电磁场与电磁波 第五章答案

第五章 恒定磁场
重点和难点
该章重点及处理方法与静电场类似。

但是磁感应强度的定义需要详细介绍，尤其要强调磁场与运动电荷之间没有能量交换，电流元受到的磁场力垂直于电流的流动方向。

说明磁导率与介电常数不同，磁导率可以小于1，而且大多数媒质的磁导率接近1。

讲解恒定磁场时，应与静电场进行对比。

例如，静电场是无散场，而恒定磁场是无旋场。

在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，而磁感应强度的法向分量是连续的。

重要公式
磁感应强度定义：
根据运动电荷受力： B v F ⨯=q
根据电流元受力： B l F ⨯=d I 根据电流环受力： B m T ⨯=
真空中恒定磁场方程： 积分形式： I ⎰=⋅l
l B 0
d μ
⎰=⋅S
S B 0d
微分形式：
J B 0 μ=⨯∇
0=⋅∇B
已知电流分布求解电场强度：
1，A B ⨯∇=
V V ''
-'=⎰'d )
(4)( 0 r r r J r A πμ
2，V V ''
-'-⨯'=⎰'d )
()( 4)(3
0 r r r r r J r B πμ 毕奥─萨伐定律。

3，
I ⎰=⋅l
l B 0
d μ
安培环路定律。

面电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为
S ''-'=
⎰'d )
(4)(0 r r r J r A S S πμ
S ''
-'-⨯'=
⎰'d )
()(4)( 30 r r r r r J r B S S πμ 线电流产生的矢量磁位及磁感应强度分别为
⎰
'
'
-'
=l r r l r A d 4)(0
I π
μ
⎰
'
'
-'-⨯'=
l r r r r l r B 3
0 )(d 4)(I π
μ
矢量磁位满足的微分方程：
J A 0 2μ-=∇
无源区中标量磁位满足的微分方程： 0 2=∇m ϕ 媒质中恒定磁场方程： 积分形式： I l =⋅⎰l H d
⎰=⋅S
S B 0d
微分形式：
J H =⨯∇ 0=⋅∇B
磁性能均匀线性各向同性的媒质：
场方程积分形式：
⎰
=⋅l
I d μl B
⎰=⋅B
S H 0d
场方程微分形式： J B μ=⨯∇ 0=⋅∇H
矢量磁位微分方程：
J A 2μ-=∇
矢量磁位微分方程的解： V V ''
-'=
⎰
'
d )
(4)(r r r J r A π
μ 恒定磁场边界条件：
1，t t H H 21=。

对于各向同性的线性媒质，
2
21
1μμt
t
B B =
2，n n B B 21=。

对于各向同性的线性媒质，
n n H H 22 11 μμ=
题 解
5-1 在均匀线性各向同性的非磁性导电媒质（即0μμ=）中，当存在恒定电流时，试证磁感应强度应满足拉普拉斯方程，即02=∇B 。

证 在均匀线性各向同性的非磁性导电媒质中，由
H B 0μ=及J H =⨯∇，得
J B 0μ=⨯∇
对等式两边同时取旋度，得
J Β0μ⨯∇=⨯∇⨯∇ J Β⨯∇=⨯∇⨯∇0μ
但是0=⨯∇J ，考虑到恒等式()A A A 2∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇，得
()0=∇⋅∇-⋅∇∇B B
又知0=⋅∇B ，由上式求得 02=∇B 。

5-2 设两个半径相等的同轴电流环沿x 轴放置，如习题图5-2所示。

试证在中点P 处，磁感应强度沿x 轴的变 化率等于零，即
0d d d d 22==x
x B
B
解 设电流环的半径为a ，为了求解方便，将原题中坐标轴x 换为坐标轴z ，如图示。

那么，中点P 的坐标为（z ，
0，0），电流环①位于⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a z 处，电流环②位于⎪⎭⎫ ⎝
⎛+2a z 处。

