新高一分班考试数学真题
2023北师大实验中学新高一分班考试数学真题
2023北师大实验中学新高一分班考试数学真题第一部分选择题（共30题，每题2分，满分60分）1. 若a > 0，b < 0，c > 0，则（a+b) c = ____- A) ac + bc- B) - ac + bc- C) ac - bc- D) - ac - bc2. 设函数f(x) = x^2 + 3x - 2，则f(0) + f(1) + f(2)的值为____- A) 6- B) 8- C) 14- D) 16（以下省略28题）第二部分解答题（共2题，每题20分，满分40分）1. 设函数y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，给出如下条件：- 当x = 1时，y = 4；- 当x = -2时，y = 9。
求函数的解析式。
2. 若a、b、c都是非零实数，且满足方程ax^2 + bx + c = 0有两个不相等的实数根，则称这样的二次方程为“标准二次方程”。
给出如下条件：- 二次方程x^2 - 4x + c = 0是标准二次方程；- 对于任意非零实数m，二次方程mx^2 - (m+1)x + c = 0都不是标准二次方程。
求a、b、c的取值范围。
第三部分简答题（共2题，每题20分，满分40分）1. 在笛卡尔坐标系中，求方程y = 2x^2 + 3x - 4的对称轴和顶点坐标。
2. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c是单调递增的，且f(-1) = f(1) = 4，求三个参数a、b、c的取值情况。
第四部分计算题（共2题，每题20分，满分40分）1. 已知函数y = 2x^3 - 3x^2的图像上有两点A(1, -1)和B(-2, -12)，求曲线与x轴交点的坐标。
2. 若两个正数的和为8，求它们的乘积的最大值。
总分：满分180分以上为2023北师大实验中学新高一分班考试数学真题，希望能对你有所帮助。
海南中学高一分班考试数学试卷
1、海南中学计划为新高一每个班级配置一批图书，如果每个班级分配20本，则多出30本；如果每个班级分配22本，则正好分完。
问海南中学新高一共有多少个班级？A. 12个B. 13个C. 14个D. 15个（答案：D。
设班级数为x，根据题意，20x+30=22x，解得x=15。
）2、在△ABC中，已知角A比角B大10°，角C是角A的两倍减去角B，那么角A的度数为多少？A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°（答案：C。
设角B为x°，则角A为x+10°，角C为2(x+10)°-x°。
根据三角形内角和为180°，得x+(x+10)+[2(x+10)-x]=180，解得x=70，所以角A为80°。
）3、某班级进行了一次数学测验，平均分是75分，其中男生平均分是78分，女生平均分是70分，若男生人数是女生人数的两倍，则该班级中男生人数为多少？A. 10人B. 15人C. 20人D. 25人（答案：C。
设女生人数为x，则男生人数为2x。
根据平均分公式，得75=(782x+70x)/(3x)，解得x=10，所以男生人数为20人。
）4、若一个正多边形的每个内角都比它的外角大140°，则这个正多边形的边数为多少？A. 6B. 7C. 8D. 9（答案：D。
设正多边形的一个外角为x°，则内角为x+140°。
由于内角和外角之和为180°，得x+(x+140)=180，解得x=20。
正多边形的所有外角之和为360°，因此边数为360/20=18/x=9。
）5、小明从家出发，先向正东走了300米，再向正南走了400米，到达学校。
如果以小明家为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系，那么学校的位置坐标是？A. (300, 400)B. (300, -400)C. (-300, 400)D. (300, 0)（答案：B。
2022新高一入学分班考数学试卷12套(含答案)
D．不能确定
α
β
B
D
C
10．如图为由一些边长为 1cm 正方体堆积在桌面形成的立方体的三视图，则该立方体露在外面部分的表面积是
________ cm2。
正视图 A． 11 B．15
左视图 C．18
俯视图 D．22
第Ⅱ卷（答卷）
二. 填空题（本大题共 5 小题， 小题 4 分，共 20 分）
11．函数 y
形 S3 ，以此类推，则 S2006 为（
A．是矩形但不是菱形； C.既是菱形又是矩形；
） B. 是菱形但不是矩形； D.既非矩形又非菱形.
9．如图 ,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= ,∠ABC= .若 10 ，则 的度数是 (
)
A
A．40
B． 50
C． 60
W＝
20 30
2x 1 x
8
1 x 82
82
12
14
8
1 8
x
82
2x
40
1 x 6 6 x 11 12 x 16
化简得
W＝
1 18
x2 x2
14 2x
1
26
x 6 6 x
11
………………10
分
8
1 8
x2
4x
48
12 x 16
①当 W＝ 1 x 2 14 时，∵ x ≥0，函数 y 随着 x 增大而增大，∵1≤ x ≤6 8
4
1
5
2
x
①
2 x 1 6 x
②
由①得：x>-1
由②得： x 4
所以原不等式组的解集为： 1 x 4
2024年秋季高一入学分班考试模拟卷--数学(解析版)
2024年秋季高一入学分班考试模拟卷数学•全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知a2+b2＝5，a+b＝3，则a﹣b的值为（）A．1B．﹣2C．±1D．±2解：把a+b＝3两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9，将a2+b2＝5代入得：2ab＝4，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝5﹣4＝1，则a﹣b＝±1．故选：C．2．已知a，b为实数，下列说法中，其中正确的有（）个．①若ab＜0，且a，b互为相反数，则=−1；②若a+b＜0，且ab＞0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；④若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）是正数；⑤若a＜b，ab＜0且|a﹣3|＜|b﹣3|，则a+b＞6．A．2B．3C．4D．5解：①∵ab＜0，且a，b互为相反数，∴a＝﹣b，∴=−=−1，故此题正确；②∵a+b＜0，且ab＞0，∴a＜0，b＜0，∴2a+3b＜0，∴|2a+3b|＝﹣2a﹣3b，故此题正确；③∵|a﹣b|+a﹣b＝0，∴|a﹣b|＝b﹣a，∴a﹣b≤0，∴a≤b，故此题错误；④∵|a|＞|b|，∴a2＞b2．∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，∴（a+b）（a﹣b）＞0，故此题正确；⑤∵a＜b，ab＜0，∴a＜0，b＞0，∴a﹣3＜0，∴|a﹣3|＝3﹣a，当b＞3时，|b﹣3|＝b﹣3，∴|a﹣3|＜|b﹣3|可化为3﹣a＜b﹣3，解得a+b＞6；当0＜b＜3时，|b﹣3|＝3﹣b，∴a﹣3|＜|b﹣3|可化为3﹣a＜3﹣b，解得a＞b与已知a＜b相矛盾，∴a+b＞6成立，故此题正确．故选：C．3．已知关于x2＜−11)＜2(−p恰好有4个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣7≤a＜﹣6B．﹣7＜a≤﹣6C．﹣7＜a＜﹣6D．﹣7≤a≤﹣6解：不等式组整理得：＞4＜2−，∵不等式组恰好有4个整数解，∴4＜x＜2﹣a，整数解为5，6，7，8，∴8＜2﹣a≤9，解得：﹣7≤a＜﹣6．故选：A．4．在面积为621的平行四边形ABCD中，分别过点A作直线BC的垂线AE，垂足为E，作直线CD的垂线AF，垂足为F．若AB=37，BC=27，则CE+CF的值为（）A．57+10B．57−10C．57+10或2+7D．57+10或57−10解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD=37，BC＝AD=27，∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF=621，∴AE＝33，AF＝23，①如图1，∠BAD为锐角时，在Rt△ABE中，BE=B2−B2=(37)2−(33)2=6，在Rt△ADF中，DF=B2−B2=(27)2−(23)2=4，∴CE+CF＝BC+BE+CD+DF＝27+6+37+4＝57+10；②如图2，∠BAD为钝角时，同①得：BE＝6，DF＝4，∴CE+CF＝BE﹣BC+CD﹣DF＝6﹣27+37−4＝2+7；综上所述，CE+CF的值为57+10或2+7，故选：C．5．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0有两个不相等的正整数根，则m的值为（）A．2B．1C．2−13D．2或1解：∵方程mx2﹣（m+2）x+2＝0是一元二次方程，∴m≠0，∵mx2﹣（m+2）x+2＝0，∴（mx﹣2）（x﹣1）＝0，∴x＝1或x=2，∵方程有两个不相等的正整数根，∴2≠1，2是正整数，∴m＝1．故选：B．6．已知非零实数a，b，c满足ab=13（a+b），bc=14（b+c），ca=15（c+a），则K=（）A．1B．3C．4D．6解：∵ab=13（a+b），bc=14（b+c），ca=15（c+a），∴r B=3，r B=14，r B=15，即1+1=3①，1+1=4②，1+1=5③，①+②+③，得2（1+1+1）＝12，∴1+1+1=6④．④﹣①，得1=3，解得c=13，④﹣②，得1=2，解得a=12，④﹣③，得1=1，解得b＝1，∴K=112−13=6．故选：D．7．已知α、β是方程x2﹣7x+8＝0的两根，且α＞β，则2+3β2的值为（）A．18（403﹣8517）B．14（403﹣8517）C．95D．17解：设p=2+3β2，q=2+3α2，∴p+q=2(rp B+3（α+β）2﹣6αβp﹣q=2(Kp B+3（β﹣α）（β+α）∵α、β是方程x2﹣7x+8＝0的两根，∴α+β＝7，αβ＝8，∴（α﹣β）2＝（α+β）2﹣4αβ＝17，∵α＞β，则α﹣β=17，代入后得p+q=4034，p﹣q=+3×（−17）×7∴p=18（403﹣8517）即则2+3β2=18（403﹣8517）．故选：A．8．多项式2x2﹣4xy+4y2+6x+25的最小值为（）A．4B．5C．16D．25解：∵2x2﹣4xy+4y2+6x+25，＝x2﹣4xy+4y2+（x2+6x+9）+16，＝（x﹣2y）2+（x+3）2+16，∴多项式的最小值为16．故选：C．二．多选题（共3小题）（多选）9．已知点A是⊙O外一点，且OA＝3，则⊙O的半径可能是（）A．2B．3C．4D．1解：∵点A是⊙O外一点，且OA＝3∴⊙O的半径小于3，观察四个选项，选项A、D符合题意，故选：AD．（多选）10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中正确的是（）A．abc＞0B．（a+c）2﹣b2＝0C．9a+4c＜0D．若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x=−2=−2，∴b＝4a＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＜0，∴abc＜0，故选项A错误．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，OA＝5OB，∴点B坐标为（1，0），∴x＝1时，y＝a+b+c＝0，∴（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a﹣b+c）＝0，故选项B正确．。
高一新生分班考试数学试卷含答案
CB高一新生分班考试数学试卷（含答案）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（每题5分，共40分） 1．化简=-2aa （ ）A ．aB ．a -C ．aD ．2a2．分式1||22---x x x 的值为0，则x 的值为 （ ）A ．21或-B ．2C ．1-D ．2-3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点。
若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3， 则tan C 等于 （ ）A ．43 B ．35 C ．34 D ．45 4．如图，P A 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，AC 是直径，∠P = 40°，则∠BAC =（ ）A ．040 B ．080 C ．020 D ．0105．在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是 （ ）A ．21 B ．165 C ．167 D ．436．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为( ) A . 6B.4C .5D . 37．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动B CD CB A 路线是A →D →C →B →A ,设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是 ( )8.若直角坐标系内两点P 、Q 满足条件①P 、Q 都在函数y 的图象上②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数y 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看作同一个“友好点对”）。
已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=02101422x xx x x y ，，,则函数y 的“友好点对”有（ ）个A ．0 B.1 C. 2 D.3注意：请将选择题的答案填入表格中。
高一入学分班考数学试题含答案
高一入学分班考试一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.下列运算正确的是(）A 、932=-B、()842=-C 、()932-=-D、16214=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2.函数x y 2=与xy 18=的的图象相交于A 、B 两点(其中A 在第一象限)，过A 作AC 垂直于x 轴，垂足为C ，则△ABC 的面积等于()A 、18B、9C、12D、63.若a，b 为实数，满足b b a a +-=-+1111，则(1+a +b）（2-a-b)的值是(）A 、-1B、0C、1D、24.如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是()5.如图，己知直角三角形ABC 中，斜边AB=35，一个边长为12的正方形CDEF 内接于△ABC，则△ABC 的周长为(）A 、81B、84C、85D、886.有20个同学排成一行，若从左往右隔1人报数，小李报8号，若从右往左隔2人报数，小陈报6号，那么，小陈开始向小李逐一报数，小李报的号数是()A 、11B、12C、13D 、147.图中不是正方形的侧面展开图的个数为（）A 、l B、2C、3D、48.张华同学从家里去学校，开始选匀速步行，走了一段路后，发觉照这样走下去会迟到，于是匀速跑完余下的路程，下面坐标系中，横轴表示该同学从家出发后的时间t ，纵轴表示张华离学校的路程S ，则S 与t 之间函数关系的图像大致是(）9.令a=0.12345678910111213……998999，其中的数字是由依次写下正整数1至999得到的，则小数点右边第2008位数字是(）A、0B、5C、7D、910.若不等式ax2+7x -1>2x +5对11≤≤-a 恒成立，则x 的取值范围是(）A 、-1＜x＜1B、-1≤x≤1C、2＜x＜3D、2≤x≤3二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.把答案填在题中横线上.11.计算：()()202260tan 13321---+-=。
区高一新生入学分班考试数学试题及答案
区高一新生入学分班考试数学试题及答案高一新生入学分班考试数学试题总分：150分，时长：120分钟第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.下列运算正确的是（）。
A。
a·a=aB。
a÷a4=a2C。
a3+a3=2a6D。
(a3)2=a62.一元二次方程2x2-7x+k=0的一个根是x1=2，则另一个根和k的值是()A。
x2=1，k=4B。
x2=-1，k=-4C。
x2=2/3，k=6D。
x2=-2/3，k=-63.如果关于x的一元二次方程x-kx+2=0中，k是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该二次方程有两个不等实数根的概率P=()A。
2/3B。
1/2C。
1/3D。
1/64.二次函数y=-x2-4x+2的顶点坐标、对称轴分别是()A。
(-2,6)，x=-2B。
(2,6)，x=2C。
(2,-6)，x=-2D。
