岩石力学参数反分析的变分伴随方法研究

K ( p)u + [ K ′( p)h]u，Y =
= 0 ⇒ K ( p) u + M (u)h，Y = 0
=
(16) (17) (18)
调整后视为观测位移，进而反推岩体的力学参数， 将岩体视为弹性材料，力学参数为： E1 = 2.3 GPa， ν1 = 0.29， E 2 = 4.7 GPa， v 2 = 0.24。观测点的位移 值如表 1 所示，有限元计算网格如图 2 所示。
度计算方法在实际应用中费时太长，因而有必要设 ，这里提出采用变分伴随方法应 用于岩土力学的参数反演问题。
2
梯度类优化方法
梯度类下降方向优化算法， 指在求函数 f ( x) 极
函数 f 在 x 点处沿 h 方向的导数记为 f ′( x；h) ，即
f ′( x；h) =
∂f = ∂h = ∇ x f，h
K ( p) u = R
n = n+1
Y
∇p J
否 J≤ε
p= p k
= − M T (u)Y
p n+1 = p n − ∇ p J
p= pk
• αk
K ( p ) u − K ( p) u = 0
将式(11)写为
(11) (12) (13)
Fig.1
是 结束
K ( p ) u − K ( p ) u + K ( p ) u − K ( p) u = 0 K ( p)(u − u) + [ K ( p) − K ( p)]u = 0
• 204 •
岩石力学与工程学报
2005 年
了程序实现的难度。由于岩土工程有限元计算分析 的复杂性，当网格剖分单元数目和需反演的参数较 多时，梯度的计算量是很大的 计另外的算法
[6～9] [3～5]
3
参数反分析的变分伴随方法
在本文中，n 维向量 f 和 g 的内积记作 f，g ，
n
。常用的一些梯 即 f，g = ∑ f i g i ，函数 f 对 m 维自变向量 x 的梯 i =1 ∂f ∂f ∂f 度记作 ∇ x f ，即 ∇ x f = ， ，L， 。则 ∂ ∂ ∂ x x xm 2 1
STUDY ON VARIATIONAL ADJOINT BACK ANALYSIS OF ROCK MECHANICS PARAMETERS
XU Wei-ya1，LIU Shi-jun2
(1. Institute of Geotechnical Engineering，Hohai University，Nanjing 210098，China； 2. Administration Center of Hydraulic and Hydropower of Guangzhou City，Guangzhou 510640，China)
摘要：在岩土工程参数反分析中，针对梯度类优化方法中梯度向量计算量大且难以求解的问题，引入变分伴随向 量，提出了岩石力学参数反分析的变分伴随方法，推导出梯度向量的显示计算公式，梯度向量能够一次性全部算 出，计算方便快捷。最后通过数值算例，对比分析表明该方法的有效性。 关键词：岩石力学；参数；梯度向量；反分析；变分伴随方法 中图分类号：TU 451 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2005)02–0203–04
i uc − um，uc − um = ∑ (uci − um )2 i =1 n
(2)
式中： F ( x ) 为正定矩阵。正定矩阵不同，所产生 的下降方向也不同。于是，每一个方向的构造法和 此方向上的最佳迭代步长的寻求方法，就构成了一 类完整的算法。这样构成的一类算法就是梯度下降 方向算法类。下面分别介绍常用的因 F ( x n ) 不同而 得到的几种梯度下降方向优化方法[10]。 当取 F ( x n ) = I ( 单位阵 ) 时，算法为最速下降 法；当取 F ( x n ) = [ f ′′( x n )]−1 时，算法为 Newton 法； 当取 F ( x n ) = [ f ′′( x 0 )]−1 或 F ( x n ) = [ f ′′( x km )]−1 时，只 计算 1 个二阶导数的逆矩阵或每隔 m 步计算 1 次二阶 导数的逆矩阵，此为简化的 Newton 法；在 Newton 法中，由于要求二阶导数的矩阵必须是非奇异和正 定的， 这样在实际应用中有一定的限制。 取 F (x ) =
本文采用的迭代格式为 (6)
[ f ′′( x n ) + β n Q n ]−1 ， β n 为非负数， Q n 为给定矩阵，
其至少为半正定的，此为 Marquardt-Levenberg 方法。最速下降法计算方法简便，但收敛速度太慢，
