第23节 可逆矩阵优秀课件
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§2.3 可逆矩阵
可逆， 所以λ A可逆， 且（ λ A ) − 1 =
λ
1
λ
A −1
AB可逆
性质2.3.3 性质 性质2.3.4 性质
若同阶矩阵A 均可逆,则 也可逆， 若同阶矩阵 ,B 均可逆 则 AB 也可逆，且 ( AB ) −1 = B −1 A−1 .
− 可逆， 也可逆， 若A可逆，则 AT 也可逆，且（ AT）1 = ( A−1 )T .
预 习： §2.4 分块矩阵及其运算 §2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 §2.6 矩阵的秩
*14(1) 例3
1 1 , Λ = 4 例3 P = 0 1 − 5 AP = PΛ , 求 A n。
0 , − 2
3 1 A= 5 − 1 ,
解： A = PΛP −1 ⇒ A 2 = PΛP −1 PΛP −1 = PΛ2 P −1= AE依据Fra bibliotekP10,
P16,
P17
性质1.2.2 (展开定理 行列式等于它的任意一行（列）的各 展开定理) 性质 展开定理 行列式等于它的任意一行（ 元素与其对应的代数余子式乘积之和， 元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + ⋯⋯ + a in Ain
要解决的问题： 要解决的问题： 1.方阵满足什么条件时可逆 方阵满足什么条件时可逆? 方阵满足什么条件时可逆 2.可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时
可逆概念 结束
2.3.2 方阵可逆的充要条件
伴随矩阵
定义2.3.2 设n 阶方阵 A = ( aij ) ,元素 ij在|A|中的代数余子 元素a 元素 中的代数余子 式为 Aij ,(i , j = 1,2 , ……, n) . 则矩阵
λ
1
λ
A −1
AB可逆
性质2.3.3 性质 性质2.3.4 性质
若同阶矩阵A 均可逆,则 也可逆， 若同阶矩阵 ,B 均可逆 则 AB 也可逆，且 ( AB ) −1 = B −1 A−1 .
− 可逆， 也可逆， 若A可逆，则 AT 也可逆，且（ AT）1 = ( A−1 )T .
预 习： §2.4 分块矩阵及其运算 §2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 §2.6 矩阵的秩
*14(1) 例3
1 1 , Λ = 4 例3 P = 0 1 − 5 AP = PΛ , 求 A n。
0 , − 2
3 1 A= 5 − 1 ,
解： A = PΛP −1 ⇒ A 2 = PΛP −1 PΛP −1 = PΛ2 P −1= AE依据Fra bibliotekP10,
P16,
P17
性质1.2.2 (展开定理 行列式等于它的任意一行（列）的各 展开定理) 性质 展开定理 行列式等于它的任意一行（ 元素与其对应的代数余子式乘积之和， 元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + ⋯⋯ + a in Ain
要解决的问题： 要解决的问题： 1.方阵满足什么条件时可逆 方阵满足什么条件时可逆? 方阵满足什么条件时可逆 2.可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时
可逆概念 结束
2.3.2 方阵可逆的充要条件
伴随矩阵
定义2.3.2 设n 阶方阵 A = ( aij ) ,元素 ij在|A|中的代数余子 元素a 元素 中的代数余子 式为 Aij ,(i , j = 1,2 , ……, n) . 则矩阵
高等数学逆矩阵ppt课件
268.
例7: 设方阵A满足矩阵方程 A2–A–2E = O, 证明: A, A+2E 都可逆, 并求它们的逆矩阵.
证明: 由 A2–A–2E=O, 得 A(A–E)=2E,
则
A
1
(
A
E
)
A1 E,
故A可逆, 且A-1 = 1 ( A E ).
2
2
又由 A2–A–2E=O, 得 (A+2E)(A–3E)+4E=O,
1 3
2, A12
2 3
1 3
3, A13
2 3
2 4
2,
同理可得 A21 6, A22 6, A23 2,
A31 4, A32 5, A33 2. 所以,
A
2 3
2
6 6
2
4 5
,
2
故
A1
|
1 A A|
1 3
1
2
3 3
1
5
122.
7
例3: 下列矩阵A,B是否可逆? 若可逆, 求其逆矩阵.