(-2,-6)，x=25.已知关于x的方程5x-4+a=0无解，4x-3+b=0有两个解，3x-2+c=0只有一个解，则化简a-c+c-b-a-b的结果是（）A。
2aB。
2bC。
2cD。
06.在物理实验课上，XXX用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（）见原图）7.下列图中阴影部分的面积与算式|3/1|+(4/2)+2-1的结果相同的是（见原图）8.已知四边形S1的两条对角线相等，但不垂直，顺次连结S1各边中点得四边形S2，顺次连结S2各边中点得四边形S3，以此类推，则S2006为（）A。
是矩形但不是菱形；B。
是菱形但不是矩形；C。
既是菱形又是矩形；D。
既非矩形又非菱形。
9.如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=α，∠ABC=β。
2024年秋季高一入学分班考试数学试题与答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：1502024年秋季高一入学分班考试数学试题分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B = （ ） A ．{}1,2,3,4 B ．{}1,4C ．{}2,3D ．∅22x =−，则x 的值可以是（ ）A ．2−B ．1−C ．1D ．23．“2x =”是“24x =”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知二次函数2y ax bx c ++的图象的顶点坐标为(2,1)−，与y 轴的交点为(0,11)，则（ ）A ．3,12,11a b c ==−=B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==−= D ．1,4,11a b c ==−= 5．把2212x xy y −++分解因式的结果是（ ） A ．()()()112x x y x y +−++ B ．()()11x y x y ++−− C ．()()11x y x y −+−−D ．()()11x y x y +++−6．已知命题p ：1x ∃>，210x ，则p ¬是（ ） A ．1x ∀>，210x B ．1x ∀>，210x +≤ C ．1x ∃>，210x +≤ D ．1x ∃≤，210x +≤7．函数y =） A ．[]3,3−B ．()3,1(1,3)−∪C ．()3,3−D ．()(),33,−∞−+∞8．若实数a b ，且a ，b 满足2850a a −+=，2850b b −+=，则代数式1111b a a b −−+−−的值为（ ） A ．-20B ．2C ．2或-20D ．2或20二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数()y f x =的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A ．x ∀∈R ，2210x x ++≥ B ．x ∃∈N ，2x 为偶数 C ．所有菱形的四条边都相等 D ．π是无理数11．下列结论中，错误的结论有（ ）A ．()43y x x =−取得最大值时x 的值为1 B ．若1x <−，则11x x ++的最大值为－2C ．函数()f x =的最小值为2D ．若0a >，0b >，且2a b +=，那么12a b+的最小值为3+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若多项式3x x m ++含有因式22x x −+，则m 的值是 ．13．不等式20ax bx c ++>的解集是(1,2)，则不等式20cx bx a ++>的解集是（用集合表示） ． 14．对于每个x ，函数y 是16y x =−+，22246y x x =−++这两个函数的较小值，则函数y 的最大值是 .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）解下列不等式：(1)2320x x −+−≥； (2)134x x −+−≥； (3)11.21x x −≤+16．（15分）设全集R U =，集合{}|15Ax x =≤≤，集合{|122}B x a x a =−−≤≤−．(1)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围； (2)若命题“x B ∀∈，则x A ∈”是真命题，求实数a 的取值范围．17．（15分）已知集合{}{}210,20A x ax B x x x b =−==−+=.(1)若{}3A B ∩=，求实数,a b 的值及集合,A B ； (2)若A ≠∅且A B B ∪=，求实数a 和b 满足的关系式.18．（17分）已知22y x ax a =−+.(1)设0a >，若关于x 的不等式23y a a <+的解集为{},12|A Bx x =−≤≤，且x A ∈的充分不必要条件是x B ∈，求a 的取值范围；(2)方程0y =有两个实数根12,x x ， ①若12,x x 均大于0，试求a 的取值范围；②若22121263x x x x +=−，求实数a 的值．19．（17分）我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的14．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过20立方米，则水价为每立方米3元；第二档，若每户每月用水超过20立方米，但不超过30立方米，则超过部分水价为每立方米4元；第三档，若每户每月用水超过30立方米，则超过部分水价为每立方米7元，同时征收其全月水费20%的用水调节税．设某户某月用水x立方米，水费为y元．(1)试求y关于x的函数；(2)若该用户当月水费为80元，试求该年度的用水量；(3)设某月甲用户用水a立方米，乙用户用水b立方米，若,a b之间符合函数关系：247530=−+−．则当b a a两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共402024年秋季高一入学分班考试数学答案分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1 2 3 4 5 6 7 8 CDBADBCA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9 10 11 BDACABCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．2 13．1|12x x <<6四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（13分）【解析】（1）2320x x −+−≥可化为2320,(1)(2)0x x x x −+≤∴−−≤， 所以解为1 2.x ≤≤（3分）（2）当1x <时，不等式可化为134x x −+−+≥，此时不等式解为0x ≤； 当13x ≤≤时，不等式可化为134x x −−+≥，此时不等式无解； 当3x >时，不等式可化为134x x −+−≥，此时不等式解为4x ≥； 综上：原不等式的解为0x ≤或4x ≥.（9分） （3）原不等式可化为211021x x x +−+≥+，（11分）与()()2120210x x x ++≥+≠同解， 所以不等式的解为：2x ≤−或12x >−.（13分）16．（15分）【解析】（1）由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，得A B ，（2分）又{}|15Ax x =≤≤，{|122}B x a x a =−−≤≤−，因此12125a a −−< −≥ 或12125a a −−≤ −> ，解得7a ≥，所以实数a 的取值范围为7a ≥.（7分）（2）命题“x B ∀∈，则x A ∈”是真命题，则有B A ⊆，（9分） 当B =∅时，122a a −−>−，解得13a <，符合题意，因此13a <；（11分）当B ≠∅时，而{}|15{|122}A x x B x a x a =≤≤=−−≤≤−，， 则11225a a ≤−−≤−≤，无解，（14分） 所以实数a 的取值范围13a <.（15分）17．（15分）【解析】（1）若{}3∩=A B ， 则{}{}2310,320x ax x x x b ∈−=∈−+=，（2分） 所以310,960a b −=−+=，解得1,33a b ==−，（4分） 所以{}{}{}{}2110103,2301,33A x ax x x B x xx =−==−===−−==−，综上：1,33a b ==−，{}{}3,1,3A B ==−；（7分）（2）若A ≠∅，则0a ≠，此时{}110A x ax a=−==，（9分） 又A B B ∪=，所以A B ⊆， 即{}2120x x x b a ∈−+=，（12分）所以2120440b a ab −+= ∆=−≥ ， 所以实数a 和b 满足的关系式为212b a a=−+.（15分）18．（17分）【解析】（1）由23y a a <+，得2223x ax a a a −+<+， 即22230x ax a −−<，即()()30x a x a −+<， 又0a >，∴3a x a −<<，即{}|3A x a x a =−<<，（3分）∵x A ∈的充分不必要条件是x B ∈，∴B 是A 的真子集，则0132a a a >−<− > ，解得0123a a a> > >，则1a >， 即实数a 的取值范围是1a >.（6分） （2）方程为220y x ax a =−+=， ①若12,x x 均大于0则满足21212440200a a x x a x x a ∆=−≥ +=> => ，解得10a a a a ≥≤> > 或， 故1a ≥，即a 的取值范围为1a ≥.（10分）②若22121263x x x x +=−，则()2121212263x x x x x x +−=−， 则()21212830x x x x +−+=，即24830a a −+=，（13分） 即()()21230a a −−=，解得12a =或32a =， 由0∆≥，得1a ≥或0a ≤. 所以32a =，即实数a 的值是32.（17分）19．（17分）【解析】（1）因为某户该月用水x 立方米， 按收费标准可知， 当020x <≤时，3y x =；当2030x <≤时，()203420420y x x ×+−−；当30x >时，[2034(3020)7(30)] 1.28.4132y x x =×+×−+−×=−．（5分）所以3,020420,20308.4132,30x x y x x x x <≤=−<≤ −>（6分）（2）由题可得，当该用户水费为80元时，处于第二档，所以42080x −=， 解得25x =． 所以该月的用水量为25立方米．（10分） （3）因为247530b a a =−+−，所以()2248530244646a b a a a +=−+−=−−+≤．（13分）当24a =时，()46max a b +=，此时22b =．（15分）所以此时两户一共需要支付的水费是4242042220144y =×−+×−=元．（17分）。
高一分班数学试题及答案
高一分班数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-6x+8，下列哪个选项是f(x)的对称轴？A. x=-2B. x=3C. x=1D. x=-32. 已知集合A={x|x<0}，B={x|x>1}，则A∩B为：A. {x|x<0}B. {x|x>1}C. {x|0<x<1}D. 空集3. 若a，b，c是等差数列，且a+c=10，b=4，则a+b+c的值为：A. 14B. 16C. 18D. 204. 函数y=f(x)=x^3+1的导数f'(x)为：A. 3x^2+1B. 3x^2C. x^2+1D. 3x^2-15. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的渐近线方程为y=±(b/a)x，则a和b的关系为：A. a=bB. a=-bC. a=2bD. a=-b/26. 已知向量a=(3,-2)，b=(-1,4)，则向量a+b的坐标为：A. (2,2)B. (2,-2)C. (4,2)D. (-4,2)7. 已知等比数列{an}的公比为q，且a1=2，a4=16，则q的值为：A. 2B. 4C. 1/2D. -1/28. 函数y=f(x)=x^2-4x+3的最小值出现在x=：A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a^2+b^2=c^2，三角形ABC的形状为：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定10. 已知函数f(x)=x^3-3x，求f'(1)的值为：A. 0B. -2C. 2D. -6二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(2)的值为______。
12. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求a5的值为______。
13. 已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，求向量a·b的值为______。
新高一入学分班考试试卷
新高一入学分班考试试卷一、下列哪个选项不是高中数学课程通常会涵盖的内容？A. 微积分基础B. 立体几何与解析几何C. 初级统计学与概率论D. 量子物理学入门（答案）D解析：高中数学课程主要涵盖微积分基础、立体几何、解析几何以及初级统计学与概率论等内容，而量子物理学入门通常属于大学物理课程范畴。
二、若a和b为实数，且a>b，则下列哪个不等式一定成立？A. a²>b²B. a³>b³C. |a|<|b|D. √a<√b（答案）B解析：对于实数a和b，若a>b，则a³>b³一定成立。
而a²>b²在a、b异号时不一定成立；|a|<|b|在a、b均为正数时不成立；√a<√b在a、b均为正数且a>b时不成立。
三、下列哪个选项是描述集合A与集合B的并集的正确方式？A. A∩BB. A∪BC. A-BD. B-A（答案）B解析：A∩B表示集合A与集合B的交集，即同时属于A和B的元素；A∪B表示集合A与集合B的并集，即属于A或属于B的所有元素；A-B表示集合A中不属于B的元素；B-A表示集合B中不属于A的元素。
四、若函数f(x)=2x+1，则f(f(x))等于多少？A. 2x+1B. 4x+1C. 4x+3D. 8x+1（答案）C解析：f(f(x))即将f(x)代入f(x)中，即f(2x+1)=2(2x+1)+1=4x+3。
五、下列哪个选项不是描述直线与平面位置关系的正确术语？A. 直线在平面内B. 直线与平面平行C. 直线与平面相交D. 直线与平面垂直且相交（答案）D解析：直线与平面的位置关系主要有三种：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。
而“直线与平面垂直且相交”是直线与平面相交的一种特殊情况，但通常不单独作为一种位置关系来描述。
六、若一个数列的前n项和为Sn，且Sn=n²+1，则数列的第n项an等于多少？A. 2n-1B. 2nC. 2n+1D. 2n-1（当n≥2时）或2（当n=1时）（答案）D解析：数列的第n项an等于前n项和Sn减去前n-1项和S(n-1)。
浙江杭州学军中学2024年新高一分班考试数学试题(原卷版)
