材料力学-正应力计算
材料力学公式
1、材料力学的任务:强度、刚度和稳定性;应力单位面积上的内力。
平均应力(1.1)全应力(1.2)正应力垂直于截面的应力分量,用符号表示。
切应力相切于截面的应力分量,用符号表示。
应力的量纲:线应变单位长度上的变形量,无量纲,其物理意义是构件上一点沿某一方向变形量的大小。
外力偶矩传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出,而是根据轴的转速n与传递的功率P 来计算。
当功率P单位为千瓦(kW),转速为n(r/min)时,外力偶矩为当功率P单位为马力(PS),转速为n(r/min)时,外力偶矩为拉(压)杆横截面上的正应力拉压杆件横截面上只有正应力,且为平均分布,其计算公式为 (3-1)式中为该横截面的轴力,A为横截面面积。
正负号规定拉应力为正,压应力为负。
公式(3-1)的适用条件:(1)杆端外力的合力作用线与杆轴线重合,即只适于轴向拉(压)杆件;(2)适用于离杆件受力区域稍远处的横截面;(3)杆件上有孔洞或凹槽时,该处将产生局部应力集中现象,横截面上应力分布很不均匀;(4)截面连续变化的直杆,杆件两侧棱边的夹角时拉压杆件任意斜截面(a图)上的应力为平均分布,其计算公式为全应力(3-2)正应力(3-3)切应力(3-4)式中为横截面上的应力。
正负号规定:由横截面外法线转至斜截面的外法线,逆时针转向为正,反之为负。
拉应力为正,压应力为负。
对脱离体内一点产生顺时针力矩的为正,反之为负。
两点结论:(1)当时,即横截面上,达到最大值,即。
当=时,即纵截面上,==0。
(2)当时,即与杆轴成的斜截面上,达到最大值,即1.2 拉(压)杆的应变和胡克定律(1)变形及应变杆件受到轴向拉力时,轴向伸长,横向缩短;受到轴向压力时,轴向缩短,横向伸长。
如图3-2。
图3-2轴向变形轴向线应变横向变形横向线应变正负号规定伸长为正,缩短为负。
(2)胡克定律当应力不超过材料的比例极限时,应力与应变成正比。
即(3-5)或用轴力及杆件的变形量表示为(3-6)式中EA称为杆件的抗拉(压)刚度,是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。
材料力学公式大全
材料⼒学公式⼤全材料⼒学常⽤公式1.外⼒偶矩计算公式(P功率,n转速)2.弯矩、剪⼒和荷载集度之间的关系式3.轴向拉压杆横截⾯上正应⼒的计算公式(杆件横截⾯轴⼒F N,横截⾯⾯积A,拉应⼒为正)4.轴向拉压杆斜截⾯上的正应⼒与切应⼒计算公式(夹⾓a 从x 轴正⽅向逆时针转⾄外法线的⽅位⾓为正)5.纵向变形和横向变形(拉伸前试样标距l,拉伸后试样标距l1;拉伸前试样直径d,拉伸后试样直径d1)6.纵向线应变和横向线应变7.泊松⽐8.胡克定律9.受多个⼒作⽤的杆件纵向变形计算公式?10.承受轴向分布⼒或变截⾯的杆件,纵向变形计算公式11.轴向拉压杆的强度计算公式12.许⽤应⼒,脆性材料,塑性材料13.延伸率14.截⾯收缩率15.剪切胡克定律(切变模量G,切应变g )16.拉压弹性模量E、泊松⽐和切变模量G之间关系式17.圆截⾯对圆⼼的极惯性矩(a)实⼼圆(b)空⼼圆18.圆轴扭转时横截⾯上任⼀点切应⼒计算公式(扭矩T,所求点到圆⼼距离r)19.圆截⾯周边各点处最⼤切应⼒计算公式20.扭转截⾯系数,(a)实⼼圆(b)空⼼圆21.薄壁圆管(壁厚δ≤ R0 /10 ,R0为圆管的平均半径)扭转切应⼒计算公式22.圆轴扭转⾓与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式23.同⼀材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同(如阶梯轴)时或24.等直圆轴强度条件25.塑性材料;脆性材料26.扭转圆轴的刚度条件? 或27.受内压圆筒形薄壁容器横截⾯和纵截⾯上的应⼒计算公式,28.平⾯应⼒状态下斜截⾯应⼒的⼀般公式,29.平⾯应⼒状态的三个主应⼒,,30.主平⾯⽅位的计算公式31.⾯内最⼤切应⼒32.受扭圆轴表⾯某点的三个主应⼒,,33.三向应⼒状态最⼤与最⼩正应⼒ ,34.三向应⼒状态最⼤切应⼒35.⼴义胡克定律36.四种强度理论的相当应⼒37.⼀种常见的应⼒状态的强度条件,38.组合图形的形⼼坐标计算公式,39.任意截⾯图形对⼀点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式40.截⾯图形对轴z和轴y的惯性半径? ,41.平⾏移轴公式(形⼼轴z c与平⾏轴z1的距离为a,图形⾯积为A)42.纯弯曲梁的正应⼒计算公式43.横⼒弯曲最⼤正应⼒计算公式44.矩形、圆形、空⼼圆形的弯曲截⾯系数? ,,45.⼏种常见截⾯的最⼤弯曲切应⼒计算公式(为中性轴⼀侧的横截⾯对中性轴z的静矩,b为横截⾯在中性轴处的宽度)46.矩形截⾯梁最⼤弯曲切应⼒发⽣在中性轴处47.⼯字形截⾯梁腹板上的弯曲切应⼒近似公式48.轧制⼯字钢梁最⼤弯曲切应⼒计算公式49.圆形截⾯梁最⼤弯曲切应⼒发⽣在中性轴处50.圆环形薄壁截⾯梁最⼤弯曲切应⼒发⽣在中性轴处51.弯曲正应⼒强度条件52.⼏种常见截⾯梁的弯曲切应⼒强度条件53.弯曲梁危险点上既有正应⼒σ⼜有切应⼒τ作⽤时的强度条件或,54.梁的挠曲线近似微分⽅程55.梁的转⾓⽅程56.梁的挠曲线⽅程?57.轴向荷载与横向均布荷载联合作⽤时杆件截⾯底部边缘和顶部边缘处的正应⼒计算公式58.偏⼼拉伸(压缩)59.弯扭组合变形时圆截⾯杆按第三和第四强度理论建⽴的强度条件表达式,60.圆截⾯杆横截⾯上有两个弯矩和同时作⽤时,合成弯矩为61.圆截⾯杆横截⾯上有两个弯矩和同时作⽤时强度计算公式62.63.弯拉扭或弯压扭组合作⽤时强度计算公式64.剪切实⽤计算的强度条件65.挤压实⽤计算的强度条件66.等截⾯细长压杆在四种杆端约束情况下的临界⼒计算公式67.压杆的约束条件:(a)两端铰⽀µ=l(b)⼀端固定、⼀端⾃由µ=2(c)⼀端固定、⼀端铰⽀µ=(d)两端固定µ=68. 压杆的长细⽐或柔度计算公式,69. 细长压杆临界应⼒的欧拉公式70. 欧拉公式的适⽤范围传动轴所受的外⼒偶矩通常不是直接给出,⽽是根据轴的转速n 与传递的功率P 来计算。
材料力学应力
材料力学应力材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律的学科,而应力则是材料受力时内部分子间的相互作用所产生的结果。
在材料力学中,应力是一个非常重要的概念,它直接影响着材料的强度、变形和破坏行为。
因此,对于应力的理解和分析对于工程材料的设计、制造和使用具有重要意义。
首先,我们来看一下应力的定义。
应力是单位面积上的力,它是描述材料内部受力状态的物理量。
在工程力学中,通常将应力分为正应力和剪应力两种。
正应力是垂直于截面的力对截面积的比值,而剪应力则是平行于截面的力对截面积的比值。
正应力可以进一步分为拉应力和压应力,它们分别表示材料在拉伸和压缩状态下的受力情况。
接下来,我们需要了解应力的计算方法。
对于均匀材料,其应力可以通过受力分析和应力分布来计算。
在静力学中,我们可以利用受力平衡方程来计算材料受力的情况,然后根据材料的几何形状和受力情况来确定应力的分布。
