电磁场与电磁波 第五章答案

第五章 恒定磁场

重点和难点

该章重点及处理方法与静电场类似。但是磁感应强度的定义需要详细介绍，尤其要强调磁场与运动电荷之间没有能量交换，电流元受到的磁场力垂直于电流的流动方向。

说明磁导率与介电常数不同，磁导率可以小于1，而且大多数媒质的磁导率接近1。

讲解恒定磁场时，应与静电场进行对比。例如，静电场是无散场，而恒定磁场是无旋场。在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，而磁感应强度的法向分量是连续的。

重要公式

磁感应强度定义：

根据运动电荷受力： B v F ⨯=q

根据电流元受力： B l F ⨯=d I 根据电流环受力： B m T ⨯=

真空中恒定磁场方程： 积分形式： I ⎰=⋅l

l B 0

d μ

⎰=⋅S

S B 0d

微分形式：

J B 0 μ=⨯∇

0=⋅∇B

已知电流分布求解电场强度：

1，A B ⨯∇=

V V ''

-'=⎰'d )

(4)( 0 r r r J r A πμ

2，V V ''

-'-⨯'=⎰'d )

()( 4)(3

0 r r r r r J r B πμ 毕奥─萨伐定律。

3，

I ⎰=⋅l

l B 0

d μ

安培环路定律。

面电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为

S ''-'=

⎰'d )

(4)(0 r r r J r A S S πμ

S ''

-'-⨯'=

⎰'d )

()(4)( 30 r r r r r J r B S S πμ 线电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为

⎰

'

'

-'

=l r r l r A d 4)(0

I π

μ

⎰

'

'

-'-⨯'=

l r r r r l r B 3

0 )(d 4)(I π

μ

矢量磁位满足的微分方程：

J A 0 2μ-=∇

无源区中标量磁位满足的微分方程： 0 2=∇m ϕ 媒质中恒定磁场方程： 积分形式： I l =⋅⎰l H d

⎰=⋅S

S B 0d

微分形式：

J H =⨯∇ 0=⋅∇B

磁性能均匀线性各向同性的媒质：

场方程积分形式：

⎰

=⋅l

I d μl B

⎰=⋅B

S H 0d

场方程微分形式： J B μ=⨯∇ 0=⋅∇H

矢量磁位微分方程：

J A 2μ-=∇

矢量磁位微分方程的解： V V ''

-'=

⎰

'

d )

(4)(r r r J r A π

μ 恒定磁场边界条件：

1，t t H H 21=。对于各向同性的线性媒质，

2

21

1μμt

t

B B =

2，n n B B 21=。对于各向同性的线性媒质，

n n H H 22 11 μμ=

题 解

5-1 在均匀线性各向同性的非磁性导电媒质（即0μμ=）中，当存在恒定电流时，试证磁感应强度应满足拉普拉斯方程，即02=∇B 。

证 在均匀线性各向同性的非磁性导电媒质中，由

H B 0μ=及J H =⨯∇，得

J B 0μ=⨯∇

对等式两边同时取旋度，得

J Β0μ⨯∇=⨯∇⨯∇ J Β⨯∇=⨯∇⨯∇0μ

但是0=⨯∇J ，考虑到恒等式()A A A 2∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇，得

()0=∇⋅∇-⋅∇∇B B

又知0=⋅∇B ，由上式求得 02=∇B 。

5-2 设两个半径相等的同轴电流环沿x 轴放置，如习题图5-2所示。试证在中点P 处，磁感应强度沿x 轴的变 化率等于零，即

0d d d d 22==x

x B

B

解 设电流环的半径为a ，为了求解方便，将原题中坐标轴x 换为坐标轴z ，如图示。那么，中点P 的坐标为（z ，

0，0），电流环①位于⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a z 处，电流环②位于⎪⎭⎫ ⎝

⎛+2a z 处。

根据毕奥—沙伐定律，求得电流环①在P 点产生的磁感应强度为

()⎰

'

-'-⨯=

1

3

10

1d 4l I r r r r l B π

μ

取圆柱坐标系，则

φφd d 1Ia I e l =，z z e r =，⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-+='2r z r z r e e r ，

因此

⎰

⎰

+-⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+-⨯=⎪

⎭⎫ ⎝⎛

---⎥

⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛

---⨯=

π

φπ

φφπ

μ

φπ

μ20

30

20

3

12

2d 4 22d 4r

r r r Ir r z r z r z r z Ir z

r z

r z r z z r z e e e e e e e e e e e e B

同理可得，电流环②在P 点产生的磁感应强度为

⎰

--⎪

⎭⎫

⎝⎛--⨯=

π

φφπ

μ20

3

022

2d 4r

r

r r Ir r z r z e e e e e B

习题图5-2