2019年高考数学押题卷及答案(一)

2019年高考数学押题卷及答案（一）一.填空题（每题5分，共70分） 1. 复数(2)i i +的虚部是2．如{}23,2a a a ∈-,则实数a 的值等于3. 若函数1(),10()44,01xx x f x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，则4(log 3)f = 4．等比数列}{n a 中，n S 表示前n 顶和，324321,21a S a S =+=+，则公比q 为 5．在集合{}1,2,3中先后随机地取两个数，若把这两个数按照取的先后顺序组成一个二位数，则“个位数与十位数不相同”的概率是 .6．设,αβ为互不重合的平面，m ，n 为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若,,m n m n αα⊥⊂⊥则；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥β，则α∥β； ③若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥=⊂⊥⊥则；④若,,//,//m m n n ααββ⊥⊥则，其中所有正确命题的序号是 ． 7．已知0>xy ，则|21||21|xy y x +++的最小值为 8．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则给出如下四个判断：正确的有①()()76f f > ②()()96f f > ③()()97f f > ④()()107f f > 9．已知角A 、B 、C 是ABC 的内角，,,a b c 分别是其对边长，向量2(23sin,cos ),22A Am =，(cos,2)2An =-，m n ⊥，且2,a =3cos 3B =则b = 10．直线1x y a b +=通过点(cos ,sin )M αα,则2211a b+的取值范围为 11．已知()sin()(0),()()363f x x f f πππωω=+>=，且()f x 在区间(,)63ππ有最小值，无最大值，则ω=__________．12. 在区间[],1t t +上满足不等式3311x x -+≥的解有且只有一个，则实数t ∈13． 在△ABC 中，1tan,0,()022C AH BC AB CA CB =⋅=⋅+=，H 在BC 边上，则过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为14. 已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若47a =，则m 所有可能的取值为二.解答题（请给出完整的推理和运算过程，否则不得分）15.（14分）设函数2()2(03)f x x x a x =-++≤≤的最大值为m ，最小值为n ， 其中0,a a R ≠∈．（1）求m 、n 的值（用a 表示）；（2）已知角β的顶点与平面直角坐标系xoy 中的原点o 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(1,3)A m n -+．求tan()3πβ+的值．16. （14分）在直角梯形PBCD 中，,2,42D C BC CD PD π∠=∠====，A 为PD 的中点，如下左图。

将PAB 沿AB 折到SAB 的位置，使SB BC ⊥，点E 在SD 上，且13SE SD =，,M N 分别是线段,AB BC 的中点，如右图．（1）求证：SA ⊥平面ABCD ； （2）求证：平面AEC ∥平面SMN ．17. （14分）如图，在一条笔直的高速公路MN 的同旁有两个城镇A B 、，它们与MN的距离分别是km a 与8km(8)a >，A B 、在MN 上的射影P Q 、之间距离为12km ，现计划修普通公路把这两个城镇与高速公路相连接，若普通公路造价为50万元/km ；而每个与高速公路连接的立交出入口修建费用为200万元．设计部门提交了以下三种修路方案：方案①：两城镇各修一条普通公路到高速公路，并各修一个立交出入口；方案②：两城镇各修一条普通公路到高速公路上某一点K ，并 在K 点修一个公共立交出入口；方案③：从A 修一条普通公路到B ，再从B 修一条普通公路到 高速公路，也只修一个立交出入口．请你为这两个城镇选择一个省钱的修路方案．18. （16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>和圆222:O x y b +=O ：，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．（1）（ⅰ）若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e 的值； （ⅱ）若椭圆上存在点P ，使得090APB ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围；（2）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点,M N ，问当点P在椭圆上运动时，2222a b ON OM +是否为定值？请证明你的结论．19. （16分）对于数列}{n a ，定义数列}{1n n a a -+为}{n a 的“差数列”.（I ）若}{n a 的“差数列”是一个公差不为零的等差数列，试写出}{n a 的一个通项公式；（II ）若,21=a }{n a 的“差数列”的通项为n 2，求数列}{n a 的前n 项和n S ； （III ）对于（II ）中的数列}{n a ，若数列}{n b 满足8*1212(),n n n a b b n N +=-⋅∈且47b =-，求：①数列}{n b 的通项公式；②当数列}{n b 前n 项的积最大时n 的值．20. （16分）已知函数()f x 的图像在[a,b]上连续不断，定义：1()min{()/}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈，2()max{()/}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈，其中min{()/)f x x D ∈表示函数)(x f 在D 上的最小值，max{()/)f x x D ∈表示函数)(x f 在D 上的最大值，若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数)(x f 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”（1）若()cos ,[0,]f x x x π=∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式；（2）已知函数2(),[1,4],f x x x =∈-试判断)(x f 是否为[-1,4]上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k ，如果不是，请说明理由；（3）已知0b >，函数32()3,f x x x =-+是[0,b]上的2阶收缩函数，求b 的取值范围附加题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．21.（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．22．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为12312x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（为参数），求直线被曲线C 截得的线段长度.23．某中学选派40名同学参加青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示．(Ⅰ)从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率；(Ⅱ)从“青志队”中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE ．24．用,,,a b c d 四个不同字母组成一个含1n +*)(N n ∈个字母的字符串，要求由a 开始，相邻两个字母不同. 例如1n =时，排出的字符串是,,ab ac ad ；2n =时排出的字符串是,,,,,,,,aba abc abd aca acb acd ada adb adc ，……， 如图所示.记这含1+n 个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是a 的字符串的种数为n a .（1）试用数学归纳法证明：*33(1)(N ,1)4n nn a n n +-=∈≥；（2）现从,,,a b c d 四个字母组成的含*1(N ,2)n n n +∈≥个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是a 的概率为P ，求证：2193P ≤≤.活动次数 2 3 参加人数5 1520参考答案一.填空题（每题5分，共70分） 1.2 2．-1 3. 3 4．3 5．236．①③ 7．22 8．.④ 9．32410．[)1,+∞11． 14312. (0,31)t ∈- 13． 512+ 14. 56和9二.解答题（请给出完整的推理和运算过程，否则不得分）15. 解（１） 由题可得()()211f x x a =--++而03x ≤≤．．．．．．３分 所以，()()11,33m f a n f a ==+==-．．．．．．．．．．．．．．．．．６分 （２）角β终边经过点(),A a a ，则tan 1aaβ==．．．．．．．．．．１０分 所以，tan tan133tan 233131tan tan 3πβπβπβ++⎛⎫+===-- ⎪-⎝⎭-．．．．．．．．１４分16. （14分）（1）证明：由题意可知，ABCD PD BA ,⊥为正方形， 所以在图中，2,=⊥SA AB SA ， 四边形ABCD 是边长为2的正方形， 因为BC SB ⊥，AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面SAB ， ………………………………3分又⊂SA 平面SAB ，所以BC ⊥SA ，又SA ⊥AB ，所以SA ⊥平面ABCD ，………………………………6分（2）证明：连接BD ，设,BDMN G BDAC O ==， 连接,SG EO ，正方形ABCD 中，因为,M N 分别是线段,AB BC 的中点，所以//MN AC ， 且2DO OG =，……………………9分 又SD SE 31=，所以：2DE SE =，所以//EO SG所以平面//SMN 平面EAC 。

