数系的扩充和复数的概念教学设计--朱晓娜

数系的扩充和复数的概念教学设计

长岛中学朱晓娜

教学目标：

1. 知识目标：了解数系扩充的实际性；理解虚数单位i的产生及意义。

2. 能力目标：掌握复数的概念、代数形式及其分类。

3. 情感目标：体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

教学重点：

对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

教学难点：

由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难。由于理解复数是一对有序实数并不习惯，对于复数概念理解也有一定困难。

学情分析：

在学习复数之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。因此在介绍新知识之前，可以先回顾一下以前是如何进行扩充的，然后给出新的问题，为什么现在又要进行扩充。

教学过程：

一、数系的扩充及问题的引入

我们最早接触到的数---自然数，第一次扩充是在初中，向东走八米与向西走八米，虽然都是八米但是有着不同的含义，为解决这个问题我们引入了正负将自然数扩充到了整数。然而整数还是不够用，如向东走八米半、将一个苹果四等分等等，为此我们又引入了分数将整数扩充到了有理数。紧接着我们又将有理数扩充到目前最大的数系—实数，这一次的扩充也是为了解决实际生活中存在的问题：边长为1的正方形的对角线的长度，我们引入了无理数，将有理数扩充到了实数。由此可见每一次的扩充都有着实际的需求，那么又是因为要解决什么问题，我们又将实数进行扩充？引进的是什么数？

数集的每一次扩充，都是因为生产和科学发展的需要而逐步扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位.并由此产生的了复数

二、基本概念

1、i的含义

(1) 它的平方等于-1，即21

i=-

（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立

（3）i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i

（4）i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1

2、复数的定义：形如(,)

+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复

a bi a

b R

数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示

复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即(,)

=+∈，把复数表

z a bi a b R

示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式

3、复数的分类：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数+∈，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，(,)

a bi a

b R

复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.

三、质疑

问题设置：复数能不能比较大小？

是任何的复数都不能比较大小？

由学生思考总结给出具体的答案，进而继续提出问题：

那是否可以说两个复数相等？如何给出复数相等的充要条件？

6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等

这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d

复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据

四、典型例题

实数m 取什么数值时，复数z =m +1+(m －1)i 是:

(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？

分析：因为m 是实数，所以m-1，m+1都是实数。由复数z=a+bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m 的取值。

解：(1)当m －1=0，即m =1时，复数z 是实数；

(2)当m －1≠0，即m ≠1时，复数z 是虚数；

(3)当m +1=0，且m －1≠0时，即m =－1时，复数z 是纯虚数.

巩固练习：

1.如果（x+y ）+（y-1）i=（2x+3y ）+（2y+1）i ，求实数x, y 的值。

2. 已知m ∈R ，复数z =1

)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时， (1) z ∈R ; (2) z 是虚数；(3) z 是纯虚数；(4) z =2

1+4i .

五、教学反思及小结

通过这堂课的学习你有哪些收获？

请同学们对于数系扩充过程方面以及对复数实质理解方面的收获进行小结，可以在课堂上一起交流，也可以整理到自己的笔记本上。

1.数系的扩充：自然数—＞整数—＞有理数—＞实数—＞复数

2.虚数单位i 含义

3.复数的代数形式

4.复数的分类

5.复数相等的充要条件

今天我们的学习仅仅是打开了研究复数的大门，对复数的认识还是肤浅的，在以后的学习中，大家再慢慢体会复数的作用。在实际教学中，如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类。

六、布置作业

1、 教材第52页，第1、2题。

2、实数m 取什么值时，复数 是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？ （4）0？

3、 已知（x+y ）+(x-y)i=2-4i 求实数x ，y 的值

教学情境设计：

()i

)1(12-++=m m m z