计算方法-李桂成-期末复习要点
[电子教案]计算方法 (19)
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5.2 雅克比和高斯－赛德尔迭代法5.2.1 雅克比迭代法5.2.2 高斯—赛德尔迭代法5.2.3 迭代法的收敛性返回125.2.1 雅克比迭代法设有方程组矩阵形式为，设系数矩阵A 为非奇异且，从（5.2.1）式的第个方程中解出, 得其等价形式取初始向量，对（5.2.2）式应用迭代法，可建立相应的迭代公式ij nj ijb x a=∑=1),,2,1(n i =)1.2.5(b Ax =),,2,1(0n i a ii =≠i i x ),2,1(1,1n i x a b a x j n i j j ij i ii i =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑≠=)2.2.5(()T nxx x x)0()0(2)0(1)0(,,, =3也可记为矩阵形式若将系数矩阵分解为，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∑≠=+i n i j j k j ij ii k i b x a a x ,1)(1(1）Jk J k f xx+B =+)()1()4.2.5()3.2.5(A U L D --=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn a a a D2211⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--000121323121nn n n a a a a a a L4则方程组，变为得于是于是（5.2.4）式中的分别称为雅克比迭代法的分量形式和矩阵形式，分量形式用于编程矩阵形式用于讨论迭代法的收敛性。
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--0000122311312n n n n a a a a a a Ub x =A b x U L D =--)(()Dx L U x b=++()()b D x A D b D x A D D b Dx U L Dx 111111)(------+-I =+-=++=A -I =B -1D J bD f j 1-=)4.2.5(),3.2.5(55.2.2 高斯—赛德尔（Gauss-Seidel ）迭代法雅克比(Jacobi)迭代法的优点是公式简单，迭代矩阵容易计算。
“计算方法”课程教学改革的探讨
出一般的数值积分方法 ，即用函数值的线性组合求积分 ，并说明该方法不但避开了求原函数的困
难 ，同时非 常便 于编程 序 ，但 随之 而来 的问题 是 系数 的求 法 ，从 而 引 出插 值 型 、牛 顿 一 特斯 型 柯
・ 收 稿 日期 ２０ ０ ６—１ 一ｏ １ ７
作者简介
李桂成 （９ ３ １６ 一）男 ，山西翼城人 ，副教授 ，主要从事科学计算的教学与研究
一
ｌ ３ｌ 一
维普资讯
高等 理科 教育
２０年第１ （ 第７期） ０８ 期 总 ７
全 部选 自本 教材 的例题 ，以帮助学 生克 服编程 中 的困难 。教材 的附 录 中有 精 心设 计 的 ９个 实 验 ， 每 一个 实验都 包括 实验 目的 、实验 方法 、实验 内容 、实验 程序 、实验 结果 和结 果分 析 。以指 导学
生 进行计 算 方法 的实验 。
（ ）用软 件工 程 的观点介 绍算法 三 该教 材用 软件工 程 的观点 介绍 每个算 法 的来龙 去脉 、基 本思 路和 推导 过程 ，并 且 每个算 法都
配有结构化流程图。在各种具体 的数值算法 的构造中，都体现了如何从实际问题 的数学模型出 发 ，用化繁 为 简 、以直代 曲 、化 连续 为离散 、逐 步精 确 、逐次 逼 近等方 法来解 决 实 际问题 的思维
（ ）知识 结构 完整 一
ห้องสมุดไป่ตู้
该教材除了比较全面地介绍了现代科学与工程计算中常用的数值计算方法外 ，增加了计算方 法的数学基础和 Ｍ Ｔ Ａ Ａ Ｌ Ｂ在计算方法 中的应用两章内容 ，在计算方法的数学基础一章中既简 明 又 系统地 介绍 了计 算方法 所 需要 的数 学基 础知识 ，主要包 括微 积 分 、微 分 方程 和线 性代数 的有 关 概念 和结论 。这样 安排 主要 是为 了方 便学 生 查 阅 和复 习 。在 ＭＡ Ｌ Ｂ编 程 基 础及 其 在 计 算 方 法 ＴＡ
[电子教案]计算方法 (37)
