第六章非平衡态统计物理

第六章 非平衡态统计物理

非平衡态物理现象 ● 动力学驰豫过程

例如，t ＝0，体系处于高温态；t > 0, 体系淬火到低温态。在这一过程，体系的性质和物理量显然与时间相关。 ● 动力学输运过程

体系处于稳态，但存在“流动”，如粒子流，电流和能量流等。这样的系统需要动力学方程描述。

其他一些现象也纳入非平衡态物理研究范畴。例如，体系不断受到外力打击，这些外力是宏观的，或者没法简单用Hamiltonian 表达，等等。平衡态的动力学涨落也可以属非平衡态物理研究范畴。 第一节

玻尔兹曼方程

全同粒子，近独立体系，粒子数不变。

单粒子微观状态用（p r ,）描述，（p r

,）张开的空间称 空间。

平衡态

系统的微观状态可用分布函数描述

,,f p r f

为单粒子能量

——处于（v r ,）处的粒子数的密度分布。

思考题：与正则系综理论的关系，例如，如何写出配分函数。 非平衡态

粒子数密度与时间t 有关

t p r f ,,

关键：如何求f ？

显然，如果t 是微观时间，求解

t p r f ,, 的难度和解微观运动方程差不多。所以，t 一般是某种介观时间或宏观时间。

• 先试图写下f 的运动方程 • 再讨论如何求解

如果粒子不受外力，没有粒子间的碰撞，我们有粒子流守恒方程

0 f v t

f

如何来的？对V 积分

0 V V dV f v dV t f

V

S

S d f v dV f t

左边： V 中单位时间粒子数的增加 右边： 单位时间流入V 的粒子数。

注意：S d

的方向为向外的，至少在局部v r 是常数，所以，v dS r r 是

从dS 流入V 的粒子数，因为

d S u r

dl ds v ds dt dV

dt

v v v

V 另一方法：

没有外力，p v 至少在局部是常数。

t r f dt t r f t r df ,,,

dt t 时刻处于r

处的粒子 ＝t 时刻处于dt v r 的粒子

因为在dt 内粒子移动 dt v r d

((,)(,))/((,)(,))/f

f r t dt f r t dt f r vdt t f r t dt t

f

v v f r r r r r r v v v v 如果粒子受外力，但互相不碰撞

,,,,,,df r p t f r v dt p p dt t f r p t v v v v v v v v & f f f v p t r p

f f v F r p

v v &v v v v v v

如果粒子相互碰撞

c

t f p f F r f

v t f c

t f

为由粒子碰撞引起的粒子数密度的变化 这便是玻尔兹曼方程。原则上可以求解近独立子系的所有非平衡态动力学行为。

假设

• 只有两体碰撞 • 边界条件不重要

• 外力只对单粒子运动起作用，不影响碰撞

• 不同相空间点的f 没有关联 • 时间标度远大于分子碰撞时间 空间标度远大于分子尺度

二体碰撞 p

入射

p p , p

p

出射

p p , p

能量守恒 '

动量守恒 p p p p

逆过程也类似

p

出射

p p , p

p

入射

p p , p

能量守恒

'

动量守恒

p p p p • 在r 处，t 时刻由p p ,产生p p ,的概率为

,,,,f r p t f r p t R v v v v

'p p p p R

在 p r ,处增加的粒子数为

p d p d p d R t p r f t p r f

,,,, 在t 时刻，在 p r ,处减小的粒子数为

p d p d p d R t p r f t p r f

,,,,

p d p d p d R f f f f t f c

t p r f f t p r f f t p r f f t p r f f ,,,,,,,,

注意：这里我们假设t 是介观时间，已略去分子碰撞细节。

习题：假设 r U m P 22

，计算出c

t f 中对p d p d 的积分

第二节 玻尔兹曼方程的简单例子

1、平衡态

“平衡” p r f t p r f

,,, 0,0

c t f t f （这似乎是充分条件） 0 p f F r f m p

设

,f r p f v v

r

r U F r U m

p 22

f f p f p p m f f U

f F r r

v

v v v v v 0

f m p F f F m p

即 p r f f

, 为平衡态的解的形式

c

t f 为了保证, f 还必须受到限制，如 e f ~等。

思考题：为什么？（因为 ''''''0f f f f ） 2、没有碰撞，没有外力

0,0

F t f c

0 r

f v t f

解为

p t v r t p r f ,,,

p r , 为t ＝0时粒子数分布 例如：t ＝0时，温度为T 的气体凝聚于原点。 即

2

3/2/2,2p mT

r p N m T e r u r v v v

归一化常数

思考题：为什么 ,r p v v

取这样的形式？ 注意：原点0 r 为宏观原点，微观粒子还在运动

2

/2p mT

e

u r 是Boltzmann 分布

计算t 时刻的粒子数分布 t r n ,