下面采用变分伴随方法来求解 ∇ p J | p= pk 。 在岩土力学数值分析中，有限元计算方程为 K ( p) u = R (7) 式中： K ( p) 为 m 阶整体劲度矩阵，R 为 m 维荷载 向量，u 为 m 维结点计算位移。 考虑需反演参数向量 p 沿 h 方向作一微小扰动， t 为微小量，则有 p = p + th 由式(4)，(5)和(8)可得 J ′( p ； h) = lim t →0 lim t →0 lim t →0 J ( p + th) − J ( p) J ( p ) − J ( p) = lim = t →0 t t t − uc − um，uc − um t = + (8)
将式(13)求极限，得
图1
参数反演流程图
Procedure of back analysis of mechanical parameters
= = + K ′( p，h)u = 0 ⇔ K ( p)u + [ K ′( p)h]u = 0 K ( p) u
(14) 将 K ′( p，h) 改写为 M (u) ，则式(14)可为
t =0
值的迭代序列式时，迭代方向 p n 是由最速下降方 向(即负梯度方向)左边乘一正定矩阵得到的，即
x
n +1
= x + an p
n
lim t →0
(1)
n
f ( x + th) − f ( x ) df = t dt
(3)
p n = − F ( x n ) f ′( x n )
n
在岩土力学参数反分析中，令需反演参数向量 为 p，反分析目标函数采用在数据处理中广泛使用 的最小二乘法，即 J ( p) = (uc − um ) T (uc − um ) =
4
数值算例
为了验证本文提出方法的可行性和有效性，采
K ( p ) u + M ( u) h = 0
在式(14)中引进伴随向量 Y，则有
=
(15)
用如下算例进行研究和对比分析。某一层状岩质边 坡由 2 种岩体材料构成，在工程施工中，要进行边 坡开挖，在坡面及坡内布置监测点。这里先进行有 限元的正算分析，将计算得到的观测点位移作少量
1
引
言
和梯度类方法。直接搜索法不需利用目标函数对反 演参数的导数值，仅通过比较目标函数值的大小来 移动迭代点，操作简单，易于编程，有较强的适应 性；但它对初值选取的要求较高，收敛速度较慢， 特别是反演参数数目较多时，收敛速度极慢，其计 算工作量往往按变量个数的指数来增长。梯度类方 法是一类梯度导向的启发式搜索算法，具有搜索速 度快， 收敛性相对较好， 且有一套严密的理论体系； 但因要计算目标函数对反演参数的偏导数，也增加
第 24 卷 第 2 期 2005 年 1 月
岩石力学与工程学报 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering
Vol.24 No.2 Jan.，2005
岩石力学参数反分析的变分伴随方法研究
徐卫亚 1，刘世君 2
(1. 河海大学 岩土工程研究所，江苏 南京 210098；2. 广州市水利局 水利水电工程建设管理中心，广东 广州 510640)
Abstract： For the parameter back analysis problems in the field of rock mechanics， excessive computational costs and time-consuming grads calculation in grades optimization methods are often a great challenge. A concept of adjoint vector of grads vector is proposed and a variational adjoint method is developed to calculate the grades vector for the parameter back analysis. All grades vectors can be derived at the same time. The formulation for the presented method is simple and the computing time is short. It can be found from the results that the method is feasible and valid. A case study shows that the developed method is reasonable and applicable for practical problems. Key words：rock mechanics；parameters；grades vector；back analysis；variational adjoint method 析的优化方法，大致可归为 2 大类，即直接搜索法
在岩土工程参数反分析中，当反分最优化问 题，就要选取某种优化方法来优化计算求解，得到 使目标函数达到最小时的反演参数值