而在实际工程中,通常会通过有限元分析等方法来计算复杂结构下的应力分布,以确保材料在受力情况下的安全性和稳定性。
此外,应力的影响因素也是我们需要重点关注的内容。
材料的性质、几何形状、受力方式等因素都会对材料的应力产生影响。
例如,材料的强度和韧性会直接影响其在受力时的应力情况,而材料的形状和尺寸也会对应力分布产生影响。
在工程实践中,我们需要综合考虑这些因素,对材料的应力进行合理的分析和设计,以确保材料在使用过程中不会因应力过大而导致破坏。
最后,我们需要注意应力的作用和应用。
应力不仅影响着材料的强度和变形性能,还直接关系到材料的使用寿命和安全性。
在工程实践中,我们需要根据材料的应力特点来选择合适的材料和结构设计,以确保材料在受力情况下能够满足设计要求。
同时,对于材料的使用和维护也需要考虑应力的影响,及时发现并处理材料受力过大的情况,以确保设备和结构的安全运行。
综上所述,材料力学中的应力是一个非常重要的概念,它直接关系到材料的强度、变形和破坏行为。
对于应力的理解和分析对于工程材料的设计、制造和使用具有重要意义。
工程力学--材料力学(第五、六章)经典例题及讲解
P
A
0.5 m
C D
0.4 m 1m
B
20
40
解:C点的应力 σ C = E ε = 200 × 10 3 × 6 × 10 − 4
= 120M Pa
C截面的弯矩
M C = σ C W z = 640 N ⋅ m
由 M C = 0.5 R A = 0.5 × 0.4 P = 0.2 P = 640 N ⋅ m 得 P = 3.2kN
度减小一半时,从正应力强度条件考虑, 该梁的承载能力将是原来的多少倍? 解: 由公式
σ max
M max M max = = 2 Wz bh 6
可以看出:该梁的承载能力将是原来的2 可以看出:该梁的承载能力将是原来的2倍。
例4:主梁AB,跨度为l,采用加副梁CD AB,跨度为l 采用加副梁CD
的方法提高承载能力, 的方法提高承载能力,若主梁和副梁材料 相同,截面尺寸相同, 相同,截面尺寸相同,则副梁的最佳长度 a为多少? 为多少?
2 2
2
bh b( d − b ) Wz = = 6 6
2 2 2
∂ Wz d 2 b 2 = − =0 ∂b 6 2
d 由此得 b = 3
d
2 2
h
h = d −b =
h = 2 ≈3:2 b
2 d 3
b
例12:跨长l =2m的铸铁梁受力如图示,已知材料许用拉、 12:跨长l =2m的铸铁梁受力如图示 已知材料许用拉、 的铸铁梁受力如图示,
10 kN / m
200 2m 4m 100
10 kN / m
200
2m
Fs( kN ) 25 Fs(
45 kN
4m
100
材料力学 正应力计算公式
材料力学正应力计算公式
《材料力学正应力计算公式》
正应力计算公式的一般表达式:
σ = P / A
其中:
P:作用于节点的外力
A:受力节点对应的横截面积
在材料力学中,应力是指材料在力的作用下,产生的变形程度。
可以用应力可以反映出材料承受力的强度,因此正应力计算公式是计算材料受力强度的重要工具。
正应力计算公式的应用:
1、塑料件应力计算:
塑料件在受力的时候,可以使用正应力计算公式计算出受力强度。
2、管道应力计算:
管道在受力时,也可以使用正应力计算公式,计算出受力强度。
3、焊接应力计算:
当焊接件遭受力时,也可以使用正应力计算公式,计算出受力强度。
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材料力学公式大全
材料力学常用公式1. 外力偶矩计算公式(P功率,n转速)2. 弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式3. 轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式(杆件横截面轴力F N,横截面面积A,拉应力为正)4. 轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式(夹角a 从x 轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正)5. 纵向变形和横向变形(拉伸前试样标距l ,拉伸后试样标距l1 ;拉伸前试样直径d,拉伸后试样直径di)6. 纵向线应变和横向线应变7. 泊松比8. 胡克定律9. 受多个力作用的杆件纵向变形计算公式?10. 承受轴向分布力或变截面的杆件,纵向变形计算公式11. 轴向拉压杆的强度计算公式12. 许用应力 , 脆性材料 ,塑性材料13. 延伸率14. 截面收缩率15. 剪切胡克定律(切变模量G切应变g)16. 拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式17. 圆截面对圆心的极惯性矩(a)实心圆(b)空心圆18. 圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式(扭矩T,所求点到圆心距离r )19. 圆截面周边各点处最大切应力计算公式20. 扭转截面系数,(a)实心圆(b)空心圆21. 薄壁圆管(壁厚R o /10 , R0为圆管的平均半径)扭转切应力计算公式22. 圆轴扭转角与扭矩T、杆长I、扭转刚度GH的关系式23. 同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同(如阶梯轴)时或24. 等直圆轴强度条件25. 塑性材料;脆性材料26. 扭转圆轴的刚度条件? 或27. 受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式,28. 平面应力状态下斜截面应力的一般公式,29. 平面应力状态的三个主应力, ,30. 主平面方位的计算公式31. 面内最大切应力32. 受扭圆轴表面某点的三个主应力,,33. 三向应力状态最大与最小正应力,34. 三向应力状态最大切应力35. 广义胡克定律36. 四种强度理论的相当应力37. 一种常见的应力状态的强度条件,38. 组合图形的形心坐标计算公式,39. 任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式40. 截面图形对轴z 和轴y 的惯性半径? ,41. 平行移轴公式(形心轴z c与平行轴z1的距离为a,图形面积为A)42. 纯弯曲梁的正应力计算公式43. 横力弯曲最大正应力计算公式44. 矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数? , ,45. 几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式(为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩,b为横截面在中性轴处的宽度)46. 矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处47. 