由伴随矩阵的性质: AA*= A*A = | A | E, 知
当| A | 0时,
A 1 A 1 A A E, | A| | A|
按逆矩阵的定义得, A1
1
A .
| A|
当| A | = 0 时, 称A为奇异矩阵, 否则称A为非奇异
矩阵.
4
由此可得, A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非 奇异矩阵.
§2.3 逆 矩 阵
一、逆矩阵的概念和性质
在数的运算中, 当数 a 0 时, 有 aa-1 = a-1a = 1.
其中 a1 1 为a 的倒数, 或称a的逆(元). a
逆矩阵PPT课件
（ii）如果 = diag(1 , 2 , … , n)为对角矩阵, 则 k = diag(1k , 2k , … , nk)，从而
高等代数
() = a0 E + a1 + … + am m
1
1
1m
a0
1
a1
定义2 当|A|=0时，称A为奇异矩阵（退化矩阵）， 否则称A为非奇异矩阵（非退化矩阵）， 由定理2可知，可逆矩阵就是非奇异矩阵。
高等代数
逆矩阵的求法一：待定系数法
例1:
设
2
A
1
1
0
,
求A的逆矩阵。
解：
设
a
B
c
b d
是A的逆矩阵,
高等代数
逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
项式，A 为 n 阶矩阵，记
(A) = a0 E + a1 A + … + am A m ，
(A) 称为矩阵 A 的 m 次多项式.
高等代数
2. 计算方法
（i）如果 A = P P -1，则 Ak = Pk P –1，从而 (A) = a0 E + a1 A + … + am A m = Pa0EP -1 + Pa1P -1 + … + PammP –1 = P ()P -1 .
3
求 (A) = A3 + 2A2 – 3A .
高等代数
学习导引 1，为什么提出矩阵分块法？体现了一种什么思想？ 2，方阵A的伴随矩阵 是分块矩阵吗？ 3，分块矩阵的加法、数乘运算要注意哪些问题？ 4，如何对分块矩阵进行乘法运算、转置运算？ 5，分块对角阵的行列式、逆矩阵、高次幂如何运算？
高等代数
() = a0 E + a1 + … + am m
1
1
1m
a0
1
a1
定义2 当|A|=0时，称A为奇异矩阵（退化矩阵）， 否则称A为非奇异矩阵（非退化矩阵）， 由定理2可知，可逆矩阵就是非奇异矩阵。
高等代数
逆矩阵的求法一：待定系数法
例1:
设
2
A
1
1
0
,
求A的逆矩阵。
解：
设
a
B
c
b d
是A的逆矩阵,
高等代数
逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
项式，A 为 n 阶矩阵，记
(A) = a0 E + a1 A + … + am A m ，
(A) 称为矩阵 A 的 m 次多项式.
高等代数
2. 计算方法
（i）如果 A = P P -1，则 Ak = Pk P –1，从而 (A) = a0 E + a1 A + … + am A m = Pa0EP -1 + Pa1P -1 + … + PammP –1 = P ()P -1 .
3
求 (A) = A3 + 2A2 – 3A .
高等代数
学习导引 1，为什么提出矩阵分块法？体现了一种什么思想？ 2，方阵A的伴随矩阵 是分块矩阵吗？ 3，分块矩阵的加法、数乘运算要注意哪些问题？ 4，如何对分块矩阵进行乘法运算、转置运算？ 5，分块对角阵的行列式、逆矩阵、高次幂如何运算？
可逆矩阵
解
经计算易得
所以
不可逆； 不可逆；
①
当
有为零的数时， 不可逆； 有为零的数时， 不可逆； 均不为零时， 可逆， 均不为零时， 可逆，据矩阵
② 当
的特点， 乘法的定义和矩阵 的特点，作 3 阶矩阵
则
10
， 所以
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
.