学军中学新高一分班考 数学卷一、选择题：本大题有8个小题，每小题3分，共24分.1. 下列四个命题：①平分弦的直径垂直于弦；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧.其中真命题的个数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 如图，在2014年的体育中考中，某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是（ ）A 28，28，1 B. 28，27.5，3 C. 28，28，3 D. 28，27.5，1 3. 已知方程组32342321x y a x y a −=−−=− 的解满足x y >，则a 的取值范围是（ ） A. 1a > B. 1a < C. 5a > D. 5a < 4. 如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使BBBB =2BBDD ，连接AC ，5tan 3B =，则tan CAD ∠的值是（ ）AB. C. 13 D. 15 5. 如图，在Rt ABC △中，,,90AC BC ACB ∠=°，四边形,DEFG GHIJ 均为正方形，点E 在AC 上，点I 在BC 上，J 为边DG 的中点，则GH 的长为（ ）..A. 1921B. 1C. 6077D. 1002596. 如图，正方形OABC 的一个顶点O 是平面直角坐标系的原点，顶点A ，C 分别在y 轴和x 轴上，P 为边OC 上的一个动点，且BP PQ ⊥ ，BP PQ = ，当点P 从点C 运动到点O 时，可知点Q 始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（ ）A. 线段B. 圆弧C. 抛物线的一部分D. 不同于以上的不规则曲线 7. 如图，以点()5,0M −为圆心，4为半径的圆与x 轴交于A ，B 两点，P 是☉M 上异于A ，B 的一动点，直线PA ，PB 分别交y 轴于点C ，D ，以CD 为直径的☉N 与x 轴交于点E ，F 则EF 的长为（ ）A. B. C. 6 D. 随P 点位置而变化 8. 已知二次函数图象的对称轴为1x =，且过点(3,0)A 与()0,1.5B ，则下列说法中正确的是（ ）① 当01x ≤≤时，函数有最大值2；② 当01x ≤≤时，函数有最小值2−； ③ P 是第一象限内抛物线上的一个动点，则PAB 面积的最大值为32； ④ 对于非零实数m ，当11x m >+时，y 都随着x 的增大而减小.A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ②③④二、填空题：本大题有8个小题，每小题5分，共40分9. 已知a 是实数，且满足(30a −=，则代数式2241a a −+的值是_______________. 10. 已知函数3(1)()=+−y k x x k ，下列说法：①方程3(1)()3k x x k+−=−必有实数根；②若移动函数图象使其经过原点，则只能将图象向右移动1个单位；③当3k >时，抛物线顶点在第三象限；④若0k <，则当1x <−时，y 随着x 的增大而增大，其中正确的序号是_______________.11. 如图，COD 是AOB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，若点C 恰好落在AB 上，且∠AOD 的度数为90°，则∠B 的度数是_______.12. 如图，在5×5的正方形网格中，△ABC 为格点三角形（顶点都在格点上），则图中与△ABC 相似的最小的三角形与最大的三角形的面积比值为______.13. 如图，边长为2的等边ABC 的顶点A 、B 分别在MON ∠的两边上滑动，当45MON ∠=°时，点O 与点C 的最大距离是________.14. 如图，正方形ABCD 的边长为4，点O 是对角线AC ，BD 的交点，点E 为边CD 的中点，连接BE ，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为F ，连结OF ，则OF 的长为______.15. 如图，矩形ABCD 为☉O的内接矩形，3AB BC =，点E 为弧BC 上一动点，把弓形沿AE 折叠，使点O 恰好落在弧AE 上，则图中阴影部分的面积为________.16. 已知A 是双曲线2y x=在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边三角形ABC ，点C 在第四象限，已知点C 的位置始终在一函数图象上运动，则这函数解析式是________.三、解答题：本大题有5个小题，共56分.17. 如图，已知∠A ，请你仅用尺规，按下列要求作图和计算（保留作图痕迹，不写画法）：（1）选取适当边长，在所给的∠A 图形上画一个含∠A 的直角三角形ABC ，并标上字母，其中点C 为直角顶点，点B 为另一锐角顶点；（2）以AC 为一边作等边△ACD ；（3）若设∠A =30°，BC 边长为a ，则BD 的长为__________________.18. 如图，PB 为O 的切线，B 为切点，过B 做OP 的垂线BA ，垂足为C ，交O 于点A ，连接P A 、AO ，并延长AO 交O 于点E ，与PB 的延长线交于点D.的（1）求证：P A 是O 切线；（2）若23OC AC =，且OC =4，求P A 的长和tan D 的值. 19. 已知：如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC =12cm ，BD =16cm.点P 从点B 出发，方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，直线EF 从点D 出发，沿DB 方向匀速运动，速度为1cm/s ，EF ⊥BD ，且与AD ，BD ，CD 分别交于点E ，Q ，F ；当直线EF 停止运动时，点P 也停止运动.连接PF ，设运动时间为t （s ）（08t <<）.解答下列问题：（1）当t 为何值时，四边形APFD 是平行四边形？（2）设四边形APFE 的面积为y （2cm ），求出y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使S 四边形APFE ：S 菱形ABCD =17：40？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由.20. 为控制H7N9病毒传播，某地关闭活禽交易，冷冻鸡肉销量上升.某公司在春节期间采购冷冻鸡肉60箱销往城市和乡镇.已知冷冻鸡肉在城市销售平均每箱利润y 1（百元）与销售数量x （箱）的关系为()()115,0201017.5,206040x x y x x +<< = −+≤< ，在乡镇销售平均每箱的利润2y （百元）与销售数量t （箱）的关系为()()26,03018,306015t y t t << = −+≤<（1）t 与x 的关系是：将2y 转化为以x 为自变量的函数，则2y 等于？（2）设春节期间售完冷冻鸡肉获得总利润W （百元）当在城市销售量x （箱）的范围是020x <<时，求W 与x 的关系式；（总利润=在城市销售利润+在乡镇销售利润）的的（3）经测算，在20x 30<≤的范围内，可以获得最大总利润，并求出此时x 的值.21. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()2,2−，点B 的坐标为（6,6），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点E .（1）求点E 的坐标；求抛物线的函数解析式；（2）点F 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线EF 与抛物线交于M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求△BON 的面积的最大值，并求出此时点N 的坐标；（3）连结AN ，当△BON 面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP 与△OAN 相似（点B 、O 、P 分别与点O 、A 、N 对应）的点P 的坐标.。
新高一入学分班考数学卷(参考答案)
新高一入学分班考数学卷（名校版）参考答案一、选择题1．当m＜﹣1时，方程（m3+1）x2+（m2+1）x=m+1的根的情况是（）A．两负根B．两异号根，且正根的绝对值较大C．两正根D．两异号根，且负根的绝对值较大【分析】首先将方程整理为一般形式，进而利用根据根与系数的关系以及因式分解的应用，分析各式子的符号，进而得出答案．【解答】解：∵（m3+1）x2+（m2+1）x=m+1，∴（m3+1）x2+（m2+1）x﹣（m+1）=0，∴x1x2====，∵m＜﹣1，∴m2﹣m+1＞0，∴x1x2＜0，∴方程由两异号根，∵x1+x2=﹣=，∵m＜﹣1，∴m2﹣m+1＞0，m+1＜0，﹣（m2+1）＜0，∴x1+x2＞0，∴正根的绝对值较大．故选：B．2．对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数例如[3.14]=3，[﹣7.59]=﹣8，则关于x的方程[]=4的整数根有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据取整函数的定义可知，4≤＜5，解此方程组即可．【解答】解：∵[]=4，∴4≤＜5，∴，∴，即7≤x＜，故x的正数值为7，8，9．故选B．3．+的最小值为（）A．B． C． D．均不是【分析】根据题意结合两点之间距离求法，利用轴对称求出最短路线进而得出答案．【解答】解：原式=+，即x轴上的点到（﹣1，1）和（2，4）的距离之和的最小值画图可知，点（4，2）关于x轴的对称点（4，﹣2）与（﹣1，1）连线与x轴的交点即为所求，此时最小值为：=．故选：B．4．在下列图形中，各有一边长为4cm的正方形与一个8cm×2cm的长方形相重叠．问哪一个重叠的面积最大（）A．B．C．D．【分析】A、阴影部分是长方形，所以长方形的面积等于长和宽的乘积；B、如图，设阴影部分等腰直角的腰为x，根据勾股定理求出x的值，所以，阴影部分的面积等于正方形的面积减去俩个空白三角形的面积；C、图C，逆时针旋转90°从后面看，可与图D对比，因为图C阴影部分的倾斜度比图D阴影部分的倾斜度小，所以，图C中四边形的底比图D中四边形的底小，两图为等高不等底，所以图C阴影部分的面积小于图D阴影部分的面积；D、图D，设阴影部分平行四边形的底为x，根据正方形的面积=阴影部分的面积+两个空白三角形的面积，求出x的值，再得出阴影部分的面积；图A、图C、图D中阴影部分四边形为等高不等底，因为倾斜度不同，所以图D中阴影部分的底最大，面积也就最大；因此，只要比较图B和图D阴影的面积大小，可得到图B阴影部分的面积最大．【解答】解：A、S阴影=2×4=8（cm2）；5．（2016•衡水校级模拟）设全集U=R，集合A={x|}，B={x|1＜2x＜8}，则（C U A）∩B等于（）A．[﹣1，3）B．（0，2]C．（1，2]D．（2，3）【分析】分别解出集合A，B，然后根据集合的运算求解即可．【解答】解：因为集合A={x|}=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），B={x|1＜2x＜8}=（0，3），又全集U=R，∴C U A=（﹣1，2]，∴（C U A）∩B=（0，2]，故选B．6．已知函数f（x）=，则f（f（2））等于（）A．B．2 C．﹣1 D．1【分析】先由解析式求得f（2），再求f（f（2））．【解答】解：f（2）=，f（﹣1）=2﹣1=，所以f（f（2））=f（﹣1）=，故选A．7．设a，b是常数，不等式+＞0的解集为x＜，则关于x的不等式bx﹣a＞0的解集是（）A．x＞B．x＜﹣C．x＞﹣D．x＜8．对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：①（a，b）=（c，d），当且仅当a=c，b=d；②运算“⊗”为：（a，b）⊗（c，d）=（ac+bd，bc﹣ad）；③运算“θ”为：（a，b）θ（c，d）=（a﹣c，b﹣d）．设p，q∈R，若（1，2）⊗（p，q）=（11，2），则（1，2）θ（p，q）（）A．（﹣2，﹣2）B．（3，4）C．（2，1）D．（﹣1，﹣2）【分析】先根据（1，2）⊗（p，q）=（11，2），列方程组求p、q的值，再由规定运算“θ”求（1，2）θ（p，q）的结果．【解答】解：由规定②，得（1，2）⊗（p，q）=（p+2q，2p﹣q），∵（1，2）⊗（p，q）=（11，2），∴（p+2q，2p﹣q）=（11，2），由规定①，得，解得，由规定③，可知（1，2）θ（p，q）=（1，2）θ（3，4）=（1﹣3，2﹣4）=（﹣2，﹣2）．故选A．二、填空题9．已知a2+4a+1=0，且，则m=．【分析】由a2+4a+1=0，得a2=﹣4a﹣1，代入所求的式子化简即可．【解答】解：∵a2+4a+1=0，∴a2=﹣4a﹣1，=====5，∴（16+m）（﹣4a﹣1）+8a+2=5（m﹣12）（﹣4a﹣1），原式可化为（16+m）（﹣4a﹣1）﹣5（m﹣12）（﹣4a﹣1）=﹣8a﹣2，即[（16+m）﹣5（m﹣12）]（﹣4a﹣1）=﹣8a﹣2，∵a≠0，∴（16+m）﹣5（m﹣12）=2，解得m=．故答案为．10．已知（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，则x2+y2的最大值为49．【分析】运用几何意义解答，x2+y2的最大值就是方程（x﹣3）2+（y﹣4）2=4所代表的圆周上的点到坐标原点的距离最大值的平方，从而可得出答案．【解答】解：x2+y2的最大值就是方程（x﹣3）2+（y﹣4）2=4所代表的圆周上的点到坐标原点的距离最大值的平方，连接坐标原点与圆心（3，4）所得的直线与圆的交点，则（x2+y2）min时，|ON|取最小，（x2+y2）max时，|OM|取最大，∵原点与圆心（3，4）的距离+半径（PM）=+2=7，∴（x2+y2）max=72=49．故答案为：49．11．如图正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，△DEF的面积是1，那么正方形ABCD的面积是6．【分析】先设△BEF的面积是x，由于E是BC中点，那么S△DBE=S△DCE，易求S正方形=4（1+x），又四边形ABCD是正方形，那么AD∥BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△BEF∽△DAF，于是S△BEF：S△DAF=（）2，E是BC中点可知BE：AD=1：2，于是S△DAF=4x，进而可得S正方形=S△ABF+S△BEF+S△ADF+S△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x，等量代换可得4（1+x）=1+x+4x+1+1+x，解可求x，进而可求正方形的面积．【解答】解：如右图，设△BEF的面积是x，∵E是BC中点，∴S△DBE=S△DCE，∴S△BCD=2（1+x），∴S正方形=4（1+x），∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEF∽△DAF，∴S△BEF：S△DAF=（）2，∵E是BC中点，∴BE=CE，∴BE：AD=1：2，∴S△DAF=4x，∵S△ABE=S△BED，∴S△ABF=S△DEF=1，∴S正方形=S△ABF+S△BEF+S△ADF+S△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x，∴4（1+x）=1+x+4x+1+1+x，解得x=0.5，∴S正方形=4（1+x）=4（1+0.5）=6．12．如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，且BE平分∠DBC，O是BD中点，直线BE、DG交于H．BD，AH交于M，连接OH，则OH=AB，BM=AB．【分析】易得△BCE≌△DCG，得到∠1=∠2，B，C，H，D四点共圆，得出OH=BD=AB，由E关于BD的对称E′，得到△BEE′是等腰三角形，BM⊥E′E于M，由角平分线到角两边的距离相等得出BM=AB．【解答】解：如图，设EE′与BD交于点M′，∵AD=CD∴AE′=CE=EF，∵∠E′AM′=∠EFM′，∠AM′E′=∠FM′F，∴△AM′E′≌△FM′E（AAS），∴EM′=E′M′，∵ME′=ME∴M与M′重合，∵BC=DC，EC=CG，∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠1=∠2，∴B，C，H，D四点共圆，∴OH=BD=AB，∵E关于BD的对称E′，∵∠3=∠4，BE=BE′，∴△BEE′是等腰三角形，∴BM⊥E′E于M，∴BM=AB．故答案为：AB，AB．13．函数f（x）=λx2+（λ﹣3）x+1对于任意实数x都有f（x）≤f（λ），则函数f（x）的最大值是．【分析】根据函数有最值，首先判断出λ＜0，进而利用二次函数的最值得出f（x）的最大值，使这个最大值与f（λ）相等，解方程即可得出λ的值，进而代入求出f（x）最大值．【解答】解：由题意得，f（x）有最大值，则可得λ＜0，又∵f（x）=λ（x+）2+1﹣，∴f（x）的最大值为1﹣，又∵f（x）≤f（λ），∴f（λ）=λ3+（λ﹣3）λ+1=1﹣，解得：λ=1（舍去）或λ=﹣，将λ=﹣，代入可得f（x）的最大值为．故答案为：．三、解答题14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．【分析】（1）根据待定系数法即可解决问题．（2）求出直线BC与对称轴的交点H，根据S△BDC=S△BDH+S△DHC即可解决问题．（3）由，当方程组只有一组解时求出b的值，当直线y=﹣x+b经过点C时，求出b的值，当直线y=﹣x+b经过点B时，求出b的值，由此即可解决问题．【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2．（2）∵y=x2﹣x+2=（x﹣1）2+．∴顶点坐标（1，），∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3），∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=•3+•1=3．（3）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0，∴b=，当直线y=﹣x+b经过点C时，b=3，当直线y=﹣x+b经过点B时，b=5，∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，∴＜b≤3．15．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．【分析】（1）由圆周角定理可知∠ABC=∠BAC=60°，从而可证得△ABC是等边三角形；（2）由△ABC是等边三角形可得出“AC=BC=AB=2，∠ACB=60°”，在直角三角形PAC 和DAC通过特殊角的正、余切值即可求出线段AP、AD的长度，二者作差即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠ABC=∠APC，∠BAC=∠BPC，∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形．（2）解：∵△ABC是等边三角形，AB=2，∴AC=BC=AB=2，∠ACB=60°．在Rt△PAC中，∠PAC=90°，∠APC=60°，AC=2，∴AP==2．在Rt△DAC中，∠DAC=90°，AC=2，∠ACD=60°，∴AD=AC•tan∠ACD=6．∴PD=AD﹣AP=6﹣2=4．2．（2013•济宁）阅读材料：若a，b都是非负实数，则a+b≥．