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8.4龙格—库塔方法◆8.4.1 龙格—库塔方法的基本思想◆8.4.2 二阶龙格—库塔方法的推导◆8.4.3 四阶精典龙格—库塔方法返回8.4.1 龙格—库塔方法的基本思想龙格—库塔方法是以德国数学家的名字C.Runge 及M.W.kutta 来命名的。
它是求解初值问（8.1.1）（8.1.2）的一类高精度的单步法。
由定义8.3.2知，方法的精度与余项有关。
用一阶泰勒展开式推导出欧拉公式，其余项为，故是一阶方法。
类似地，若用阶泰勒展开式：其中，)(1+p h ο)(2h οp )()(!...)(!2)()(1)(21+++++''+'+=p n p p n n n n h x y p h x y h x y h x y y ο()(,),()(,)(,)(,)...x y y x f x y y x f x y f x y f x y '''''==++进行离散化，所得数值公式必为阶方法。
由此我们能够想到，通过提高泰勒展开式的阶数，可以得到高精度的数值方法。
从理论上讲，只要微分方程（8.1.1）的解充分光滑，泰勒展开方法可以构造任意有限阶的计算公式。
但事实上，具体构造这种公式往往是相当困难的。
因为复合函数的高阶导数常常是很繁琐的。
因此泰勒展开方法一般不直接使用。
但是我们可以间接使用泰勒展开方法，求得高精度的数值方法。
首先，我们对欧拉公式和改进的欧拉公式的形式作进一步的分析。
p )(x y ))(,(x y x f如果将欧拉公式和改进的欧拉公式改写成如下形式：欧拉公式(8.4.1)改进的欧拉公式(8.4.2)这两组公式都是用函数在某些点上的值的线性组合来计算的近似值。
欧拉公式每步计算一次的值，它是在处的一阶泰11hk y y n n +=+),(1n n y x f k =)2121(211k k h y y n n ++=+),(1n n y x f k =),(12hk y h x f k n n ++=),(y x f )(1+n x y 1+n y ),(y x f )(1+n x y n x勒展开式，因而是一阶方法。
计算方法考核知识点
计算方法考核知识点第1章计算方法与误差考核知识点：误差的来源，绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限，有效数字，准确数位，误差传播。
考核要求：1．知道误差的主要来源，误差传播。
2．了解绝对误差、绝对误差限、相对误差，相对误差限、掌握其判别方法。
3．掌握有效数字，准确数位的求法。
例题1、近似数x*= 0.231关于真值x = 0.229有（）位有效数字。
（1）1；（2）2；（3）3；（4）4。
2、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是（）。
（1）方法收敛性；（2）方法的稳定性；（3）方法的计算量；（4）方法的误差估计。
3、下列说法错误的是（）。
（1）如果一个近似数的每一位都是有效数字，则称该近似数为有效数；（2）凡是经“四舍五入”得到的近似数都是有效数；（3）数值方法的稳定性是指初始数据的扰动对计算结果的影响；（4）病态问题是由数学问题本身的性质决定的，与数值方法有关。
参考答案：1、（2）2、（3）3、（4）第2章一元非线性方程数值解法考核知识点：区间二分法，一般迭代法，牛顿迭代法、弦截法，收敛性。
考核要求：1．熟练掌握用区间二分法求方程近似根的方法。
2．掌握用一般迭代法求方程的方法近似根的方法。
了解其收敛性3．熟练掌握用牛顿迭代法求方程近似根的方法。
了解其收敛性。
4．熟练掌握弦截法。
了解其收敛性。
例题1、方程x3−2x −5 = 0在区间[1,3]有( )个正根(1) 1； (2) 2； (3) 3； (4) 无正根2、用牛顿迭代法求方程x 3 − 2x − 5 = 0的牛顿迭代公式为3、已知求方程f (x ) = 0在区间[a ,b ]上的根的迭代公式为 2,1,0),(1==+k x x k k ϕ对 于其产生的数列{}k x ，下列说法正确的是（ ）(1) 若数列{}k x 收敛，则迭代函数ϕ (x )唯一；(2) 若对∀x ∈[a ,b ], 1≤'ϕ，则{}k x 收敛；(3) 若∀x ∈[a ,b ], 1>'ϕ，则{}k x 收敛；(4) 若∀x ∈[a ,b ], 1<≤'L ϕ，则{}k x 收敛第3章 线性方程组直接解法考核知识点：简单消元法，元消元法，矩阵的三角分解。
数值计算方法李乃成
数值计算方法李乃成01有限元法有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。