由于 ① 当
所以， ， 所以， 不可逆； 时， 不可逆； 可逆， 时， 可逆，
是可逆矩阵， 的逆矩阵唯一. 命题 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵唯一 若 均是 的逆矩阵，则 的逆矩阵，
可逆， 提醒 若 可逆，记其唯一的逆矩阵为
2
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
矩阵可逆的充要条件 定理 设 为 阶方阵 ，则 可逆
可逆时， 当 可逆时， 可逆， 证明 必要性 因 可逆，故存在 使得 故
证明 因
由前面定理推论 知
可逆且
推论 若 们的乘积
均为同阶可逆方阵， 均为同阶可逆方阵，则它 也可逆且
6
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
可逆矩阵的性质 性质4 性质4 若 均为可逆方阵， 均为可逆方阵，那么
也可逆且
注记
由性质4显然可得可逆对角矩阵的逆矩阵. 性质4显然可得可逆对角矩阵的逆矩阵
例题
设矩阵 其中
满足
求
解答 可逆 显然可见 可逆且 故
20
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大阵法求阶数较高 的矩阵的可逆矩阵是不现实的. 的矩阵的可逆矩阵是不现实的 伴随矩阵法主要用于理论推导和求 低阶矩阵以及特殊矩阵的逆矩阵. 低阶矩阵以及特殊矩阵的逆矩阵 但从伴随矩阵法可见， 但从伴随矩阵法可见，逆矩阵和伴随 矩阵关系紧密. 所以， 矩阵关系紧密 所以，我们来研究研 究伴随矩阵的性质. 究伴随矩阵的性质
线性代数课件逆矩阵重点精讲.ppt
则有 HH
1
A O
B C
X X
11 21
X 12 X 22
E
HH 1 OA
B C
X X
11 21
X 12 X 22
E
即
AX11 CX
B
21
X21
AX12 CX
BX22
22
E O
O E
AX11 BX 21 E AX12 BX22 O
CX 21 O
CX 22 E
X11 A1 AXX1212AB1CBC1 1
2A2 A 2E E E
且 ( A E)(2A E) 2A2 A 2A E
2A2 A 2E E E
故2A+E可逆，且(2A E)1 A E
逆矩阵的运算公式： 1、若A可逆，则 AA1 A1A E 2、若A可逆，则 ( A1 )1 A 3、若A可逆，则 A 可逆，且 ( A)1 ( A1 ) 4、若A可逆，数k 0, 则 kA可逆，且(kA)1 1 A1
因为当 Anm 时， Bmn AB为n阶方阵，AB有可能可逆， 但A-1和 B-1没意义
判断题： 1、若A、B都是可逆矩阵，则A+B也是可
逆矩阵。×
2、若AB是可逆矩阵，则A、B也都是可逆
矩阵。× （因为A、B有可能都不是方阵）
3、若n阶方阵AB是不可逆矩阵，则A、B
中至少有一个是不可逆矩阵。√ 4、若A是可逆矩阵，且AX=AY，则X=Y√
（2）A、B互为逆矩阵。即若 A1 B 则 B1 A
（3）若A可逆，则其逆矩阵是唯一的
( 因为若B、C都是A的逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E
于是 B =BE=B(AC=)(BA)C=EC=C ）
2.3 可逆矩阵
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 1 4 0 1 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 2 1 3 0 0 1 0 0 1 1 0 0 7 5 2 0 1 0 5 4 2 0 0 1 3 2 1 0 0 1 2 7 2 3 7 5 2 1 A 5 4 2 ，BA 1 1 4 ，X 3 3 2 3 2 1 3 5 2 3 2 2 3 2 1
A B B AEij ci k A B B AE(i(k )) ci kc j B AE( j, i(k )) A B
a12 a13 1 0 0 a11 a12 a13 a11 例5 0 1 2 a 21 a 22 a 23 = a 21 2a 31 a 22 2a 32 a 23 2a 33 0 0 1 a a a a a a 31 32 33 31 32 33
2、初等方阵的性质 （1）初等方阵可逆且 其逆矩阵也是初等方阵， 即 1 1 1 1 E ij E ij ，E (i (k )) E (i( ))，E (i, j (k )) E (i, j (k )) k （2）用初等方阵左（右）乘 A， 相当于对 A 作初等行 （列）变换得到的矩阵， 即
3、用初等行变换求逆
行 A 可逆 A E 依据：Th2.3.2 ,
A B1 ( P1 A) B2 ( P2 B1 P2 P1 A)
行 行
行 Bm ( Pm Bm 1 Pm P2 P1 A) 行
A E Pm P2 P1 A E
可逆矩阵
(A )A (A A) I I ,
1 1
(A) (A ).