当且仅当a=b时，“=”成立．证明：∵（）2≥0，∴a﹣+b≥0．∴a+b≥．当且仅当a=b时，“=”成立．举例应用：已知x＞0，求函数y=2x+的最小值．解：y=2x+≥=4．当且仅当2x=，即x=1时，“=”成立．当x=1时，函数取得最小值，y最小=4．16问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升．（1）求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．【分析】（1）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可；（2）经济时速就是耗油量最小的形式速度．【解答】解：（1）∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．∴y=x×（+）=（70≤x≤110）；（2）根据材料得：当时有最小值，解得：x=90∴该汽车的经济时速为90千米/小时；当x=90时百公里耗油量为100×（+）≈11.1升．17．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是CH=AB；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．【分析】（1）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1=∠2；然后根据EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出∠4=∠HBC，即可判断出CH=BC，最后根据AB=BC，判断出CH=AB即可．（2）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1=∠2；然后根据EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出∠4=∠HBC，即可判断出CH=BC，最后根据AB=BC，判断出CH=AB即可．（3）首先根据三角形三边的关系，可得CK＜AC+AK，据此判断出当C、A、K三点共线时，CK的长最大；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△DFK≌△DEH，即可判断出DK=DH，再根据全等三角形判定的方法，判断出△DAK≌△DCH，即可判断出AK=CH=AB；最后根据CK=AC+AK=AC+AB，求出线段CK长的最大值是多少即可．【解答】解：（1）如图1，连接BE，，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∵点E是DC的中点，DE=DF，∴点F是AD的中点，∴AF=CE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE，∴∠1=∠2，∵EH⊥BF，∠BCE=90°，∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC，∴CH=BC，又∵AB=BC，∴CH=AB．故答案为：CH=AB．（2）当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论CH=AB仍然成立．如图2，连接BE，，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∵AD=CD，DE=DF，∴AF=CE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE，∴∠1=∠2，∵EH⊥BF，∠BCE=90°，∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC，∴CH=BC，又∵AB=BC，∴CH=AB．（3）如图3，，∵CK≤AC+AK，∴当C、A、K三点共线时，CK的长最大，∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°，∴∠KDF=∠HDE，∵∠DEH+∠DFH=360°﹣∠ADC﹣∠EHF=360°﹣90°﹣90°=180°，∠DFK+∠DFH=180°，∴∠DFK=∠DEH，在△DFK和△DEH中，∴△DFK≌△DEH，∴DK=DH，在△DAK和△DCH中，∴△DAK≌△DCH，∴AK=CH又∵CH=AB，∴AK=CH=AB，∵AB=3，∴AK=3，AC=3，∴CK=AC+AK=AC+AB=，即线段CK长的最大值是．。
长郡中学2024-2025学年高一上学期入学分班考试数学试卷与答案
时量：90分钟 满分100长郡中学2024-2025学年高一上学期入学分班考试数学试卷分一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符题目要求的.1. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1=万1万，1兆1=万1×万1×亿．若1兆10m=，则m 的值为（ ） A. 4B. 8C. 12D. 162. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒大寒），若从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ） A.12B.112C.16D.143. 如图，矩形ABCD 中，3AB =，1AD =，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 所表示的数为（ ）A. 2B.1−C.D.14. 若关于x 的不等式组()532223x x x x a + ≥−+<+恰好只有四个整数解，则a 的取值范围是（ ）A. 53a <−B. 5433a −≤<− C. 523a −<−≤D. 523a −<<−5. 在ABC ，3AC =，4BC =，5AB =，点P 在ABC 内，分别以A ，B ，P 为圆心画圆，圆A 的半径为1，圆B 的半径为2，圆P 的半径为3，圆A 与圆P 内切，圆P 与圆B 的关系是（ ） A. 内含B. 相交C. 外切D. 相离6. 对于正整数k 定义一种运算：1()[][]44k k f k +=−，例：313(3)[][]44f +=−，[]x 表示不超过x 的最大整数，例：[3.9]3=，[ 1.8]2−=−．则下列结论错误的是（ ） A. ()10f =B. ()0f k =或1C. ()()4f k f k +=D. ()()1f k f k +≥7. 如图，点A 为反比例函数()10y x x=−<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例函数()40yx x=>的图象交于点B ，则AO BO 的值（ ）A12B.14C.D.138. 若二次函数的解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤，且函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，则q 的取值范围是（ ） A. 124q −≤≤B. 50q −≤≤C. 54q −≤≤D. 123q −≤≤二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．9 分解因式：432449a a a −+−=______．10. 直线1:1l y x =−与x 轴交于点A ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转15°，得到直线2l ，则直线2l 对应的函数表达式是______． 11. 若关于x 分式方程22411x a x ax x −−+−=−+的解为整数，则整数a =______． 12. 如图，已知两条平行线1l ，2l ，点A 是1l 上的定点，2AB l ⊥于点B ，点C ，D 分别是1l ，2l 上的动点，且满足AC BD =，连接CD 交线段AB 于点E ，BH CD ⊥于点H ，则当BAH ∠最大时，sin BAH ∠的值为______．..的三、解答题：本题共4小题，共52分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息.a 教师评委打分：86 88 90 91 91 91 91 92 92 98b .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组8285x ≤<，第2组8588x ≤<，第3组8891x ≤<，第4组9194x ≤<，第5组9497x ≤<，第6组97100x ≤≤）；平均数中位数众数教师评委 91 91 m 学生评委90.8n93c .评委打分的平均数、中位数、众数如上： 根据以上信息，回答下列问题：①m 的值为______，n 的值位于学生评委打分数据分组的第______组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，则x ______91（填“>”“=”或“<”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决.赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 乙 91 92 92 92 92 丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k （k 为整数）的值为______.14. 根据以下素材，探索完成任务——如何设计摇椅的椅背和坐垫长度？素材一：某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中FC 为椅背，EC 为坐垫，C ，D 为焊接点，且CD 与AB 平行，支架AC ，BD 所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O ．设计方案中，要求A ，B 两点离地面高度均为5厘米，A ，B 两点之间距离为70厘米；素材二：经研究，53OCF ∠=°时，舒适感最佳．现用来制作椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求： （1）椅背长度小于坐垫长度；（2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A 时（如图3），F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米．（sin530.8°≈，cos530.6°≈，tan53 1.3°≈）任务：（1）根据素材求底座半径OA ； （2）计算图3中点B 距离地面的高度；（3）①求椅背FC 的长度范围；（结果精确到0.1m ） ②设计一种符合要求的方案．15. 定义：在平面直角坐标系中，直线x m =与某函数图象交点记为点P ，作该函数图象中点P 及点P 右侧部分关于直线x m =的轴对称图形，与原函数图象上的点P 及点P 右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线x m =的“迭代函数”．例如：图1是函数1y x =+的图象，则它关于直线0x =的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为()()10,10.x x y x x +≥ =−+<（1）函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为______．（2）若函数243y x x =−++关于直线x m =的“迭代函数”图象经过()1,0−，则m =______． （3）已知正方形ABCD 的顶点分别为：(),A a a ，(),B a a −，(),C a a −−，(),D a a −，其中0a >．①若函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，求a 的值； ②若6a =，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，求n 的取值范围．16. 已知抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于点()1,0A −，()3,0B ．（1）如图1，抛物线与y 轴交于点C ，点P 为线段OC 上一点（不与端点重合），直线PA ，PB 分别交抛物线于点E ，D ，设PAD △面积为1S ，PBE △面积为2S ，求12S S 的值； （2）如图2，点K 是抛物线对称轴与x 轴的交点，过点K 的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M ，N ，过抛物线顶点G 作直线//l x 轴，点Q 是直线l 上一动点求QM QN +的最小值．的一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符题目要求的.1. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1=万长郡中学2024-2025学年高一上学期入学分班考试数学试卷答案1万，1兆1=万1×万1×亿．若1兆10m=，则m 的值为（ ） B. 8 C. 12 D. 16【分析】由指数幂的运算性质即可求解. 【详解】1万=410，所以1亿=810A. 4【答案】D， 所以1兆=8816101010×=， 所以16m =. 故选：D2. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒大寒），若从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ） A.12B.112C.16D.14【详解】从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为【答案】D 【分析】根据概率的计算公式即可求解.61244=， 故选：D3. 如图，矩形ABCD 中，3AB =，1AD =，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 所表示的数为（ ）B.1−C.D.1【分析】利用勾股定理和数轴的知识求得正确答案A. 2【答案】B.【详解】由于AC =，所以点M所表示的数为)231+−=−.故选：B4. 若关于x 的不等式组()532223x x x x a + ≥−+<+恰好只有四个整数解，则a 的取值范围是（ ）A. 53a <−B. 5433a −≤<− C. 523a −<−≤D. 523a −<<−【分析】化简不等式组，由条件列不等式求a 的取值范围【答案】C. 【详解】解不等式532x x +≥−，得11x ≤， 解不等式()223x x a +<+，得23x a >−， 由已知可得7238a ≤−<， 所以523a −<−≤.故选：C.5. 在ABC ，3AC =，4BC =，5AB =，点P 在ABC 内，分别以A ，B ，P 为圆心画圆，圆A 的半径为1，圆B 的半径为2，圆P 的半径为3，圆A 与圆P 内切，圆P 与圆B 的关系是（ ） B. 相交 C. 外切 D. 相离A. 内含【答案】B【分析】由题意条件分析两圆圆心距与两半径和差的大小关系即可得. 【详解】由圆A 与圆P 内切，则312PA =−=，5AB =， 又点P 在ABC 内，则PA PB AB +>，且PB AB <， 所以523PB AB PA >−=−=，且5PB <， 则3232PB −<<+，由圆B 的半径为2，圆P 的半径为3， 所以圆P 与圆B 相交. 故选：B.6. 对于正整数k 定义一种运算：1()[][]44k k f k +=−，例：313(3)[][]44f +=−，[]x 表示不超过x 的最大整数，例：[3.9]3=，[ 1.8]2−=−．则下列结论错误的是（ ） A. ()10f =B. ()0f k =或1C. ()()4f k f k +=D. ()()1f k f k +≥【详解】对于A ，【答案】D 【分析】根据给定的定义，逐项计算判断即可.11(1)[][]00024f =−=−=，A 正确； 对于B ，取4,1,2,3,4k n i i =+=，n 为自然数， 当4i =时，1()[1][1][1]044f k n n ++−+，当3i =时，33()[1][]1([])144f k n n n n =+−+=+−+=，当1,2i =时，11()[][][]([])04444i i i if k n n n n ++=+−+=+−+=，B 正确； 对于C ，11(4)[1][1]1[](1[])()4444k k k kf k f k +++=+−+=+−+=，C 正确； 对于D ，414313(31)[][]0,(3)[][]14444f f +++=−==−=，即(31)(3)f f +<，D 错误.故选：D7. 如图，点A 为反比例函数()10y x x=−<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例函数()40yx x=>的图象交于点B ，则AO BO 的值（ ）A.12B.14C.D.13【分析】设【答案】A121214,,,A x B x x x −，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ，由AO BO ⊥，得∽∠ AOE OBF ，由==AEEO AO OFBF BO，可得答案. 