工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式48. 轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式49. 圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处50. 圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处51. 弯曲正应力强度条件52. 几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件53. 弯曲梁危险点上既有正应力(T又有切应力T作用时的强度条件或,54. 梁的挠曲线近似微分方程55. 梁的转角方程56. 梁的挠曲线方程?57. 轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式58. 偏心拉伸(压缩)59. 弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式,60. 圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时,合成弯矩为61. 圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度计算公式62.62. 弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式63. 剪切实用计算的强度条件64. 挤压实用计算的强度条件65. 等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式66. 压杆的约束条件:(a)两端铰支11 =1(b)—端固定、一端自由1 =2(c )一端固定、一端铰支 (d )两端固定(1 =67. 压杆的长细比或柔度计算公式 ,68. 细长压杆临界应力的欧拉公式 69. 欧拉公式的适用范围70. 压杆稳定性计算的安全系数法 71. 压杆稳定性计算的折减系数法 72. 关系需查表求得1、材料力学的任务:强度、刚度和稳定性;应力 单位面积上的内力 平均应力p m A 正应力垂直于截面的应力分量,用符号 切应力相切于截面的应力分量,用符号 应力的量纲:2 2工程单位制:kgf / m 、kgf / cm线应变 单位长度上的变形量,无量纲,其物理意义是构件上一点沿某一方向变 形量的大小。
材料力学考试重点及其公式
外力偶矩传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出,而是根据轴的转速n 与传递的功率P 来计算。
当功率P 单位为千瓦(kW ),转速为n (r/min )时,外力偶矩为m).(N 9549e nPM =当功率P 单位为马力(PS ),转速为n (r/min )时,外力偶矩为m).(N 7024e nPM =2.5.2切应力计算公式横截面上某一点切应力大小为 p pT I ρτ=(3-12) 式中p I 为该截面对圆心的极惯性矩,ρ为欲求的点至圆心的距离。
圆截面周边上的切应力为 max tTW τ=(3-13) 式中p t I W R=称为扭转截面系数,R 为圆截面半径。
2.5.3 切应力公式讨论(1) 切应力公式(3-12)和式(3-13)适用于材料在线弹性范围内、小变形时的等圆截面直杆;对小锥度圆截面直杆以及阶梯形圆轴亦可近似应用,其误差在工程允许范围内。
(2) 极惯性矩p I 和扭转截面系数t W 是截面几何特征量,计算公式见表3-3。
在面积不变情况下,材料离散程度高,其值愈大;反映出轴抵抗扭转破坏和变形的能力愈强。
因此,设计空心轴比实心轴更为合理。
表3-3实心圆 (外径为d )432p d I π=316t d W π=空心圆 (外径为D , 内径为d )44(1)32p D I a π=-d a D=44(1)16t D W a π=-2.5.4强度条件圆轴扭转时,全轴中最大切应力不得超过材料允许极限值,否则将发生破坏。
因此,强度条件为[]max maxt T W ττ⎛⎫=≤⎪⎝⎭ (3-14) 对等圆截面直杆 []maxmaxt T W ττ=≤ (3-15)式中[]τ为材料的许用切应力。
3.1.1中性层的曲率与弯矩的关系1zMEI ρ=(3-16)式中,ρ是变形后梁轴线的曲率半径;E 是材料的弹性模量;E I 是横截面对中性轴Z 轴的惯性矩。
3.1.2横截面上各点弯曲正应力计算公式 ZMy I σ=(3-17) 式中,M 是横截面上的弯矩;Z I 的意义同上;y 是欲求正应力的点到中性轴的距离最大正应力出现在距中性轴最远点处 max max max max z zM My I W σ=∙= (3-18) 式中,max z z I W y =称为抗弯截面系数。
材料力学公式汇总
σ −σ y 2 2 σ max σ x + σ y = ± ( x ) + τ xy ; σ min 2 2
tg2α p =
−2τ xy
σ x −σ y
3、二向应力状态的极值剪应力(面内极值剪应力)及所在截面方位角
τ max = ± (
min
σ x −σ y
2
2 ) 2 + τ xy =±
σ max − σ min
(8) 刚度条件:待考察点的位移不超过允许值
2
三、应力状态与强度理论 1、二向应力状态斜截面应力 σ x +σ y σ x −σ y σ x −σ y σα = + cos 2α − τ xy sin 2α τ α = sin 2α + τ xy cos 2α 2 2 2 注:使截面受拉的正应力为正;使单元体顺时针转的剪应力为正; x 轴逆时针转α角与截面 外法线重合的角度为正(-π≤α≤π). 2、二向应力状态极值正应力及所在截面方位角
λ ≥ λp ;
σ cr =
π 2E ; λ2
Pcr =
π 2 EI min
(μL )2
λp ≥ λ ≥ λs ; σ cr = a − bλ
λ ≤ λs ;
“ σ cr ”= σ s 或
σb
π 2E ; σp
于柔度的几个公式: 3、惯性半径公式: i =
Iz A
λ=
μL
3
Θ=
σ +σ2 +σ3 1 − 2μ E (σ 1 + σ 2 + σ 3 ); K = ;σ = 1 ; σ = KΘ E 3(1 − 2μ ) 3
σ eq 2 = σ 1 − μ (σ 2 + σ 3 ) ≤ [σ ]; [σ ] =
材料力学--弯曲正应力及其强度条件
C
E
15 106 200 109
7.5 105
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
例21:图示木梁,已知下边缘纵向总伸
长为 10 mm,E=10GPa,求载荷P的大小。
P
300
A
C
B 200
2m
2m
解: AC
l/2
(x) dx
0
l/2 (x) d x l/2 M ( x) d x
1m
例20:简支梁受均布荷载,在其C截面
的下边缘贴一应变片,已知材料的 E=200GPa,试问该应变片所测得的应变 值应为多大?