1 1
性质4
1 1 ( kA ) A ; k
1
高 等 代 数
1 ; 性质5 |A | |A|
1
A、B都是3阶矩阵，若 A 3, B 2 则
(3 A) 1 _______, BA2 B 1 _______
A21 A22 A2 n a12 a22 an 2
An1 An 2 Ann
a1n a2 n ann
高 等 代 数
例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵
1 2 (1) A ; 3 4 1 2 3 (2) B 4 5 6 3 3 3
A21 A22 A2 n
高 等 代 数
a11 a21 * AA an1 A11 A12 * A A A1n
a12 a22 an 2 A21 A22 A2 n
a1n A11 a2 n A12 ann A1n An1 a11 An 2 a21 Ann an1
高 等 代 数
a11 a 21 an1
a11 a21 A an1
a12 a1n x1 b1 x b a22 a2 n 2 2 an 2 ann xn bn
证明
若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的.
若B、C都是A的逆矩阵，则
AB BA I , AC CA I .
于是 性质2
可逆矩阵一PPT课件
... ... ... ...
an1 an2 ... ann
称为方阵A的行列式，记为 A或det A。
第19页/共50页
对于两个n阶方阵A和B，其乘积AB也是一个 n阶方阵，试问：乘积矩阵的行列式det(AB) 与行列式detA和detB有何关系？
第20页/共50页
例如：A
1 3
12,
B
4 3
12
第29页/共50页
2、 伴随矩阵
(1)定义2 对于n阶矩阵
a11 a12 ... a1n
A
a21 ... an1
a22 ... an2
... ... ...
a2n ... ann
，
设Aij是 A中元素aij的代数余子式，则矩阵
第30页/共50页
A11 A21 ... An1
A12
说明理解二可逆矩阵的性质1可逆矩阵a的逆矩阵a1也可逆并且ab3可逆矩阵a的转置矩阵a也可逆并且三矩阵可逆的条件1矩阵乘积的行列式定理1p197定理525设ab是任意两个n阶方阵那么这两个方阵的乘积的行列式等于它们的行列式的乘积即2伴随矩阵1定义221221112性质3矩阵可逆的条件定理2矩阵a可逆的充分必要条件是
现在把行列式D的第n+1行乘以a11加到第一行，
0 a12 ... a1n a11b11 a11b12 ... a11b1n
a21 a22 ... a2n 0
0 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ...
D an1 an2 ... ann
0
1 0 ... 0 b11
a22 ... an2
... ... ...
a2n ... ann
an1 an2 ... ann
称为方阵A的行列式，记为 A或det A。
第19页/共50页
对于两个n阶方阵A和B，其乘积AB也是一个 n阶方阵，试问：乘积矩阵的行列式det(AB) 与行列式detA和detB有何关系？
第20页/共50页
例如：A
1 3
12,
B
4 3
12
第29页/共50页
2、 伴随矩阵
(1)定义2 对于n阶矩阵
a11 a12 ... a1n
A
a21 ... an1
a22 ... an2
... ... ...
a2n ... ann
，
设Aij是 A中元素aij的代数余子式，则矩阵
第30页/共50页
A11 A21 ... An1
A12
说明理解二可逆矩阵的性质1可逆矩阵a的逆矩阵a1也可逆并且ab3可逆矩阵a的转置矩阵a也可逆并且三矩阵可逆的条件1矩阵乘积的行列式定理1p197定理525设ab是任意两个n阶方阵那么这两个方阵的乘积的行列式等于它们的行列式的乘积即2伴随矩阵1定义221221112性质3矩阵可逆的条件定理2矩阵a可逆的充分必要条件是
现在把行列式D的第n+1行乘以a11加到第一行，
0 a12 ... a1n a11b11 a11b12 ... a11b1n
a21 a22 ... a2n 0
0 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ...