从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。
不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。
对于权函数，伽辽金（Galerkin）法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。
令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0.插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。
有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日（Lagrange）多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特（Hermite）多项式插值。
单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。
常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。
大学计算方法复习资料
计算方法复习资料第一章 数值计算中的误差主要内容：绝对误差，相对误差，误差限，有效数字，四舍五入，减少误差的原则。
1.利用秦九韶算法计算多项式16432)(23467-+-+--=x x x x x x x p 在2=x 处的值 1 -2 0 -3 4 -1 6 -1 2 2 0 0 -6 -4 –10 -8 1 0 0 -3 -2 -5 -4 -9 9)2(-=p2.设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x = ；（2）12.10x = ；（3）12.100x = 。
解：有效数字位数分别为：3，4，53. 下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121x y xx-=-++，（B ）22(12)(1)xy x x =++；（2）已知1x >>，（A）y =，（B）y =（3）已知1x <<，（A ）22sin x y x=，（B ）1cos 2xy x-=；（4）（A）9y =-（B）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。
（1）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
故（B ）算得准确些。
（2）（B ）中两个相近数相减，而（A ）中避免了这种情况。
故（A ）算得准确些。
（3）（A ）中2sin x 使得误差增大，而（B ）中避免了这种情况发生。
故（B ）算得准确些。
（4）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
故（B ）算得准确些。
4.求3.141与22/7作为π的近似值时有效数字的个数.解：22110005.000059.0141.3-⨯=<=- π 3个。
期末数学计算技巧总结
期末数学计算技巧总结一、加法与减法速算技巧1. 相邻数求和：对于连续增加1的数列，可以直接用最后一个数乘以个数再除以2，得到数列之和。
例如：1+2+3+...+99+100=100×(100+1)÷2=50502. 相邻数求差：对于连续增加1的数列，可以直接用第一个数减去最后一个数再加1，得到数列之差。
例如：100-99+98-97+96+...+1=-100×(-100+1)÷2=-50503. 同位数相加减：对于同位数相加或相减，只需对应位数相加或相减，不进位或退位，最后填写剩余的数字。
例如：876-549=300+20+6-500-40-9=300+20+6-500-41=299-541=-2424. 乘法术：若一个数乘以一个以9结尾的数，则只需将被乘数的十位数减1，个位数与总和的个位数相加。
例如：87×59=87×60-87=5220-87=51335. 乘法交换律：两数相乘，交换两数的位置结果不变。
例如：43×7=7×43=3016. 乘法分配律：按因子的个数分别和被乘数相乘，再把结果相加，得到乘积。
例如：76×34=76×30+76×4=2280+304=2584二、乘方和开方计算技巧1. 乘方计算：若连乘的因子个数相同，可利用乘法分配律简化计算。
例如：2³×3³=（2×3）³=6³=2162. 乘方简化：对于乘方中的乘法公因式，可以分解并相乘，再简化计算。