根据毕奥—沙伐定律，求得电流环①在P 点产生的磁感应强度为
()⎰
'
-'-⨯=
1
3
10
1d 4l I r r r r l B π
μ
取圆柱坐标系，则
φφd d 1Ia I e l =，z z e r =，⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+='2r z r z r e e r ，
因此
⎰
⎰
+-⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+-⨯=⎪
⎭⎫ ⎝⎛
---⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛
---⨯=
π
φπ
φφπ
μ
φπ
μ20
30
20
3
12
2d 4 22d 4r
r r r Ir r z r z r z r z Ir z
r z
r z r z z r z e e e e e e e e e e e e B
同理可得，电流环②在P 点产生的磁感应强度为
⎰
--⎪
⎭⎫
⎝⎛--⨯=
π
φφπ
μ20
3
022
2d 4r
r
r r Ir r z r z e e e e e B
习题图5-2
那么，P 点合成磁感应强度为
21B B B +=
由于1B 和2B 均与坐标变量z 无关，因此P 点的磁感应强度沿z 轴的变化率为零，即
0d d d d 22==z
z B
B 5-3 已知边长为a 的等边三角 形回路电流为I ，周围媒质为 真空，如习题图5-3所示。

试求 回路中心点的磁感应强度。

解 取直角坐标系，令三角形的
AB 边沿x 轴，中心点P 位于y 轴上，电流方向如图示。

由毕奥—沙伐定律，求得AB 段线电流在P 点产生的磁感应强度为
()⎰
'
-'-⨯=
l
I 3
1d 4r r r r l B π
μ
式中x I I x d d e l -=，a y
6
3
e r =，x x e r ='，即 a I x
a x a x I z a a x y x y x πμπμ23363
63d 40223
01e e e e e e B -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=⎰- 由于轴对称关系，可知BC 段及AC 段电流在P 点
产生的磁感应强度与AB 段产生的磁感应强度相等。

因此，P 点的磁感应强度为
a
I
z
πμ239301e B B -== 5-4 已知无限长导体圆柱半径为a ，通过的电流为I ，且电流均匀分布，试求柱内外的磁感应强度。

a
习题图5-3
解 建立圆柱坐标系，令圆柱的轴线为Z 轴。

那么，由安培环路定律得知，在圆柱内线积分仅包围的部分电流为
I a
r I 22
1ππ=，又φφd d r e l =，则
I a r l
⎰=⋅22
d ππl H 2
2a rI H πφ=⇒ 即
2
02a
rI πμφ
e B = 在圆柱外，线积分包围全部电流I ，那么
I l
⎰=⋅l H d r
I H πφ2=
⇒ 即
r
I
πμφ
20e B = 5-5 已知无限长导体圆柱的半径为a ，其内部存在的圆柱空腔半径为b ，导体圆柱的轴线与空腔圆柱的轴线之间的间距为c ，如习题图5-5（a ）所示。

若导体中均匀分布的电流密度为0J z e J =，试求空腔中的磁感应强度。

解 柱内空腔可以认为存在一个均匀分布的等值反向电流，抵消了原有的电流而形成的。

那么，利用叠加原理和安培环路定律即可求解。

已知半径为a ，电流密度为0J 的载流圆柱在柱内半径r 处产生的磁场强度H 1为
习题图5-5(a ) 习题图5-5(b )
X
02
1d J r l
π⎰=⋅l H 求得
201r J H =
φ，或写为矢量形式 2
1r J H ⨯= 对应的磁感应强度为 2
1r
J B ⨯=μ 同理可得半径为b ，电流密度为J -的载流圆柱在柱内产生的磁场强度为
22r J H '
⨯-=
对应的磁感应强度为
202r J B '
⨯-
=μ 上式中r r ',的方向及位置如习题图5-5（b ）示。

因此，空腔内总的磁感应强度为
21B B B +=()r r J
'-⨯=
2
0μ200c
J x z e e ⨯=
μ2
00c J y μe =
5-6 两条半无限长直导线与一个半圆环导线形成一个电流回路，如习题图5-6所示。

若圆环半径r =10cm ，电流I = 5A ，试求半圆环圆心处的磁感应强度。

解 根据毕奥—沙伐定律，载流导线产生的磁场强度为
()⎰
'
-'-⨯=
l
I 3
d 41
r r r r l H π
设半圆环圆心为坐标原点，两直导线平行于X 轴，如图所示。

那么，对于半无限长线段①
x I I x d d e l -=，0=r ，r x y x e e r +-='
因此，在圆心处产生的磁场强度为
习题图5-6
()
()
r
I r
x
r x x I z
y x x ππ
4d 410
2
322
1e e e e H =+-⨯-=
⎰
∞
- 同理线段③在圆心处产生的磁场强度为
r
I z
π43e H =
对于半圆形线段②
φφd d Ir I e l =, 0=r , r r e r ='
因此，它在半圆心处产生的磁场强度为
()
r
I r r Ir z
r 40d 4122
3
2e e e H ⎰-
=-⨯=
π
π
φφπ
那么，半圆中心处总的磁感应强度为
()3210H H H B ++=μ)T (107.251246
0-⨯=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=πμr I z
e 5-7 若在a y -=处放置一根无限长线电流I z e ，在y = a 处放置另一根无限长线电流I x e ，如习题图5-7所示。