D an1 an2 ... ann
0
1 0 ... 0 b11
a22 ... an2
... ... ...
a2n ... ann
矩阵Chap23ppt课件
( AB)1 B1 A1
3）证: 矩阵 A 可逆 A AT 0 AT 可逆
由 AT ( AT )1 I [ AT ( AT )1 ]T I T
[( AT )1 ]T ( AT )T I [( AT )1 ]T A1 ( AT )1 ( A1 )T
4）证： A 可逆 A 0 又 k 0 kA k n A 0 ，即 kA 也可逆，且
[( 1 )4 A B ]3 2
( 1 4 1)3 1
16
64
0 0 0 0 0 1 5 0
五、伴随矩阵的性质（以下性质对任意方阵 A、B 都成立）
1o AA A A A I ； 2o A A n1 ； 3o (kA) ； k n1 A 4o ( A )T ( AT ) ； 5o ( AB) B A ； 6o ( A ) A n2 A 。
e.g. 若 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，证明：
A11
1 A1
A1
1 5
2 1
2
3
1
5 1
5
3 5 1
5
1
A 21
1
2 1
,
A31
0 1 5
1 0
3
2
5 1
3 5 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
5 5
0 0 1 0 0 0 0
A
1
A11
A21
A31
0
0
0 0
1
0
0
2
1 00
3
0 0
0
0
0 0 0 0 0 0 1
定理：1）若
A
A2
A11
As
3）证: 矩阵 A 可逆 A AT 0 AT 可逆
由 AT ( AT )1 I [ AT ( AT )1 ]T I T
[( AT )1 ]T ( AT )T I [( AT )1 ]T A1 ( AT )1 ( A1 )T
4）证： A 可逆 A 0 又 k 0 kA k n A 0 ，即 kA 也可逆，且
[( 1 )4 A B ]3 2
( 1 4 1)3 1
16
64
0 0 0 0 0 1 5 0
五、伴随矩阵的性质（以下性质对任意方阵 A、B 都成立）
1o AA A A A I ； 2o A A n1 ； 3o (kA) ； k n1 A 4o ( A )T ( AT ) ； 5o ( AB) B A ； 6o ( A ) A n2 A 。
e.g. 若 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，证明：
A11
1 A1
A1
1 5
2 1
2
3
1
5 1
5
3 5 1
5
1
A 21
1
2 1
,
A31
0 1 5
1 0
3
2
5 1
3 5 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
5 5
0 0 1 0 0 0 0
A
1
A11
A21
A31
0
0
0 0
1
0
0
2
1 00
3
0 0
0
0
0 0 0 0 0 0 1
定理：1）若
A
A2
A11
As
3_1可逆矩阵
A−1称为 A 的可逆矩阵或逆阵 可逆矩阵或逆阵. 则矩阵
Page 2
二、逆矩阵的概念和性质
定义 使得 对于 n 阶矩阵 A，如果有一个 n 阶矩阵 B，
AB = BA = E ,
逆矩阵. 则说矩阵 A 可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵 是可逆的，
A的逆矩阵记作 A的逆矩阵记作 A−1 .
2 1 A11 = = 2, 4 3 2 1 A12 = − = − 3, 3 3
Page 15
同理可得
A13 = 2, A21 = 6, A22 = −6, A23 = 2,
A31 = −4, A32 = 5, A33 = −2,
得
故
6 − 4 2 ∗ A = − 3 − 6 5 , 2 2 − 2
−1
证明
∵ AA −1 = E
∴ A A −1 = 1
因此 A = A .
−1
Page 14
−1
三、逆矩阵的求法
1 2 3 求方阵 A = 2 2 1 的逆矩阵. 的逆矩阵. 3 4 3 1 2 3
Hale Waihona Puke 例2= 2 ≠ 0, ∴ A−1存在. 解 ∵ A=2 2 1 3 4 3
A−1
A− E =E 得A( A − E ) = 2 E ⇒ A 2
A− E ⇒ A = 1 ⇒ A ≠ 0, 故 A 可逆 . 2
Page 24
1 ∴ A = ( A − E ). 2
−1
又由A − A − 2 E = 0
2
⇒ ( A + 2 E )( A − 3 E ) + 4 E = 0
1 ( A + 2 E ) − ( A − 3 E ) = E ⇒ 4
可逆矩阵及应用举例.43页PPT
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
Байду номын сангаас
43
可逆矩阵及应用举例.
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
Байду номын сангаас
43
可逆矩阵及应用举例.