例如：2⁴×3²=（2×2×2×2）×（3×3）=16×9=1443. 次方与次方：若底数相同，则指数相加得到运算结果。
例如：2³×2⁴=2³+⁴=2⁷=1284. 乘方与开方的互逆性：一个数的乘方后再开方，等于开方后再乘方，结果等于原数。
必修三计算方法知识点总结
必修三计算方法知识点总结一、加减乘除在必修三中，我们学习了整数的加减乘除运算。
在进行这些运算时，需要注意以下几点：1. 加法的交换律和结合律：a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)2. 减法的定义：a-b=c，表示a与b之间的差是c3. 乘法的交换律、结合律和分配律：a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)，a×(b+c)=a×b+a×c4. 除法的定义：a÷b=c，表示a与b之间的商是c这些运算法则在我们进行数学运算时非常重要，能够帮助我们正确地进行加减乘除运算，而且在解决实际问题中也有很多应用。
二、整除与余数在必修三中，我们学习了整数的整除与余数。
在进行整除时，需要注意以下几点：1. 整除的定义：a÷b=c，表示a能被b整除，其商是c2. 余数的定义：a÷b=q……r，表示a÷b的商是q，余数是r3. 整除与余数的关系：a=b×c+r，其中r<b理解整除与余数的概念能够帮助我们更好地进行整数的运算，特别是在解决问题时能够更快地找到答案。
三、有理数的四则运算在必修三中，我们学习了有理数的加减乘除。
有理数包括整数和分数，对有理数进行四则运算时，需要注意以下几点：1. 有理数的加减法：同号相加取同号，异号相加取减号；同号相减取减号，异号相减取加号2. 有理数的乘法：同号相乘结果为正，异号相乘结果为负3. 有理数的除法：同号相除结果为正，异号相除结果为负在进行有理数的四则运算时，需要根据上述规则进行操作，这样才能得到正确的答案。
四、分数的四则运算在必修三中，我们学习了分数的加减乘除。
在进行分数的四则运算时，需要注意以下几点：1. 分数的加减法：通分后进行加减运算，然后化简2. 分数的乘法：直接相乘分子和分母，然后化简3. 分数的除法：倒数相乘，然后化简理解分数的四则运算规则能够帮助我们更好地进行分数的运算，而且在解决实际问题时也会有很多应用。
[电子教案]计算方法 (26)
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' ' " "
这时，S( x)称为周期样条函数。
6 《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社
S( x i 0) S( x i 0) ' ' S ( x i 0) S ( x i 0) " " S ( x i 0) S ( x i 0)
《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社
6.6.2
5
它给出了 (n 1)个条件，再加上 6.6.1)给出的(n 1)个 3 ( 条件，共(4n 2)个条件，求解 ( x )仍缺两个条件，为此， S 要根据问题要求补充两 个边界条件，它们是：
' 型边界条件： ' ( x 0 ) f 0 , S
" 型边界条件： " ( x 0 ) f 0 , S
S (x n ) f n
' '
6.6.3
"
S (x n ) f n
"
6.6.4
当S ( x 0 ) S ( x n ) 0时，称为自然边界条件 。
" "
型边界条件：
的对插值函数的光滑性有较高要求的计算问题。
2 《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社
样条(Spline)的概念来源于生产实践，“样条”
是 绘制曲线的一种绘图工具，它是富有弹性的细长条。 绘图时用压铁使样条通过指定的型值点（样点），并 调整样条使它具有满意的形状，然后沿样条画出曲 线，这种曲线称为样条曲线。它实际上是由分段三次 曲线“装配”起来的，在型值点处具有二阶连续导数， 由此抽象出的数学模型称为样条函数。
[电子教案]计算方法 (7)
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y
y 1
n
y
y1 * y 0
n
计算
k, x, y
b x
ax
y2 y
y1 y
y
ba 2
n
输出 输出 k, x, y
并停止计算
7
输出二分N次仍为达到《计精算度方法要》求李桂的成信编息著 ，电停子止工业计出算版社
