总体参数区间估计(6)

估计误差不超过4克。产品的合格率在95.68%～64.32%之间，
其中，估计的可信程度为95%，估计误差不超过15.68%。
案例导入
STAT
质检报告提交后，企业高层领导人提出几点意见：一是抽 取的样本大小是否合适？能不能用一个更大的样本进行估计？ 二是能否将估计的误差在缩小一点？比如，估计平均重量时估 计误差不超过3克，估计合格率时误差不超过10%。三是总体平 均重量的方差是多少？因为方差的大小说明了生产过程的稳定 性，过大或过小的方差都意味着应对生产过程进行调整。
第二节 单个总体均值和比率的区间估计
一、总体均值的区间估计：大样本 （n≥30）的情形
总体标准差已知 总体标准差未知
二、总体均值的区间估计：小样本 （n＜30）的情形 三、总体比率的区间估计
区间估计
1. 在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间 范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的
2. 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总 体参数的接近程度给出一个概率度量
一致性 估计量将在概率意义下越来越接近
于总体真实值
若 越大 越小，则称 为 的一致估计量
limP( ) 1 n
无偏性
• 无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数 。
P(ˆ)
无偏
A
有偏
B
ˆ
有效性
• 有效性：与离散度相联系。对同一总体参数 的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计
（一）抽样误差
STAT
抽样误差：一个无偏估计与其对应的
总体参数之差的绝对值。
x x
（实际未知）
x , x
x
x
（二）抽样误差的概率表述 STAT
由概率论可知，
Z x 服从标准正态分布，即 Z ~ N(0,1)
x
x
有以下关系式成立： P(
Z ) 1 2
x
一般称，1 为置信度，可靠程度等，反映估计结果
第6章 总体参数估计 STAT
本章重点 1、单个总体均值的区间估计； 2、样本容量的确定； 3、两个总体均值之差的区间估计。
本章难点 1、小样本情形下总体参数的区间估计； 2、其他组织形式总体参数的区间估计及样本容量的确 定。
第一节 参数估计的基本问题
也叫抽样估计，就是根据样本指
参数估计 标数值对总体指标数值作出估计
由于产品的数量大，进行全面的检验是不可能的，可行的办 法是抽样，然后用样本数据估计平均每袋的重量。质检科从某 天生产的一批食品中随机抽取了25袋，下表是对每袋食品重量 的检验结果。（假定该种袋装食品重量服从正态分布。）
案例导入
STAT
25袋食品的重量（克）
112.5 102.6 100.0 116.6 136.8
或推断。
通常，把用来估计总体特征的样本指标叫估计 量或统计量，待估计的总体指标叫总体参数。
1、它在逻辑上运用归纳推理而不是演绎推理。
特 2、在方法上运用不确定的概率估计方法，而不 点 是运用确定的数学分析方法。
3、抽样估计存在抽样误差。
点估计
从总体中抽取一个随机样本，计算与总 体参数相应的样本统计量，然后把该统 计量视为总体参数的估计值，称为参数 的点估计。
优点 简单，具体明确
缺点
无法控制误差，仅适用于对推断的准 确程度与可靠程度要求不高的情况
•
x的抽样分布
•
•
点估计的最大好处：给出确定的值 点估计的最大问题：无法控制误差
估计值的优良标准
问题：
x
不是第那一一，个我统m们计e为量什来么估以计这某一个个总而体
参数？
mo
估无量估计偏可计以第结值性二果用的、，来是优有如估否良效果一计标性有某致两个？准、个是总：一以体否致上参一性的个数统统，计其计
量要优于另一个？
抽样估计量的优良标准
设 为待估计的总体参数， 为样本统 计量，则 的优良标准为：
无偏性 指样本指标的均值应等于被估计 的总体指标
若 估计量
，则称 为 的无偏
抽样估计量的优良标准
有效性
作为优良的估计量，除了满足无偏 性的要求外，其方差应比较小
若
，则称 为比 更有效的估计量
指随着样本单位数 的增大，样本
STAT
大样本（n≥30）的情形
【例】Duotu公司是一家专营体育设备和附件的公 司，为了监控公司的服务质量，Duotu公司每月都 要随即的抽取一个顾客样本进行调查以了解顾客的 满意分数。根据以往的调查，满意分数的标准差稳 定在20分左右。最近一次对100名顾客的抽样显示， 满意分数的样本均值为80分，试建立总体满意分数 的区间。
的可信程度。若事先给定一个置信度，则可根据标准
正态分布找到其对应的临界值 Z 。进而计算抽样误
101.0 107.5 123.5 95.4 102.8
103.0 95.0 102.0 97.8 101.5
102.0 108.8 101.6 108.4 98.4
100.5 115.6 102.2 105.0 93.3
根据表中数据，质检科估计出该天生产的食品每袋的平均
重量在101.57～109.14克之间，其中，估计的可信程度为95%，
第一节 参数估计的基本问题 第二节 单个总体均值和比率的区间估计 第三节 样本容量的确定 第四节 两个总体均值和比率差异的区间估计 第五节 分层抽样、整群抽样和等距抽样的区
间估计
案例导入
STAT
一家食品生产企业以生产袋装食品为主，每天的产量约为 8000袋左右。按规定每袋的重量应不低于100克，否则即为不 合格。为对产量质量进行检测，企业设有质量检查科专门负责 质量检验，并经常向企业高层领导提交质检报告。质检的内容 之一就是每袋重量是否符合要求。
– 比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平 是95%
置信区间
样本统计量 (点估计)
置信下限
置信上限
区间估计的图示
x z 2 x
x
- 2.58x
x
-1.65 x
+1.65x + 2.58x
-1.96 x
+1.96x
90%的样本
95% 的样本
99% 的样本
一、总体均值的区间估计
量更有效。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P(ˆ)
ˆ1 的抽样分布
B
A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
一致性
• 一致性：随着样本容量的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体参数。
P(ˆ) 较大的样本容量
B
较小的样本容量
A
ˆ
抽样估计量的优良标准
数理统计证明：
x 为 X的无偏、有效、一致估计量；
Sn1为 的无偏、有效、一致估计量；
p 为 P的无偏、有效、一致估计量。