【详解】设AA �xx 1,−1xx 1�,BB �xx 2,4xx 2�(xx <0,xx 2>0)，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ， 且()()12,0,,0E x F x ，因为AO BO ⊥，所以,∠=∠∠=∠AOE OBF OAE BOF ， 所以∽∠ AOE OBF ，所以AE EO OF BF =，可得112214−−=x x x x ，即22124x x =，所以122x x =−， 所以12121211==−==−=A Ex x x OA BO OFx.故选：A.8. 若二次函数的解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤，且函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，则q 的取值范围是（ ） A. 124q −≤≤ B. 50q −≤≤C. 54q −≤≤D. 123q −≤≤【答案】A 【分析】由二次函数解析式可求得对称轴为x =m +1，进而可得412p p m ++=+，由函数图象过点(),p q ，可得2(1)4q m =−−+，可求q 的取值范围.【详解】因为二次函数解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤， 所以二次函数的对称轴为1x m =+，函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，故点(),p q 和点()4,p q +关于直线1x m =+对称， 所以412p p m ++=+，所以1[0,4]p m −∈， 又()()()()2222121223(1)4q p m p m m m m m m =−−=−−−−=−++=−−+， 当1m =，max 4q =，当5m =，min 12q =−，所以124q −≤≤. 故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．9. 分解因式：432449a a a −+−=______． 【答案】2(23)(1)(3)a a a a −++−【详解】【分析】根据给定条件，利用公式法及十字相乘法分解因式即可得解.43222222449(2)9(23)(23)(23)(1)(3)a a a a a a a a a a a a a −+−=−−=−+−−=−++−. 故答案为：2(23)(1)(3)a a a a −++−的10. 直线1:1l y x =−与x 轴交于点A ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转15°，得到直线2l ，则直线2l 对应的函数表达式是______．【答案】y=【详解】直线【分析】先求得l 2的倾斜角，进而求得直线l 2对应的函数表达式.1:1l y x =−与x 轴交于点 1,0A ， 直线1:1l y x =−的斜率为1，倾斜角为45°， 所以2l 的倾斜角为60°所以直线2l对应的函数表达式是)1y x =−=.故答案为：y=−22411x ax a x x −−+−=−+的解为整数，则整数a =______．【分析】由分式方程有意义可知1x ≠且1x ≠−，再化简方程求解11. 若关于x 的分式方程【答案】±12x a=，由,a x 均为整数可求.【详解】则方程241x a x −−−1x ≠且1x ≠−. 方程可化为222211x a x ax x −−+−=+−+，即2211a a x x −+=−+， 解得2x a=，由1x ≠且1x ≠−，所以2a ≠且2a ≠−.由a 为整数，且x 为整数，则当1a =−，2x =−，或当1a =，2x =时满足题意. 所以1a =±. 故答案为：1±.12. 如图，已知两条平行线1l ，2l ，点A 是1l 上的定点，2AB l ⊥于点B ，点C ，D 分别是1l ，2l 上的动点，且满足AC BD =，连接CD 交线段AB 于点E ，BH CD ⊥于点H ，则当BAH ∠最大时，sin BAH ∠的值为______．【答案】13【分析】因为BH CD ⊥于点H ，所以点 H 在以BE 为直径的圆上运动, 当 AH 与圆 O 相切时, BAH ∠ 最大，据此在OHA 求解即可. 【详解】12//,//,AC BD l l∴ 四边形 ACBD 是平行四边形 12AE BE AB ∴==A 为定点, 且 2//AB l AE ∴ 为定值,BH CD ⊥ 90BHE ∠∴=, 如图，取BE 的中点O ,则点 H 在以BE 为直径的圆上运动,此时 1123OE BE OA ==, 当 AH 与圆 O 相切时, BAH ∠ 最大1sin 3OH BAH OA ∠∴==故答案为：13.三、解答题：本题共4小题，共52分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息.a .教师评委打分：86 88 90 91 91 91 91 92 92 98b .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组8285x ≤<，第2组8588x ≤<，第3组8891x ≤<，第4组9194x ≤<，第5组9497x ≤<，第6组97100x ≤≤）；平均数中位数众数教师评委 91 91 m 学生评委90.8n93c .评委打分的平均数、中位数、众数如上： 根据以上信息，回答下列问题：①m 的值为______，n 的值位于学生评委打分数据分组的第______组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，则x ______91（填“>”“=”或“<”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评1评委2评委3评委4评委5甲 93 90 92 93 92 乙9192929292丙 90 94 90 94 k则1(8890919191919292)90.758x =×+++++++=，91x ∴<.【小问2详解】甲选手的平均数为1(9390929392)925×+++=， 乙选手的平均数为1(9192929292)91.85×++++=， 因为丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，所以三位选手中排序最靠前的是甲，且丙的平均数大于或等于乙的平均数， 因为5名专业评委给乙选手的打分为91,92,92,92,92， 乙选手的方差2221[4(9291.8)(9191.8)]0.165S =××−+−=乙， 5名专业评委给丙选手的打分为90,94,90,94,k ， 所以乙选手的方差小于丙选手的方差，所以丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，∴9390929392909490949192929292k ++++≥++++>++++，9291k ∴≥>， k 为整数，若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k （k 为整数）的值为______.【答案】（1）①91；4；②<（2）甲；92【分析】（1）①根据众数以及中位数的定义解答即可；②根据算术平均数的定义求出8名教师评委打分的平均数，即可得出答案；（2）根据方差的定义和平均数的意义求解即可.【小问1详解】①由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数m =91；45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n 的值位于学生评委打分数据分组的第4组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，k ∴的值为92.14. 根据以下素材，探索完成任务——如何设计摇椅的椅背和坐垫长度？素材一：某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中FC 为椅背，EC 为坐垫，C ，D 为焊接点，且CD 与AB 平行，支架AC ，BD 所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O ．设计方案中，要求A ，B 两点离地面高度均为5厘米，A ，B 两点之间距离为70厘米；素材二：经研究，53OCF ∠=°时，舒适感最佳．现用来制作椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求： （1）椅背长度小于坐垫长度；（2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A 时（如图3），F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米．（sin530.8°≈，cos530.6°≈，tan53 1.3°≈）任务：（1）根据素材求底座半径OA ； （2）计算图3中点B 距离地面的高度；（3）①求椅背FC 的长度范围；（结果精确到0.1m ） ②设计一种符合要求的方案． 【答案】（1）125厘米；（3）①64.580FC ≤<；②70cm ，90cm （答案不唯一）．【分析】（1）根据四边形AHNB 为矩形，35AG BG ==厘米，5AH GM ==厘米，设底座半径（2）19.6厘米OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，由勾股定理求出r 即可得出答案；（2）由四边形ANBK 为矩形，进而得AK BN h ==，()125cm,125cm OK h OB =−=，然后在直角三角形中由勾股定理列出关于h 的方程，解方程求出h 即可得出答案；（3）①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，先求出cos cos 0.28QCD OAB ∠=∠=，设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =−，即可得0.60.28(160)12x x −−≥，由此解得64.5x ≥，据此可得椅背FC 的长度范围；②在①中椅背FC 的长度范围任取一个FC 的值，再计算出EC 的值即可，例如取70FC =厘米，则1607090EC =−=（厘米）；（答案不唯一，只要在FC 的长度范围内即可）． 【小问1详解】过点A 作AH 垂直地面于H ，过点O 作OG AB ⊥于G ，OG 的延长线于地面交于点M ，如图所示：AB 平行于地面，∴四边形AHNB 为矩形，1352AG BG AB ===厘米， 5AH GM ==厘米，设底座半径OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，(5)OG OM GM r ∴=−=−厘米，在Rt OAG ∆中，OA r =厘米，35AG =厘米，(5)OGr =−厘米， 由勾股定理得：222OA OG AG =+，即：222(5)35r r =−+， 解得：125r =，∴底座半径OA 的长度为125厘米；【小问2详解】过点B 作BN 垂直地面于N ，BK OA ⊥于K ，如图所示：设BN h =，底座与地面相切于点A ，OA ∴垂直地面于点A ，∴四边形ANBK 为矩形，AK BN h ∴==，由任务一可知：125cm,125OA OB OK OA AK h ==∴==--， 在Rt ABK △中，cm,=70cm AK h AB =， 由勾股定理得：2222270BK AB AK h =−=−，在Rt OBK 中，()125cm,125cm OK h OB =−=， 由勾股定理得：22222125(125)BK OB OK h =−=−−，222270125(125)h h ∴−=−−，解得：19.6h =，∴点B 距离地面的高度为19.6厘米；【小问3详解】①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，如图所示：//CD AB ，QCD OAB ∴∠=∠，由任务②可知：19.6AK h ==厘米，70AB =厘米， 在Rt ABK △中，19.6cos 0.2870AK OAB AB ∠===， cos cos 0.28QCD OAB ∴∠=∠=，椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米， ∴设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =−， 椅背长度小于坐垫长度，160x x ∴<−，解得：80x <，在Rt CQE △中，cos 0.28CQQCD CE∠==， 0.280.28(160)CQ CE x ∴==−厘米，在Rt CFP △中，cos CPOCF CF∠=， cos cos530.6CP CF OCF x x ∴=⋅∠=⋅°≈（厘米）， F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米，12AP AN ∴−≥，即：()12AC CP AC CQ +−+≥，12CP CQ ∴−≥，0.60.28(160)12x x ∴−−≥，解得：64.5x ≥， 又80x < ，64.580x ∴≤≤，即：64.580FC ≤≤，∴椅背FC 的长度范围是：64.580FC ≤<；②由于64.580FC ≤<，故取70cm FC =，则1607090cm EC ==-．15. 定义：在平面直角坐标系中，直线x m =与某函数图象交点记为点P ，作该函数图象中点P 及点P 右侧部分关于直线x m =的轴对称图形，与原函数图象上的点P 及点P 右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线x m =的“迭代函数”．例如：图1是函数1y x =+的图象，则它关于直线0x =的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为()()10,10.x x y x x +≥ =−+<（1）函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为______．（2）若函数243y x x =−++关于直线x m =的“迭代函数”图象经过()1,0−，则m =______．（3）已知正方形ABCD 的顶点分别为：(),A a a ，(),B a a −，(),C a a −−，(),D a a −，其中0a >．①若函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，求a 的值； ②若6a =，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，求n 的取值范围．【答案】（1）1,13,1x x y x x +≥ =−+<（2）m =m =，()5,1,12−∞−∪−.【分析】（1）取点()2,3M ，()3,4N ，求两点关于1x =的对称点，利用待定系数法求左侧图象的解析式，（3）①3；②由此可得结论；（2）判断点()1,0−与函数243y x x =−++的图象的关系，再求()1,0−关于直线x m =的对称点，由条件列方程求m 即可；（3）①求函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的解析式，作函数图象，观察图象确定a 的值； ②分别在0n >，0n =，0n <时求函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”解析式，讨论n ，由条件确定n 的范围.