根区间必定收缩为一点 x*。显然，该点就行无限次的二
分区间a, b，只要求得满足预定精度的近似值即可。如
果 上取述有二根 分区 过间 程中ak ，,bk 可的得中以点xx为*k 极12 a限k 的bk 为根的x*的近近似似值值序列则：在
4 《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社
数，N 为最大二分次数。1 , 2为允许误差，当
或 f (x) 1
b a 2 时计算终止。
6 《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社
输入 a, b,1, 2 N ,
y1 f (a), y2 f b
y
y1 y2 0
n
对于 k 1,2,N 计算
输出失败信 息，停止计
算
x a b , y f (x) 2
1 《计算方法》李桂成 编著 电子工业出版社
首先把区间a, b二等分，取区间 a, b的中点
计算函数值f x0 ，如果 f x0 0，则求得实根 x*
否则，f x0 或者与 f a异号，或者与 f b异号。
x0
1
2
1 (a 2
a
b)
b
若 f a f x0 0 ，说明根在区间 a, x0 内，这时取
x0 , x1, x2 , , xk ,
由于
x* xk
1 2
《计算方法》期末复习
《计算方法》期末复习计算方法是计算机科学与技术专业的一门基础课程，它主要涉及计算机中的常用数值计算方法及其应用。
期末复习是为了帮助学生巩固课程知识、理解和掌握具体的计算方法，以提高数学计算和算法实现的能力。
在期末复习中，需要复习的内容主要包括数值计算方法的原理、基本原则、具体的计算方法及其常见应用等。
下面是计算方法期末复习的一个大纲，可供参考：一、计算方法基础知识回顾1.数值计算及其应用的概念和基本原理2.计算机中数的表示形式及其精度3.计算机中常用的数学运算法则4.误差的类型和度量方法二、线性方程组的数值解法1.线性方程组的矩阵表示、高斯消元法和矩阵消去法2.矩阵LU分解法和逆矩阵法3.迭代法解线性方程组（雅可比方法、高斯-赛德尔方法、逐次超松弛方法）4.带主元的高斯消元法5.矩阵的特征值和特征向量的计算（幂法、反幂法、QR分解法）三、非线性方程的求根方法1.非线性方程求根的基本概念和定理2.二分法、简单迭代法和牛顿法的原理和应用3.割线法和弦截法四、插值与逼近1.插值与逼近的基本概念和分类2.拉格朗日插值多项式及其误差估计3.牛顿插值多项式及其差商表示4.埃尔米特插值多项式与三次样条插值5.最小二乘法曲线拟合及其应用五、数值积分与数值微分1.数值积分的基本概念和定义2.梯形公式、辛普森公式和复化求积公式3.数值积分的误差估计和自适应积分方法4.复化求积公式的收敛性和数值稳定性5.数值微分的基本概念和定义6.差商和差商表及其应用六、常微分方程的数值解法1.常微分方程（ODE）的基本概念和分类2.欧拉法和改进欧拉法3.龙格-库塔法（RK4法）4.多步法（Adams-Bashforth法、Milne法）5.预测-校正法（Adams-Moulton法）6.刚体现象方程的数值解法七、矩阵特征值与特征向量的计算1.矩阵特征值与特征向量的原理和定义2.幂法和反幂法的原理和应用3.QR分解法与带位移的QR分解法4.雅可比迭代法和带位移的雅可比迭代法八、常见数值计算问题的MATLAB实现1.线性方程组的解法2.非线性方程求根的方法3.插值与逼近的应用4.数值积分与数值微分的计算5.常微分方程的数值解法6.矩阵特征值与特征向量的计算以上是《计算方法》期末复习的一个大纲。
[电子教案]计算方法 (16)
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4.5误差分析4.5.1 病态方程组与条件数一个线性方程组Ax=b是由它的系数矩阵A和它的右端项b所确定，在实际问题中，由于各种原因，A或b往往有误差，从而使得解也产生误差。
本节方程组的系数矩阵A或右端项b的微小误差对解向量的影响问题。
定义4.5.1 求解线性方程组时，若A 或b 有微小扰动或时，解x 的扰动很大，则称此方程组为病态方程组，相应的系数矩阵A 称为病态矩阵,反之，若此时很小，则称方程组为良态方程组，矩阵A 称为良态矩阵.定义4.5.2 称，，分别为解向量x ，矩阵A与右端向量b 的相对扰动。