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
解:C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力 C
MC Wz
15MPa
应变值
P
y1
y2
Cz
解:
max
M max y1 Iz
[ ]
(1)
max
M max y2 Iz
[ ]
(2)
(1) 得: y1 [ ]
(2)
y2 [ ]
例16:图示外伸梁,受均布载荷作用,
材料的许用应力[σ]=160 MPa,校核 该梁的强度。
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
变形几何关系 从三方面考虑: 物理关系
静力学关系
1、变形几何关系
m
mn
m
aa
bb
mn
m
m
观察到以下变形现象: (1)aa、bb弯成弧线,aa缩短,bb伸长 (2)mm、nn变形后仍保持为直线,且仍与变为
材料力学相当应力计算公式
材料力学相当应力计算公式材料力学是研究物质内部受力和变形规律的一门学科,它是工程力学的重要组成部分。
在工程实践中,我们经常需要计算材料在受力作用下的应力,以便评估材料的强度和稳定性。
其中,相当应力是一个重要的参数,它可以帮助我们更好地理解材料的受力情况。
相当应力是指在复杂受力状态下,将各向异性材料的应力状态转化为等效的单轴拉伸或压缩应力状态,以便于进行强度计算和设计。
相当应力计算公式是在这种情况下使用的一种数学表达式,它可以帮助工程师快速准确地计算出材料在受力作用下的相当应力。
相当应力计算公式的一般形式为:σeq = √(σ1^2 + σ2^2 σ1σ2 + 3τ^2)。
其中,σeq为相当应力,σ1和σ2分别为材料的主应力,τ为剪应力。
这个公式是由斯坦霍普公式推导而来的,它适用于各种复杂受力状态下的材料,可以帮助工程师更好地理解材料的受力情况。
在实际工程中,相当应力计算公式可以帮助工程师快速准确地评估材料的强度和稳定性。
通过计算出材料在受力作用下的相当应力,工程师可以及时发现材料的受力状况,从而采取相应的措施,保证工程的安全可靠。
除了上述的一般形式外,相当应力计算公式还有一些特殊情况的简化形式。
比如,在单轴拉伸或压缩应力状态下,相当应力可以直接等于主应力;在纯剪应力状态下,相当应力可以直接等于剪应力。
这些简化形式可以帮助工程师更快地进行计算,提高工作效率。
另外,相当应力计算公式还可以用于材料的强度设计。
在进行材料的强度设计时,工程师需要根据材料的受力情况来确定其强度,并采取相应的措施。
通过使用相当应力计算公式,工程师可以更加准确地评估材料的受力情况,从而确定材料的强度,并进行相应的设计。
总的来说,相当应力计算公式是材料力学中的一个重要工具,它可以帮助工程师更好地理解材料的受力情况,评估材料的强度和稳定性,并进行相应的设计。
在实际工程中,工程师可以根据具体情况选择合适的相当应力计算公式,从而更好地完成工程设计和实施工作。
工程力学(静力学与材料力学)习题及答案 )-正应力分析
习题7-1图习题7-2图 习题7-3图工程力学(静力学与材料力学)习题第7章 弹性杆件横截面上的正应力分析7-1 桁架结构受力如图示,其上所有杆的横截面均为20mm ×50mm 的矩形。
试求杆CE 和杆DE 横截面上的正应力。
7-2 图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷,其集度p = 10kN/m ,在自由端D 处作用有集中呼F P = 20 kN 。
已知杆的横截面面积A = 2.0×10-4m 2,l = 4m 。
试求:1.A 、B 、E 截面上的正应力;2.杆内横截面上的最大正应力,并指明其作用位置。
7-3 图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆,轴向拉伸载荷F P 通过两端的刚性板加在杆上。
试:1.写出杆横截面上的正应力与F P 、d 、D 、E c 、E a 的关系式;2.若已知d = 25mm ,D = 60mm ;铜和铝的单性模量分别为E c = 105GPa 和E a = 70GPa ,F P = 171 kN 。
试求铜芯与铝壳横截面上的正应力。
习题7-4图 习题7-5图 习题7-6图习题7-7图 7-4 图示由铝板钢板组成的复合材料柱,纵向截荷F P 通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。
试:1.导出复合材料柱横截面上正应力与F P 、b 0、b 1、h 和E a 、E s 之间的关系式;2.已知F P = 385kN ;E a = 70GPa ,E s = 200GPa ;b 0 = 30mm ,b 1 = 20mm ,h = 50mm 。
求铝板与钢板横截面上的最大正应力。
7-5 从圆木中锯成的矩形截面梁,受力及尺寸如图所示。
试求下列两种情形下h 与b 的比值:1.横截面上的最大正应力尽可能小;2.曲率半径尽可能大。
7-6 梁的截面形状为正方形去掉上、下角,如图所示。
梁在两端力偶M z 作用下发生弯曲。
设正方形截面时,梁内最大正应力为0σ;去掉上、下角后,最大正应力变为0max σσk =,试求:1.k 值与h 值之间的关系;2.max σ为尽可能小的h 值,以及这种情形下的k 值。
工程力学材料力学部分习题答案
b2.9 题图2.9所示中段开槽的杆件,两端受轴向载荷P 的作用,试计算截面1-1和2-2上的应力。
已知:P = 140kN ,b = 200mm ,b 0 = 100mm ,t = 4mm 。
题图2.9解:(1) 计算杆的轴力kN 14021===P N N(2) 计算横截面的面积21m m 8004200=⨯=⨯=t b A202mm 4004)100200()(=⨯-=⨯-=t b b A(3) 计算正应力MPa 1758001000140111=⨯==A N σ MPa 3504001000140222=⨯==A N σ (注:本题的目的是说明在一段轴力相同的杆件内,横截面面积小的截面为该段的危险截面)2.10 横截面面积A=2cm 2的杆受轴向拉伸,力P=10kN ,求其法线与轴向成30°的与45°斜截面上的应力ασ与ατ,并问m ax τ发生在哪一个截面? 解:(1) 计算杆的轴力kN 10==P N(2) 计算横截面上的正应力MPa 501002100010=⨯⨯==A N σ(3) 计算斜截面上的应力MPa 5.37235030cos 2230=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==σσMPa 6.2123250)302sin(230=⨯=⨯=στ MPa 25225045cos 2245=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯==σσMPa 251250)452sin(245=⨯=⨯=στ (4) m ax τ发生的截面 ∵0)2cos(==ασαταd d 取得极值 ∴0)2cos(=α 因此:22πα=, 454==πα故:m ax τ发生在其法线与轴向成45°的截面上。
(注:本题的结果告诉我们,如果拉压杆处横截面的正应力,就可以计算该处任意方向截面的正应力和剪应力。
对于拉压杆而言,最大剪应力发生在其法线与轴向成45°的截面上,最大正应力发生在横截面上,横截面上剪应力为零)2.17 题图2.17所示阶梯直杆AC ,P =10kN ,l 1=l 2=400mm ,A 1=2A 2=100mm 2,E =200GPa 。
