Chapter11常微分方程模型
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y(t).设单位时间内两类鱼相遇的次数为 bxy(b>0).
dx ax bxy dt
2020/8/1
第一章 绪论
• Volterra被捕食-捕食模型
– 捕食鱼的自然减少率与其自身的数量 y 成正比 为:cy; 而自然增长率与被捕食鱼的数量成正比,为 dxy, 模型为:
dx dt
x(a
by)
• SI模型
– 设地区总人数为常数 n ,初始染病人数为 x0 ,在时 刻 t 的健康人数为 y(t) ,染病人数为 x(t) ,单位时间 内一个病人能传染的人数与当时健康人数成正比， 系数为 k.
dx dt
kx(n
x),
x(0)
x0
2020/8/1
第一章 绪论
• SIS模型
– 无免疫性传染病,治愈后会再次被感染,设单位时间
2020/8/1
第一章 绪论
• 微小振动:考虑当摆角 比较小时
d 2
dt 2
g l
0
• 在介质中:有一个与速度成比例的阻力(系数)
d 2
dt 2
m
d
dt
g l
0
• 强迫振动:在运动方向上恒有一外力 F(t) 作用
d 2
dt 2
m
d
dt
g l
1 ml
F (t )
2020/8/1
第一章 绪论
例3 人口模型
dN rN dt
2020/8/1
第一章 绪论
• 荷兰生物学家Verhulst引入常数Nm(环境最大容 纳量)表示自然资源和环境条件所能容纳的最
大人口数,并假设净相对增长率为 r(1N(t)/Nm), 即净相对增长率随 N(t) 的增加而减少,当 N(t)
→Nm 时,净增长率→0 按此规定,人口增长的方 程应改为:
2020/8/1
第一章 绪论
dy dx
a( y
x),
dy
dt
xz
cx
y,
dz dt
xy
bz,
•(其中参数a=10,b=8/3,c=28)
2020/8/1
第一章 绪论
2020/8/1
第一章 绪论
dI R I E dt L L
2020/8/1
第一章 绪论
• 电源短路:E=0
dI R I 0 dt L
• 变电压:电压是时间 t 的函数 e(t)
d 2I R dI I 1 de(t) dt L dt LC L dt
2020/8/1
第一章 绪论
例2 数学摆
• 数学摆是系于一根长度为l的线上面质量为m 的质点M,在重力作用下,它在垂直于地面的平 面上沿圆周运动(如图).我们来确定摆线的运动 方程.
• 英国人口统计学家马尔萨斯在担任牧师期间, 查看了当地教堂100多年人口出生统计资料发 现了这样一个现象：人口出生率是一个常数. 在1798年他发表《人口原理》一书,其中提出 了闻名于世的Malthus人口模型.
– 假设:人口在自然增长的过程中,净相对增长率(单 位时间内人口的净增长数与人口总数之比)是常数, 记为 r (生命系数).
治愈率为 :
dx dt
kx(n x) x kx(n 1
x), x(0)
x0
其中
k
2020/8/1
第一章 绪论
• SIR模型
– 病人治愈后不会再被感染.设时刻 t 的俞后免疫人 数为 r(t) ,治愈率 l 为常数
dx dt
kxy
lx,
x(0)
x0
dy
dt
kxy,
y(0)
y0
• 在反映客观现实世界运动过程的量与量之间 的关系中,大量存在满足常微分方程关系式的 数学模型,需要我们通过求解常微分方程来了 解未知函数的性质.
• 常微分方程是解决实际问题的重要工具.
2020/8/1
第一章 绪论
曲线方程
• 一条曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点(x, y) 处的切线的斜率为 2x ,求这条曲线的方程.
dy
dt
y(c
dx)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2020/8/1
第一章 绪论
例6 Lorenz方程
– 气象学家洛伦茨在美国天气预报中心工作,进行数值天气预 报.他在20世纪60年代初开始用数字计算机,曾简化气象方 程组,将大气对流现象化为14个变量,最后减到12个变量.他 对12个变量的微分方程组用数字计算机进行模拟计算,一小 时能计算两个月的天气变化.一次偶然离开后回来发现计算 结果突然变化,重新输入计算结果又不同.反复检查原因,原 来是重新输入数据的小数尾数误差所引起,从而发现方程的 解对初值敏感的现象,后来他访问另一天气中心时,了解到 另有人得到了7个变量的类似的方程组.经过重新处理,他将 其中4个变化不大的变量删去,得到仅含3个变量的右端非常 简单的微分方程组,但其解对初值却异常敏感,他将数值计 算结果发表在美国气象学报上,这三个变量的方程就是后来 被称为混沌现象第一例的有名的Lorenz方程.