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
2.2 可逆矩阵
A1
注：1. 求逆时,若用初等行变换必须坚持始终，不能 夹杂任何列变换. 2. 若作初等行变换时, A化不成E说明矩阵不可逆! 3. 利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于
A 1 B . 求矩阵
A 1 ( A B ) ( E A 1 B )
即
( A B)
初等行变换
E A1 B
例5
2012
定理2.3 n阶方阵A可逆的充要条件是A可以经过有限
次初等行变换化成n阶单位矩阵。
推论2.1
(1)方阵可逆的充分必要条件是可以分解为有限个初等 矩阵的乘积； (2)方阵A可逆的充分必要条件齐次线性方程组 AX O 只有零解； (3)方阵A可逆的充分必要条件非齐次线性方程组 AX B
例如：
1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
r1 r3
E ( 0 0
1 0 0 kr3 0 1 0 0 0 k E ( 3( k ))
1 0 0 r3 kr1 0 1 0 k 0 1 E ( 3,1( k ))
性质 初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是
同一种初等矩阵。
Eij Eij
1
1 E i (k ) 1 E i ( k )
E ij ( k ) 1 E ij ( k )
Pl P2 P1 A E Pl P2 P1 A Pl P2 P1 E
E
A 1
例4
1 设 A 2 3
2 2 4
3 1 , 求 A 1 . 3
1 2 3 1 0 0 解： A E 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1
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第23节 可逆矩阵
主要内容: 一、逆矩阵的定义、唯一性 二、矩阵可逆的判别定理及求法 三、可逆矩阵的运算性质 四、思考与练习
一、逆矩阵的定义、唯一性
概念的引入: 在数的运算中，当数 a0时，有 a1 a a 1a1,
其中 a 1 1 为 a的倒数， （或称 a的逆）；
a
在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中的1，
又因为A A A E，当A 0时，有( A )A E， A
所以A( A ) ( A )A E，所以A1 1 A
AA
A
奇异矩阵： A 0 非奇异矩阵： A 0
（退化矩阵） （非退化矩阵）
当A0时,
AAaa 12a1111 Aaa 121122 a12aaA 121nn2A A 1121
0
12235
1 2
2 10 10
1 4. 4
例4： 设三阶 A,B矩 满阵 足:关系
o A1BA 6AB,A 且 A12 14
求B.
o
17
解： A 1 B B A 6 A A A 1EB A 6 A
2
A
1
4
7
2 0 0 1 0 0 1 0 0
4 若 A 可 , 则 A T 亦 逆 , 且 A 可 T 1 A 1 T.逆 证明： A TA 1T A 1 A T ET E,
A T 1A 1T .
另,外 当 A0时 ,定义
A0E, AkA1k. k为正整 数
当 A0,,为整,有 数时
A A A , AA.
所以
A1 0 1. 1 2
二、 矩阵可逆的判别定理及求法
定理: n阶方 A可 阵逆当且 A仅 0 当 且A1 1 A , 其A 中 为矩 A的 阵伴随 . 矩 A
证明： () A可逆，则 A1有 ，使 AA1 E 两边取行列式A， A1 得AA1 1 因此A， 0
()
因为AA A E，当A 0时，有A( A ) E， A
2 若 A 可 ,数 逆 0 ,则 A 可 ,且 逆
A1 1A1.
3 若A, B为同阶方阵且均可,则 逆AB亦可逆,且
AB 1 B 1 A 1
证明： A B 1 A B 1 A B 1 A 1 B AE1A
A 1 B B 1 A 1 .
AA 1E,
推 A1 A 2 广 Am 1 Am 1 A 2 1 A1 . 1
注： 判断 B是否A的 为逆矩阵， 只需验 AB 证 E和BA E中的一个即
逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
(1)
A11
A1
1 A，其中A A
A 12
A21 A
22
An1
A n2
A1n A2n Ann
其中A为A的伴随矩阵，
Aij为行列式A中元素aij的代数余子式 .
(2) 特别地，对二阶方阵A a b
AB 2 1a b 1 0 1 0c d 0 1
2ac 2bd1 0 a b 0 1
2a c 1,
2 b d
a
0, 0,
b 1 ,
又因为 AB
a 0,
b 1 ,
c
1,
d 2 .
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 01 2 1 2 1 0 0 1
(5) 若 A 可逆，则有 A1 1 A1 . A
证明： A1 A E
AA1 1
因此A1 1 A1 A
例2：求方阵
1 A 2
2 2
3 1
的逆矩阵.
3 4 3
123 解 A 2 2 1 0 , A1存在.