材料力学 正应力及其强度条件
中性层
中性轴
对 称 z o 轴 中 性 y 轴
中性层
F
F
m
n
2.纯弯曲正应力公式的推导 (一)几何关系: o
中性层
d q
m
n
中性轴
m
n o
z m o 1
m
n
z
r
o
o 2
n
中性轴
y
dx
n m dx
y
变形前:
y
l = dx = r × dq
变形后:
100
例题 4.22 &
图示T形截面简支梁在中点承受集中力F=32kN,梁的长度L=2m。T形 截面的形心坐标yc=96.4mm,横截面对于z轴的惯性矩Iz=1.02×108mm4。求 弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。 y
F
150 50
A l 2 l 2
B
96 . 4 C 50
F
实验现象:
F
ü1、变形前互相平行的纵向直
m
n
线、变形后变成弧线,且凹边纤 维缩短、凸边纤维伸长。
ü2、变形前垂直于纵向线的横向
m
n
线,变形后仍为直线,且仍与弯曲 了的纵向线正交,但两条横向线 间相对转动了一个角度。
§由现象1
j靠近凹入的一侧,纤维缩短,靠近凸出的 一侧,纤维伸长; k由于纤维从凹入一侧的伸长或缩短到突出 一侧的缩短或伸长是连续变化,故中间一定 有一层,其纤维长度不变,这层纤维称为中 性层。中性层与横截面的交线称为中性轴; l弯曲变形时,梁的横截面绕中性轴旋转。
28 . 1
kNm
13. 16
材料力学04梁截面正应力
y
M
这表明,直梁的横截面上的 正应力沿垂直于中性轴的方向按 直线规律变化(如图)。 11
三、静力学方面
横截面上的应力合成内力,则
FN d A
A
(d)
M y z d A
A
M z y d A
A
12
EI yz E M y z d A yz d A 0 A A
所以梁的强度由最大拉应力控制:
33
C截面:
F 3 2 m 13410 m M C 134103 m 4 t,max 30106 Pa Iz Iz
F 24.6kN
B截面:
F 3 2 m 8610 m M B 86103 m 2 t,max 30106 Pa Iz Iz
F 19.2kN
所以,该梁的许可荷载为[F]=19.2 kN。
34
§4-5 梁横截面上的切应力· 梁的切 应力强度条件
Ⅰ. 梁横截面上的切应力
• • • • 矩形截面梁 工字形截面梁 薄壁圆环形截面梁 圆截面梁
研究表明:截面上各点的切应力不相等
求解的理论根据:切应力互等定理
35
一、矩形截面梁
29
根据强度条件要求:
Wz M max
375 kN m 2460106 m3 152106 Pa
由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为
Wz 2447cm3 2447106 m3
此值虽略小于要求的Wz但相差不到1%,故 可以选用56b工字钢。
工程实践中,如果最大工作应力超过许用应力 不到5%,则通常还是允许的。
材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)解析
M
1.平面假设: 梁各个横截面变形后仍保持为平面,并仍垂直于变形 后的轴线,横截面绕某一轴旋转了一个角度。 2.单向受力假设: 假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均 处于单向受拉或受压的状态。
中性层 梁在弯曲变形时,凹面部分纵向纤维缩短,凸面 部分纵向纤维伸长,必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短,保持原来的长度,这一纵向纤维层称为中性层. 中性轴
C截面
Fb/4 拉应力 压应力 B截面
20
y 20
拉应力
压应力
可见:压应力强度条件由B截面控制,拉应力强度 条件则B、C截面都要考虑。
Fb/2
40 180
120 C 形心 86 z 134
Fb/4 考虑截面B :
t,max
c, max
M B y1 F / 2 2 103 mm134 mm 90 MPa 4 4 Iz 5493 10 mm F 73.8 kN
c
注:强度校核(选截面、荷载) ( 1) ( 2)
[ ]t [ ]c (等截面)只须校核Mmax处
[ ]t [ ]c (等截面)
(a)对称截面情况只须校核Mmax处使
maxt [ ]t , maxc [ ]c
(b)非对称截面情况,具体分析,一般要校核 M+max与 M-max两处。
查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值
Wz 2447cm3 2447103 mm3
此时 max
M max 153MPa Wz
误差小于5%,可用
例4-17 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图,已知铸铁 的许用拉应力[ t ]=30 MPa,许用压应力[ c ] =90 MPa。试根据截面最为合理的要求,确定T字形梁 横截面的尺寸d ,并校核梁的强度 。
工程力学材料力学 知识点 及典型例题
作出图中AB杆的受力图。
A处固定铰支座B处可动铰支座作出图中AB、AC杆及整体的受力图。
B、C光滑面约束A处铰链约束DE柔性约束作图示物系中各物体及整体的受力图。
AB杆:二力杆E处固定端C处铰链约束(1)运动效应:力使物体的机械运动状态发生变化的效应。
(2)变形效应:力使物体的形状发生和尺寸改变的效应。
3、力的三要素:力的大小、方向、作用点。
4、力的表示方法:(1)力是矢量,在图示力时,常用一带箭头的线段来表示力;(注意表明力的方向和力的作用点!)(2)在书写力时,力矢量用加黑的字母或大写字母上打一横线表示,如F、G、F1等等。
5、约束的概念:对物体的运动起限制作用的装置。
6、约束力(约束反力):约束作用于被约束物体上的力。
约束力的方向总是与约束所能限制的运动方向相反。
约束力的作用点,在约束与被约束物体的接处7、主动力:使物体产生运动或运动趋势的力。
作用于被约束物体上的除约束力以外的其它力。
8、柔性约束:如绳索、链条、胶带等。
(1)约束的特点:只能限制物体原柔索伸长方向的运动。
(2)约束反力的特点:约束反力沿柔索的中心线作用,离开被约束物体。
()9、光滑接触面:物体放置在光滑的地面或搁置在光滑的槽体内。
(1)约束的特点:两物体的接触表面上的摩擦力忽略不计,视为光滑接触面约束。
被约束的物体可以沿接触面滑动,但不能沿接触面的公法线方向压入接触面。
(2)约束反力的特点:光滑接触面的约束反力沿接触面的公法线,通过接触点,指向被约束物体。
()10、铰链约束:两个带有圆孔的物体,用光滑的圆柱型销钉相连接。
约束反力的特点:是方向未定的一个力;一般用一对正交的力来表示,指向假定。
()11、固定铰支座(1)约束的构造特点:把中间铰约束中的某一个构件换成支座,并与基础固定在一起,则构成了固定铰支座约束。
(2)约束反力的特点:固定铰支座的约束反力同中间铰的一样,也是方向未定的一个力;用一对正交的力来表示,指向假定。
()12、可动铰支座(1)约束的构造特点把固定铰支座的底部安放若干滚子,并与支撑连接则构成活动铰链支座约束,又称锟轴支座。
材料力学公式超级大汇总