小问1详解】在函数1y x =+的图象上位于1x =右侧的部分上取点()2,3M ，()3,4N ， 点()2,3M 关于直线1x =对称点为(0,3)， 点()3,4N 关于直线1x =的对称点为()1,4−，设函数1y x =+，1x >的图象关于1x =对称的图象的解析式为,1y kx b x =+<， 则34b k b = −+=，解得13k b =− = ，所以函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为1,13,1x x y x x +≥ =−+<；【的【小问2详解】取1x =−可得，2431432y x x =−++=−−+=−， 故函数243y x x =−++的图象不过点()1,0−， 又点()1,0−关于直线x m =的对称点为()21,0m +， 由已知可得()()20214213m m =−++++，1m >−，所以m =或m =，【小问3详解】①当0x >或20x −≤<时，函数6y x =关于直线2x =−的“迭代函数”的图象的解析式为6y x =， 当2x <−时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象上，则点()4,x y −−在函数6y x=的图象上，所以64y x=−−， 所以函数6y x =关于直线2x =−的“迭代函数”的解析式为[)()()6,2,00,6,,24x xy x x∞∞ ∈−∪+ =∈−− −− ， 作函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象如下：观察图象可得3a =时，函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，②若0n >，当x n ≥时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=， 当0x <或0x n <<时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象上，则点()2,n x y −在函数6y x=的图象上，所以62y n x=−， 所以函数6y x =关于直线x n =“迭代函数”的解析式为()()()6,,6,,00,2x n xy x n n x∞∞ ∈+ =∈−∪ − ， 当6n >时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，的当6n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当16n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当1n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有3个公共点，当01n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当0n =时，函数6y x =关于直线xx =0的“迭代函数”的解析式为6,06,0x xy x x> =−< ， 作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，若0n <，当0n x ≤<或0x >时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=， 当x n <时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象上， 则点()2,n x y −在函数6y x=的图象上， 所以62y n x=−，所以函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的解析式为[)()()6,,00,6,,2x n xy x n n x∞∞ ∈∪+ = ∈− − ，当10n −<<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当1n =−时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有5个公共点，当512n−<<−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有6个公共点，当52n=−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有5个公共点，当7522n−<<−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当72n=−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当762n −<<−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n =−时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n <−时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，综上，n 的取值范围为()51,12∞−−∪−，. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.16. 已知抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于点()1,0A −，()3,0B ．（1）如图1，抛物线与y 轴交于点C ，点P 为线段OC 上一点（不与端点重合），直线PA ，PB 分别交抛物线于点E ，D ，设PAD △面积为1S ，PBE △面积为2S ，求12S S 的值； （2）如图2，点K 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，过点K 的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M ，N ，过抛物线顶点G 作直线//l x 轴，点Q 是直线l 上一动点求QM QN +的最小值．【答案】（1）19（2）析式为y px p 【分析】（1）把点A (−1,0)，B (3,0)代入抛物线方程，解出抛物线的解析式，设P (0,p )，求出直线AP 解=+，联立方程223y px p y x x =+ =−++， 可得2(3,4)E p p p −−+，同理可得234(,)393p p pD −−+，即可得1S ，2S ，化简可得结果；（2）作点N 关于直线l 的对称点N ′，连接MN ′，过M 点作MF NN ′⊥于F ，求出(1,0)K ，设直线MN解析式为y kx d =+，把点K 坐标代入即可知直线MN 的解析式y kx k =−，设2(,23)M m m m −++，2(,23)N n n n −++，求出2(,25)N n n n ′−+，可得QM QN QM QN MN ′′+=+≥，结合2(,23)F n m m −++，可得222421780MN MF N F k k =+=++′′，从而得到QM QN +的最小值. 【小问1详解】把点()1,0A −，()3,0B 代入抛物线方程2y x bx c =−++得：10930b c b c −−+= −++=， 解得：23b c = =， 所以抛物线方程为：223y x x =−++， 设(0,)P p ，直线AP 解析式为11y k x b =+， 把点()1,0A −，(0,)P p 代入得：1110k b b p −+= = ， 所以线AP 解析式为y px p =+，联立223y px p y x x =+ =−++ ，解得：10x y =−=或234x p y p p =− =−+ ， 所以2(3,4)E p p p −−+，设直线BP 解析式为22y k x b =+ 把点()3,0B ，(0,)P p 代入得：22230k b b p+= = ， 直线BP 解析式为3py x p =−+ 联立2323p y x p y x x =−+ =−++ ，解得：30x y = = 或233493p x p p y − = =−+可得234(,)393p p p D −−+， 所以221142()2(3)2939ABD ABP D P p p S S S AB y y p p p =−=⋅−=−+−=− ， ()2221()242(3)2ABE ABP E P S S S AB y y p p p p p =−=⋅−=−+−=− ， 所以2122192(3)92(3)S p p S p p −=−= 【小问2详解】作点N 关于直线l 的对称点N ′，连接MN ′，过M 点作MF NN ′⊥于F ，如图：因为2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线223y x x =−++的对称轴为1x =， 所以(1,0)K ，设直线MN 解析式为y kx d =+， 把点(1,0)K 代入得：=0k d +，所以=d k −，所以直线MN 的解析式为y kx k =− 设2(,23)M m m m −++，2(,23)N n n n −++，联立223y x x y kx k =−++ =−，可得2(2)30x k x k +−−−= 则2m n k +=−，3mn k =−−，因为N ，N ′关于直线l ：4y =对称，所以2(,25)N n n n ′−+，则QM QN QM QN MN ′′+=+≥，又2(,23)F n m m −++， 所以222()2N F m n m n +−++′，FM m n =−， 在Rt MFN ′ 中，2222222()2()2MN MF N F m n m n m n =+=−++−++ ′ ′，222()4()22()2m n mn m n mn m n =+−++−−++222(2)4(3)(2)2(3)2(2)2k k k k k =−−−−+−−−−−−+ 421780k k =++所以当0k =时，2MN ′最小为80，此时MN ′=所以QM QN +≥，即QM QN +的最小值为。
上海新高一分班数学试卷及答案(含9份)
2. 一 元二次方程2x2-7x+k=O的 一 个根是X1=2则 ， 另一 个根和k的值是
（
）
A. X2=l , k=4
B. X2= - 1k= -4
C . X2= -3 k=6 2
D. X2＝ 一－k=-6
2
3.如果关于x的 一 元二次方程x2 -k:x+ 2 = 0中，k是投掷假子所得的数字（1, 2, 3, 4, 5, 6），则该二次方程
的表面积是
cm 2 。
门 I I ［丑
门 ｜｜｜｜
正视图
左视图
A. 11 B. 15
c. 18
俯视图 D. 22
第H卷〈答卷〉 二． 填空题〈本大题共5小题， 每小题4分， 共20分〉
11.
函数
’y
＝
丘三中，自变量x的取值范围是
x-2
12.在Rt卒ABC中，正ACB=90 。 ， CD1-AB于D, AC=lO, CD=6，则sinB的值为
有两个不等实数根的概率 P= (
)
A.
-2 3
B.
-1 2
c.
3
4. 二次函数y=-x2-4x+2的顶点坐标、 对称轴分别是（
A. (-2, 6) , x=-2 B. (2, 6) , x=2
C. (2, 6) , x=-2
高中数学：江苏省某中校2024年新高一上学期入学分班考数学试卷
江苏省某中校2024年新高一上学期入学分班考数学试卷满分150 分，考试用时120 分钟一､选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列写法中正确的是（ ）A ．{}{}00,1∈B ．0∈∅C ．{}0∅⊆ D ．{}0,1∅∈2．命题“任意x ∈R ，2240x x −+≤”的否定为（ ）A ．任意x ∈R ，2240x x −+≥B ．存在0x ∈R ，200240x x −+>C ．任意x ∉R ，2240x x −+≥D ．存在0x ∉R ，200240x x −+> 3．已知集合{}|04M x x =<<，{}1,1,2,3N =−，则M N ∩=（ ）A ．{0,1,2,3,4}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{2,3} 4．设集合{|3,Z}U x x x =<∈，{}{}1,2,2,1,2A B ==−−，则U A B = （ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}2D ．{}0,1,2 5．不等式252(1)x x +≥−的解集是（ ）A ．13,2 − B ．1,32 −C ．1,12D ．(]1,11,32 − 6．已知,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11a b<B ．22a b > C ．a c b c>D ．2211a b c c >++7．函数()f x = ）A ．14B ．12C D ．18．若关于x 的不等式()21,x bx c b c ++≤∈R 的解集为3,22 −，则b c +的值是（ ） A ．12−B ．32−C ．2D ．52−二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知集合{}{}|03,|11A x x B x x =<≤=−≤<，则（ ）A ．[]1,3AB ∩=− B ．()0,1A B =C ．()0,1A B ∪=D ．[]1,3A B ∪=− 10．设{}2540A x x x =−+=，{}10B x ax =−=，若A B A ∪=，则实数a 的值可以是（ ）A ．0B ．14C ．4D ．1 11．已知函数()2f x ax bx c ++的图象如图所示，则（ ）A ．0b >B ．0c >C ．3322f x f x +=−D ．不等式()()()0ax b bx c cx a +++<的解集是1(2−，()2)33∞∪+， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知函数2(2)2(2)4y a x a x =−+−−，若对任意实数x ，函数值恒小于0，则a 的取值范围是 13．已知R m ∈，则2231m m +−与242m m +−的大小关系为 ．14．若关于x 的不等式2240tx tx −+>的解集为R ，求实数t 的取值范围 .四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分）已知{}3A x a x a =≤≤−+∣，{1B x x =<−∣或5}x >．(1)若A B ∩=∅，求a 的取值范围；(2)若A B =R ，求a 的取值范围．16.（本小题15分）（1）求函数21(0)x x yx x ++<的最大值；（2）求函数()()52(1)1x x yx x ++>−+的最小值．（3）若(),0,x y ∈+∞，且41x y +=，求11x y +的最小值.17.（本小题15分）（1）已知一元二次不等式2120ax bx ++>的解集为()3,2−，求实数a 、b 的值及不等式250bx x a ++≤的解集．（2）．已知0a >，解不等式：()10x a x a −−<．18.（本小题17分）(1)设集合{10A x x =+≤∣或40}x −≥，{}22B xa x a =≤≤+∣． ①若A B ∩≠∅，求实数a 的取值范围；②若A B A ∪=，求实数a 的取值范围．（2）已知0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=，求证：1119a b c++≥．19.（本小题17分） 已知函数()()()2212R f x mx m x m =−++∈．(1)若0m >，解关于x 的不等式()0f x <；(2)若不等式()4f x x ≤−在{}|3x x x ∈>上有解，求实数m 的取值范围．。
湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期综合能力检测(入学分班考试)数学试卷含答案
2024级高一综合能力检测试卷数学（答案在最后）时量：90分钟满分100分一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符题目要求的.1.《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1=万1万，1兆1=万1⨯万1⨯亿．若1兆10m=，则m 的值为（）A.4B.8C.12D.16【答案】D 【解析】【分析】由指数幂的运算性质即可求解.【详解】1万=410，所以1亿=810，所以1兆=8816101010⨯=，所以16m =.故选：D2.二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒大寒），若从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（）A.12B.112C.16D.14【答案】D 【解析】【分析】根据概率的计算公式即可求解.【详解】从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为61244=，故选：D3.如图，矩形ABCD 中，3AB =，1AD =，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 所表示的数为（）A.2B.101- C.5D.51【答案】B 【解析】【分析】利用勾股定理和数轴的知识求得正确答案.【详解】由于223110AC =+=，所以点M 所表示的数为)2103101+=.故选：B4.若关于x 的不等式组()532223x x x x a +⎧≥-⎪⎨⎪+<+⎩恰好只有四个整数解，则a 的取值范围是（）A.53a <-B.5433a -≤<-C.523a -<-≤ D.523a -<<-【答案】C 【解析】【分析】化简不等式组，由条件列不等式求a 的取值范围.【详解】解不等式532x x +≥-，得11x ≤，解不等式()223x x a +<+，得23x a >-，由已知可得7238a ≤-<，所以523a -<-≤.故选：C.5.在ABC V ，3AC =，4BC =，5AB =，点P 在ABC V 内，分别以A ，B ，P 为圆心画圆，圆A 的半径为1，圆B 的半径为2，圆P 的半径为3，圆A 与圆P 内切，圆P 与圆B 的关系是（）A.内含B.相交C.外切D.相离【答案】B 【解析】【分析】由题意条件分析两圆圆心距与两半径和差的大小关系即可得.【详解】由圆A 与圆P 内切，则312PA =-=，5AB =，又点P 在ABC V 内，则PA PB AB +>，且PB AB <，所以523PB AB PA >-=-=，且5PB <，则3232PB -<<+，由圆B 的半径为2，圆P 的半径为3，所以圆P 与圆B 相交.故选：B.6.对于正整数k 定义一种运算：1()[][]44k k f k +=-，例：313(3)[[44f +=-，[]x 表示不超过x 的最大整数，例：[3.9]3=，[1.8]2-=-．则下列结论错误的是（）A.()10f =B.()0f k =或1C.()()4f k f k +=D.()()1f k f k +≥【答案】D 【解析】【分析】根据给定的定义，逐项计算判断即可.【详解】对于A ，11(1)[][]00024f =-=-=，A 正确；对于B ，取4,1,2,3,4k n i i =+=，n 为自然数，当4i =时，1()[1][1][1]044f k n n =++-+==，当3i =时，33()[1][]1([])144f k n n n n =+-+=+-+=，当1,2i =时，11()[][][]([])04444i i i if k n n n n ++=+-+=+-+=，B 正确；对于C ，11(4)[1][1]1[](1[])()4444k k k kf k f k +++=+-+=+-+=，C 正确；对于D ，414313(31)[[0,(3)[][]14444f f +++=-==-=，即(31)(3)f f +<，D 错误.