343
21
A11 4
2, 3
21
A123
3, 3
同理可得 A 1 2 3 ,A 2 6 1 ,A 2 2 6 ,A 2 2 3 , A 3 1 4 ,A 3 2 5 ,A 3 3 2 ,
53
343
A1, B1都存.在
且A1
1 3 2
3 3
2 52,
1 1 1
B1 3 1, 5 2
又由 AXC B A 1 AX 1 A B 1 C 1 B B
E X A 1 C 1 B .
于是 XA1C B 1
1 32
1
3 3 1
21 522 13
1 0 335
1 2
1 0
A B B A E , B是A的一个逆矩 . 阵
唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
证明： 设B、C都是 A的逆矩阵，则 ABBA E，ACCA E 从而 BEB(CA )BC(AB )CEC
逆矩阵的求法一：待定系数法
例1: 解： 则
设 A 2 1, 求A的逆矩.阵 1 0
设 B a b 是 A 的逆矩阵, c d
A21 A22
A Ann12
a 1n A 1n A
aann11Ana1n2 a n2 Aann2 nA1n aAnn2nAn n AAnn
A
O
O
A
A
,
A
推论： 设A、B为同阶方阵 AB， E若 ， 则方A阵 和B都可逆， 且A1 B，B1 A
证明：若ABE，则 ABAB1 所以 A0，所A以 1存在 ,有 BEB(A1A)BA1(AB)A1EA1 同理B， 可逆， A且 B1
c d 当 A ad bc 0时，有
A1 1 A 1 d b
A
ad bc c a
(3)
a1
特 别 A 地 d， ia(ag1,a2,,an)
a2
A可逆 a i0(i1 ,2 , ,n )
a11
且A1
a21
an1
三、可逆矩阵的运算性质
1 若 A 可 ,则 A 1 亦 逆 ,且 A 可 1 1 A .逆
2 6 4
得
A
3
6
5 ,
2 2 2
故
A1
1 A
A
1 2
2 3 2
6 6 2
54 2
1 3 1
2
3 3 1
2 5 2. 1
例3：
设
1 A2
3
2 2 4
1 3 3,B5 2
1 3,C1 3 2
3 0, 1
求X 矩 使阵 满 AX 足 C .B
123
解
A 2
2
1 20,
2 B
1 10,
那么，对于矩阵 A ， 如果存在一个矩阵 A1, 使得 A 1A A 1A E ,
则矩阵 A1 称为 A的可逆矩阵或逆阵.
定义：设A为n阶方阵，若n阶 存方 在B 阵，使得 ABBAE 则称矩A阵 是可逆的，B称 方为 阵 A的逆矩阵 记作A1 B
例:
设 A 11 ,B 12 12 , 1 1 1212
主要内容: 一、逆矩阵的定义、唯一性 二、矩阵可逆的判别定理及求法 三、可逆矩阵的运算性质 四、思考与练习
一、逆矩阵的定义、唯一性
概念的引入: 在数的运算中，当数 a0时，有 a1 a a 1a1,
其中 a 1 1 为 a的倒数， （或称 a的逆）；
a
在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中的1，
又因为A A A E，当A 0时，有( A )A E， A
所以A( A ) ( A )A E，所以A1 1 A
AA
A
奇异矩阵： A 0 非奇异矩阵： A 0
（退化矩阵） （非退化矩阵）
当A0时,
AAaa 12a1111 Aaa 121122 a12aaA 121nn2A A 1121
0
12235
1 2
2 10 10
1 4. 4
例4： 设三阶 A,B矩 满阵 足:关系
o A1BA 6AB,A 且 A12 14
求B.
o
17
解： A 1 B B A 6 A A A 1EB A 6 A
2
A
1
4
7
2 0 0 1 0 0 1 0 0
4 若 A 可 , 则 A T 亦 逆 , 且 A 可 T 1 A 1 T.逆 证明： A TA 1T A 1 A T ET E,
A T 1A 1T .
另,外 当 A0时 ,定义
A0E, AkA1k. k为正整 数
当 A0,,为整,有 数时
A A A , AA.
