模糊集合论基础2新

x)
在
0,1
上取值,其值大小表示
x
对于
A
~
的隶属程度。
表征模糊集合
A
~
的隶属函数
A
~
(
x)
在
0,1
闭区间上取值,
而表征普
通集合 A 的特征函数只取 0 或 1 两个值,当隶属函数 A (x) 只取 0 或 1
~
两个值时,
A (x) 蜕化成普通集合 A 的特征函数,
~
模糊集合 A 蜕化成普 ~
通集合 A,由此可见, 普通集合是模糊集合的特殊情况, 模糊集合是普通
集合推广。这说明了模糊集合是建立在普通集合之上的。
第二节模糊集合其运算
当论域 X 为有限论域时, X x1, x2 , , xn 上, 论域 X 上的
模糊集合 A 可表示为: ~
A
~
A (x1)
~
/
x1
A (x2 )
~
/
x2
A (xn
~
)/
xn
这种表示只有形式上的意义, 加号不代表算术和,分数线 也不代表相除,只表示元素和对应的隶属程度的对应排列。
~~
~~
模糊集合 A与B的交集A B 的隶属函数定义为:
~~
~~
A B (x) Min(( A (x),B (x))
~~
~
~
也可表示为:
A B (x) A (x) B (x)
~~
~
~
按扎德记法,可表示为:
A
~wk.baidu.com
B
~
X
(M
in(
A
~
(
x),
B
~
(
x))
/
x)
第二节模糊集合及其运算
(6) 模糊子集 A的补集 Ac
第二节模糊集合及其运算
５)吸收律
(A U B) I A A,(A I B) U A A % % % %% % % %
6)同一律 7)对偶律 8)复原律
A UU A, A I U A
%
%%
%
A U A, A I
%
%%
( A U B)c Ac I Bc %% % %
( A I B)c Ac U Bc %% % % (Ac )c A %%
~~
模糊子集 A与B的并集A B 的隶属函数定义为:
~~
~~
AB (x) Max(( A (x),B (x))
~~
~
~
也可表示为:
AB (x) A (x) B (x)
~~
~
~
按扎德记法,可表示为:
A B
~~
X
(Max(
A
~
(
x),
B
~
(
x))
/
x)
第二节模糊集合及其运算
(5) A与B的交集A B
第二节模糊集合及其运算
在有限论域时, 模糊集合 A 还可表示为: ~
n
A
~
i 1
A (xi ) / xi
~
或记为:
n
A
~
A (xi ) /
i1 ~
xi
当论域 X 为实数轴上的区间时,称为连续论域的模糊集合 A ~
可表示为:
A
~
X
A
~
(x
)/ x
(x X)
第二节模糊集合其运算
二、模糊集合的运算
第三节水平截集与支集
模糊集合的 水平截集定义如下:
设给定模糊集合 A F(X ) , 对任意 0,1闭区间中的实数 ,称
~
(
A)
~
A
x
/
x
X,
A
~
(x)
为模糊集合
A
~
的
水平截集，这里,
A
是一个普通集合, 是由在模糊集合 A 中 ~
的隶属度达到或超过 的元素所组成。实际上,模糊子集的 水平截集,是在模
第二节模糊集合及其运算
1965年美国学者扎德(L. A. Zadeh)发表了著名论文<Fuzzy
set>，第一次从数量角度对模糊现象进行了科学的研究，推广了 普通集合论，提出了模糊集合的理论和方法。扎德教授提出了模 糊集合的定义如下：
论域
X
x上的模糊集合
A
~
是由隶属函数
A
~
(
x)
来表征的,其中
A
~
(
(2)代数和 % %
%
%
AB (u) @A (u) B (u) AgB (u)
% %
%
%
%%
(3)有界和
AB (u) @1 (A(u) B (u))
%%
%
%
(4)有界积
AB (u) @0 (A(u) B (u) 1)
%%
%
%
第二节模糊集合及其运算
模糊集和的运算性质:
1)幂等律 2)交换律
A U A A, A I A A, % % %% % %
3)结合律 4)分配律
AU B B U A, A I B B I A, % % % %% % % %
(AUB) UC AU(B UC) %% %% %%
(AI B) I C AI (B I C) %% %% %%
AU(B I C) (AUB) I (AUC) % %% %% %% AI (B UC) (AI B) U(AI C) % %% %% %%
并
第二节模糊集合及其运算
以上模糊集合,交,补的运算,与普通集合的同类的运算是相通的,只要隶 属函数仅取两个值, 模糊子集交,补的运算就变成了普通集合交,补的运算。 以上模糊集合的交,补的运算,可用以下图表示出来。
第二节模糊集合及其运算
模糊集的代数运算 (1)代数积
AgB (u) @A(u)gB (u)
i 1
A%i
A%1UA%2 UUA%n (u) Max( A%1 (u), A%2 (u), , A%n (u))
n
I A
%
A%1 I
A%2 I
I
A%n i1 A%i
A%1I A%2 I I A%n (u) Min( A%1 (u), A%2 (u), , A%n (u))
A (x) = B (x) ,
~
~
则A B ~~
第二节模糊集合其运算
(2)
B包含 A,
~
~
对 X 上 x ,如果 A (x) B (x)
~
~
则B A或 A B
~
~
~
~
(3) 空模糊集, 对 X 上 x ,如果 A (x) =0
~
则A ~
第二节模糊集合其运算
(4) A与B的并集A B
~~
模糊集合一般都是某一论域上的子集，所以通常称它为模糊子集, 模糊集 合是从普通集合拓广而来,故普通集合的运算可以推广到模糊集合。不同的是模 糊集合由它的隶属函数确定,因此模糊集合的运算需要重新定义。
F(X)是论域 X 上的模糊集类, A, B F(X ) ,则定义以下计算: ~~
(1) A与B相等:由于模糊集合特征由它的隶属函数确定,所以把隶属 ~~ 函数全部相等的两个模糊子集定义为相等,即, 对 X 上 x ,如果
~
~
对 X 上 x ,如果
AC (x) 1 A (x)
~
~
则称 Ac 为模糊子集 A的补集
~
~
按扎德记法,可表示为:
AC (x) ~
X
((1
A
~
(
x))
/
x)
A与B的交集A B
~~
~~
第二节模糊集合及其运算
模糊集合并,交可推广到多个有限模糊集上。
n
U A
%
A%1 U
A%2
UU
A%n