材料力学公式超级大汇总Company Document number:WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT1.外力偶矩计算公式(P功率,n转速)2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式(杆件横截面轴力F N,横截面面积A,拉应力为正)4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式(夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正)5.6.纵向变形和横向变形(拉伸前试样标距l,拉伸后试样标距l1;拉伸前试样直径d,拉伸后试样直径d1)7.8.纵向线应变和横向线应变9.10.泊松比11.胡克定律12.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式13.承受轴向分布力或变截面的杆件,纵向变形计算公式14.轴向拉压杆的强度计算公式15.许用应力,脆性材料,塑性材料16.延伸率17.截面收缩率18.剪切胡克定律(切变模量G,切应变g )19.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式20.圆截面对圆心的极惯性矩(a)实心圆21.(b)空心圆22.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式(扭矩T,所求点到圆心距离r)23.圆截面周边各点处最大切应力计算公式24.扭转截面系数,(a)实心圆25.(b)空心圆26.薄壁圆管(壁厚δ≤ R0 /10 ,R0为圆管的平均半径)扭转切应力计算公式27.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式28.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同(如阶梯轴)时或29.等直圆轴强度条件30.塑性材料;脆性材料31.扭转圆轴的刚度条件或32.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式,33.平面应力状态下斜截面应力的一般公式,34.平面应力状态的三个主应力,,35.主平面方位的计算公式36.面内最大切应力37.受扭圆轴表面某点的三个主应力,,38.三向应力状态最大与最小正应力 ,39.三向应力状态最大切应力40.广义胡克定律41.42.43.四种强度理论的相当应力44.一种常见的应力状态的强度条件,45.组合图形的形心坐标计算公式,46.任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式47.截面图形对轴z和轴y的惯性半径,48.平行移轴公式(形心轴z c与平行轴z1的距离为a,图形面积为A)49.纯弯曲梁的正应力计算公式50.横力弯曲最大正应力计算公式51.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数,,52.几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式(为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩,b为横截面在中性轴处的宽度)53.矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处54.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式55.轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式56.圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处57.圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处58.弯曲正应力强度条件59.几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件60.弯曲梁危险点上既有正应力σ又有切应力τ作用时的强度条件或,61.梁的挠曲线近似微分方程62.梁的转角方程63.梁的挠曲线方程64.轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式65.偏心拉伸(压缩)66.弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式,67.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时,合成弯矩为68.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度计算公式69.弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式70.剪切实用计算的强度条件71. 挤压实用计算的强度条件72. 等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式73. 压杆的约束条件:(a )两端铰支 μ=l74. (b )一端固定、一端自由 μ=2 75. (c )一端固定、一端铰支 μ= 76. (d )两端固定 μ=77. 压杆的长细比或柔度计算公式 ,78. 细长压杆临界应力的欧拉公式79. 欧拉公式的适用范围80. 压杆稳定性计算的安全系数法81. 压杆稳定性计算的折减系数法82.关系需查表求得3 截面的几何参数序号 公式名称 公式 符号说明() 截面形心位置 A zdA z A c ⎰=,AydA y Ac ⎰= Z 为水平方向 Y 为竖直方向 () 截面形心位置 ∑∑=i i i c A A z z , ∑∑=i i i cA A y y()面积矩⎰=AZ ydA S ,⎰=Ay zdA S4 应力和应变5 应力状态分析2 内力和内力图6 强度计算7 刚度校核8 压杆稳定性校核10 动荷载9 能量法和简单超静定问题材料力学公式汇总一、应力与强度条件 1、 拉压 []σσ≤=maxmax AN2、 剪切 []ττ≤=AQmax 挤压 []挤压挤压挤压σσ≤=AP3、 圆轴扭转 []ττ≤=W tTmax 4、平面弯曲 ①[]σσ≤=maxz max W M②[]max t max t max max σσ≤=y I Mzt③[]ττ≤⋅=bI S Q z *max z max max5、斜弯曲 []σσ≤+=maxyyz z max W M W M6、拉(压)弯组合 []σσ≤+=maxmax zW M A N注意:“5”与“6”两式仅供参考 7、圆轴弯扭组合:①第三强度理论 []στσσ≤+=+=z 2n2w 2n2wr34W M M ②第四强度理论 []στσσ≤+=+=z2n2w 2n2w r475.03W M M二、变形及刚度条件 1、 拉压 ∑⎰===∆LEAx x N EAL N EANLL d )(ii2、 扭转 ()⎰=∑==Φpp i i p GI dx x T GI L T GI TLπφ0180⋅=Φ=p GI T L (m / )3、 弯曲(1)积分法:)()(''x M x EIy = C x x M x EI x EIy +==⎰d )()()('θ D Cx x x x M x EIy ++=⎰⎰d ]d )([)( (2)叠加法:()21,P P f …=()()21P f P f ++…, ()21,P P θ=()()++21P P