故选：D7.如图，点A 为反比例函数()10y x x=-<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例函数()40y x x=>的图象交于点B ，则AO BO 的值（）A.12B.14C.33D.13【答案】A 【解析】【分析】设121214,,,A x B x x x ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ，由AO BO ⊥，得∽∠ AOE OBF ，由==AE EO AOOF BF BO，可得答案.【详解】设()12121214,,,0,0A x B x x x x x ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ，且()()12,0,,0E x F x ，因为AO BO ⊥，所以,∠=∠∠=∠AOE OBF OAE BOF ，所以∽∠ AOE OBF ，所以AE EO OF BF =，可得112214--=x x x x ，即22124x x =，所以122x x =-，所以12121211==-==-=A Ex x x O A BO OF x .故选：A.8.若二次函数的解析式为()()()2215y x m x m =--≤≤，且函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，则q 的取值范围是（）A.124q -≤≤B.50q -≤≤ C.54q -≤≤ D.123q -≤≤【答案】A 【解析】【分析】由二次函数解析式可求得对称轴为1x m =+，进而可得412p p m ++=+，由函数图象过点(),p q ，可得2(1)4q m =--+，可求q 的取值范围.【详解】因为二次函数的解析式为()()()2215y x m x m =--≤≤，所以二次函数的对称轴为1x m =+，函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，故点(),p q 和点()4,p q +关于直线1x m =+对称，所以412p p m ++=+，所以1[0,4]p m =-∈，又()()()()2222121223(1)4q p m p m m m m m m =--=----=-++=--+，当1m =，max 4q =，当5m =，min 12q =-，所以124q -≤≤.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．9.分解因式：432449a a a -+-=______．【答案】2(23)(1)(3)a a a a -++-【解析】【分析】根据给定条件，利用公式法及十字相乘法分解因式即可得解.【详解】43222222449(2)9(23)(23)(23)(1)(3)a a a a a a a a a a a a a -+-=--=-+--=-++-.故答案为：2(23)(1)(3)a a a a -++-10.直线1:1l y x =-与x 轴交于点A ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转15°，得到直线2l ，则直线2l 对应的函数表达式是______．【答案】y =【解析】【分析】先求得2l 的倾斜角，进而求得直线2l 对应的函数表达式.【详解】直线1:1l y x =-与x 轴交于点()1,0A ，直线1:1l y x =-的斜率为1，倾斜角为45︒，所以2l 的倾斜角为60︒所以直线2l 对应的函数表达式是)1y x =-=-.故答案为：y =-11.若关于x 的分式方程22411x a x ax x --+-=-+的解为整数，则整数a =______．【答案】1±【解析】【分析】由分式方程有意义可知1x ≠且1x ≠-，再化简方程求解2x a=，由,a x 均为整数可求.【详解】则方程22411x a x a x x --+-=-+可知，1x ≠且1x ≠-.方程可化为222211x a x a x x --+-=+-+，即2211a ax x -+=-+，解得2x a=，由1x ≠且1x ≠-，所以2a ≠且2a ≠-.由a 为整数，且x 为整数，则当1a =-，2x =-，或当1a =，2x =时满足题意.所以1a =±.故答案为：1±.12.如图，已知两条平行线1l ，2l ，点A 是1l 上的定点，2AB l ⊥于点B ，点C ，D 分别是1l ，2l 上的动点，且满足AC BD =，连接CD 交线段AB 于点E ，BH CD ⊥于点H ，则当BAH ∠最大时，sin BAH ∠的值为______．【答案】13【解析】【分析】因为BH CD ⊥于点H ，所以点H 在以BE 为直径的圆上运动,当AH 与圆O 相切时,BAH ∠最大，据此在OHA 求解即可.【详解】12//,//,AC BD l l ∴四边形ACBD 是平行四边形12AE BE AB ∴==A 为定点,且2//AB l AE ∴为定值,BH CD ⊥ 90BHE ∠∴= ,如图，取BE 的中点O ,则点H 在以BE 为直径的圆上运动,此时1123OE BE OA ==,当AH 与圆O 相切时,BAH ∠最大1sin 3OH BAH OA ∠∴==故答案为：13.三、解答题：本题共4小题，共52分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13.某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息.a .教师评委打分：86889091919191929298b .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组8285x ≤<，第2组8588x ≤<，第3组8891x ≤<，第4组9194x ≤<，第5组9497x ≤<，第6组97100x ≤≤）；平均数中位数众数教师评委9191m 学生评委90.8n93c .评委打分的平均数、中位数、众数如上：根据以上信息，回答下列问题：①m 的值为______，n 的值位于学生评委打分数据分组的第______组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，则x ______91（填“>”“=”或“<”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评1评委2评委3评委4评委5甲9390929392乙9192929292丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k （k 为整数）的值为______.【答案】（1）①91；4；②<（2）甲；92【解析】【分析】（1）①根据众数以及中位数的定义解答即可；②根据算术平均数的定义求出8名教师评委打分的平均数，即可得出答案；（2）根据方差的定义和平均数的意义求解即可.【小问1详解】①由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数91m =；45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n 的值位于学生评委打分数据分组的第4组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，则1(8890919191919292)90.758x =⨯+++++++=，91x ∴<.【小问2详解】甲选手的平均数为1(9390929392)925⨯++++=，乙选手的平均数为1(9192929292)91.85⨯++++=，因为丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，所以三位选手中排序最靠前的是甲，且丙的平均数大于或等于乙的平均数，因为5名专业评委给乙选手的打分为91,92,92,92,92，乙选手的方差2221[4(9291.8)(9191.8)]0.165S =⨯⨯-+-=乙，5名专业评委给丙选手的打分为90,94,90,94,k ，所以乙选手的方差小于丙选手的方差，所以丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，∴9390929392909490949192929292k ++++≥++++>++++，9291k ∴≥>，k 为整数，k ∴的值为92.14.根据以下素材，探索完成任务——如何设计摇椅的椅背和坐垫长度？素材一：某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中FC 为椅背，EC 为坐垫，C ，D 为焊接点，且CD 与AB 平行，支架AC ，BD 所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O ．设计方案中，要求A ，B 两点离地面高度均为5厘米，A ，B 两点之间距离为70厘米；素材二：经研究，53OCF ∠=︒时，舒适感最佳．现用来制作椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求：（1）椅背长度小于坐垫长度；（2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A 时（如图3），F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米．（sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan53 1.3︒≈）任务：（1）根据素材求底座半径OA ；（2）计算图3中点B 距离地面的高度；（3）①求椅背FC 的长度范围；（结果精确到0.1m ）②设计一种符合要求的方案．【答案】（1）125厘米；（2）19.6厘米（3）①64.580FC ≤<；②70cm ，90cm （答案不唯一）．【解析】【分析】（1）根据四边形AHNB 为矩形，35AG BG ==厘米，5AH GM ==厘米，设底座半径OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，由勾股定理求出r 即可得出答案；（2）由四边形ANBK 为矩形，进而得AK BN h ==，()125cm,125cm OK h OB =-=，然后在直角三角形中由勾股定理列出关于h 的方程，解方程求出h 即可得出答案；（3）①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，先求出cos cos 0.28QCD OAB ∠=∠=，设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =-，即可得0.60.28(160)12x x --≥，由此解得64.5x ≥，据此可得椅背FC 的长度范围；②在①中椅背FC 的长度范围任取一个FC 的值，再计算出EC 的值即可，例如取70FC =厘米，则1607090EC =-=（厘米）；（答案不唯一，只要在FC 的长度范围内即可）．【小问1详解】过点A 作AH 垂直地面于H ，过点O 作OG AB ⊥于G ，OG 的延长线于地面交于点M ，如图所示：AB 平行于地面，∴四边形AHNB 为矩形，1352AG BG AB ===厘米，5AH GM ==厘米，设底座半径OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，(5)OG OM GM r ∴=-=-厘米，在Rt OAG ∆中，OA r =厘米，35AG =厘米，(5)OG r =-厘米，由勾股定理得：222OA OG AG =+，即：222(5)35r r =-+，解得：125r =，∴底座半径OA 的长度为125厘米；【小问2详解】过点B 作BN 垂直地面于N ，BK OA ⊥于K ，如图所示：设BN h =，底座与地面相切于点A ，OA ∴垂直地面于点A ，∴四边形ANBK 为矩形，AK BN h ∴==，由任务一可知：125cm,125OA OB OK OA AK h ==∴==--，在Rt ABK △中，cm,=70cm AK h AB =，由勾股定理得：2222270BK AB AK h =-=-，在Rt OBK 中，()125cm,125cm OK h OB =-=，由勾股定理得：22222125(125)BK OB OK h =-=--，222270125(125)h h ∴-=--，解得：19.6h =，∴点B 距离地面的高度为19.6厘米；【小问3详解】①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，如图所示：//CD AB Q ，QCD OAB ∴∠=∠，由任务②可知：19.6AK h ==厘米，70AB =厘米，在Rt ABK △中，19.6cos 0.2870AK OAB AB ∠===，cos cos 0.28QCD OAB ∴∠=∠=，椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米，∴设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =-，椅背长度小于坐垫长度，160x x ∴<-，解得：80x <，在Rt CQE △中，cos 0.28CQ QCD CE∠==，0.280.28(160)CQ CE x ∴==-厘米，在Rt CFP △中，cos CP OCF CF∠=，cos cos530.6CP CF OCF x x ∴=⋅∠=⋅︒≈（厘米），F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米，12AP AN ∴-≥，即：()12AC CP AC CQ +-+≥，12CP CQ ∴-≥，0.60.28(160)12x x ∴--≥，解得：64.5x ≥，又80x < ，64.580x ∴≤≤，即：64.580FC ≤≤，∴椅背FC 的长度范围是：64.580FC ≤<；②由于64.580FC ≤<，故取70cm FC =，则1607090cm EC ==-．15.定义：在平面直角坐标系中，直线x m =与某函数图象交点记为点P ，作该函数图象中点P 及点P 右侧部分关于直线x m =的轴对称图形，与原函数图象上的点P 及点P 右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线x m =的“迭代函数”．例如：图1是函数1y x =+的图象，则它关于直线0x =的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为()()10,10.x x y x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩（1）函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为______．（2）若函数243y x x =-++关于直线x m =的“迭代函数”图象经过()1,0-，则m =______．（3）已知正方形ABCD 的顶点分别为：(),A a a ，(),B a a -，(),C a a --，(),D a a -，其中0a >．①若函数6y x =关于直线2x =-的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，求a 的值；②若6a =，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，求n 的取值范围．【答案】（1）1,13,1x x y x x +≥⎧=⎨-+<⎩（2）12m -=或172m +=，（3）①3；②()5,1,12⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）取点()2,3M ，()3,4N ，求两点关于1x =的对称点，利用待定系数法求左侧图象的解析式，由此可得结论；（2）判断点()1,0-与函数243y x x =-++的图象的关系，再求()1,0-关于直线x m =的对称点，由条件列方程求m 即可；（3）①求函数6y x =关于直线2x =-的“迭代函数”的解析式，作函数图象，观察图象确定a 的值；②分别在0n >，0n =，0n <时求函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”解析式，讨论n ，由条件确定n 的范围.