b Ax =A δb δx δx δx x δA A δbb δ定义4.5.3 设A 为n 阶可逆矩阵，则称数为矩阵A 的条件数，其中是矩阵的算子范数常用的条件数为：分别称为A 的条件数，条件数，条件数AA A Cond ⨯=-1)(∙∞-∞⨯=∞1)(AA ACond 1111)(-⨯=A A A Cond 2122)(-⨯=A A A Cond -2-1-∞条件数的性质：(1)对任意非奇异矩阵A ，都有(2)若A 为非奇异阵，且(常数)则(3)如果A 为非奇异阵，U 为正交矩阵，则(4)若为A 的按模最大和最小的特征值，则)()(,1)(1-=≥A Cond A Cond A Cond 0≠k )()(A Cond kA Cond =222()()()Cond A Cond UA Cond AU ==2()1Cond U =n λλ,1nA Cond λλ12)(≥若A 对称，则若A 对称正定，则12()n Cond A λλ=nA Cond λλ12)(=例4.5.3 设,n n A B R ⨯∈为非奇异矩阵，证明：1()1,()()Cond A Cond A Cond A -≥=（1）（2）1()(),,0Cond aA Cond A a R a =∀∈≠（3）()()()Cond AB Cond A Cond B ≤。
[电子教案]计算方法 (36)
![[电子教案]计算方法 (36)](https://img.taocdn.com/s3/m/148e7b02bb68a98271fefa7f.png)
8.3单步法和局部截断误差和方法的阶现在将解微分方程初值问题的单步法写成如下统一的形式：(8.3.1)其中，与微分方程初值问题的右端函数有关称为增量函数，若中不含，则方法是显式的，否则是隐式的。
例如，欧拉公式和改进的欧拉公式的增量函数分别为：因此这两个公式都是显式公式。
),,,,(111h y y x x h y y n n n n n n ++++=ϕ),(y x f 1+n y ϕ),,(n n y x f ))],(,(),([211n n n n n n y x hf x x f y x f +++ϕϕ隐式欧拉公式和梯形公式的增量函数分别为：它们都包含项，因此，这两个公式都为隐式公式。
不论显式公式，还是隐式公式，从开始计算，如果考虑每一步产生的误差，直到则有误差，称为方法在的整体截断误差。
一般地，分析和求出整体截断误差是非常困难的。
为此，我们仅考虑从到的局部情况。
并假设处的没有误差，即给出单步法的局部截断误差概念。
ϕ),,(11++n n y x f )],,(),([2111+++n n n n y x f y x f 1+n y 0x n x n n n y x y e -=)(n x n x 1+n x n x n y )(n n x y y =定义8.3.1 设是微分方程的精确解，则(8.3.2)称为单步法（8.3.1）的局部截断误差。
例如，显式欧拉公式的局部截断误差为：(8.3.3)若用表示欧拉公式在处的整体截断误差，则与之间的联系可用下图所示)(x y )),(),(,,()()(1111h x y x y x x h x y x y T n n n n n n n ++++--=ψ))(,()()(11n n n n n x y x hf x y x y T --=++1+n e n x 1+n T 1+n e n e 1+n T 1+n e n x 1+n x yx现在，推导(8.3.3)式, 为此将在处泰勒展开并用代替得:另一方面，当微分方程初值问题的解为一次多项式时，在步精确，即的前提下，用欧拉公式求第步的数值解。
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数值分析复习要点引论1数值计算研究的对象与特点计算方法研究的对象是专门研究各种数学问题的计算机解法（数值解法）, 包括方法的构造和求解过程的理论分析及软件实现, 包括方法的收敛性、稳定性以及误差分析等.计算方法即具有纯数学的抽象性与严密性的特点, 又具有应用的广泛性与实验的技术性特点.2误差的概念2.1误差的来源模型误差：数学模型的解与实际问题的解之间出现的误差, 称为模型误差测量误差：在测量具体数据时产生的误差称为测量误差.截断误差：数学模型的准确解与数值方法的准确解之间的误差称为截断误差舍入误差：由于计算机字长的限制而产生的误差, 称为舍入误差.2.2 误差的度量..(1).(2).(3).绝对误差与绝对误差限相对误差与相对误差限有效数字2.3误差的传播和、差的误差限不超过各误差限的和.