试 求坐标原点处的磁感应
强度。

解 根据无限长电流产生的磁场强度公式，求得位于
a y -=处的无限长线电流I z e 在原点产生的磁场为
a
I x
π21e H -=
位于a y =处的无限长线电流I x e 产生的磁场为
Y
Z -a a
I 0
I
X
习题图5-7
a
I z
π22e H -=
因此，坐标原点处总磁感应强度为
()210H H B +=μ()x z a
I
e e +-
=πμ20 5-8 已知宽度为W 的带形电流的面密度s x J e J s =，位于z = 0平面内，如习题图5-8所示。

试求),0,0(d P 处的磁感应强
习题图
5-8(a)
习题图5-8(b)
解 宽度为y d ，面密度为s J 的面电流可看
作为线电流
y J s d ，其在P 点产生的磁场为
()
()y d d y y
J z y s e e H --+=
2
22d d π
由对称性可知，z 方向的分量相互抵消，如习题图5-8（b ） 所示，则
()
y w
s d
y y dJ e H ⎰
+-=20
2
22d 2πd w
J s y 2arctan πe -= 因此，在()d P ,0,0处的磁感应强度为
d
w J s y
2arctan
00πμμe H B -== 5-9 已知电流环半径为a ，
y
Y
电流为I ，电流环位于z = 0 平面，如习题图5-9所示。

试求),0,0(h P 处的磁感应强度。

解 由毕奥—沙伐定律得
⎰
⨯=l r
r
I 24d πe l H 因为l d 处处与r e 正交，则φd d a r =⨯e l 即
⎰⎰
=⨯=2
2
4d 4d r
Ia r I H r πφπe l 由对称性可知，P 点磁场强度只有z H 分量，所以
(
)
⎰
+=π
πφ20
2
32224d h
a Ia H z (
)
2
32222h
a Ia +=
因此，()h P ,0,0处的磁感应强度为
(
)
2
3222
002h
a Ia z
+==μμe H B
5-10 当半径为a 的均匀带电圆盘的电荷面密度为s ρ，若圆盘绕其轴线以角速度ω旋转，试求轴线上任一点磁感应强度。

解 如习题图 5-10所示，将圆盘分割成很多宽度为r d 的载流圆环d I ，它在z 处产生的磁感应强度，根据题5-9结果,得知
(
)
2
3
22202d d h
r I
r +=μz e B
因为 r r r r
I s s d d 22d ωρρπ
ω
π== 习题图5-10
因此
r
()
⎰
+=a
s z
z
r
r
r 0
2
322
30d 2
ω
ρμe B ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-++=z z a z a s z
222
2
22
20ωρμe 5-11 已知位于y = 0平面内的表面电流0s z J e J s =，试证磁感应强度B 为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<>-=0 ,20 ,2
0000y J y J s s μμx x e e B 解 有两种求解方法。

解法一：将平面分割成很多宽度 为y d 的无限长线电流，那么由题5-8结果获知，当0>y 时
()
2
200d d y x x
y J s x
+-=πμe B 因此，积分求得
⎰
∞
++-=0
2
20
0d y x x
y J s π
μx
e B 200s x J μe -= 同理，当0<y 时，
()
2
200d d y x x y J s +=πμx
e B 那么，积分求得
2
0s x
J μe B =
解法二：由题5-8知，⎩⎨⎧<>-=0,0
,00y B y B x x e e B
即 ⎩⎨⎧<>-=0,0
,0
0y H y H x x e e H
令y < 0的区域中磁场强度为H 1，而y > 0的区域中磁场强度为H 2，那么，在0=y 的边界上，()s y J H H e =-⨯12。

由此求得 002
1
s J H =
，因此
习题图5-11
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧<>-=0 ,20 ,2
0000y J y J s s μμx x e e B
5-12 已知N 边正多边形的外接圆半径为a ，当通过的电流为I 时，试证多边形中心的磁感应强度为
N
a NI π
πμtan 20 n
e B = 式中n e 为正多边形平面的法线方向上单位矢量。

