三重积分习题课 优质课件

分块积分法
(3) 消去被积函数绝对值符号
利用对称性
(4)被积函数为1时巧用其几何意义
dxdydz 的体积

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【例1 】计算 (x y z)2dV，x2 y2 z2 R2 作业题

【解】由对称性知 xydV yzdV xzdV 0
于是
1z
z2 y2
I dz dy
f ( x, y, z)dx
0
z
z2 y2
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z
o
x
z x2 y2
故 PNM
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二、关于三重积分的题类
【例3】 计算 ( x z)dv，其中 由 z x2 y2 与

z 1 x2 y2 所围成的．
【分析】 关于 yoz 面为对称，f ( x, y, z) x 为 x 的
奇函数， 有 xdv 0.
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第十章
习题课
三重积分
一、关于三重积分性质和应用的题类 二、关于三重积分的题类 三、杂题
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主要内容
定义 几何意义(无)
性质 计算法 应用 物理意义
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三 重 积 分
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（一）、三重积分常见题目类型
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1.一般三重积分的计算： —— 累次积分法

N ( x2 sin y x2 y3 z3 )dV

P (z3 x4 cos2 y x2z2 )dV
比较M,N,P的大小. 【分析】通过计算比较大小很烦琐,注意到积分区域为一以 原点为球心的球体,具有对称性,于是想到是否可利用对称 性直接作出比较呢?
M0 N 0 P0



x2dV y2dV z2dV
(x y z)2dV Ω
Ω
Ω

x2dV y2dV z2dV



2 xydV 2 yzdV 2 xzdV



3
z2dV 3
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【解Ⅱ】 柱面坐标
原式 2 ezdv
上
2
1
2 d d
1 2 ez dz
0
0
0
计算较繁
【解Ⅲ】 球面坐标
原式 2
ezdv 2
2
d

2 d
1er cos r 2 sindr
2
d

sin d
R r4 cos2 dr （球面坐标）
0
0
0
Ω
6 sin cos2 d R r4 dr 4 R5
0
0
5
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一、关于三重积分性质和应用的题类
【例2】设 : x2 y2 z2 h2
M ( x3 cos y x2 y2 x4 )dV
0
0
0
上
计算较繁
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【补例】
略
试将三次积分 I
1
dx
1 x2
1
dy
f ( x, y, z)dz
1 1 x2
x2 y2
按x、y、z的次序积分；然后再按y、z、x
的次序积分
1 x 1 【解】先写出 : 1 x2 y 1 x2
a. 选择坐标系 使积分域多为坐标面围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
b. 确定积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .
c. 写出积分限 图示法 ( 先积一条线, 后扫积分域 )
列不等式法 (从内到外: 面、线、点) 充分利用对称性
d. 计算要简便 应用换元公式
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【解Ⅰ】 被积函数仅为z 的函数，截面D(z) 为圆域
x2 y2 1 z2，故采用“先二后一”法．
e z dv 2 ezdv

上
1
2 ez dz[
edzdxxddyy]
0
DDzz
面
积 2 1 (1 z2 )e zdz 2. 0
Dxz
x z
A 1 (x)2 (x)2dydz
D yz
y z
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6.三重积分性质的应用题
估计重积分的值 比较重积分的大小
重积分中值定理的应用
（二）、三重积分计算的基本技巧
(1) 交换积分顺序的方法
(2) 利用对称性简化计算
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2.改变累次积分的积分次序
题目要求改变积分次序或按原积分次序 积不出来，必须改变积分次序.
3.求由曲面所围立体的体积
用三重积分：V dxdydz

4.用二重积分求曲面的面积
A
Dxy
1 ( z )2 (z )2dxdy x y
A 1 (y )2 (y)2dxdz
x2 y2 z 1
z
再画出的图形
z x2 Hale Waihona Puke Baidu2
y
x
x2 y2 1
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（1）将投影到 yoz面
由 z x2 y2
x z2 y2
得

0z1

:

D
yz
: z y z
z2 y2 x z2 y2
d
2
2 d
1 2
zdz
.
0
0

8
【解Ⅲ】 利用直角坐标
( x z)dv zdv


2
1 x2
1 x2 y2
2 dx 2 dy
zdz
2
1x2
x2 y2
2
2
. 8
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【例4】 计算 e z dv， : x2 y2 z2 1.
【解Ⅰ】 利用球面坐标
( x z)dv zdv



2
d

4 d
1 r cos r2 sin dr
0
0
0
. 8
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【解Ⅱ】 利用柱面坐标
( x z)dv zdv


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