θθ…(3)基本变形表(注意:以下各公式均指绝对值,使用时要根据具体情况赋予正负号)EIML B3=θ,EI ML A 6=θ EI PL A B 162==θθ EIqL A B 243==θθ(4)弹性变形能(注:以下只给出弯曲构件的变形能,并忽略剪力影响,其他变形与此相似,不予写出)EI L M U 22==i i i EI L M 22∑=()⎰EIdxx M 22 (5)卡氏第二定理(注:只给出线性弹性弯曲梁的公式)三、应力状态与强度理论1、 二向应力状态斜截面应力2、 二向应力状态极值正应力及所在截面方位角 3、 二向应力状态的极值剪应力注:极值正应力所在截面与极值剪应力所在截面夹角为4504、 三向应力状态的主应力:321σσσ≥≥最大剪应力:231max σστ-=5、二向应力状态的广义胡克定律(1)、表达形式之一(用应力表示应变) (2)、表达形式之二(用应变表示应力) 6、三向应力状态的广义胡克定律 7、强度理论(1)[]111σσσ≤=r ()3212σσμσσ+-=r []σ≤ []bb n σσ=(2)[]σσσσ≤-=313r ()()()[]213232221421σσσσσσσ-+-+-=r []σ≤ []s s n σσ=8、平面应力状态下的应变分析 (1)αγαεεεεεα2sin 22cos 22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++=xyyx yx +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-αεεγα2sin 22y x αγ2cos 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛-xy(2)22min max 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=xy y x yx γεεεεεε yx xyεεγα-=02tg四、压杆稳定1、临界压力与临界应力公式(若把直杆分为三类)①细长受压杆 p λλ≥ ()2min2cr L EI P μπ=22crλπσE = ②中长受压杆 s p λλλ≥≥ λσb a -=cr③短粗受压杆 s λλ≤ “cr σ”=s σ 或 b σ2、关于柔度的几个公式 i Lμλ= p 2p σπλE = b a s s σλ-= 3、惯性半径公式A I i z= (圆截面 4di z =,矩形截面12min bi =(b 为短边长度))五、动载荷(只给出冲击问题的有关公式) 能量方程 U V T ∆=∆+∆冲击系数 st d 211∆++=h K (自由落体冲击) st20d ∆=g v K (水平冲击) 六、截面几何性质1、惯性矩(以下只给出公式,不注明截面的形状)⎰=dA I P 2ρ=324d π ()44132απ-D D d =α 2、惯性矩平移轴公式。
应力应变计算公式
应力应变计算公式
应力和应变是材料力学中的重要参数,用于描述材料受力后的变形状态。
以下是常见的应力应变计算公式:
1. 应力计算公式:σ = F/A
其中,σ表示应力,F表示受力大小,A表示受力面积。
2. 应变计算公式:ε = ΔL/L
其中,ε表示应变,ΔL表示长度变化量,L表示原始长度。
3. 餐盘弯曲应力计算公式:σ = (M*y)/I
其中,σ表示应力,M表示弯曲力矩,y表示离中心距离,I表示截面惯性矩。
4. 钢筋拉伸应变计算公式:ε = ΔL/L0
其中,ε表示应变,ΔL表示长度变化量,L0表示原始长度。
5. 拉伸抗力计算公式:F = σ*A
其中,F表示受力大小,σ表示应力,A表示受力面积。
以上是常见的应力应变计算公式,可以根据实际情况选择合适的公式进行计算。
- 1 -。
材料力学(5)
A
Iz
∫ ∫∫ z dydz = ∫ y dA = ∫∫ z dydz
2 2 2 A
则分别定义为图形对 y 轴和 z 轴的惯性矩(也称为 二次矩) 惯性矩性质: 惯性矩性质:当一个平面图形是由若干个简单图 形组成时,可以先算出每一个简单图形对某一轴 的惯性矩,然后求其总和,即等于整个图形对同 一轴的惯性矩。
z o y x
5-1 梁纯弯曲时的正应力
正应力计算公式的使用条件和范围
正应力公式是在纯弯曲情况下导出的。但是按弹性力 学理论与工程实践表明:在有些情况下,横力弯曲的 正应力分布规律与纯弯曲的完全相同;在有些情况下 虽略有差异,但是当梁跨度与截面高度之比大于5时, 误差是非常小的。所以,该公式应用于横力弯曲的正 应力计算有足够的精度,完全可以应用于横力弯曲时 的正应力计算。 对于具有纵向对称截面的梁,包括不对称于中性轴的 截面(即无横向对称面,如T字型截面),正应力公式 都可以使用。 正应力公式不适用于非对称弯曲的情况。 当梁的材料不服从胡克定律时,正应力公式不适用。 正应力公式只适用于直梁。但可近似地用于曲率半径 较梁高大得多的曲梁。对变截面梁也可近似地应用。
平行移轴公式:截面对任一轴的惯性矩, 平行移轴公式 等于它对平行于该轴的形心轴的惯性矩, 加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。
5-2 惯性矩计算
T字型截面对其形心轴(z轴)的惯性矩为:
I z = I zI + I zII
y
矩形Ⅰ和矩形Ⅱ对 z 轴的惯性矩 可以通过平行移轴公式写成如下形式:
z1
a
b
E
5-1 梁纯弯曲时的正应力
(三)静力学关系(续3)
Mz = ∫A yσdA = ML(e)
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例:图示简支梁,材料的许用应力[σ]=140MPa, [τ]=80MPa,试选择工字钢的型号。
0.2m 60kN
A
B
c
FA
2m
FB
危险截面:C截面
M max 10.8kNm
解:2、据正应力强度条件确 定工字钢的型号。
max
M max WZ
WZ
M max
10.8 106 140
77.1103 mm3
B截面
B l max
4106 52 763 .7 104
27.2MPa
9KN
4KN
B
A C
D
RA 1m
1m RB 1m
y z
M
2.5KNm
-4KNm
X
l max
y max
M max
h 2
M max
IZ
WZ
第三节 弯曲切应力
第三节 弯曲切应力
一、矩形截面梁横截面 上的切应力
FQ 2IZ
h2 4
梁弯曲时,实际上各个截面绕着中性轴转动。
如果外力偶矩如图作用在梁上,该梁下部将伸长、上部 将缩短
弯曲正应力分布规律 E E y
• 与中性轴距离相等的点, 正应力相等;
M • 正应力大小与其到中 性轴距离成正比;
• 弯矩为正时,正应力 以中性轴为界下拉上 压;
• 弯矩为负时,正应力上拉下压;
M
危险截面在轴的中部
q
利用截面法求该截面弯矩
M 0
M
q
700
700 2
RAy
300
700
0
由对称性可求得:
RAy
1 2
ql
1000 1400 2
700000N
M 700001000 10007002 455KNm 2
M max
WZ
WZ
M max
AB
300
1400 q
CD
300
A1
A2
平行移轴公式
I z1 y12dA
A
Iz1 ( y a)2 dA y2dA 2a ydA a2 dA
A
A
A
A
ydA
A
Sz
yc A
A ydA 0
且 yc 0
I z1 I z a 2 A I y1 I y b2 A
例 求T字形截面的中性轴 z,并求截面对中性轴的惯性矩.