若
∞→N 时，中心B 值多大？
解 如习题图5-12所示，载流 线圈每边在中心O 处产生的磁 感应强度为
()2101cos cos 4θθπμ-=r I
n
e B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=N N N a I
n
ππππππμ2cos 2cos cos 40e ⎪⎭⎫
⎝⎛=N a I n ππμtan 20e 所以，N 条边在中心O 处产生的磁场为
N
a NI N n
π
πμtan 20 1e B B == 当∞→N 时，a I N a NI n N 2tan 2lim
00μππμe e B n =⎪⎭
⎫
⎝⎛=∞→
此结果即是半径为a 的电流环在中心处产生的磁感应强度。

5-13 若表面电流s J 位于x x '=平面内，试证
)(0 x x '-=⨯∇δμs J B
式中)(x x '-δ为在x '处取极值的一维δ函数。

习题图5-12
解 由安培环路定理得知，⎰=⋅l
I 0d μl B
因⎰⋅=S
d S J I ，再利用斯托克斯定理得
()⎰⎰⋅⨯∇=⋅l
s
S B l B d d
由δ函数的定义可知，一维)(x x '-δ函数的量纲为长度的倒数。

因此，()x x s '-δJ 为体电流密度,即
()S J S J d d ⋅'-=⋅=⎰⎰s
s s
x x I δ
()()S J S B d d 0
⋅'-=⋅⨯∇⎰⎰s
s
s
x x δμ
()()0d 0
=⋅'--⨯∇⎰S J B s
s
x x δμ
上式对于任何表面都成立，因此被积函数为零，即
()x x s '-=⨯∇δμJ B 0
5-14 若位于圆柱坐标系中),(00φr 处的无限长线电流的电流为I ，方向与正Z 轴一致，试证磁感应强度为
000 )
( )( r r r I
z φφδδμ--=⨯∇e B
解 由δ函数的定义可知，
()()
00r r r φφδδ--为二维δ函数在
圆柱坐标系中的表示，其量纲为面积的倒数。

因此，
()()
00r r r I
z φφδδ--e 为位于()00,φr 处的z 方向的电流密度。

那么
()()
S e s J d d 0
00⋅--=⋅=⎰⎰s
z s
r r r I
I φφδδ
由安培环路定律得知，⎰=⋅l
I 0d μl B ，即
()()
S e l B d d 0
000⋅--=⋅⎰⎰s
z l
r r r I
φφδδμ
再利用斯托克斯定理，()⎰⎰⋅⨯∇=⋅l
s
S B l B d d ，求得
()()0d 0000=⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⨯∇⎰s z r r r I S e B φφδδμ 上式对于任何表面均成立，因此被积函数为零，即
()()
000r r r I
z φφδδμ--=⨯∇e B
5-15 若无限长的半径为a 的圆柱体中电流密度分布函数a r r r z ≤+= ),4(2e J ，试求圆柱内外的磁感应强度。

解 取圆柱坐标系，如习题图5-15所示。

当a r ≤时，通过半径为r 的圆柱电流为
()
()
⎰⎰⎰⎰+=⋅+=⋅=πφ20
22d 4d d 4d r
s
z z s
i r
r r r s r r I e e s J ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=34382
1
r r π
由 ⎰=⋅l
r
I 0d μ
l B
求得
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=230344
1
r r μφe B
当a r ≥时
()
r
r r r I a
o d 4d 0
220
⋅+=⎰⎰πφ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=34382
1
a a π
由 ⎰=⋅l
o
I 0d μ
l B
求得
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=34
03441
a a r μφ
e B 5-16 证明矢量磁位A 满足的方程式J A 0 2μ-=∇的解为
V V ''-'=
⎰
'
d )
(4 0 r
r r J A π
μ （提示：利用函数⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛'-∇r r 12
在r '处的奇点特性）。

习题图 5-15
证明
()V V ''
-'∇=
∇⎰'d 4202r r r J A πμ
()V
V '⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛'-∇'=⎰'d 142
r r r J π
μ
已知
()r
r r r '--=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛'-∇πδ412 因此 ()()[]V V ''--'=
∇⎰'
d 4402r r r J A πδπ
μ()r J 0
μ-=
5-17 已知空间y < 0区域为磁性媒质，其相对磁导率
0 ,5000 >=y r μ区域为空气。

试求：①当空气中的磁感应
强度mT )105.0(0y x e e B -=时，磁性媒质中的磁感应强度B ；②当磁性媒质中的磁感应强度mT )5.010(y x e e B +=时，空气中的磁感应强度B 0。