积、商的相对误差限不超过各相对误差限的和.3数值计算的若干原则避免两相近数相减和绝对值太小的除数、简化计算步骤、使用数值稳定的算法方程求根1 二分法用二分法求方程 f ( x) 0 的实根 x * 的近似值 , 其主要思想是: 将含有根x* 的隔离区间二分通过判断二分点与边界点函数值的符号, 逐步对半缩小隔离区间, 直到缩小到满足精度要求为止 , 然后取最后二分区间的中点为根x * 的近似值 .,2迭代法一般地 , 为了求一元非线性方程 f (x)0 的根 , 可以先将其转换为如下的等价形式xx 然后构造迭代公式 . x k 1x k k 0,1,23收敛性和收敛速度（收敛性基本定理）的条件和结论收敛速度的快慢可用收敛阶来衡量. （收敛阶）设序列x k k 0收敛到x*,并记误差e k | x k x*| . 若存在常数 p 1 和 c0 , 使得 : lim ekp1ck e k则称序列x k k 0是 p 阶收敛的 , 当 p 1 时 , 称为线性收敛 , 当 p 1 时 , 称为超线性收敛 ,当 p 2 时 , 称为二次收敛或平方收敛 .4牛顿迭代公式及其收敛性牛顿迭代公式x k 1 x k f ( x k ) k 0,1,2f (x k )牛顿法的收敛性设 x*是方程 f ( x) 0 的单根 ,并且 f (x) 在x*的邻域上连续,则牛顿迭代法（ 3.4.1）至少平方局部收敛 .解线性方程组的直接法1高斯消去法消元过程为：对 k 1,2, , n 1 逐次计算 :l ik( k ) a ij a ik(k 1)/ a kk(k 1) ,( i k1,, n)a ij( k1)l ik a kj(k1) ,( i , j k1, , n)b i( k1)l ik b k( k1) ,( i k1,,n )回代过程：逐步回代求得原方程组的解x n b n(n 1) / a nn(n 1)nx k(b k( k 1)a kj(k 1) x j ) / a kk(k 1) ,( k n 1,n 2, ,1)j k1高斯消去法的乘除法总计算量为：1 n3 1 n2 6 n 1 n2 1 n 1 n3n 2 1 n32522332高斯—约当消去法约当消去法的计算过程为：对于 k 1,2,, n 计算：a kj(k )a kj(k 1)/ a kk(k 1) ( j k1,,n1) ( k )(k 1)( k 1)( k )(i1,2,且aij aijaikakj,n i k; j k 1,k 2, , n 1)乘除法的总次数为:1 n31n2.22它比高斯消去法的计算量大,但不需要回代过程3向量和矩阵的范数、条件数向量范数 :nn211 范数x 1x i2范数x 2(x i ) 2范数xmax x ii 1i 11 i n矩阵的范数设 x 为 n 维向量 , A 为 n 阶方阵 , 则算子范数 :nAmax ij 称为矩阵 A 的行范数。
a1 i nj 1nA 1maxaij称为矩阵 A 的列范数。
1 j ni 1设 A 为 n 阶可逆矩阵 ,则称数Cond ( A )A 1 A为条件数：Cond ( A)AA 1， Cond 1( A)A1A 1Cond 2 ( A)A2A 112分别称为 A 的条件数 ,1 条件数 , 2 条件数解线性方程组的迭代法1 雅克比迭代法的迭代公式：x ( k 1）1n(k )a x biaiiijjij 1, j i矩阵形式： x ( k 1)B J x (k)f J B JI D 1 A ， f J D 1b2 高斯—赛德尔迭代法迭代公式为：1i 1nx i ( k 1) a ij x (jk 1)a ij x (jk )b i ， i1,2, , na iij 1j i 1成矩阵形式 x (k 1)Bx (k)fG S BD L 1U，fG S (D L ) 1bG SG S3 迭代法的收敛性判断（迭代法收敛的基本定理）设有n 阶方程组 xBx f ，对于任意初始向量x (0 ) 和右端项 f ，迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的谱半径(B) 1.（迭代法收敛的充分条件）若 B 1，则由迭代公式 （ 5.1.3）所产生的向量序列x (k ) 收敛于方程组 x Bxf 的精确解 x * ，且有误差估计式x ( k)x *Bx (k ) x (k 1)， x (k )x *B kx (0 )B x (1)11B（充分条件）若线性方程组 Ax b 的系数矩阵为严格对角占优或不可约弱对角占优矩阵，则雅克比和高斯—赛德尔迭代法收敛。
函数插值1 插值的基本概念包括线性插值、抛物插值和多项式插值的存在惟一性。
2 拉格朗日插值nn xL n (x)(x j) y ii 0 j 0 x ij ix j3 插值余项与误差估计若 f ( x) 在 [ a, b] 上的插值多项式为L n ( x) ，则称 R n ( x)f ( x) L n ( x) 为 L n ( x) 的插值余项（也称误差）。