……………………………12分17. （14分）解：方案①：共修(8)km a +普通公路和两个立交出入口， 所需资金为150(8)40050(16)A a a =++=+万元； 方案②：取B 关于MN 的对称点'B ，连'AB 与MN 交于K ， 在K 修一个出入口，则路程最短，共需资金：222250(8)1220050[(8)1444]A a a =+++=+++万元；方案③：连接AB 沿ABQ 修路，在Q 修一个出入口，共需资金：222350[(8)128]20050[(8)14412]A a a =-+++=-++万元由于8a >，比较大小有123A A A >>，（12分）故选择方案（3）． 18. （16分）解：（1）（ⅰ）∵ 圆O 过椭圆的焦点，圆O ： 222x y b +=，∴ b c =，∴ 2222b a c c =-=， 222a c =，∴22e =． （ⅱ）由90APB ∠=及圆的性质，可得2OP b =，∴2222,OP b a =≤∴222a c ≤∴212e ≥，212e ≤<．（2）设0()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，则011011y y xx x y -=--, 整理得220011x x y y x y +=+22211x y b += ∴PA 方程为：21010x x y y b +=， PB 方程为：22020x x y y b +=．从而直线AB 的方程为：200x x y y b +=．令0x =，得2b ON y y ==，令0y =，得2b OM x x ==，∴2222222220022442a y b x a b a b a ON OM b b b ++===，∴2222a b ON OM +为定值，定值是22a b.19. （16分）（1）解：如.2n a n =（答案不惟一，结果应为C Bn An a n ++=2的形式，其中0≠A ）（2）解：依题意 ,3,2,1,21==-+n a a n n n所以11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----.22222321n n n n =++++=--- 从面{}n a 是公比数为2的等比数列，所以.2221)21(21-=--=+n n n S（3）①解：由88111212212n n n n n n a b b a b b +--=-⋅=-⋅及，两式相除得111,2n n b b +-= 所以数列{}{}n n b b 212,-分别是公比为21的等比数列由.14724-=-=b b 得 令.23221,161211⋅=⋅-==b b b a n n 得由所以数列{}n b 的通项为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⋅-≥⋅⋅=--),2()21(14),1()21(2312216是偶数且是奇数且n n n n b nn n ②记数列{}n b 前n 项的积为T n . 令8111,21()1,2n n n b b -+<-⋅<得即811(),13.221n n -<≥解得 所以当n 是奇数时，,1||,1||,1||,,1||,1||1615141312114321<<>>>b b b b b b b b b b 从而.|||||,|||||14121242 >><<T T T T T当n 是偶数时，,1||,1||,1||,,1||,1||1716151413125432<<>>>b b b b b b b b b b 从而.|||||,|||||15131331 T T T T T ><< 注意到121313*********,0,3,T T T b T T T >>==>且 所以当数列{}n b 前n 项的积T n 最大时.13=n20. 解：（1）由题意可得：1()cos ,[0,]f x x x π=∈，2()1,[0,]f x x π=∈。