解 根据题意，建立的直角坐标如图5-17所示。

① 设磁性媒质中的磁感应强度为
y y x x B B e e B +=
已知在此边界上磁感应强度的法向分量连续，磁场强度的切向分量连续。

因此
10-=y B ，
05
.05000μμ=x B
求得 2500=x B ，10-=y B 即
mT )102500(y x e e B -=
② 设空气中的磁感应强度为
y y x x B B 000e e B +=
习题图 5-17
则由边界条件获知
0500010
μμ=
x
B ，5.00=y B
求得 002.00=x B ，5.00=y B
即
mT )5.0002.0(0y x e e B +=
5-18 已知均匀绕制的长螺线管的匝数为N ，长度为L ，半径为a ，电流为I ，如习题图5-18(a)所示。

试求： ① 螺线管内部中点o 处的磁感应强度；
② 螺线管外部P 点的磁感应强度，图中a d L d >>>>,。

解 ① 螺线管可看作是线密度为
L
IN
的圆柱面电流，如图习题图5-18(b)所示。

由题5-9的结果得知，电流为⎪
⎭
⎫
⎝⎛z L IN d 的电流环在中点o 处产生的磁感应强度为
(
)
2
3
22202d d y
a L z
INa z
+=μe B
那么，螺线管在中点o 处产生的总磁感应强度为
(
)
z y
a L INa L L z d 222
2
3222
0⎰
-+=μe
B 2204
12L a IN
z
+
=μe
② 为了计算螺线管外的场强，可将螺线管看作为由N 个同轴电流环组成。

已知在xoy 平面内，单个电流环
I
P
a
习题图5-18(a)
习题图5-18(b)
在⎪⎭
⎫
⎝⎛2,2,ππr P 点产生的矢量磁位为
⎰
'
=l p R
I πμ4d 0l A
式中()φθ''-+'=
c o s s i n 222ra a r R ，
φφ'='d d a e l 。

考虑到
a r >>，那么
⎪⎭
⎫
⎝⎛'''+'≈φθcos sin 111r a r R ⎰''⎪⎭
⎫
⎝⎛'''+'=πφφφφθπμ200d cos cos sin 14r a r Ia p e A ()θμφ''=sin 4220r Ia e 因此
()
()θθμθ'+''=
⨯∇=sin cos 243
2
0e e A B r p p r Ia
当电流环位于xoy 平面时，2
π
θ=
'，r ' = d ，那么，在
⎪⎭
⎫
⎝⎛2,2,ππd P 处产生的磁感应强度为 3
2
04d
Ia P μθ
e B =
考虑到L d >>，对于P 点而言，可以认为每个电流环均处于xoy 平面内。

因此，P 点磁感应强度增加N 倍，即
3
2
04d
NIa N P μθ
e B B ==
5-19 根据式（5-2-9b ），证明 0=⋅∇A 。

证明 式（5-2-9b ）为
()V V ''
-'=⎰
'd 4r r r J A πμ
则
()()V V ''-'⋅∇=⋅∇⎰'d 4r r r J r A πμ()V V '
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛'-∇⋅'=
⎰d 14'r r r J π
μ
()V
V
'
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
'
-
∇'
⋅'
-
=⎰d
1
4'r
r
r
J
π
μ
()()
V
V
V
V
'
'
-
'
⋅
∇'
+'
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
'
-
'
⋅
∇'
-
=⎰
⎰'
'
d
4
d
4r
r
r
J
r
r
r
J
π
μ
π
μ
利用高斯定理，同时考虑到()0=
'
⋅
∇'r
J，求得
()
S
r
r
r
J
A'
⋅
'
-
'
-
=
⋅
∇⎰d
4s
π
μ
但由电流连续性原理获知，
()
d='
⋅
'
-
'
⎰S
r
r
r
J
s。