1、变形几何关系
纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面,仍然垂 直于轴线,只是绕中性轴转过一个角度,称为弯曲问 题的平面假设。
中
中
性
性
层
轴
# 中性层和中性轴
• 中性层
梁弯曲变形时,既 不伸长又不缩短的纵向 纤维层称为中性层。
y
x
z
对矩形截面梁来讲,就是位于上下中间这一层。
• 中性轴 中性层与横截面的交线。
32 M max
32 3106
10
3.05 106 mm3
d 145mm
例:图示支撑阳台的悬臂梁为一根16号工字钢,其上受均布载 荷q和集中力P作用。若P=2KN,梁长L=2.5m,工字钢的许用应 力[σ]=100MPa,试求q的许可值。
q
A L
P+qL
P
解:1、确定危险截面
B
Z
危险截面:固定端A
max
FQ A
54103
546
98.9MPa
A (h 2t)d 546mm2
例:图示简支梁,材料的许用应力[σ]=140MPa, [τ]=80MPa,试选择工字钢的型号。
60kN 0.2m
A
B
c
FA
2m
FB
重选14号工字钢 d 5.5mm, h 140,t 9.1
A
AI yI AII yII AI AII
12 5 12 1 3cm 12 12
即中性轴 z 与轴 z 的距离为3cm。
(2)求各组合部分对中性 轴z的惯性矩
设两矩形的形心CⅠ和CⅡ;其形心轴为z1和z2,它们距z轴的 距离分别为: aI CCI 2cm, aII CCII 2cm
2.KNm
-3.5KN
危险截面:A截面 Mmax=3kNm
-3KNm
例:一圆形截面木梁,受力如图所示[σ]=10MPa,试选
择截面直径d.
2、据正应力强度条件确
3KN q=3kN/m
A
1m FA
3m
定截面直径。
B FB
max
M max WZ
危险截面:A截面 Mmax=3kNm
WZ
d 3
32
d3
2
bh3 Iz 12
I
y
hb3 12
y
y
P
z
z
My
100
200
Iz
(a)
(b)
(a) : IZ
1 bh3 12
1 100 2003 12
8 108 mm4 12
(b) : IZ
1 bh3 12
1 2001003 12
2 108 mm4 12
圆形与圆环截面
I p
A
2dA
D4
32
由平行移轴公式,两矩形对中 性轴z的惯性矩为:
I zI
I z1I
a
2 I
AI
2 63 12
22 12
84cm4
I zII
I z 2 II
a
2 II
AII
6 23 12
22 12
52cm4
(3)求整个截面对中性轴 的惯性矩
将两矩形对z轴的惯 52 136cm4
(1)作弯矩图,
求最大弯矩
梁的弯矩图如图5-8b 所示, 由图知梁在固定端横截面上 的弯矩最大,其值为
ql2 6000 12
M
3000 N m
max 2
2
(2)求最大应力
因危险截面上的弯
矩为负,故截面上缘受 最大拉应力,其值为
T max
M max Iz
y1
3000 25.6 108
0.0152
P
Mmax=PL+ql2/2 (kNm)
PL+qL2/2
例:图示支撑阳台的悬臂梁为一根16号工字钢,其上受均布载 荷q和集中力P作用。若P=2KN,梁长L=2.5m,工字钢的许用应 力[σ]=100MPa,试求q的许可值。
q
P
B A
L
危险截面:固定端A Mmax=PL+ql2/2 (kNm)
q 3kN / m
梁立置时:
WZ
bh2 6
b 2b2
6
4b3 6
2 b3 3
梁倒置时:
WZ
hb2 6
2b b2 6
2b3 6
1 b3 3
立置比倒 置强度大 一倍。
三、梁的弯曲剪应力强度校核
通常满足了正应力强度,剪应力强度也能满足。但 在梁的跨度较小或支座附近有较大的载荷时,因梁的 弯矩较小而剪应力相对较大,需要对梁进行剪应力强 度校核。
• 中性轴上,正应力等于零
2、静力学关系分析
没有轴向力 dA 0 A
E E y
A
E ydA
E
A
ydA
0
ydA 0 质心坐标 A
ydA A
yc A
Sz
yc A 0
A0
yc 0
Z:中性轴
静矩,面积矩 中性轴必然通过横 截面的形心
A ydA M
E E y
y( E y )dA E y 2dA M
危险截面位于梁根部
max
M max WZ
对于非对称形截面:当梁的弯矩有正负变化时,最大的拉 应力可能不等于最大的压应力,且可能不在同一截面上。
9KN
4KN
A
B
C
D
Z
RA 1m
1m RB 1m
M
2.5KNm
y
-4KNm X MC
X y
X MB
危险截面:在最大 的正弯矩截面和最 大的负弯矩截面。
C截面
(1) 确定形心和中性轴的位置
将截面划分为Ⅰ 、Ⅱ两矩形,取
与截面底边相重合的z 轴为参考 轴,则两矩形的面积及其形心至z 轴的距离分别为:
AI 2 6 12cm2
yI
2
6 2
5cm
AII 6 2 12cm2
yII
2 2
1cm
整个截面的形心C 在对称轴 y上的位置则为:
yC
Ai yi
B截面
二、梁的正应力强度条件
max
M max WZ
Mmax WZ [σ]
梁内最大弯矩 危险截面抗弯截面模量
材料的许用应力
利用强度条件可以校核强度、设计截面 尺寸、确定许可载荷
例 图示圆截面辊轴,中段BC受均部载荷作用,试确定辊轴BC 段截面的直径。已知q = 1KN/mm,许用应力[σ] = 140MPa。
IZ=763.7×104 mm4,求C截面和全梁的最大拉应力和压应力。
y
9KN
4KN
A
B D
Z
C
RA 1m
1m RB 1m
3、求全梁的最大拉、压应力。
M
2.5KNm
y
-4KNm X MC
X y
X MB
ymax
B y m ax
M B y下 IZ
4106 88 763.7 104
46.1MPa
C截面
Z
C
RA 1m
1m RB 1m
y