6 (泰勒定理) 设函数()z f 在区域D 内解析，
0z 为D 内的一点，设R 为0z 到D 的边界
的距离，则当R z z <-0时，()z f 可展为幂级数
()()∑∞
=-=0
0n n
n z z C z f 其中()
() 2,1,0!10==n z f n C n n .
称该幂级数为()z f 在区域D 内以0z 为心的泰勒级数.
说明:
1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?)
;
, , )( .20
0z d z d D z f -=αα即之间的距离一个奇点到最近等于则
内有奇点在如果
4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. 结论：函数在()z f 点0z 解析的充分必要条件是在
0z 点()z f 可展成幂级数.
根据结论，解析函数()z f 在点0z 可展成泰勒 级数，其展开法分别是直接展开法和间接展开法.
直接展开法是指由泰勒展开定理计算系数
间接展开法是指借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式.
例7．将()0==z e z f z
在处展开为泰勒级数.
例8. 将()0sin ==z z z f 在处展开为泰勒级数.
;
,0.30级数级数也可称为麦克劳林时当=z
,2,1,0,)(!
10)
(==n z f n c n n .
)( 0展开成幂级数在将函数z z f
例9．将()z z f -=11
在z =0的邻域展开.
例10. 求函数()011
2=+=z z
z f 在的邻域内的泰勒 展开式.
例11. 例12. 求函数()2
1-=z z f 在1-=z 的邻域内的泰
勒展开式.
例13.将函数
()()
2
11
z z f -=
展开为i z -的幂级数.
例14.求对数函数ln (1+z )在z =0处的泰勒展开式.
例15. 将函数()z
e z
f -=11展开为z 的幂级数.
§4. 洛朗级数
引例 求函数()122-+-=z z
z z f 的展开式.
.
0arctan 的幂级数展开式在求=z z
定理7 设函数()z f 在环域201R z z R <-<内解析，
则()z f 在此环域内一定可以展成
()()∑∞
-∞=-=
n n n z z C z f 0， 其中()()() 2,1,02110±±=-=⎰+n d z f i C C n n ς
ςςπ.
C 为此环域内绕0z 的任意一条简单闭曲线. 称此级数为环域内的解析函数的洛朗级数. 说明:环域201R z z R <-<内的解析函数则()z f 在此环域内一定可以展成惟一的洛朗级数. 例16． 将函数 ()()()211
--=z z z f
分别在圆环域(1)10<<z ;(2)21<<z ;
(3)+∞<<z 2内展开为洛朗级数.
例17. 将函数()2z shz z f =在+∞<<z 0内展开为洛朗级数.
例18. 试求()211z z f +=以z =i 为中心的洛朗级数.。