【小问1详解】在函数1y x =+的图象上位于1x =右侧的部分上取点()2,3M ，()3,4N ，点()2,3M 关于直线1x =的对称点为0,3，点()3,4N 关于直线1x =的对称点为()1,4-，设函数1y x =+，1x >的图象关于1x =对称的图象的解析式为,1y kx b x =+<，则34b k b =⎧⎨-+=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩，所以函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为1,13,1x x y x x +≥⎧=⎨-+<⎩；【小问2详解】取1x =-可得，2431432y x x =-++=--+=-，故函数243y x x =-++的图象不过点()1,0-，又点()1,0-关于直线x m =的对称点为()21,0m +，由已知可得()()20214213m m =-++++，1m >-，所以12m -=或12m +=，【小问3详解】①当0x >或20x -≤<时，函数6y x =关于直线2x =-的“迭代函数”的图象的解析式为6y x =，当2x <-时，设点s 在函数6y x =关于直线2x =-的“迭代函数”的图象上，则点()4,x y --在函数6y x =的图象上，所以64y x =--，所以函数6y x =关于直线2x =-的“迭代函数”的解析式为[)()()6,2,00,6,,24x x y x x∞∞⎧∈-⋃+⎪⎪=⎨⎪∈--⎪--⎩，作函数6y x=关于直线2x =-的“迭代函数”的图象如下：观察图象可得3a =时，函数6y x=关于直线2x =-的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，②若0n >，当x n ≥时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x =，当0x <或0x n <<时，设点s 在函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象上，则点()2,n x y -在函数6y x=的图象上，所以62y n x =-，所以函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的解析式为()()()6,,6,,00,2x n x y x n n x∞∞⎧∈+⎪⎪=⎨⎪∈-⋃⎪-⎩，当6n >时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当6n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当16n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当1n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有3个公共点，当01n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当0n =时，函数6y x =关于直线=0的“迭代函数”的解析式为6,06,0x x y x x⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，若0n <，当0n x ≤<或0x >时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=，当x n <时，设点s 在函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象上，则点()2,n x y -在函数6y x =的图象上，所以62y n x =-，所以函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的解析式为[)()()6,,00,6,,2x n x y x n n x ∞∞⎧∈⋃+⎪⎪=⎨⎪∈-⎪-⎩，当10n -<<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当1n =-时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有5个公共点，当512n -<<-时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有6个公共点，当52n =-时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有5个公共点，当7522n -<<-时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当72n =-时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当762n -<<-时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n =-时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n <-时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，综上，n 的取值范围为()51,12∞⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭，.【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.16.已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ．（1）如图1，抛物线与y 轴交于点C ，点P 为线段OC 上一点（不与端点重合），直线PA ，PB 分别交抛物线于点E ，D ，设PAD △面积为1S ，PBE △面积为2S ，求12S S 的值；（2）如图2，点K 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，过点K 的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M ，N ，过抛物线顶点G 作直线//l x 轴，点Q 是直线l 上一动点求QM QN +的最小值．【答案】（1）19（2）45【解析】【分析】（1）把点()1,0A -，()3,0B 代入抛物线方程，解出抛物线的解析式，设(0,)P p ，求出直线AP 解析式为y px p =+，联立方程223y px p y x x =+⎧⎨=-++⎩，可得2(3,4)E p p p --+，同理可得234(,)393p p p D --+，即可得1S ，2S ，化简可得结果；（2）作点N 关于直线l 的对称点N '，连接MN '，过M 点作MF NN '⊥于F ，求出(1,0)K ，设直线MN 解析式为y kx d =+，把点K 坐标代入即可知直线MN 的解析式y kx k =-，设2(,23)M m m m -++，2(,23)N n n n -++，求出2(,25)N n n n '-+，可得QM QN QM QN MN ''+=+≥，结合2(,23)F n m m -++，可得222421780MN MF N F k k =+=++''，从而得到QM QN +的最小值.【小问1详解】把点()1,0A -，()3,0B 代入抛物线方程2y x bx c =-++得：10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，所以抛物线方程为：223y x x =-++，设(0,)P p ，直线AP 解析式为11y k x b =+，把点()1,0A -，(0,)P p 代入得：1110k b b p -+=⎧⎨=⎩，所以线AP 解析式为y px p =+，联立223y px p y x x =+⎧⎨=-++⎩，解得：10x y ⎧⎨⎩=-=或234x p y p p =-⎧⎨=-+⎩，所以2(3,4)E p p p --+，设直线BP 解析式为22y k x b =+把点()3,0B ，(0,)P p 代入得：22230k b b p +=⎧⎨=⎩，直线BP 解析式为3p y x p =-+联立2323p y x p y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩，解得：30x y =⎧⎨=⎩或233493p x p p y -⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩可得234(,)393p p p D --+，所以221142()2(3)2939ABD ABP D P p p S S S AB y y p p p ⎛⎫=-=⋅-=-+-=- ⎪⎝⎭ ，()2221()242(3)2ABE ABP E P S S S AB y y p p p p p =-=⋅-=-+-=- ，所以2122192(3)92(3)S p p S p p -=-=【小问2详解】作点N 关于直线l 的对称点N '，连接MN '，过M 点作MF NN '⊥于F ，如图：因为2223(1)4y x x x =-++=--+，所以抛物线223y x x =-++的对称轴为1x =，所以(1,0)K ，设直线MN 解析式为y kx d =+，把点(1,0)K 代入得：=0k d +，所以=d k -，所以直线MN 的解析式为y kx k=-设2(,23)M m m m -++，2(,23)N n n n -++，联立223y x x y kx k⎧=-++⎨=-⎩，可得2(2)30x k x k +---=则2m n k +=-，3mn k =--，因为N ，N '关于直线l ：4y =对称，所以2(,25)N n n n '-+，则QM QN QM QN MN ''+=+≥，又2(,23)F n m m -++，所以222()2N F m n m n =+-++'，FM m n =-，在Rt MFN ' 中，2222222()2()2MN MF N F m n m n m n ⎡⎤=+=-++-++⎣'⎦'，222()4()22()2m n mn m n mn m n ⎡⎤=+-++--++⎣⎦222(2)4(3)(2)2(3)2(2)2k k k k k ⎡⎤=----+------+⎣⎦421780k k =++所以当0k =时，2MN '最小为80，此时MN '=所以QM QN +≥，即QM QN +的最小值为。
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精心整理
新高一分班考试数学真题（三）
一、选择题（每题5分，共40分） 1．化简=-2a a （）
A 2A 35，CD 则A 4（） A 5．在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是（） A ．2
1B ．
165C ．167D ．4
3 6．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B
落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为() A .6B .4C .5D .3
7．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A →D →C →B →A ,设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图
8.，P ）
A ．二、9)2ab + 10从不同的角度观察的结果如图所示．如果记2的对面的数字为m ，3的对面的数字为n ，则方程1x m n +=的解x 满足1+<<k x k ，k 为整数，则k = 11．如图，直角梯形纸片ABCD 中，AD //BC ，∠A =90o ，∠C =30o ．折叠纸片使BC 经5 2
3
3 2
1 2 6
1
过点D ，点C 落在点E 处，BF 是折痕，且BF =CF =8，则AB 的长为
12．记函数y 在x 处的值为()f x （如函数2y x =也可记为2()f x x =，当1x =时的函数值可记为(1)1f =）。
已知|
|)(x x
x f =，若c b a >>且0=++c b a ，0≠b ，则)()()(c f b f a f ++的所有可能值为
13．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。
已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是 14．如图，三棱柱111C B A ABC -中，底面2,1==BC AB ，三个侧面都是矩形，31=AA M 为线段1BB 上的一动点，则当1MC AM +最小时，BM =
15.如图，AB 是半圆O 的直径，四边形CDMN 和DEFG 都是正方形，其中C ，D ，E 在AB 上，F ，N 在半圆上。
若AB=10，则正方形CDMN 的面积与正方形DEFG 的面积之和是
16.如图，CD 为直角ΔABC 斜边AB 上的高，BC 长度为1，DE ⊥AC 。
设ΔADE ，ΔCDB ，ΔABC 的周长分别是12,,p p p 。
当
12
p p p
+取最大值时，AB= 17.如图放置的等腰直角∆ABC 薄片（2,900==∠AC ACB ）沿x 轴滚动， 点A 的运动轨迹曲线与x 轴有交点，则在两个相邻交点间点A 的轨迹曲线与 x 轴围成图形面积为___
18.如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数o x
y C
A
B
题图
17
的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第11行第7个数为（用具体数字作答）
1234567…
35791113…
812162024…
48648019.A 的（1（2作PN ⊥x 的长度为（3BN ，当t BCMN 能否为菱形？请说明理由.
20.（本小题满分12分）函数)(x f ，若自变量x 取值范围内存在0x ，使00)(x x f =成立，N B
y
则称以00(,)x x 为坐标的点为函数()f x 图像上的不动点。
（)(x f 的定义见第．．．．．12．．题．） （1）若函数b
x a
x x f ++=
3)(有两个关于原点对称的不动点，求a ，b 应满足的条件； （2）在（1）的条件下，若a=2，直线1)1(:-+-=b x a y l 与y 轴、x 轴分别相交于A 、B 两点，在x
b y =的图象上取一点P （P 点的横坐标大于2)，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足是Q
（3函数给予21.（4)+交
x （1（22F ，（322.（本小题满分12分）
在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.
(1)若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根),并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢?
(2)若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根),且不少于七层， （Ⅰ）共有几种不同的方案?
23.根.
．6 14．115．2516．217．24+π18．12288 三、解答题（共60分）
19．解：（1）易知A(0,1)，B(3,2.5)，可得直线AB 的解析式为y =12
1
+x ……………3分
（2）)12
1
(14174
5
2+-++
-=-==t t t MP NP MN s )30(4
15452≤≤+-=t t
t ………………6分
（3）若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN =BC ，此时，有
2
5
415452=+-t t ，解得11=t ，22=t
①中，=MC ②中，=MC 分
20.即2x （2）由（1）得3,2==b a ，所以2:+-=x y l ，即A （0,2）B(2,0)……5分 设x
y 3=上任意一点)2)(3,(>t t
t P ，所以)2)(0,(>t t Q ……6分
又因为2-=∆AOB AOQP S S 四边形，所以2222
132(2
1=⨯⨯-+t t
2
5=∴t ……8分
)56
,25(P ∴……………………9分
（3）正确
①在)()(x f x f -=-令0=x 得)0()0(f f -=所以0)0(=f 所以)0,0(为函数的不动点……………………10分 ②设00(,)x x 为函数()f x 图像上的不动点，则00)(x x f =
21分 （2060的直线所以为1F （2060的直线Q P MQ M P MQ PM ''=+=+，所以路程最短即为/l 上点/P 到切点Q 的切线长最短。
连接',OP OQ ，在'OQP Rt ∆中，只要'OP 最短，
由几何知识可知，/P 应为过原点O 且与/l 垂直的直线与/l 的交点，这一点又与点P 关于l 对称，∴260cos 0'===AO AP AP ，故点P 的坐标为()2,0-……………12分
l y
22．解：(1)设纵断面层数为n ，则2009......321≤++++n 即
20092
)
1(≤+n n ，040182≤-+n n ，经带入62=n 满足不等式，63=n 不满足 当62=n 时，剩余的圆钢最少………………………2分 此时剩余的圆钢为562
)
162(622009=+-
；………………………4分
(2)
(+x x 即(n 因-n 有4(3)41=n ，则x 而若49=n ，则17=x ，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，两腰之长为480cm ，上下底之长为160cm 和640cm ，从而梯形之高为3240cm ， 显然大于4m ，不合条件，舍去；
综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地………………12分
23.解：原方程可化为122)2(2+=+x a x ，易知2-≠x ，此时2
)2(12
2++=
x x a ……2分 因为a 是正整数，即
1)
2(12
22
≥++x x 为正整数。
又0)2(2>+x ，则122)2(2+≤+x x 即0822≤-+x x ，解得24≤≤-x 。
因为
分
分。