3、初中数学辅助线添加秘籍三、弦图的应用

3、初中数学辅助线添加秘籍三、弦图的应用

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初中数学辅助线添加秘籍三、弦图的应用

三垂直全等模型

“K”字型：等腰直角三角形的顶点处发出一条直线，辅助线为过两顶点作该直线垂线。例：已知等腰RT△ABC中，过点A作直线。结论：△ABE≌△CAF

衍生：平面直角坐标系中A（1,3），以OA为边作正方形OABC，求B、C坐标。

变式：平面直角坐标系中，点A（4,1），过点O作一条直线与OA 夹角为45°，求该直线解析式。

1、如图1,中,于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向作等腰和等腰,过点E、F作射线GA 的垂线,垂足分别为P、Q.

(1)试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论;

(2)如图2,若连接EF交GA的延长线于H,由(1)中的结论你能判断EH与FH 的大小关系吗?并说明理由.

(3)在(2)的条件下,若,请直接写出

．

2、梯形ABCD中，AD∥BC，分别以两腰AB、CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF.设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M，EP ⊥l于点P，FQ⊥l于点Q.求证：EP = FQ.

3、如图已知AD∥BC，△ABE和△CDF是等腰直角三角形，∠EAB=∠FDC=90°，AD=2，BC=5，求四边形AEDF的面积.

4、如图,直角梯形ABCD中,,,l是AD的垂直平分线,交AD于点M,以腰AB为边作正方形ABEF,于P.

求证:.

1/(1),

证明:,,,

,

,,

,

在和中,

,

,

,

同理,

则,

;

(2)解:,

理由是:,,

,

在和中,

,

,

;

(3),,,

,,,

.

因此，本题正确答案是:288.

2、解：过D作PN的平行线分别交FQ、BC于点K、L

设AD的垂直平分线交AD于N

在△FKD与△DLC中

∠DFK=90°－∠FDK=∠CDL，∠FKD=∠DLC=90°，DF=DC ∴△FKD≌△DLC

∴FK=DL

∴FQ=FK+KQ=DL+DN

同理可得，EP=DL+AN

又∵MN为AD中垂线

∴AN=ND

∴EP=FQ

3、

解：分别过点E，F作AD边上的高，

在△AEH和△ADG中，

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∠AHE=∠AGB=90°AE=AB，∴△AEH≌△ADG，

∴EH=AG，

同理在△FID与△DJC中，

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∠FID=∠DJC=90°DF=DC，∴△FID≌△DJC，

∴FI=DJ，

S= 12AD·EH+ 12AD·FI

= 12AD·AG+ 12AD·DJ

= 12AD·(AG+DJ)

= 12AD·(BC-AD)

= 12×2×(5-2)

=3.

4、

证明:作于H,延长EP交AH于G, 是AD的垂直平分线,

,,

又四边形ABCD是直角梯形,

四边形AHCD是矩形,

,

,

,

四边形AGPM是矩形,

,

,

,

在正方形ABFE中,,,

,

,

在和中,

,

,

,

,

即.

6、已知:在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3,设∠BCD=a,以D为旋转中心,将腰

DC逆时针旋转90°至DE,连接AE、CE.

(1)当a=45°时,求△EAD的面积;

(2)当a=30°时,求△EAD的面积;

(3)当0°

6、

过D作DG⊥BC于G,过E作EF⊥AD交AD延长线于F

∵AD∥BC,

∴∠GDF=90°,

∵∠EDC=90°,

∴∠1=∠2,

在△CGD和△EFD中: ∠1=∠2∠DGC=∠DFE CD=DE ∴△DCG≌△DFE(AAS),

∴EF=CG,

∵AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3,

∴BG=AD=2,

∴CG=1,

∴EF=1,

=1/2×AD×EF=1,

∴S

△EAD

∴△EAD的面积与a大小无关.