第一章 绪论
第1节 常微分方程模型
数学与信息科学学院 庄思发
绪论
• 如果知道自变量,未知函数及函数的导数(或微 分)组成的关系式,得到的便是微分方程,通过求 解微分方程求出未知函数.
• 自变量只有一个的微分方程称为常微分方程.
• 常微分方程是数学分析或基础数学的一个组 成部分,在整个数学大厦中占据着重要位置.
n
x0
2020/8/1
第一章 绪论
例5 两生物种群生态模型
• 意大利生物学家安考纳发现某海港在第一次 世界大战期间捕鱼量减少而捕获到的捕食鱼 占得百分比却急剧增加,为解释这种现象,意大 利数学家沃特拉建立了一个关于捕鱼与被食 鱼生长情形的数学模型.
2020/8/1
第一章 绪论
• 简单模型
– 被食鱼与捕食鱼 – 设 t 时刻被食鱼的总数为 x(t),而捕食鱼的总数为
dN r(1 N )N
dt
Nm
2020/8/1
第一章 绪论
例4 传染病模型
• 传染病(瘟疫)经常在世界各地流行,如霍乱,天 花,艾滋病,SARS,H5N1病毒等.建立传染病的数 学模型,分析其变化规律,防止其蔓延是一项艰 巨的任务.这里仅就一般的传染规律讨论传染 病数学模型.
2020/8/1
第一章 绪论
– y=x2+1
2020/8/1
第一章 绪论
例1 RLC电路
• 包含电阻 R,电感 L,电容 C 及电源的电路称为 RLC电路(如图),RLC电路是电子电路的基础.根 据电学知识,电流 I 经过 R, L, C 的电压降分别 为 RI, LdI/dt和Q/C,其中 Q 为电量,它与电流的 关系为I=dQ/dt.根据基尔霍夫第二定律：在闭 合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.
dx ax bxy dt
2020/8/1
第一章 绪论
• Volterra被捕食-捕食模型
– 捕食鱼的自然减少率与其自身的数量 y 成正比 为:cy; 而自然增长率与被捕食鱼的数量成正比,为 dxy, 模型为:
dx dt
x(a
by)
• SI模型
– 设地区总人数为常数 n ,初始染病人数为 x0 ,在时 刻 t 的健康人数为 y(t) ,染病人数为 x(t) ,单位时间 内一个病人能传染的人数与当时健康人数成正比， 系数为 k.
dx dt
kx(n
x),
x(0)
x0
2020/8/1
第一章 绪论
• SIS模型
– 无免疫性传染病,治愈后会再次被感染,设单位时间
2020/8/1
第一章 绪论
• 微小振动:考虑当摆角 比较小时
d 2
dt 2
g l
0
• 在介质中:有一个与速度成比例的阻力(系数)
d 2
dt 2
m
d
dt
g l
0
• 强迫振动:在运动方向上恒有一外力 F(t) 作用
d 2
dt 2
m
d
dt
g l
1 ml
F (t )
2020/8/1
第一章 绪论
例3 人口模型
dN rN dt
2020/8/1
第一章 绪论
• 荷兰生物学家Verhulst引入常数Nm(环境最大容 纳量)表示自然资源和环境条件所能容纳的最
大人口数,并假设净相对增长率为 r(1N(t)/Nm), 即净相对增长率随 N(t) 的增加而减少,当 N(t)
→Nm 时,净增长率→0 按此规定,人口增长的方 程应改为:
2020/8/1
第一章 绪论
dy dx
a( y
x),
dy
dt
xz
cx
y,
dz dt
xy
bz,
•(其中参数a=10,b=8/3,c=28)
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第一章 绪论
2020/8/1
第一章 绪论
dI R I E dt L L
2020/8/1
第一章 绪论
• 电源短路:E=0
dI R I 0 dt L
• 变电压:电压是时间 t 的函数 e(t)
d 2I R dI I 1 de(t) dt L dt LC L dt
2020/8/1
第一章 绪论
例2 数学摆
• 数学摆是系于一根长度为l的线上面质量为m 的质点M,在重力作用下,它在垂直于地面的平 面上沿圆周运动(如图).我们来确定摆线的运动 方程.
