无穷级数

无穷级数

等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

例如数列。

这就是一个等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，都等于2，2198与2197的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比，符号为q。

公比公式

根据等比数列的定义可得：

[O] 通项公式

我们可以任意定义一个等比数列

这个等比数列从第一项起分别是，公比为q，则有：

a2 = a1q，

a3 = a2q = a1q2，

a4 = a3q = a1q3，

，

以此类推可得，等比数列的通项公式为：

a n = a n− 1q = a1q n− 1，

[O] 求和公式

对于上面我们所定义的等比数列，即数列。我们将所有项进行累加。

于是把称为等比数列的和。记为：

如果该等比数列的公比为q，则有：

（利用等比数列通项公式）* 先将两边同乘以公比q，有：

该式减去*式，有：

(q− 1)S n = a1q n−a1★

然后进行一定的讨论

当时，

而当q = 1时，由★式无法解得通项公式。

但我们可以发现，此时：

= na1

∙综上所述，等比数列的求和公式为：

∙还有另一个求合公式：当q≠1时，

[O] 当时,等比数列无限项之和

由于当及n的值不断增加时,q n的值便会不断减少而且趋于0,因此无限项之和:

[O] 性质

如果数列是等比数列，那么有以下几个性质：

∙

证明：当时，

∙对于，若，则

证明：

∵

∴

∙等比中项：在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距

离的前后两项的等比中项。即等比数列中有三项，，，其中，则有

∙在原等比数列中，每隔k项取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列仍为等比数列。

∙也成等比数列。

在数学中，一个有穷或无穷的序列的元素的形式和S称为级数。序列中的项称作级数的通项。级数的通项可以是固定的元素，比如说实数、矩阵或向量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数。如果级数的通项是固定的元素，则称之为常数项级数，如果级数的通项是函数，则称之为函数项级数。常见的简单有穷数列的级数包括等差数列和等比数列的级数。对于有穷数列的级数一般通过初等代数的方法就可以求得。如果序列是无穷序列，其和则称为无穷级数。无穷级数有发散和收敛的区别，称为无穷级数的敛散性。判断无穷级数的敛散性是无穷级数研究中的主要工作。无穷级数只有在收敛时才有一个和；发散的无穷级数没有和。对于无穷级数的研究更多的需要数学分析的方法来解决。无穷级数一般写作

、或者，级数收敛时，其和通常被表示

为。

设(u n)是一个无穷序列：u1,u2,u3,...u n,...

其前n项的和称为的部分和：S n = u1 + u2 + u3 + ... + u n 由此得出另一个无穷序列：s1,s2,s3,...s n,...

这两个序列合称为一个级数，记作或者

如果当n趋于正无穷大时，s n趋向一个有限的极限：，那么这个无穷级数就叫做是收敛的，如果极限不存在，这个无穷级数就是发散的。只有收敛的无穷级数存在一个和s。这时可以定义级数

的余项和：R n = S−S n。

∙几何级数（或等比级数）是指通项为等比数列的级数，比如：

一般来说，几何级数收敛当且仅当 |z| < 1。

∙调和级数是指通项为的级数：

它是发散的。

∙p-级数

对于实数值的p，当p > 1 时收敛，当p≤ 1 时发散。这可以由积分比较审敛法得出。

函数被称为黎曼ζ函数，关于黎曼ζ函数有著名的黎曼猜想。

∙裂项级数

收敛如果数列b n收敛，并且这时级数的和是b1−L。

在数学上, 一个定义在开区间 (a-r, a+r) 上的无穷可微的实变函数或复变函数f的泰勒级数是如下的幂级数：

这里，n! 表示n的阶乘而表示函数f在点a处的n阶导数。如果泰勒级数对于区间 (a-r, a+r) 中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x) 为解析的（analytic）。当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。为了检查级数是否收敛于f(x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的余项。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。

如果a = 0，那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。

泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：

1.幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容

易。

2.一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的

解析函数，并使得复分析这种手法可行。

3.泰勒级数可以用来近似计算函数的值。

对于一些无穷可微函数f (x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等

于f(x) 。例如，分段函数，当x≠ 0 且f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f (x) 的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x= 0 处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时

并不趋于零。

一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，

就可以被展开为一个洛朗级数。

定义

[O] 求法

∙使用综合除法

求得

[O] 用法

∙求近似值

使用简易多项式泰勒展开式

展开成