正余弦定理知识点及高考考试题型整理学生理

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正、余弦定理

一、知识总结 (一)正弦定理

1.正弦定理：

2,sin sin sin a b c

R A B C

===其中R 是三角形外接圆半径. 2.变形公式：（1）化边为角：

（2）化角为边：

（3）

（4）.

3、正弦定理可解决两类问题：

（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）

（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一）

在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：

a ＝

b sin A b sin A b 1.余弦定理: 2

2

2cos a b c bc A =+-

2222cos c a b ab C =+-

2222cos b a c ac B =+-

2.变形公式:

222222222

cos ,cos ,cos .222b c a a c b a b c A B C ab ac ab

2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ===sin ,sin ,sin ;222a b c

A B C R R R =

==::sin :sin :sin a b c A B C =2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R

A B C A B C ++====++

3.余弦定理可以解决的问题：

（1）已知三边，求三个角；（解唯一）

（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：

4.由余弦定理判断三角形的形状

a2=b2+c2⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，

a2＞b2+c2⇔A是钝角⇔△ABC是钝角三角形，

a2＜b2+c⇔A是锐角/△ABC是锐角三角形。

（注意：A是锐角/ △ABC是锐角三角形，必须说明每个角都是锐角）(三) ΔABC的面积公式:

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）

2.方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）

注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。

3.方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）

①北偏东α 即由指北方向顺时针旋转α 到达目标方向；

②北偏本α 即由指北方向逆时针旋转α 到达目标方向；

③南偏本等其他方向角类似。

4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）

坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡比） (五) 有关三角形内角和公式的几个常用变形: 1. A B C π+=-,A C B π+=-,B C A π+=- 2.

例1. （2016年全国II ）的内角的对边分别为，若，，，则．

例2. (2016江苏省高考)在ABC △中，AC =6，

练习1.（2013·新课标Ⅱ文·Ｔ4）的内角的对边分别为，已知，

ABC ∆,,A B C ,,a b c 4cos 5A =

5

cos 13

C =1a =b =ABC ∆,,A B C ,,a b c 2b =6B π

D 例4.（2013·新课标Ⅰ文·Ｔ10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,

02cos cos 232=+A A ,7=a ,c=6,则（）

练习2.（2013·北京高考文科·Ｔ5）在△ABC 中，a=3,b=5,sinA=,则sinB=( )

A. B. D.1

练习3.（2011安徽）在△ABC 中,a,b,c 分别为内角A,B,C 所对的边长,a b ，

,求边BC 上的高.

ABC ∆C B A ∠∠∠,,,,a b c a c ==75A ∠=o

b ==b 13155912cos()0B C ++=