• 英国人口统计学家马尔萨斯在担任牧师期间, 查看了当地教堂100多年人口出生统计资料发 现了这样一个现象：人口出生率是一个常数. 在1798年他发表《人口原理》一书,其中提出 了闻名于世的Malthus人口模型.
– 假设:人口在自然增长的过程中,净相对增长率(单 位时间内人口的净增长数与人口总数之比)是常数, 记为 r (生命系数).
治愈率为 :
dx dt
kx(n x) x kx(n 1
x), x(0)
x0
其中
k
2020/8/1
第一章 绪论
• SIR模型
– 病人治愈后不会再被感染.设时刻 t 的俞后免疫人 数为 r(t) ,治愈率 l 为常数
dx dt
kxy
lx,
x(0)
x0
dy
dt
kxy,
y(0)
y0
• 在反映客观现实世界运动过程的量与量之间 的关系中,大量存在满足常微分方程关系式的 数学模型,需要我们通过求解常微分方程来了 解未知函数的性质.
• 常微分方程是解决实际问题的重要工具.
2020/8/1
第一章 绪论
曲线方程
• 一条曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点(x, y) 处的切线的斜率为 2x ,求这条曲线的方程.
dy
dt
y(c
dx)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2020/8/1
第一章 绪论
例6 Lorenz方程
– 气象学家洛伦茨在美国天气预报中心工作,进行数值天气预 报.他在20世纪60年代初开始用数字计算机,曾简化气象方 程组,将大气对流现象化为14个变量,最后减到12个变量.他 对12个变量的微分方程组用数字计算机进行模拟计算,一小 时能计算两个月的天气变化.一次偶然离开后回来发现计算 结果突然变化,重新输入计算结果又不同.反复检查原因,原 来是重新输入数据的小数尾数误差所引起,从而发现方程的 解对初值敏感的现象,后来他访问另一天气中心时,了解到 另有人得到了7个变量的类似的方程组.经过重新处理,他将 其中4个变化不大的变量删去,得到仅含3个变量的右端非常 简单的微分方程组,但其解对初值却异常敏感,他将数值计 算结果发表在美国气象学报上,这三个变量的方程就是后来 被称为混沌现象第一例的有名的Lorenz方程.
第一章 绪论
第1节 常微分方程模型
数学与信息科学学院 庄思发
绪论
• 如果知道自变量,未知函数及函数的导数(或微 分)组成的关系式,得到的便是微分方程,通过求 解微分方程求出未知函数.
• 自变量只有一个的微分方程称为常微分方程.
• 常微分方程是数学分析或基础数学的一个组 成部分,在整个数学大厦中占据着重要位置.
n
x0
2020/8/1
第一章 绪论
例5 两生物种群生态模型
• 意大利生物学家安考纳发现某海港在第一次 世界大战期间捕鱼量减少而捕获到的捕食鱼 占得百分比却急剧增加,为解释这种现象,意大 利数学家沃特拉建立了一个关于捕鱼与被食 鱼生长情形的数学模型.
2020/8/1
第一章 绪论
• 简单模型
– 被食鱼与捕食鱼 – 设 t 时刻被食鱼的总数为 x(t),而捕食鱼的总数为
dN r(1 N )N
dt
Nm
2020/8/1
第一章 绪论
例4 传染病模型
• 传染病(瘟疫)经常在世界各地流行,如霍乱,天 花,艾滋病,SARS,H5N1病毒等.建立传染病的数 学模型,分析其变化规律,防止其蔓延是一项艰 巨的任务.这里仅就一般的传染规律讨论传染 病数学模型.
2020/8/1
第一章 绪论
– y=x2+1
2020/8/1
第一章 绪论
例1 RLC电路
• 包含电阻 R,电感 L,电容 C 及电源的电路称为 RLC电路(如图),RLC电路是电子电路的基础.根 据电学知识,电流 I 经过 R, L, C 的电压降分别 为 RI, LdI/dt和Q/C,其中 Q 为电量,它与电流的 关系为I=dQ/dt.根据基尔霍夫第二定律：在闭 合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.