所以
A1 0 1. 1 2
二、 矩阵可逆的判别定理及求法
定理: n阶方 A可 阵逆当且 A仅 0 当 且A1 1 A , 其A 中 为矩 A的 阵伴随 . 矩 A
证明： () A可逆，则 A1有 ，使 AA1 E 两边取行列式A， A1 得AA1 1 因此A， 0
()
因为AA A E，当A 0时，有A( A ) E， A
2 若 A 可 ,数 逆 0 ,则 A 可 ,且 逆
A1 1A1.
3 若A, B为同阶方阵且均可,则 逆AB亦可逆,且
AB 1 B 1 A 1
证明： A B 1 A B 1 A B 1 A 1 B AE1A
A 1 B B 1 A 1 .
AA 1E,
推 A1 A 2 广 Am 1 Am 1 A 2 1 A1 . 1
注： 判断 B是否A的 为逆矩阵， 只需验 AB 证 E和BA E中的一个即
逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
(1)
A11
A1
1 A，其中A A
A 12
A21 A
22
An1
A n2
A1n A2n Ann
其中A为A的伴随矩阵，
Aij为行列式A中元素aij的代数余子式 .
(2) 特别地，对二阶方阵A a b
AB 2 1a b 1 0 1 0c d 0 1
2ac 2bd1 0 a b 0 1
2a c 1,
2 b d
a
0, 0,
b 1 ,
又因为 AB
a 0,
b 1 ,
c
1,
d 2 .
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 01 2 1 2 1 0 0 1
(5) 若 A 可逆，则有 A1 1 A1 . A
证明： A1 A E
AA1 1
因此A1 1 A1 A
例2：求方阵
1 A 2
2 2
3 1
的逆矩阵.
3 4 3
123 解 A 2 2 1 0 , A1存在.
343
21
A11 4
2, 3
21
A123
3, 3
同理可得 A 1 2 3 ,A 2 6 1 ,A 2 2 6 ,A 2 2 3 , A 3 1 4 ,A 3 2 5 ,A 3 3 2 ,
53
343
A1, B1都存.在
且A1
1 3 2
3 3
2 52,
1 1 1
B1 3 1, 5 2
又由 AXC B A 1 AX 1 A B 1 C 1 B B
E X A 1 C 1 B .
于是 XA1C B 1
1 32
1
3 3 1
21 522 13
1 0 335
1 2
1 0
A B B A E , B是A的一个逆矩 . 阵
唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
证明： 设B、C都是 A的逆矩阵，则 ABBA E，ACCA E 从而 BEB(CA )BC(AB )CEC
逆矩阵的求法一：待定系数法
例1: 解： 则
设 A 2 1, 求A的逆矩.阵 1 0
设 B a b 是 A 的逆矩阵, c d
A21 A22
A Ann12
a 1n A 1n A
aann11Ana1n2 a n2 Aann2 nA1n aAnn2nAn n AAnn
A
O
O
A
A
,
A
推论： 设A、B为同阶方阵 AB， E若 ， 则方A阵 和B都可逆， 且A1 B，B1 A
证明：若ABE，则 ABAB1 所以 A0，所A以 1存在 ,有 BEB(A1A)BA1(AB)A1EA1 同理B， 可逆， A且 B1
c d 当 A ad bc 0时，有
A1 1 A 1 d b
A
ad bc c a
(3)
a1
特 别 A 地 d， ia(ag1,a2,,an)
a2
A可逆 a i0(i1 ,2 , ,n )
a11
且A1
a21
an1
三、可逆矩阵的运算性质
1 若 A 可 ,则 A 1 亦 逆 ,且 A 可 1 1 A .逆
2 6 4
得
A
3
6
5 ,
2 2 2
故
A1
1 A
A
1 2
2 3 2
6 6 2
54 2
1 3 1
2
3 3 1
2 5 2. 1
例3：
设
1 A2
3
2 2 4
1 3 3,B5 2
1 3,C1 3 2
3 0, 1
求X 矩 使阵 满 AX 足 C .B
123
解
A 2
2
1 20,
2 B
1 10,
那么，对于矩阵 A ， 如果存在一个矩阵 A1, 使得 A 1A A 1A E ,
则矩阵 A1 称为 A的可逆矩阵或逆阵.
定义：设A为n阶方阵，若n阶 存方 在B 阵，使得 ABBAE 则称矩A阵 是可逆的，B称 方为 阵 A的逆矩阵 记作A1 B
例:
设 A 11 ,B 12 12 , 1 1 1212