因此，
=
⋅
∇A。

5-20证明在边界上矢量磁位A的切向分量是连续的。

解已知磁通m
Φ与矢量磁位A的关系为
⎰⋅
=
l
m l
A d
Φ
类似证明磁场强度的切向分量是连续的方法，紧靠边界作一个闭合矩形方框。

当方框面积趋近零时，穿过方框的磁通m
Φ也为零，那么求得
d=
⋅
⎰l l
A
这样，由此获知
t
t2
1
A
A=，即边界上矢量磁位A的切向分量是连续的。

5-21当磁导率为μ的磁棒插入电流为I的螺线管中，若单位长螺线管的匝数为N，磁棒的半径为a，螺线管的内径为)
(a
b
b>。

试求：①a
r<及b
r
a<
<区域中的磁感应强度B，磁场强度H及磁化强度m
P；②磁棒中的磁化电流
密度J'及磁棒表面的表面磁化电流密度
s
J'。

解①根据题意，螺线管中
磁棒位置如图5-22所示。

取
圆柱坐标系，且令螺线管的 轴线与z 轴一致。

作一个矩 形闭合回路，其中AB 和CD 边垂直于螺线管壁，AD 边紧 靠在螺线管外壁，BC 边平行
于螺线管内壁，其长度为l 。

沿该矩形闭合回路积分，由安培环路定律知
INl ABCD
=⋅⎰l H d
可以认为，螺线管中的磁场强度方向均与螺线管的轴线平行，螺线管外附近无漏磁。

那么当矩形回路的BC 边位于磁棒内时，若令磁棒内的磁场强度为H 1，则上述闭合积分变为
Nl I BC
⎰
=⋅l H d 1IN z e H =⇒1
因此，磁棒内的磁场强度为 IN z e H =1 磁棒内的磁感应强度为 IN z μe B =1 磁棒内的磁化强度为
()IN r z m 110
1
1-=-=
μμe H B P
若令磁棒与螺线管壁之间的磁场强度为H 2，则上述闭合积分变为
⎰
=⋅BC
INl l H d 2 IN z e H =⇒2
磁棒与螺线管壁之间的磁感应强度为
IN z 02μe B =
磁棒与螺线管壁之间磁化强度为
0100202
2=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-=
IN z m μμμe H B P ② 磁棒中的磁化电流密度为
0)1(1=-⨯∇=⨯∇='z r m IN e P J μ
磁棒侧面的表面磁化电流密度为
()()IN IN r r r z n m s
111-=⨯-=⨯='μμφe e e e P J 5-22 已知半径为a 的铁氧体球内部的磁化强度
m z m P 0e P =，试求：①球内磁化电流密度J '及球面的表面磁化电流密度s
J '；②磁化电流在球心处产生的磁感应强度B 。

解 ① 球内磁化电流密度为
()
00=⨯∇=⨯∇='m z m P e P J
球面的表面磁化电流密度为
()r m r m z n m s
P P e e e e e e P J r ⨯-=⨯=⨯='00sin cos θθθθφsin 0m P e = 由题5-9的结果获知，位于θ处宽度为θd a 的环行电
流θd a s
J '在球心产生的磁感应强度B d
()3
22d sin d a a a J s z
θ
θμ'=e B
那么，整个球面上磁化电流在球心产生的磁感应强度为
θθ
μπ
d 2
sin 0
30⎰
=m z P e B m z
P 03
2
μe = 5-23 当磁矩为25Am 2的磁针位于磁感应强度B = 2T 的均匀磁场中，试求磁针承受的最大转矩。

解 当磁矩方向与磁感应强度方向垂直，即夹角2
π
θ=
时，
磁针承受的转矩最大，因此磁针承受的最大转矩为
2
sin
max π
ΒΡT m =Nm 501225=⨯⨯=
5-24 已知体积为1m 3的均匀磁化棒的磁矩为10Am 2，若棒内磁感应强度T 02.0z e B =，z e 为轴线方向。

试求棒内磁场强度。

解 由磁化强度定义，求得棒内磁化强度为
21 A/m 10==V
m M 那么，棒内磁场强度为
⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-=-1010402.070πμz e M B
H A/m 1059.14⨯=z e 5-25 已知位于坐标原点的磁化球的半径为a ，若球内的磁化强度)(2B Az z +=e M ，式中A ，B 均为常数，试求球内及球面上的磁化电流。

解 球内的磁化电流密度为
()
02=+⨯∇=⨯∇='B Az z e M J 因此，球内的磁化电流为零。

球面上的表面磁化电流密度为
()[]
()r n s B a A e e e e M J r ⨯-+=⨯='θθθθsin cos cos 2 ()θθφsin cos 22B Aa +=e
位于θ处宽度为θd a 的环形电流为
θd d a s J Ι'=()
θθθφd sin cos 22B Aa a +=e 因此，球面上的总磁化电流为
()
θθθθπφd sin sin cos 023⎰+=Ba Aa e Ι⎪⎭⎫ ⎝⎛+=Ba Aa 2323φe。