设 f ( x) 在 [a,b]上 的 n 1 阶 导 数 连 续 ， 记 为 f ( x) C n 1[a,b] 且 f ( x) 在 互 异 节 点a x 0 x 1x nb 的函数值为 y 0 , y 1, , y n 。
若满足插值条件L n ( x i ) y i (i 0,1,2, ,n)的插值多项式为 L n ( x) ，则对 x [ a, b] 有：f ( n 1) ( )nf (n 1) ()R n ( x)f (x ) L n ( x)(x(n 1)!x j )1)! n 1 (x)j 0(n其中 ab ， n 1( x)n(x x j )j 04 牛顿插值N n (x) f (x 0 ) f ( x 0 , x 1 )(xx 0)f (x 0, x 1,, x n )(x x 0 )(xx 1 ) ( xx n 1 )数值积分1 代数精度的概念及其求法。
若数值求积公式对被积函数f ( x) 1, x, , x m 都能精确成立， 而对被积函数 f (x) x m 1 不能精确成立，则称求积公式具有m 次代数精度。
2 牛顿－柯特斯公式b I ( f )f ( x) dxa(n) ( 1)n in(b a)C i (n ) f ( x i )i 0n nCin i!(n i )!0 (t j )dtj 0 j ib a梯形求积公式I ( f ) T2抛物线求积公式或辛普生求积公式f '' ( 梯形公式的截断误差R 1 ( f )2f ( a) f (b)I ( f )b af (a) 4 f (b af (b)S)62)b a)( x b)dxf ''( ) 3，a, b(x(b a)a123 复合梯形求积公式将 a, b 区间 n 等分，记分点为x i a ih,b a,i0,1, , n)( hn并在每个小区间 x i , x i 1上应用梯形公式得：bn 1 xi 1n 1 ha f (x)dxx if ( x)dxi 02 f x if x i 1i 0hn 1f (a) 2 f (x i )f ( b)2 i 1复合梯形公式的截断误差R n ( f )b a h 2 f ' ' ( ) ， (a,b)124 复合辛普生求积公式在每个小区间 x i , x i 1 上，用辛普生公式得 :n 1n 1S nhf ( a) 4f (x 1 ) 2f ( x i ) f ( b)6i 0 i 2i 1其中 x1为 [ x i , x i 1 ] 的中点，即 x1x i1 hii22 25 高斯求积公式若有一组节点 x 0 , x 1 , , x n [ 1,1] ,使插值型求积公式 (8.5.1) 具有 2n 1 次代数精度，则称此组节点为高斯点，并称相应的求积公式为高斯型求积公式。
常微分方程初值问题的数值解法1 欧拉公式包括显式、隐式、两步、改进的欧拉公式和梯形公式。
欧拉公式 y n 1 y n hf (x n , y n )隐式欧拉公式 y n 1 y n hf ( x n 1, y n 1 )为梯形公式 y n 1 y nh[ f ( x n , y n ) f ( x n 1, y n 1 )]2改进的欧拉公式y n 1 y n h [ f ( x n , y n ) f ( x n 1 , y n hf ( x n , y n ))]2两步欧拉公式 y n 1y n 1 2hf ( x n ,y n )2 单步法的局部截断误差和方法的阶设 y( x) 是微分方程的精确解，则T n 1 y( x n 1 ) y(x n ) h (x n , x n 1 , y(x n ), y(x n 1 ), h)称为单步法的局部截断误差。
如果求微分方程数值方法的局部截断误差是T n 1O( h p 1 ) ，其中 p 1 为整数，则称该方法是 p 阶的，或该方法具有 p 阶精度。
p 越大，方法的精度越高。
含 h p 1 的项，称为该方法的局部截断误差主项。
欧拉公式是一阶方法，其截断误差主项为h 2 y (x n ) 。
2 隐式欧拉公式也是一阶方法，它的主项是h 2 y (x n )2梯形公式是二阶方法，其局部截断误差为h3(x n ).y12可以证明，改进的欧拉方法也为二阶方法。
3 四阶龙格—库塔方法y n 1y nh2k 22k 3 k 4 )(k 16k 1f (x n , y n )4阶经典 RK 方法形式为：k 2f (x nh, y nhk 1 )22kf (xh, yh k )3n2n2 2k 4 f ( x n h, y n hk 3 )4 单步法的收敛性和稳定性若求微分方程的一种数值方法对于任意固定的 x n x 0 nh ,当 h0 ( 同时 n) 时 , 有y ny( x n ), 则称该方法是收敛的。